Gradiente

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Gradiente

  1. 1. Gradientes y derivadas direccionales Alexander Holguín Villa Departamento de Matemáticas, FCEN Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia e-mail: ahvi03@matematicas.udea.edu.co alexholguinvilla@gmail.com Abstract En la sección 2:1 estudiamos las grá…cas de funciones con valo- res reales. Ahora retomaremos este estudio usando los métodos del cálculo. Especí…camente, los gradientes se usarán para obtener una fórmula para el plano tangente a una super…cie de nivel. Keywords: Gradiente, derivadas direccionales, plano tangente.. 1 Gradientes y derivadas direccionales De…nición 1.1 Si f : U R3 ! R es diferenciable, el gradiente de f en (x; y; z) es el vector en el espacio dado por rf = @f @x ; @f @y ; @f @z . Este vector también se denota por rf (x; y; z). Así, rf es simplemente la matriz derivada Df, dispuesta como vector. Sea f : U R3 ! R a valores reales ! v; ! x 2 R3 y consideremos la función dada por t 7! f ! x + t ! v . Note que el conjunto de puntos de la forma ! x + t ! v, t 2 R es la recta L que pasa por ! x y es paralela al vector ! v, 1
  2. 2. dada por l (t) = ! x + t ! v. Además t 7! f ! x + t ! v = fjL: ¿Con qué rapidez cambian los valores de f a lo largo de L en el punto ! x? Dado que la razón de cambio de una función está dada por una derivada, la respuesta será: es el valor de la derivada de esta función de t en t = 0 (t = 0 ! ! x +t ! v = ! x). Esto debería ser la derivada de f en ! x en la dirección de ! v. De…nición 1.2 f : U Rn ! Rm . Dado ! u 2 Rn j n! O o , se de…ne f0 ! a; ! u = lim t!0 f ! a + t ! u f ! a t siempre que este último límite exista. Nótese que este límite depende de ambos ! a y ! u, por lo que es denominado la derivada de f en ! a en la dirección de ! u, (En cálculo se requiere que este último vector sea unitario, pero tal condición no es necesaria). Ejemplo 1.3 f : R2 ! R dada por f (x; y) = xy. Determinar f0 ! a; ! u , con ! a = (a1; a2) y ! u (0; 1). 2
  3. 3. f0 ! a; ! u = lim t!0 f ((a1; a2) + t (0; 1)) f ((a1; a2)) t f0 ! a; ! u = lim t!0 a1 (a2 + t) a1a2 t = a2 Teorema 1.4 Si f : U R3 ! R diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales (en dirección de ! u 6= ! O) existen y además f0 ! a; ! u = rf ! a ! u Observación 1.5 Como f0 ! x; ! u = rf ! x cos ( ), para ! u = ^ u uni- tario y = rf ! x ; ^ u , por tanto: Se tendrá un máximo si = 0 rad y, en este caso rf ! x y ^ u tienen igual dirección y sentido. Ahora se tiene un mínimo si = rad, luego rf ! x y ^ u tienen sentido contrario. Adicionalmente para una partícula que se de- splaza sobre la super…cie que de…ne f, ésta lo hará a nivel constante, es decir z = k, si rf ! x ! u = 0, es decir rf ! a ? ! u; así: Teorema 1.6 Supongamos que rf ! x 6= ! O. Entonces rf ! x apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido. Ejemplo 1.7 (Dirección de máximo crecimiento) Si la temperatura en cada punto (x; y; z) viene dada por T (x; y; z) = 85 + (1 z=100) e (x2+y2 ) hallar en P0 (2; 0; 99) la dirección en que la temperatura crece más rápido. rT (x; y; z) = e (x2+y2 ) ( 2x (1 z=100) ; 2y (1 z=100) ; ( 1=100)), así: rT (2; 0; 99) = 1 25 e 4 ; 0; 1 100 e 4 3
  4. 4. Para hallar un vector unitario paralelo al anterior multiplicamos la anterior expresiónpor 100e4 , por tanto: ! u = ( 4; 0; 1) ! ^ u = 1 p 17 ( 4; 0; 1) que es la dirección en la que T crece más rápido. Ejemplo 1.8 Calcular f0 ! x; ^ u en P0 (0; 1) para el cual ^ u es unitario en la dirección de ! P0Q, Q (3; 5). Además determinar en P0, para el cual f0 ! x; ^ u es máxima, si f (x; y) = ex tan 1 (y). ! PQ = (3; 4) ! ^ u = 1 5 (3; 4). Además fx = ex tan 1 (y), fy = ex 1 + y2 , luego f0 (0; 1) ; ^ u = ^ u rf ((0; 1)) = 1 5 (3; 4) ( =4; 1=2) = 1 5 3 4 + 2 Ahora bien, D^ u f es máxima cuando rf y ^ u tienen la misma dirección y sentido, por tanto: ^ u = rf ((0; 1)) krf ((0; 1))k = ( ; 2) p 2 + 4 luego para determinar f0 ! x; ^ u es máxima si: f0 (0; 1) ; ^ u = ^ u rf ((0; 1)) = p 2 + 4 4 Ejemplo 1.9 Suponga que la temperatura en un punto (x; y; z) 2 R3 está dada por T (x; y; z) = 80 (1 + x2 + 2y2 + 3z2) donde T se mide en grados Celsius; x; y; z, en metros. ¿En qué dirección aumenta la temperatura con más rapidez en el punto (1; 1; 2)?¿Cuál es la máxima razón de cambio? 4
