Semana 5

1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
A
x
Q
sen
(-)

-1
sen
(+)

M
1sen
(+)
N

sen
(-)

P

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-I
TRIGONOMETRÍA
“Circunferencia Trigonométrica”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con circunferencia trigonométrica.
 Representar gráficamente las razones trigonométricas de arcos dirigidos en posición
normal.
 Analizar las variaciones de las razones trigonométricas de los números reales.
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
B
y
M
B' N
R = 1
A' A
x


(+)
(-)
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en
grados sexagesimales, en radianes o como números
reales, para ello se recomienda tener en cuenta:
y 
2

2
0
x
3
2

y
90º
180º
360º
270º
0º
x
y
0
x
1,57
6,28
4,71
3,14
Líneas trigonométricas
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula;
que van a representar los valores numéricos de las
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número
real, siempre que esté definido.
1. L.T. seno
y
A
x
Q
sen
(-)

-1
sen
(+)

M
1sen
(+)
N

sen
(-)

P

Variación del seno de un arco:
IC
0

2
IIC

2
IIIC

3
2

IVC
2
3
2

0 1 1 0 0 -1 -1 0
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0
sen

Semana Nº 5

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
2
2. L.T. coseno
y
x
N

M

cos
(-)
-1
1
cos
(+)
A

P
cos
(-)
 cos
(+)

Q
Variación del coseno de un arco:
IC
0

2
IIC

2
IIIC

3
2

IVC
2
3
2

0 11 0 0 -1 -1 0
0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0 -1<cos <0
cos

3. L.T. tangente
y
x
N

O
P


Q

M
T
T1
A
tan
tan
tan
tan
4. L.T. Cotangente


C.T.
P
0
T
rad
Tangente
Geométrica
En el gráfico:
Se observa que BT

representa a la cotangente del
arco trigonométrico .
Línea Secante:
tangente
geométrica


C.T.
P
0
rad
A
Y
En el gráfico:
Se observa que OR

representa a la secante del arco
trigonométrico.
Línea Cosecante:
tangente
geométrica


C.T.
P
M
0
rad
B(0;1)Y
En el gráfico:
Se observa que OM

representa a la cosecante del
arco trigonométrico.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
c/u de las siguientes proposiciones
(I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
(III)cos 6 cos1 cos5  ( )
(IV)cos 2 cos4 cos3  ( )
A) FFVV B) VVFF C) VVFV
D) FVFV E) VFVF

3
RESOLUCIÓN
1,57
2


1
6
4
2
O
5
2 6,28 
cos 2
cos 1
cos 3
cos 4
cos 5
cos 6
sen1
sen2
sen4
sen5
sen 3
314 
3
sen6
3
4,71
2


Según la C.T. las proposiciones serán:
(I)  (V)
(II)  (V)
(III)  (F)
(IV)  (F)
RPTA.: C
2. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se
cumpla:
x 2 x 1
Sen
3 2
 
   siendo  un arco del
tercer cuadrante?
A)
5
3
;
5
1
B)
5
2
;
5
1
C)
1
1;
5

D)
5
2
;0 E)
5
3
;0
RESOLUCIÓN
6
15
2
1
3
2 





xxx
Sen 
Como: 01   SenCIII
5x 1
1 0
6

  
6 <5x  1 > 0
5 <5x < 1
1 < x <
1
5

5
1
;1x
RPTA.: C
3. Si: 1-2x
sen " " IIIC
3
     ; Halle la
variación de “x”
A) 2;
2
1
 B)
2
1
;2 C) 2;
2
1
D) 2;2 E) 1;1
RESOLUCIÓN
Si: CIII""  01  sen
Como: 0
3
21
1
3
21





xx
sen 
0213  x
124  x
2
1
2  x
 1
"x" ;2
2
 RPTA.: C
4. Del gráfico mostrado calcule el área del
cuadrilátero sombreado.

x
y
A)  0,5 sen cos  B)  0,5 sen cos  
C)  0,5 cos sen  D)  0,5 sen cos  
E) 0,5sen cos 
RESOLUCIÓN
21 SSS 
Calculamos

4

2S
1S
sen 
cos 
1
1
S (cos )
2

  2
1
S (sen )
2

 
S 0,5(sen cos )    
RPTA.: A
5. Si 3
;
4

   , de la circunferencia
trigonométrica determina la variación de la
región sombreada.
A)
2
2
;
2
1 B)
2
2
;0
C)
2
1
;0
D)




