Problemas de           Distribución de             probabilidadYadira Azpilcueta
Ejemplos:                 De Problemas:           Distribución de Bernoulli.1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 a...
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil,al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad haypara que...
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya quecumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cru...
En un examen formado por 20 preguntas,cada una de las cuales se respondedeclarando“verdadero” o “falso”, el alumno sabe qu...
Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. DistribucionesdiscretasBinomial (n,p)n: Número de pruebas          20p...
Distribución poisson    Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que soloel 3% de los alumnos de contabilidad sonmuy inteligentes ¿ Cal...
=1.7    Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos15 de ellos hablan ruso calcular laprobabilidad de que si tomamos 20 al azar3 ...
Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el20% de las personas tienen defecto de lavista si tomamos una muestra de 50personas a...
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL  1.-Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar  ...
2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución ...
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3.-Entre las ciudades de Estados Unidos    con una población de más de 250,000    habitantes, la media del tiempo de viaje...
b) ¿Qué      porcentaje         de viajes  consumen entre 30 y 35 minutos?  p(30 ≤ x ≤ 35)   Probabilidad                 ...
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Distribución de gamma.El número de pacientes que llegan a laconsulta de un médico sigue una distribuciónde Poisson de medi...
Moda               0,1667La probabilidad de que transcurra menos deuna hora hasta que llegue el segundo pacientees 0,98.  ...
2. Los años a partir de los cuales laprobabilidad de supervivencia es menorque 0,1.Resultados con Epidat 3.1Cálculo       ...
Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de unapieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la misma esde 5 mil eu...
Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo.Para conservar este promedio esta...
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez...
P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) quesigue una distribución t de n-1 gradosde libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<...
Calcular el percentil w0=95 y w0=25 encada uno de los siguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3grados de lib...
- ) Movernos horizontal y verticalmentedesde las posiciones anteriores hastacruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el perce...
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anterior, pero buscando en la fila 30 dela tabla. Resultando:ejemplo5Calcular los percentiles I8>7;0=99 yI8>7;0=01Solución...
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  1. 1. Problemas de Distribución de probabilidadYadira Azpilcueta
  2. 2. Ejemplos: De Problemas: Distribución de Bernoulli.1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuáles la probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, paraasí poder darles un premio, pero la maestra losseleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es laprobabilidad de que salga el alumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =0.9375
  3. 3. 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil,al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad haypara que pueda salir premiado el boleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =1/342 = 0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salgacruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salenen un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles:0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
  4. 4. Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya quecumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
  5. 5. En un examen formado por 20 preguntas,cada una de las cuales se respondedeclarando“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que,históricamente, en el 75% de los casos larespuesta correcta es “verdadero” y decideresponder al examen tirando dos monedas,pone“falso” si ambas monedas muestran unacara y “verdadero” si al menos hay unacruz. Sedesea saber qué probabilidad hay de quetenga al menos 14 aciertos.Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 losparámetros de la distribución y el punto k apartirdel cual se calculará la probabilidad. Eneste caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.
  6. 6. Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. DistribucionesdiscretasBinomial (n,p)n: Número de pruebas 20p: Probabilidad de éxito 0,7500Punto K 14Probabilidad Pr[X=k] 0,1686Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172Media 15,0000Varianza 3,7500La probabilidad de que el alumno tengamás de 14 aciertos se sitúa en 0,61.
