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INTRODUCCIÓN




El trazo de curvas se emplea en la construcción de vías para conectar dos
líneas de diferente dirección o pendiente. Estas curvas son circulares y
verticales.

Son parábolas de Eje Vertical, tanto por la suavidad que se obtiene en la
transición como por la facilidad del cálculo.

La parábola se utiliza para calcular las curvas verticales en vías de
comunicación.

El diseño de una carretera involucra actualmente varias disciplinas, entre
ellas se pueden mencionar: la topografía, la fotogrametría, los sistemas
GIS, las cuales a su vez utilizan a la geometría cartesiana, la trigonometría y
el cálculo entre otras.

Para nuestro trabajo práctico de Construcción de una Carretera hemos
usado la topografía, Nivelación y Secciones Transversales.

OBJETIVOS
Realizar, formular, calcular, evaluar, plantear la construcción de una
carretera
CURVAS VERTICALES
Con objetos de que no existan cambios bruscos en la dirección vertical de
los vehículos en movimiento de carreteras y ferrocarriles se conecta una
curva en un plano vertical, denominado curva vertical. Generalmente la
curva vertical es el arco de una parábola, ya que esta se adapta bien al
cambio gradual de dirección y permite el cálculo rápido de las elevaciones
sobre la curva. Cuando las dos pendientes forman una especie de colina, la
curva se llama cresta o colina al contrario cuando se forma una depresión
se llama columpio o vaguada.

La pendiente se expresa en porcentaje, así una pendiente de 1 a 50
equivale al 2% ó a 0.02 m/m.




               Se ilustran curvas verticales en cresta y en columpio




TIPOS DE CURVAS VERTICALES
P2 y P1 expresadas en tanto por uno; es decir en m/m en el sistema decimal
que utilizamos.

Todas las distancias de las curvas verticales se miden horizontalmente y
todas las coordenadas desde l prolongación de la tangente, a la curva se
miden verticalmente.
Cuando la tangente es ascendente en la dirección del cadenamiento, la
pendiente es positiva, y cuando la cadena es descendiente es negativa.

El diseño de las curvas verticales en cresta y en columpio, es una función
de la diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes que se
intersectan, de la distancia de visibilidad de parada o de rebase, las cuales
a su vez son funciones de la velocidad del proyecto de los vehículos y de la
altura de visión del conductor sobre la carretera; y del drenaje. Además de
estos factores el diseño de las curvas verticales en columpio, dependen
también de las distancias que cubren el has de la luz de los faros de los
vehículos, de la comodidad del viajero y de la apariencia.

Únicamente se proyectara curva vertical cuando la diferencia algebraica,
entre dos pendientes sea mayor de 0.5% ya que en los casos que
diferencian igual o menor de la indicada, el cambio es tan pequeño que el
terreno se pierde durante la construcción.

ANÁLISIS GEOMÉTRICO DE LAS CURVAS VERTICALES




PCV: Punto de comienzo de la curva vertical
PTV: Punto de terminación de la curva vertical
PIV: Punto de intersección vertical de las tangentes
P1 y P2: Pendientes de las tangentes de entrada y salida respectivamente
L: Longitud total de la curva vertical
Y: Ordenada del punto P en la curva vertical
V: Ordenada vertical desde la prolongación de la tangente, a un punto P de
la curva (V=NP)
Θ: Ordenada vertical desde el vértice de la curva
X: Distancia del PCV a un punto P de la curva
La variación de la pendiente de la tangente a la curva, es constante a lo
largo de ella, o sea; la segunda derivada de y con respecto a x es una
constante




Integrando tenemos la primera derivada de la pendiente de la parábola.




De manera que:
Integrando nuevamente para obtener “Y” obtenemos:




Por otro lado obtenemos:




Podemos prescindir del signo V, sabiendo que si la curva esta en el
columpio, se suma la cota del tangente en el punto considerado, para
encontrar el punto correspondiente de la curva y de la curva en la cresta,
se restara




Donde:

V= Ordena vertical a la curva de la tangente.
La cual es la ecuación de la curva parabólica y se pude utilizar para
calcular las elevaciones si se conocen P1 y P2, L y la elevación de PVC.

