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– En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que 
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asumido un papel cada vez más importante en 
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automatizados 
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¿ Por que es necesario controlar un 
proceso ? 
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• El campo de aplicación de los sistemas de 
control es muy amplia. 
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Laplace? 
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• Para poder diseñar un sistema de control 
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• MODELACIÓN MATEMÁTICA 
Nivel en un tanque 
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El rol de la transformada de 
Laplace 
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas 
Nivel en un tanque 
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Circuito eléctrico 
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El rol de la transformada de 
e t L di t 
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La función de transferencia 
• Representa el comportamiento dinámico del proceso 
• Nos indica como cambia la salida de un...
La función de transferencia 
Diagrama de bloques 
• Suspensión de un automóvil 
Entrada 
(Bache) 
Salida 
ms + bs + k del ...
La función de transferencia 
Diagrama de bloques 
• Nivel en un tanque 
Qi(s) 
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La función de transferencia 
Diagrama de bloques 
• Circuito eléctrico 
Ei(s) 
(Voltaje de entrada) 
Eo(s) 
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Propiedades y teoremas de la 
transformada de Laplace más 
utilizados en al ámbito de control 
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Propiedades y teoremas de la 
transformada de Laplace más 
utilizados en al ámbito de control 
• TEOREMA DE VALOR FINAL 
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Ejemplo aplicado: 
Intercambiador de calor 
• Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y 
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Ejemplo aplicado: 
Intercambiador de calor 
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• Ecuación diferencial que modela el intercambiador de 
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Ejemplo aplicado: 
Intercambiador de calor
Intercambiador de calor 
• Ecuación diferencial 
• Donde: 
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Intercambiador de calor 
• Linealizando 
1 
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• Evaluando en condiciones iniciales estables 
3 
• Restando (2) de (3)
Intercambiador de calor 
• Utilizando variables de desviación 
• Aplicando la transformada con Laplace
Intercambiador de calor 
• Simplificando 
• Datos físicos 
– Largo del intercambiador = 9 ft 
– Diámetro de coraza = 17 ¼’...
Intercambiador de calor 
• Calculando 
las 
constantes
Intercambiador de calor 
• Función de transferencia 
• Determine el valor final de la temperatura de salida del agua 
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Intercambiador de calor 
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Aplicaciones reales laplace instrumentacion y control

  1. 1. Aplicaciones reales de la transformada de Laplace Ing. Elvira Niño Departamento de Mecatrónica y Automatización enino@itesm.mx
  2. 2. Control de Procesos • ¿Qué es un sistema de control ? – En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse. • En el ámbito doméstico – Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios • En transportación – Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta • En la industria – Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura
  3. 3. Control de Procesos • En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología. • Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: – tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensa,ble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros
  4. 4. Ejemplos de procesos automatizados • Un moderno avión comercial
  5. 5. Ejemplos de procesos automatizados • Satélites
  6. 6. Ejemplos de procesos automatizados • Control de la concentración de un producto en un reactor químico
  7. 7. Ejemplos de procesos automatizados • Control en automóvil
  8. 8. ¿ Por que es necesario controlar un proceso ? • Incremento de la productividad • Alto costo de mano de obra • Seguridad • Alto costo de materiales • Mejorar la calidad • Reducción de tiempo de manufactura • Reducción de inventario en proceso • Certificación (mercados internacionales) • Protección del medio ambiente (desarrollo sustentable)
  9. 9. Control de Procesos • El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia. • Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente: La transformada de Laplace
  10. 10. ¿Por qué Transformada de Laplace? • En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. • Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.
  11. 11. ¿Por qué Transformada de Laplace? • El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal: • La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
  12. 12. ¿Por qué Transformada de Laplace? • De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. • Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
  13. 13. El proceso de diseño del sistema de control • Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere – Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas. – A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso. – Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.