2
2
;
2
1 E)
2
3
;
2
1
RESOLUCIÓN
cos 
 sen ; cos  
sen cos ;sen 
   cos1
2
1
 senS
)cos(
2
1
  senS
 42.
2
1 
  senS
Como: 


4
3
4
3
42



 1
42
2








sen
2
2
4
.
2
2
2
1








sen

2
2
;
2
1
S
RPTA.: A
6. El siguiente gráfico es una circunferencia
trigonométrica. Calcule el área del triángulo
EBF.
x
y
A
C.T.
B

F
E
A) cos B) 2cos C) sen
D) 2sen E)
1
sen
2

RESOLUCIÓN
Área cos)2(
2
1
EBF
Área cosEBF
B

F
E

cos 
1
RPTA.: A


5
PROBLEMA DE CLASE
1) Ordene de forma creciente:
sen1, sen2, sen3, sen4, sen5, sen7.
A) sen5, sen4, sen3, sen7, sen1, sen2.
B) sen5, sen4, sen3, sen1, sen7, sen2.
C) sen5, sen4, sen3, sen1, sen2, sen7.
D) sen4, sen5, sen3, sen1, sen7, sen2.
E) sen4, sen5, sen3, sen7, sen1, sen2.
2) En una circunferencia trigonométrica
mostrada, halle m2
+2mn +n2
+ 2m +2n +1.
Si
 m ABP  
P
A
x
B
(m, n)
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6
3) En la circunferencia trigonométrica de la
figura, si m AB'A'P   ,
IIC, OP OM y PQ   eje x. Se pide hallar el
área de la región triangular OMQ, donde P
está más próximo a B que ha A’.
A’ A x
B
B’
P
Q
M

A) ½ B)
1
sen
2

C)
1
(cos sen )
2
  
D)
1
sen
2
 
E)
2 21
(cos sen )
2
    
4) En la circunferencia trigonométrica, halle el
punto medio del lado PQ
A)
 1 sec ;tg  
B)
1 sec tg
;
2 2
   
 
 
C)
1 sec tg
;
2 2
   
 
  D)
1 sec tg
;
4 2
   
 
 
E)
1 sec tg
;
2 4
   
 
 
P
Q
X
Y
M

5) Sabiendo que: 30º < < 120º; señale la
extensión de: C = 4sen - 1
a)<1; 3] b)<1; 3> c)<1; 2 + 1> d)<1; 2 + 1] e)<2; 3>
6) Si: x IVC y 3a 1
cosx
4

 Entre que
límites está “a”
a)
1;
3
1

b) 1;1 c)
1;
2
1

d)
1;
4
1

e) 2;1
7) En la circunferencia trigonométrica determinar
el área de la superficie sombreada.
Y

X
A)
1
(1 cos )(2 tg )
2
   
B)
1
(1 sen )(2 ctg )
2
   
C)
1
(1 cos )(2 tg )
2
   
D)
1
(1 cos )(2 tg )
2
   
E)
1
(1 sen )(2 ctg )
2
   

6
8) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, si AM ; entonces al
calcular (en u2) el área sombreada, se
obtiene:
A)
1 sen
2
 
B)
1 cos
2
 
C)
1 cos
2
 
D)
 
1
sen cos
2
  
E)
 2 sen cos 
y
xA
M
9) En la circunferencia trigonométrica determinar
MP.
y
x
P
M

A) tg+ctgB)tg– ctgC) ctg– tg
D) – (tg+ctg) E) – tg– ctg+1
10) En la circunferencia trigonométrica
mostrada. Halle el área de la región
sombreada.

A)
1 sen 1
2 cos
  
 
  B)
1 sen 1
2 sen
  
 
 
C)
1 sen cos
2 cos
   
 
  D)
1 sen cos
2 sen
   
 
 
E) ½
1 sen cos
1 cos
    
 
  
11) Si: 29 cos(x+y)=2m2 – 21 ;  x, yR, determine
la extensión de m para que la expresión dada
sea válida.
A) 5 m 2    B) 2 m 5 
C) m 5 m 2    
D) m 2 m 5   E) 5 m 5  
12) En la circunferencia halle OM en términos de.
M

o
A)
sen
1 cos

  B)
sen
1 cos

  C)
1 cos
sen
 

D)
1 cos
sen
 
 E)
1 cos
1 cos
 
 
13) En la figura M(x; y) es punto medio del
segmento QR , mABP  . Halle: x+y
y
x
A
R
Q
B
M
P
A) (sen+cos)/2 B) 2 cosC) 2 sen
D) – senE) – cos
14) En la figura mostrada la circunferencia es
trigonométrica, hallar el área de la región
sombreada
 AP  
.