El punto más bajo o más alto de una curva vertical, es de interés frecuente
para el diseño del drenaje. En el punto más bajo o más alto, la tangente en
la curva vertical es cero. Con la igualación con cero de la primera derivada
de Y con respecto X se obtiene:




X: Es la distancia medida a partir del PVC

CALCULO DE CURVAS VERTICALES SIMÉTRICAS
Uno de los métodos para calcular curvas verticales se explica en el
siguiente ejemplo.

Un ferrocarril, una pendiente de +0.8% se cruza con otro de -0.4% en la
estación 90+000 y una elevación de 100m. El cambio máximo de pendiente
permitido por estación es de 0.2 (de especificaciones). Se desea proyectar
una curva vertical para unir las dos pendientes.

La diferencia algebraica entre las pendientes es 0.9-(-0.4)=1.2%. La
longitud mínima entonces es de 7.2 -0.2= 6 estaciones o sea 120 m.

Como la curva es simétrica, la longitud a cada lado de vértices es
120/2=60m. La estación de PVC es por lo tanto:

Est. PVC= 90+000-60=89+940 m

Y la del PTV: 90+000+60= 90+060m
La elevación del PCV es:

Elev. PCV= 100-60(0.008)= 99.52

Y la del PTV

Elev. PTV = 100-60(0.004)= 99.76




                             Figura de la curva

Calcúlese las elevaciones sobre la tangente de entrada y la tangente de
salida en las estaciones cerradas. Recuerde que P1= tangente de
entrada=0.8%. Así la primera elevación es 20(0.008)=0.16; sumando la
elevación del PCV= 99.52. Resulta 99.68 y así mismo se calculan las
restantes. Las elevaciones de la tangente aparecen en la tabla.

Calcúlese el valor de V
Donde:

X1: Distancia medida desde el PCV al punto de la curva que se considere, en
la rama de la izquierda.

X2: Distancia medida desde el PTV al punto de la curva que se considere, en
la rama derecha

Entonces:




Estas expresiones son generales ya que en el caso de las curvas simétricas
L1=L2,

La elevación de un punto de una curva vertical cualquiera estará dada
según la expresión.




P1 y P2 con su signo respectivo

“V” se suma si la curva es el columpio y se resta, si la curva esta en cresta
Para encontrar la posición y la elevación del punto más bajo o más alto




L1: Longitud de la rama izquierda de la curva

L2: Longitud de la rama derecha de la curva

L: L1+L2

VM: es una línea vertical. El punto M no es un punto medio en la línea que en
PCV-PTV, ni C es el punto medio de la curva ni el más bajo de ella pero se
pude comprobar que:

VC=CM=e
La divergencia vertical entre las tangentes (P2-P1)m por estación, por lo
tanto en las estaciones




Por triángulos semejantes




Despejando el valor de e




Este valor por cada estación par tomado % de PCV y PIV. Estos valores
aparecen en la siguiente tabla.

Calcúlese las elevaciones de la curva aplicando la corrección de V a las
elevaciones sobre la tangente
Calcúlese el estacionamiento y la elevación del punto más alto




Elev. del Punto más alto: 99.84

TRAZADO DE RASANTE
La fijación de la rasante depende principalmente de la topografía de la zona
atravesada por esta pero deben considerarse también otros factores como:

      Características del alineamiento horizontal
      Seguridad
      Visibilidad
      Rendimiento de los vehículos pesados con pendiente
      Velocidad del proyecto
      Costo de construcción

TOPOGRAFÍA DEL TERRENO
Llano: La altura de la rasante sobre el terreno está regulada por el drenaje.

Ondulado: Se adoptan rasantes onduladas las cuales convienen tanto en
razón de operación de los vehículos como por economía.

Montañoso: La rasante está controlada por restricciones y condiciones por
la topografía.

