Polinomios

MATEMÁTICAS 3.º ESO
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Unidad 3: Polinomios

El Álgebra, la parte de las Matemáticas de

3 Polinomios la que los polinomios son la base, nació
con los árabes en Bagdad en el siglo IX.
La palabra árabe “álgebra” alude al hábil
manejo de los cálculos con signos, similar
a la maestría de los autores del intricado
arte decorativo árabe.

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Árabes y matemáticas

Enlace a la Casa de la Sabiduría
de Bagdad y la ciencia islámica

Enlace a una historia
de la Matemática árabe

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Esquema de contenidos

Polinomios

Monomios
Concepto
Monomios semejantes Polinomios
Conceptos
Grado
Valor numérico
Operaciones con polinomios
Suma y resta
Multiplicación
División Igualdades notables
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Fracciones algebraicas
Suma por diferencia
Simplificación

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División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.
Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite
en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.

Para que pueda
realizarse la división,
el grado del dividendo
debe ser mayor que el
del divisor.

SIGUIENTE

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en cada paso.

3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
Disponemos los
polinomios dividendo y
divisor, dejando huecos
en el dividendo cuando
falte una potencia.

SIGUIENTE

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en cada paso.

3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
3x2 Dividimos el primer
monomio del dividendo
por el primero del divisor
y el resultado es el
primero del cociente.

SIGUIENTE

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en cada paso.

3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3x2 Multiplicamos ese
monomio por todo el
divisor y el resultado,
cambiado de signo, se
pone bajo el dividendo.

SIGUIENTE

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en cada paso.

3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 Se repite el proceso
3 x 2 – 2x
hasta que el polinomio
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 resultante del dividendo
sea de grado menor
que el del divisor.

SIGUIENTE

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en cada paso.

3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4
Que no se te olvide
+ 2 x3 + 6 x 2– 2 x
cambiar el signo….

SIGUIENTE

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en cada paso.

3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4
+ 2 x3 + 6 x 2– 2 x
9x2 –4

SIGUIENTE

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en cada paso.

3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4
+ 2 x3 + 6 x 2– 2 x
9x2 –4
– 9 x 2 – 27x + 9

SIGUIENTE

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en cada paso.

3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1
– 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9 Puesto que el grado del
polinomio resultante es
– 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 menor que el del divisor,
+ 2 x3 + 6 x 2– 2 x la división ha terminado.

9x2 –4
– 9 x 2 – 27x + 9
Resultado:
– 27x + 5 Cociente: 3 x 2 – 2x + 9
Resto: – 27x + 5

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Identidades notables: Cuadrado de una suma

Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la
expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes
la figura:
En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el
cuadrado grande es mayor que la suma de los
cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).

SIGUIENTE

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Identidades notables: Cuadrado de una suma

Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la
expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes
la figura:
En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el
cuadrado grande es mayor que la suma de los
cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).

La expresión correcta es: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
Lo puedes ver en la figura y podrás verlo mejor en la imagen dinámica a la que
accedes haciendo clic en el enlace siguiente:
Cuadrado suma

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Identidades notables: Cuadrado de una diferencia

La expresión (a – b)2, llamada cuadrado de la diferencia se desarrolla, al quitar
paréntesis, así:

(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2

SIGUIENTE

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Identidades notables: Cuadrado de una diferencia

La expresión (a – b) 2 llamada cuadrado de una diferencia se desarrolla, al quitar
paréntesis, así:

(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2

Lo podrás ver bien si accedes, haciendo clic en el enlace siguiente, a la imagen
dinámica correspondiente:

Cuadrado diferencia

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Identidades notables: Diferencia de cuadrados

La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al
producto (a + b) por (a – b). Es decir:

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

SIGUIENTE

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Identidades notables: Diferencia de cuadrados

La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al
producto (a + b) por (a – b). Es decir:

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

Puedes comprobar esta identidad en la imagen que sigue al enlace:

Diferencia de cuadrados

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Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como
ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:

a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1

SIGUIENTE

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a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1

Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has
de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.

x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
  x2  5 ó   x5
x x x x

SIGUIENTE

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a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1

Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has
de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.

x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
  x2  5 ó   x5
x x x x
La correcta es la expresión de la derecha, en la que hemos simplificado un factor
de TODO el numerador. En la primera, x sólo ha sido eliminado en un sumando.
Basta con que hagas las pruebas de las dos divisiones para certificarlo:

x (x2 + 5) = x3 + 5 x ≠ x 2 + 5 x x (x + 5) = x 2 + 5 x
SIGUIENTE

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a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1

x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x

SIGUIENTE

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a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1

x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x
En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor
común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:

SIGUIENTE

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a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1

x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x
x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1
y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):

SIGUIENTE

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a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1

x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x
x y + x + y + 1 = x (y + 1 ) + y +1
y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):
x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 = (x + 1) · (y +1)
Se va a poder simplificar la fracción del caso b): SIGUIENTE

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a) x 2  5x b) xy  x  y  1
x x 1

x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)
a)   x2  5 ó   x5
x x x x

b) xy  x  y  1 x( y  1)  y  1 ( x  1) ( y  1)
   y 1
x 1 x 1 x 1

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Enlaces de interés

Actividades y Diccionario Actividades de la BBC

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Actividad: Moquetas de superficies variables

Dirección:
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/MOQUETTES.PDF

Aparecen aquí diversas situaciones en
las que, al enmoquetar el suelo de una
habitación, surgen expresiones
polinómicas.

Para conocerlo, sigue este enlace.

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