  7. 7. Distribución poisson Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que soloel 3% de los alumnos de contabilidad sonmuy inteligentes ¿ Calcular la probabilidadde que si tomamos 100 alumnos al azar 5de ellos sean muy inteligentes n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=5 Ejemplo2.- La producción detelevisores en Samsung trae asociada unaprobabilidad de defecto del 2%, si se tomaun lote o muestra de 85 televisores,obtener la probabilidad que existan 4televisores con defectos. n=85 P=0.02 P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746 X=4
  8. 8. =1.7 Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos15 de ellos hablan ruso calcular laprobabilidad de que si tomamos 20 al azar3 de ellos hablan ruso n=20 P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418 X=3 =3 Ejemplo4.-El 8% de los registroscontables de una empresa presentan algúnproblema, si un auditor toma una muestrade 40 registros ¿Calcular probabilidad deque existan 5 registros con problemas? n=40 P=0.08P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2 X=5
  9. 9. Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el20% de las personas tienen defecto de lavista si tomamos una muestra de 50personas al azar ¿Calcular Probabilidadque existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08 =10
  10. 10. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL 1.-Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80σ = 14z a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90 Probabilidad μ acumulada. z = 0.7611 z = 0.3594 p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. z 0.3594 p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μ c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. z = 0.2389 z = 0.0367 p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 55 μ 70 80
  11. 11. 2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:µ= $70,00 σ =$20,0 z a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 – z = p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μ b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 0.4013
  12. 12. – z = – z = 65000 70000 80000 μ p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902c)El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. 0.4013 – z = p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 65000 70000 μ
  13. 13. 3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. z a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad acumulada. 0.1335 – z = p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% μ 30 38.3
  14. 14. b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. 0.3300 – z 0.1335 = – z = 30 35 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. 0.5910 – z = 0.1335
  15. 15. – z = 30 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – µ = 1,200 σ = 225 0.1335 = 0.4575 Probabilidad z = acumulada. 45.75% 5% = .0500 4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 5% ó 0.0500
  16. 16. – z 1.65 X= 1,571.25x = 1,571.25 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación µ = 20,082 z σ = 4,500 Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 = estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?
  17. 17. z – 95% ó 0.9500 1.64x = 27,462. X= 27,462 75
  18. 18. Distribución de gamma.El número de pacientes que llegan a laconsulta de un médico sigue una distribuciónde Poisson de media 3 pacientes por hora.Calcular la probabilidad de que transcurramenos de una hora hasta la llegada delsegundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variablealeatoria “tiempo que transcurre hasta lallegada del segundo paciente” sigue unadistribución Gamma (6, 2).Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. DistribucionescontinuasGamma (a, p)a : Escala 6,0000p : Forma 2,0000Punto X 1,0000Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556
  19. 19. Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos deuna hora hasta que llegue el segundo pacientees 0,98. Ejercicio 2- Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma conparámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.
  20. 20. 2. Los años a partir de los cuales laprobabilidad de supervivencia es menorque 0,1.Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades.Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia esde, aproximadamente, 10 años.
  21. 21. Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de unapieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la misma esde 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿A cuantodebemos cobrar la hora de reparación para obtener unbeneficio medio de 3 mil euros?Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficiomedio, E(B), sea 3.El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) =4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se deduce queK=1/4, es decir 250 euros, para obtener un beneficio de 3mil euros.
  22. 22. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo.Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculadocae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusióndeberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig. El profesor Pérez olvida poner su despertador3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone eldespertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.
  23. 23. (a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamosrealizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo enbase a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuacióntraducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos danen el enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden quecalculemos P(T¯). Puesto que {O, O}es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar laformulas de la probabilidadtotal, de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado,sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribircomo:P(T¯) = + =0.69 La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienenmedia μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra detamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
  24. 24. P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) quesigue una distribución t de n-1 gradosde libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud mediade la muestra de 25 tornillos seainferior a 20.5 mm es del 99.02%Ejemplo-4
  25. 25. Calcular el percentil w0=95 y w0=25 encada uno de los siguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquelnúmero real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla dela distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna losgrados de libertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila laprobabilidad acumulada, en nuestrocaso: 0=95=
  26. 26. - ) Movernos horizontal y verticalmentedesde las posiciones anteriores hastacruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será elvalor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nosmovemos horizontalmente hasta laprimera columna, llegaremos al valor 3(grados de libertad), y si lo hacemosverticalmente hacia la primera fila lallegaremos al valor 0.95 (probabilidadacumulada).Como en la tabla únicamente tenemostabulada la t-Student para colasprobabilísticas que van desde 0=75hasta 0=999, para calcular el percentil
  27. 27. w0=25, tendremos que realizar lasiguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student essimétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W ·w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con losdatos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertadactuaremos de modo similar al caso
  28. 28. anterior, pero buscando en la fila 30 dela tabla. Resultando:ejemplo5Calcular los percentiles I8>7;0=99 yI8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecorel percentil I8>7; 0=99 hemos de teneren cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Últimacolumna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estosdatos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

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