La operación de nivelar la rasante es análoga a la nivelación de perfiles
longitudinales, una vez trazada la rasante en el perfil dibujado se conoce ya
su cota por cada estación. Para la nivelación de la rasante se parte por un
punto de cota conocida y se prosigue como puntos de cambio. La lectura
de mira que hay que fijar para colocar las estacas en la rasante propuesta,
se calcula restando la cota de la rasante de la cota del instrumento. El
portamira afloja la estaca y coloca la mira encima, el operador lee la mira e
indica la mayor o menor profundidad que hay que clavar la estaca para
tener la rasante pedida, el portamira clava la estaca a la profundidad
indicada, haciéndose una nueva lectura y así hasta la lectura de mira sea
igual que la rasante.

La distancia entre los puntos que hay que determinar de la rasante
depende de la clase de la obra de que la rasante sea uniforme, de que el
perfil sea una curva vertical, en la construcción de vías férreas se toman
rasante de 20 0 30 metros en curvas verticales, en calles y en carreteras,
se toman rasantes de 20 metros.
CONCLUSIÓN




En el Diseño Geométrico de Carreteras es la parte más importante ya que
nos dará una idea concreta de lo que sea nuestra carretera. Se debe tomar
muy en cuenta el tipo de Topografía del terreno porque de esta se
determinará su funcionalidad, su costo, su seguridad y otros aspectos
importantes de ella.

Las curvas verticales son diseñadas como parábolas. Su longitud se deriva
de varios factores, como son: distancia de visibilidad de parada, distancia
de visibilidad de rebase, comodidad del usuario, etc. Estas distancias
dependen de la pendiente de entrada, la pendiente de salida y si la curva es
cóncava o convexa. Se efectúan todos los controles y se aplica la longitud
que salga mayor. Por supuesto, si el terreno obliga a una longitud mayor, se
coloca la longitud que se adapte mejor a éste, siempre y cuando sea mayor
que la de los controles mencionados con anterioridad. Recordemos que el
diseño de carreteras busca en primer lugar la seguridad y la comodidad del
usuario y en segundo lugar minimizar el movimiento de tierras.