  5. 5. rT = 160 (1 + x2 + 2y2 + 3z2) ( x; 2y; 3z) ) la temperatura aumenta con mayor rapidez en la dirección del vector rT (1; 1; 2) = 5 8 ( 1; 2; 6) o equivalentemente en del vector ( 1; 2; 6) ! 1 p 41 ( 1; 2; 6) = ^ u La máxima razón de incremento es respecto a la longitud del vector gradiente krT (1; 1; 2)k = 5 8 p 41 Ejercicios 1.10 1. La ecuación de la super…cie de una montaña es z = 1200 3x2 2y2 (distancia en metros), el eje Ex apunta al este, el Ey al norte. Un montañista se encuentra en el punto P0 ( 10; 5; 850). (a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada? Ilustre grá…- camente en el plano xy. (b) ¿Si el montañista se desplaza en dirección este, asciende o des- ciende y a qué razón? ¿Qúe sucede por cada metro que avance en el Ex? Ilustre. (c) ¿Si lo hace en dirección suroeste, asciende o desciende y a qué razón? Ayuda: Sea ^ u = (cos ( ) ; sen ( )). (d) ¿En que dirección recorre una trayectoria a nivel, estando en el punto P0? Ayuda: Halle ^ u = (u1; u2) tal que ^ u rf (10; 5) = 0. 2. Suponga que, en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dado por V (x; y; z) = 5x2 3xy + xyz: (a) Encuentre la razón de cambio del potencial en P0 (3; 4; 5), en la dirección del vector ! u = (1; 1; 1) (b) ¿En qué dirección cambia V más rápidamente en P? (c) ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P? 5
  6. 6. 1.1 Gradiente y super…cies de nivel de una función f A continuación veremos la relación entre el gradiente asociado a una fun- ción dada f y sus super…cies de nivel. Ya conocemos que el gradiente rf apunta en la dirección de más rápido crecimiento de los valores de f, mien- tras que una super…cie de nivel está en las direcciones en las que esos valores no cambian. Si el comportamiento de f es su…cientemente bueno, el gradi- ente y la super…cie de nivel serán perpendiculares en cierto sentido, como se establecerá. Teorema 1.11 (Gradiente e snormal a la super…cie) Sea f : U R3 ! R una aplicación de clase C1 y (x0; y0; z0) un punto sobre la super…cie de nivel S f (x; y; z) = k, para k constante. Entonces rf (x0; y0; z0) es perpendicular a la super…cie S en el siguiente sentido: si ! v es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c (t) en S con c (0) = (x0; y0; z0), entonces rf (x0; y0; z0) ! v = 0. Prueba. Sea c (t) en S; entonces (f c) (t) = k y sea ! v como en la hipótesis; entonces ! v = c (0). Por tanto, de lo anterior y la regla de l acadena, setiene que 0 = d dt f (c (t)) = rf ! v (0) ! v Del anterior resultado e sbastante razonable de…nir el plano tangente a S como el plano ortogonal al gradiente: De…nición 1.12 (Planos tangentes a las super…cies de nivel) Sea S := f(x; y; z) : f (x; y; z) = k; k 2 Rg. El plano tangente a S en el punto (x0; y0; z0) de S está dado por rf ! v (0) : rf (x0; y0z0) (x x0; y y0; z z0) = 0 Ejemplo 1.13 Hallar t (1; 1; 1) de 3xy2 + xyz2 = 4. rf (x; y; z) = (3y2 + yz2 ; 6xy + xz2 ; 2xyz), luego: t (1; 1; 1) : rf (1; 1; 1) (x 1; y 1; z 1) = 0 ) 4x + 7y + 2z = 13 (veri…carlo). 6
  7. 7. Observación 1.14 Con frecuencia los diversos autores se re…eren a rf como el campo vectorial gradiente; esto debido al hecho que rf asigna un vector a cada punto en el dominio de f: Ejemplo 1.15 (Ejemplo 6 del libro pág. 150 151) La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria m en el punto (x; y; z) pro- ducida por una masa M en el origen en R3 , de acuerdo a la ley de grav- itación universal de Newton, est ´ adada por ! F = GmM r2 ^ n (1) donde G es una constante; r = ! r = p x2 + y2 + z2 es la distancia de (x; y; z) al origen y ^ n = ! r ! r el vector unitario en la dirección del vector posición ! r = (x; y; z). Notemos que ! F = r GmM r = rV , es decir, ! F es el negativo del po- tencial gravitacional V = GmM r . Finalmente notemos que la expresión 1 indica que ! F está dirigido hacia adentro, es decir hacia el origen y, las super…cies de nivel de V son esferas. ! F es normal a estas esferas, lo que con…rma elresultado del Teorema 1:11. 7

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