Divergencia

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Divergencia

  1. 1. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ Octubre 2004, Para casanchi.com LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN COORDENADAS RECTÁNGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS: Del teorema de la divergencia, se tiene: ∫∫ = SV Sdfdfdiv rrr .).( τ y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3: 333 3 222 2 111 1 )..()..()..().( dqSdf q dqSdf q dqSdf q dfdiv rrrrrrr ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =τ Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas: En estas coordenadas es: dxdydSdzdxdSdzdydS qqq === 321 ,.,. Y también es el elemento diferencial de volumen dzdydxd ..=τ Por tanto: 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 321 ... .. 1 ... .. 1 ... .. 1 )( )..()..()...().( x f x f x f dxdzdy x f dzdydx dxdzdy x f dzdydx dxdzdy x f dzdydx fdiv dzdxdyf z dydxdzf y dxdzdyf x dfdiv ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =⇒ ⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = r r τ 3 3 2 2 1 1 )( x f x f x f fdiv ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = r Expresión en coordenadas esféricas: En estas coordenadas es: θρρφρθρφθθρ dddSddsendSddsendS qqq ..,...,... === 321 2 Y también es φθρθρτ dddsend ....2 = Por tanto:
  2. 2. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ Octubre 2004, Para casanchi.com φ φ θρρ φθρθρ θ θ φρθρ φθρθρ ρ ρ φθθρ φθρθρ φ φ θ θ ρ ρ τ φθρ d ddf dddsen d ddsenf dddsen d ddsenf dddsen fdiv ddSfddSfddSfdfdiv . )...( .... 1 . )....( .... 1 . )....( ... 1 )( )..()..()..().( 3 2 2 2 2 1 2 321 ∂ ∂ + + ∂ ∂ + + ∂ ∂ =⇒ ⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = r r O sea: φθρθ θ θρρ ρ ρ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = )( . 1.).( .. 1).(1 )( 32 2 1 2 f sen senf sen f fdiv r Expresión en coordenadas cilíndricas: En estas coordenadas es: φρρρφρ dddSdhddSdhddS qqq ..... === 321 Y también es dhddd ... φρρτ = Por tanto: dh h ddf dhdd d dhdf dhdd d dhdf dhdd fdiv dhdSf h ddSfddSfdfdiv h . )...( ..... 1 . )..( ... 1 . )..( ... 1 )( )..()..()..().( 3 2 1 321 ∂ ∂ + + ∂ ∂ + + ∂ ∂ =⇒ ⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = φρρ φρρ φ φ ρ φρρ ρ ρ φρ φρρ φ φ ρ ρ τ φρ r r Finalmente: h fff fdiv ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = )()(1)( . 1 )( 321 φρρ ρ ρ r
  3. 3. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ Octubre 2004, Para casanchi.com En resumen: En cartesianas: 3 3 2 2 1 1 . x f x f x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ rr En esféricas: φθρθ θ θρρ ρ ρ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ )( . 1.).( .. 1).(1 . 32 2 1 2 f sen senf sen f f rr En cilíndricas: h fff f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ )()(1)( . 1 . 321 φρρ ρ ρ rr

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