  14. 14. Conociendo el proceso … • MODELACIÓN MATEMÁTICA Suspensión de un automóvil f(t) z(t) k b m Fuerza de entrada Desplazamiento, salida del sistema å = ( ) ( ) ( ) m d 2 z ( t ) 2 dt f t kz t b dz t dt F ma - - =
  15. 15. El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas Suspensión de un automóvil m d z t f t kz t b dz t ( ) - ( ) - ( ) = ( ) Aplicando la transformada de Laplace a cada término (considerando condiciones iniciales igual a cero) F s - kZ s - bsZ s = ms Z s ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] F ( s ) Z ( s ) ms bs k Z s = + + ( ) F s ms bs k dt dt + + = 2 2 2 2 2 1 ( ) Función de transferencia
  16. 16. Conociendo el proceso… • MODELACIÓN MATEMÁTICA Nivel en un tanque qo(t) Flujo de salida R h(t) (resistencia de la válvula) qi(t) Flujo de entrada Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento q t q t A dh t ( ) ( ) ( ) i o R h t ( ) ( ) h t A dh t R dt q t q t dt i o ( ) - 1 ( ) = ( ) = - = A (área del tanque)
  17. 17. El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas Nivel en un tanque h t A dh t R ( ) - 1 ( ) = ( ) Aplicando la transformada de Laplace ( ) 1 ( ) ( ) H s AsH s R - = Qi s ( ) = ( )( + 1 ) R 1 1 1 H s ( ) ( ) + = + = ARs R Q s As R Qi s H s As dt q t i i Función de transferencia
  18. 18. Conociendo el proceso… • MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico e t L di t ( ) ( ) ( ) 1 ( ) = + + ò 1 i ( t ) dt e ( t ) C i t dt C Ri t dt o i = ò
  19. 19. El rol de la transformada de e t L di t ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) = + + ò ò = i o Aplicando la transformada de Laplace E ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) i = + + = Combinando las ecuaciones (despejando para I(s)) E ( ) ( ) ( ) 1 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] i = + + s E s LCs RCs = + + E ( ) ( ) 1 1 1 E s ( ) ( ) 2 2 i + + = o E s LCs RCs CsE s Cs s Ls CsE s R CsE s I s E s Cs I s Cs s LsI s RI s i t dt e t C i t dt C Ri t dt i o o o o o Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas Circuito eléctrico Función de transferencia
  20. 20. La función de transferencia • Representa el comportamiento dinámico del proceso • Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada Cambio en la salida del proceso Cambio en la entrada del proceso Respuesta del proceso Función forzante Y s ( ) X s ( ) Y s ( ) X s ( ) = = • Diagrama de bloques Proceso Entrada del proceso (función forzante o estímulo) Salida del proceso (respuesta al estímulo)
  21. 21. La función de transferencia Diagrama de bloques • Suspensión de un automóvil Entrada (Bache) Salida ms + bs + k del coche) 2 (Desplazamiento 1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 104 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 10-3
  22. 22. La función de transferencia Diagrama de bloques • Nivel en un tanque Qi(s) (Aumento del flujo de entrada repentinamente) H(s) (Altura del nivel en R ARs +1 el tanque 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 20 15 10 5 0 -5 -10 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 25 20 15 10 5 0 -5 -10
  23. 23. La función de transferencia Diagrama de bloques • Circuito eléctrico Ei(s) (Voltaje de entrada) Eo(s) 1 (Voltaje de salida) 1 LCs2 + RCs + 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 104 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 104 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
  24. 24. Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control • TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN (Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo) • TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL (Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)
  25. 25. Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control • TEOREMA DE VALOR FINAL (Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta) • TEOREMA DE VALOR INICIAL (Nos indica las condiciones iniciales)
  26. 26. Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor • Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia. • En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.
  27. 27. Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor • a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F. • b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. • c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.
  28. 28. • Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
  29. 29. Intercambiador de calor • Ecuación diferencial • Donde: • Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior • (BTU/h °F ft2) • ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2) • Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F) • tv : Temperatura del vapor (°F) • te : Temperatura del agua a la entrada (°F) • ts : Temperatura del agua a la salida (°F) • (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F) • tref : Temperatura de referencia (°F) • w : Flujo de agua (lb/h) • m : Cantidad • tv,ts,tw de agua dentro de tubos (lb) : Valores en condiciones estables • Tv , Ts , W Variables de desviación
  30. 30. Intercambiador de calor • Linealizando 1 2 • Evaluando en condiciones iniciales estables 3 • Restando (2) de (3)