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Curvas verticales

  • 1. INTRODUCCIÓN El trazo de curvas se emplea en la construcción de vías para conectar dos líneas de diferente dirección o pendiente. Estas curvas son circulares y verticales. Son parábolas de Eje Vertical, tanto por la suavidad que se obtiene en la transición como por la facilidad del cálculo. La parábola se utiliza para calcular las curvas verticales en vías de comunicación. El diseño de una carretera involucra actualmente varias disciplinas, entre ellas se pueden mencionar: la topografía, la fotogrametría, los sistemas GIS, las cuales a su vez utilizan a la geometría cartesiana, la trigonometría y el cálculo entre otras. Para nuestro trabajo práctico de Construcción de una Carretera hemos usado la topografía, Nivelación y Secciones Transversales. OBJETIVOS Realizar, formular, calcular, evaluar, plantear la construcción de una carretera
  • 2. CURVAS VERTICALES Con objetos de que no existan cambios bruscos en la dirección vertical de los vehículos en movimiento de carreteras y ferrocarriles se conecta una curva en un plano vertical, denominado curva vertical. Generalmente la curva vertical es el arco de una parábola, ya que esta se adapta bien al cambio gradual de dirección y permite el cálculo rápido de las elevaciones sobre la curva. Cuando las dos pendientes forman una especie de colina, la curva se llama cresta o colina al contrario cuando se forma una depresión se llama columpio o vaguada. La pendiente se expresa en porcentaje, así una pendiente de 1 a 50 equivale al 2% ó a 0.02 m/m. Se ilustran curvas verticales en cresta y en columpio TIPOS DE CURVAS VERTICALES P2 y P1 expresadas en tanto por uno; es decir en m/m en el sistema decimal que utilizamos. Todas las distancias de las curvas verticales se miden horizontalmente y todas las coordenadas desde l prolongación de la tangente, a la curva se miden verticalmente.
  • 3. Cuando la tangente es ascendente en la dirección del cadenamiento, la pendiente es positiva, y cuando la cadena es descendiente es negativa. El diseño de las curvas verticales en cresta y en columpio, es una función de la diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes que se intersectan, de la distancia de visibilidad de parada o de rebase, las cuales a su vez son funciones de la velocidad del proyecto de los vehículos y de la altura de visión del conductor sobre la carretera; y del drenaje. Además de estos factores el diseño de las curvas verticales en columpio, dependen también de las distancias que cubren el has de la luz de los faros de los vehículos, de la comodidad del viajero y de la apariencia. Únicamente se proyectara curva vertical cuando la diferencia algebraica, entre dos pendientes sea mayor de 0.5% ya que en los casos que diferencian igual o menor de la indicada, el cambio es tan pequeño que el terreno se pierde durante la construcción. ANÁLISIS GEOMÉTRICO DE LAS CURVAS VERTICALES PCV: Punto de comienzo de la curva vertical PTV: Punto de terminación de la curva vertical PIV: Punto de intersección vertical de las tangentes P1 y P2: Pendientes de las tangentes de entrada y salida respectivamente L: Longitud total de la curva vertical Y: Ordenada del punto P en la curva vertical V: Ordenada vertical desde la prolongación de la tangente, a un punto P de la curva (V=NP) Θ: Ordenada vertical desde el vértice de la curva X: Distancia del PCV a un punto P de la curva
  • 4. La variación de la pendiente de la tangente a la curva, es constante a lo largo de ella, o sea; la segunda derivada de y con respecto a x es una constante Integrando tenemos la primera derivada de la pendiente de la parábola. De manera que:
  • 5. Integrando nuevamente para obtener “Y” obtenemos: Por otro lado obtenemos: Podemos prescindir del signo V, sabiendo que si la curva esta en el columpio, se suma la cota del tangente en el punto considerado, para encontrar el punto correspondiente de la curva y de la curva en la cresta, se restara Donde: V= Ordena vertical a la curva de la tangente.
  • 6. La cual es la ecuación de la curva parabólica y se pude utilizar para calcular las elevaciones si se conocen P1 y P2, L y la elevación de PVC. El punto más bajo o más alto de una curva vertical, es de interés frecuente para el diseño del drenaje. En el punto más bajo o más alto, la tangente en la curva vertical es cero. Con la igualación con cero de la primera derivada de Y con respecto X se obtiene: X: Es la distancia medida a partir del PVC CALCULO DE CURVAS VERTICALES SIMÉTRICAS Uno de los métodos para calcular curvas verticales se explica en el siguiente ejemplo. Un ferrocarril, una pendiente de +0.8% se cruza con otro de -0.4% en la estación 90+000 y una elevación de 100m. El cambio máximo de pendiente permitido por estación es de 0.2 (de especificaciones). Se desea proyectar una curva vertical para unir las dos pendientes. La diferencia algebraica entre las pendientes es 0.9-(-0.4)=1.2%. La longitud mínima entonces es de 7.2 -0.2= 6 estaciones o sea 120 m. Como la curva es simétrica, la longitud a cada lado de vértices es 120/2=60m. La estación de PVC es por lo tanto: Est. PVC= 90+000-60=89+940 m Y la del PTV: 90+000+60= 90+060m