7
y
P R
A
Q
A)
 
1
tg 1 sen
2
  
B)
 
1
ctg 1 sen
2
  
C)
 tg 1 sen  
D)
 
1
tg 1 sen
2
  
E)
 
1
tg 1 cos
2
  
15) Si 5 <  < 6
Señale verdadero (V) ó falso (F), en cada
proposición:
I.
sen sen  
II.
cos cos  
III.
tg tg  
A) VVV B) VFF C) FFV
D) FVF E) FVV
16) Calcule los valores que toma “k”;
si K3 = 7cos2x + seny, además x e y son
variables independientes.
A)
 1;8
B)
1;2
C)
 1;2
D)
 2;1
E)
 2;8
PROBLEMA DE REPASO
1) Decir cual o cuales de las siguientes
proposiciones son falsas (F) o verdaderas (V).
I. sen(–3)<sen(–0,15)
II.|cos(–2)|>|cos(–1)|
III.tg(–3)>tg(–2)
A) FFF B) VFF C) FVV
D) VVF E) VVV
2) Si:
x 4
, entonces al calcular la suma del
máximo y mínimo valor de la expresión
W cov .x
8 3
  
  
  , se obtiene:
A) 1,5 B)2,5 C) 3 D)3,5 E) 4,5
3) Si:
x , 3   , determinar la variación
de
6senx 4
H
3senx 4


 .
A)
2, 1 
B)
 2,1
C)
2, 1 
D)
2, 1  E)
2,0
4)En la circunferencia trigonométrica, se pide
indicar el valor de DBOC  , en función del
ángulo "α"
O
A
B
C
D

a)  TanSec b)  TanSec
c) 

Sen
Cos1
d)  CscSec e) 

Sen
Cos1
5) En el círculo trigonométrico, calcular el área de
la región sombreada.
O

a)
)1CosSen(
2
1 
b)
)1CosSen(
2
1 
c)
)CosSen1(
2
1 
d)
)Cos21(
2
1 
e)
)Sen21(
2
1 
6) Señale la variación de: 1cos
1cos3
C



si: IVC
a)<1; 2> b)
2;
2
1
c)
1;
2
1
d)<1; 3> e)<2; 3>

8
7) Si II C  y
1
2
csc






sen
sen determine la
variación de “ 2
csc ”
A)
10;
2
9 B)
5
2
;
5
3 C)
4
3
;
4
3
D)
5
7
;
5
3 E)
4;
4
9
8) Si se sabe que: “  ”  210;135 ,
ar la variación de: 1cos.2  P
A)





2
2
;1
B) 0;21 C)  1;2 
D)  0;21 E) 0;21
9) Si: 2 sen 1 8 5cos      ,
halle: “csc sec   “
A) 2 B)
4
9
 C)
4
1
 D)
4
9 E)
4
1
10) Halle los valores de  cos x 30  ,
si x 0;30 
A) 1;
2
1 B)
1;
2
3 C)
2
3
;
2
1
D)
2
1
;
2
3 E) 1;1
11) Calcular BQ en el círculo trigonométrico
adjunto en función de "α"
O

B
Q
a)  Sen1 b)  Sen1
c)
)Sen1(2 
d)
)Sen1(2 
e)
)Cos1(2 
12) Halle el área de la región sombreada:
A)
1
.sen
2

B)
1
.sen
2
 
C) sen
D) sen  E) No se puede determinar
13) Hallar  si el área de la región sombreada es
1
u
8
2
A) 6

B) 8


C) 4


D) 6


E) 3


14) Si “A” es el máximo valor y “B” el mínimo
valor de la expresión:
M = (3 + senx) (3 - senx)
Calcular: “A + B”
A) 2 B) 0 C) 17 D) 9 E) 1
15) Si: 2 tg 5   , determine los posibles
valores para cos.
A)
1 1
;
6 3
 
 
  B)
1 1
;
3 6
 
 
 
C)
1 1 1 1
; ;
3 6 6 3
   
    
   
D)
 
1 1
; 1; 2
3 2
 
  
  E)
1 1 1 1
; ;
2 3 3 2
   
    
   

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