  31. 31. Intercambiador de calor • Utilizando variables de desviación • Aplicando la transformada con Laplace
  32. 32. Intercambiador de calor • Simplificando • Datos físicos – Largo del intercambiador = 9 ft – Diámetro de coraza = 17 ¼’’ – Flujo = 224 gal/min – Temperatura de entrada =80°F – Temperatura de salida = 185°F – Presión de vapor =150psia. – Número de tubos= 112 – Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un claro entre tubos de 0.63’’. – Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, – Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU – Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F
  33. 33. Intercambiador de calor • Calculando las constantes
  34. 34. Intercambiador de calor • Función de transferencia • Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. 0 0
  35. 35. Intercambiador de calor 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 234 224 Flujo de agua entrada 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 240 Temp de Vapor entrada Salida de Agua °T Salida de vapor 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 220 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 40 35 30 188.85 25 20 15 10 5 0 185
  36. 36. La respuesta del proceso en el tiempo Transformada Inversa De Laplace 3.792464 5007.25 7.63766 ( ) ( ) b a s v v x T s K K T s K t t T s K ö çè 20 7.573947 10 ö çè ( ) 0.381883 Expansión en fracciones parciales 2.213928 ( ) 4.458658 ö çè ( ) ( ) ( ) ( s ) s b s s a s s s s s s T s s s s s s s s s T s s s s s s W s s W s T s s s s 1 2 1 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 0.583772 0.583772 0.583772 0.583772 1.712995 1 1.712995 1 1.712995 1 1.712995 1 5007.25 1 20 1 ( ) ( ) ( ) 20 ( ) 5007.25 1 ( ) 1 ( ) - + + - + = + - + = + - + = ÷ø æ + + - ÷øö çè æ + = = ÷ø æ + + ÷ø æ + = = = + + + = - t t
  37. 37. La respuesta del proceso en el tiempo Transformada Inversa De Laplace æ 0.583772 4.458658 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s 4.458658 s s ö = 4.458658 0.583772 2.213928 s s æ 2.213928 s s ö ö ö =- =- 2.213928 - = - = ÷ ÷ø = 0 7.637670 3.792453 + + + ( ) 7.637670 4.458658 ( ) ( ) 2.213928 - s s s s a s a s b s b s T s s + + æ æ ç çè = - - - 0.583772 0.583772 T t = - e + + e - + Tss = emperatur ( ) 7.637670 7.637670 3.792453 3.792453 (Tss t a inicial de salida) T ( t ) ( t ) s t e e Tss t t s s s s s = - - - + = = - - = ÷ ÷ø ç çè + = + = = ÷ ÷ø ç çè + = = - - = ÷ ÷ø ç çè + = + - - 0.583772 0.583772 2 0.583772 1 0 2 0.583772 1 ( ) 7.6376701 3.7924531 3.792453 0.583772 0.583772 3.792453 0.583772 0.583772 3.792453 0.583772 0.583772 7.6376 0.583772 0.583772 7.6376 0.583772 0.583772
  38. 38. El sistema de control automático Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin control) Tv(s) (Aumento de la temperatura de vapor a la entrada ) Ts(s) (Aumento en la temperatura de agua a la salida) K t 1 s + 1 1 Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control) 0.3819 Controlador 1.713 s + 1 + - Valor deseado Acción de control Variable controlada
  39. 39. La ecuación del controlador • ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID é m t Kc e t e t dt de t ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = + ò + êë Aplicando la transformada de Laplace êë é dt t d M(s) Kc E(s) 1 ( ) ( ) E s sE s s t i = + + t d Kc E(s) 1 E ( s ) sE ( s ) t i = + + ù úû é êë M s ( ) E s s é t i Kc 1 1 = + + êë ù úû ù úû ù úû s ( ) M s ( ) E s s t d t i t d ( ) Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido
  40. 40. El sistema de control automático Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control) 0.3819 Variable s + controlada ÷ø ö 1 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 (el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada) 1.713 1 + - Valor deseado Acción de control çè æ Kc + + t s t d i s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 X: 0.683 Y: 4.91 0 -1 0 1 2 3 4 5
  41. 41. La respuesta del sistema de control de nivel • Comparación del sistema en lazo abierto (sin control) y en lazo cerrado (con control) 0 2 4 6 8 10 12 6 5 4 3 2 1 0 X: 0.683 Y: 4.91 X: 6.873 Y: 4.91 Con control Sin control
  42. 42. ¿ Preguntas ? Ing. Elvira Niño Departamento de Mecatrónica y Automatización enino@itesm.mx Aulas 7, 3er piso -- LD - 306 - H
  43. 43. Actividad para realizar en casa • Un sistema de suspensión simplificada de un automóvil se puede representar por la figura siguiente: • Las ecuaciones diferenciales que modelan al sistema están dadas por: k y t x t b dy t ( ) = ( ) - ( ) + æ ( ) - ( ) ( ) ( ) dx t ö çè ( ) ( ) ( ) ÷ø k y t x t b dy t = - - - æ - - + ÷ø dx t ö dt çè dt m d x t m d y t dt k u t x t dt dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1
  44. 44. Actividad para realizar en casa a) Obtén la función de transferencia Y s ( ) U s ( ) (Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar Y(s)/U(s) ) b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm, k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg. Si se le aplica una cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función. c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel, matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]

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