  • 7. La elevación del PCV es: Elev. PCV= 100-60(0.008)= 99.52 Y la del PTV Elev. PTV = 100-60(0.004)= 99.76 Figura de la curva Calcúlese las elevaciones sobre la tangente de entrada y la tangente de salida en las estaciones cerradas. Recuerde que P1= tangente de entrada=0.8%. Así la primera elevación es 20(0.008)=0.16; sumando la elevación del PCV= 99.52. Resulta 99.68 y así mismo se calculan las restantes. Las elevaciones de la tangente aparecen en la tabla. Calcúlese el valor de V
  • 8. Donde: X1: Distancia medida desde el PCV al punto de la curva que se considere, en la rama de la izquierda. X2: Distancia medida desde el PTV al punto de la curva que se considere, en la rama derecha Entonces: Estas expresiones son generales ya que en el caso de las curvas simétricas L1=L2, La elevación de un punto de una curva vertical cualquiera estará dada según la expresión. P1 y P2 con su signo respectivo “V” se suma si la curva es el columpio y se resta, si la curva esta en cresta
  • 9. Para encontrar la posición y la elevación del punto más bajo o más alto L1: Longitud de la rama izquierda de la curva L2: Longitud de la rama derecha de la curva L: L1+L2 VM: es una línea vertical. El punto M no es un punto medio en la línea que en PCV-PTV, ni C es el punto medio de la curva ni el más bajo de ella pero se pude comprobar que: VC=CM=e
  • 10. La divergencia vertical entre las tangentes (P2-P1)m por estación, por lo tanto en las estaciones Por triángulos semejantes Despejando el valor de e Este valor por cada estación par tomado % de PCV y PIV. Estos valores aparecen en la siguiente tabla. Calcúlese las elevaciones de la curva aplicando la corrección de V a las elevaciones sobre la tangente
  • 11. Calcúlese el estacionamiento y la elevación del punto más alto Elev. del Punto más alto: 99.84 TRAZADO DE RASANTE La fijación de la rasante depende principalmente de la topografía de la zona atravesada por esta pero deben considerarse también otros factores como: Características del alineamiento horizontal Seguridad Visibilidad Rendimiento de los vehículos pesados con pendiente Velocidad del proyecto Costo de construcción TOPOGRAFÍA DEL TERRENO Llano: La altura de la rasante sobre el terreno está regulada por el drenaje. Ondulado: Se adoptan rasantes onduladas las cuales convienen tanto en razón de operación de los vehículos como por economía. Montañoso: La rasante está controlada por restricciones y condiciones por la topografía. La operación de nivelar la rasante es análoga a la nivelación de perfiles longitudinales, una vez trazada la rasante en el perfil dibujado se conoce ya su cota por cada estación. Para la nivelación de la rasante se parte por un punto de cota conocida y se prosigue como puntos de cambio. La lectura de mira que hay que fijar para colocar las estacas en la rasante propuesta, se calcula restando la cota de la rasante de la cota del instrumento. El portamira afloja la estaca y coloca la mira encima, el operador lee la mira e
  • 12. indica la mayor o menor profundidad que hay que clavar la estaca para tener la rasante pedida, el portamira clava la estaca a la profundidad indicada, haciéndose una nueva lectura y así hasta la lectura de mira sea igual que la rasante. La distancia entre los puntos que hay que determinar de la rasante depende de la clase de la obra de que la rasante sea uniforme, de que el perfil sea una curva vertical, en la construcción de vías férreas se toman rasante de 20 0 30 metros en curvas verticales, en calles y en carreteras, se toman rasantes de 20 metros.
  • 13. CONCLUSIÓN En el Diseño Geométrico de Carreteras es la parte más importante ya que nos dará una idea concreta de lo que sea nuestra carretera. Se debe tomar muy en cuenta el tipo de Topografía del terreno porque de esta se determinará su funcionalidad, su costo, su seguridad y otros aspectos importantes de ella. Las curvas verticales son diseñadas como parábolas. Su longitud se deriva de varios factores, como son: distancia de visibilidad de parada, distancia de visibilidad de rebase, comodidad del usuario, etc. Estas distancias dependen de la pendiente de entrada, la pendiente de salida y si la curva es cóncava o convexa. Se efectúan todos los controles y se aplica la longitud que salga mayor. Por supuesto, si el terreno obliga a una longitud mayor, se coloca la longitud que se adapte mejor a éste, siempre y cuando sea mayor que la de los controles mencionados con anterioridad. Recordemos que el diseño de carreteras busca en primer lugar la seguridad y la comodidad del usuario y en segundo lugar minimizar el movimiento de tierras.