propuesta didáctica

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propuesta didáctica

  1. 1. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN ÁREA: MATEMÁTICA CÁTEDRA: TALLER DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA DESCUBRIENDO LOS NÚMEROS COMPLEJOS Integrantes: Br: Peña Lucy CI 17 340 174 Br: Rosales Yadira CI 17 523 480 Prof. Yazmary Rondón Mérida; Noviembre 2013
  2. 2. INTRODUCCIÓN Descubriendo Los Números Complejos, se trata de una propuesta didáctica dirigida a estudiantes de Cuarto Año de Educación Media General. Con la finalidad de llevar una nueva experiencia didáctica al aula de clase, la propuesta se basa en el modelo Van Hiele, diseñado en 1957 por un matrimonio holandés (los Van Hiele), el cual se encuentra fundamentado en las fases de la enseñanza y los niveles de pensamiento de la geometría. La teoría se encasilla dentro de la didáctica de la matemática y específicamente en la didáctica de la Geometría, en atención a esta perspectiva, el aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles de pensamiento, desde este enfoque, los Van Hiele proponen cinco fases secuenciales de enseñanza como lo son: Fase 1: Información. Fase 2: Orientación dirigida. Fase 3: Explicitación. Fase 4: Orientación libre. Fase 5: Integración. Apegado a este modelo; se ha desarrollado la propuesta didáctica sobre Números Complejos, para proponer al docente de matemática estrategias didácticas que pueda utilizar como modelo para innovar sus propias estrategias en el aula de clase, específicamente en las clases de geometría. En tal sentido, con las estrategias que se proponen, se pretende indicar: actividades, ejercicios y problemas que harán más efectivo el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría, en este caso basado en la forma binómica y trigonométrica (o polar) de los Números Complejos. Por último, es preciso destacar, que no todos los estudiantes aprenden de la misma manera, sin embargo, es posible estimular a los estudiantes haciendo uso de diferentes estrategias durante el proceso de enseñanza, para producir un aprendizaje sólido y duradero, lo cual debería ser el objetivo de todo docente. 2
  3. 3. Objetivo General Contribuir con el mejoramiento de la enseñanza y aprendizaje de la geometría mediante una propuesta didáctica, que le permita al docente innovar en la planificación metodológica de la geometría. Objetivos Específicos  Examinar el nivel de conocimiento de los estudiantes acerca del tema de números complejos, por medio de una lluvia de ideas.  Esquematizar la historia de los números desde sus inicios hasta los números complejos, utilizando como recurso didáctico diapositivas.  Organizar los contenidos geométricos relacionados a los números complejos.  Diseñar actividades en torno a las fases de enseñanza.  Implementar un recurso didáctico. Tiempo de Ejecución: 6 horas (tres clases). Fase I y fase II: 2 horas (una clase). Fase II y Fase IV: 2 horas (una clase). Culminación Fase IV y Fase V: 2 horas (una clase). Fases de Enseñanza Fase I Información: En ésta fase se aplicará una lluvia de ideas para determinar cuáles son los conocimientos previos, que los estudiantes tienen acerca de los Números Complejos. Las preguntas a abordar en la lluvia de ideas son: 3
  4. 4. 1. ¿Cuáles son los números naturales? 2. ¿Cuál es la diferencia entre números naturales y números enteros? 3. Mencionen un número racional 4. ¿A qué conjunto pertenecen los números: 0,6,-2, .π, , ? 5. ¿Cómo es un número Complejo? 6. ¿Con cuál letra del abecedario se denota el conjunto de los números complejos? 7. ¿Qué es un par ordenado? 8. ¿Qué significa RxR? A través de esta de esta dinámica se determinará el camino a seguir y se harán las aclaraciones pertinentes. Fase II Orientación dirigida: Antes de dar inicio al tema de Números Complejos, se hará un breve repaso sobre los otros conjuntos numéricos, se comenzará con los números naturales. Los números naturales se denotan con la letra N, como se observa N = { 1, 2, 3, … ,} y su representación gráfica: 1 2 3 4 5 6 Los números naturales comprenden el conjunto de los números que se utilizan para contar y con ellos se puede realizar operaciones de suma y multiplicación. A medida que transcurrió el tiempo la necesidad de comunicarse ideas que concernían cantidades era cada vez mas exigentes, por ejemplo; 7 – 7 = 0, 3(pertenencia) – 6(deuda) = -3(deuda); razonamientos como estos se siguieron durante mucho tiempo, hasta que se introducen los números negativos y el cero (0) surgiendo de esta manera el conjunto de los números 4
  5. 5. enteros y denota con la letra Z = {, … , -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, … ,} y su representación grafica: -4 -2 -3 -1 1 0 2 3 4 Con el conjunto de los números enteros la resta era posible y x + 3 = 0 entonces x = - 3. Estos números y las operaciones que se pueden realizar con ellos, fue todo lo que necesito la humanidad por siglos. Pero, si se está contando objetos el resultado debe ser por ejemplo: 4 ó 5, el resultado no podía ser entre 4 y 5. Sin embargo ¿cuántas horas han estudiado los estudiantes? Puede tener una respuesta: “entre 2 y 3 horas”. En tal sentido, el tiempo es algo que no se puede contar, sino algo que se mide, cuenta y medición se maneja de forma diferente. Por tanto, para medir el tiempo o la longitud, los números deben ser continuos, el espacio entre números enteros debe llenarse con números intermedios y a estos números intermedios se les llama “fracciones” o “quebrados”. , , Con estos números surge el conjunto de los números racionales y se denota por la letra Q. Su representación gráfica: -2 -1 - - 1 0 - También surgen otros números como: , , 2 que no estaban incluidos en ninguno de los conjuntos anteriores, pues poseen infinitas cifras decimales no periódicas. A estos números se les llamo números irracionales y con ellos surge el conjunto de los números I. -3 - -2 - -1 0 1 2 3 5
  6. 6. Ahora bien, los números reales son la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales (Q U I), se denota con la letra R. R Q I Representación gráfica: -3 - -2 -1 - 0 1 2 3 ¿De donde surgen los números complejos? Resulta, que existen ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, por ejemplo: x2 + 7 = 0 no tiene solución en R, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado de -7. Para solucionar problemas en los que aparezcan raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los números reales R, construyendo un nuevo conjunto, C. Representación grafica de un Número Complejo: Antes que nada, consideremos un sistema de coordenadas cartesiano en donde se tienen dos ejes perpendiculares que se cortan en el origen. El eje de abscisas que recibe el nombre de eje real y el eje de ordenadas que recibe el nombre de eje imaginario. 6
  7. 7. De manera que R sea subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de las operaciones y todos los números tengan raíz cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria. Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al cuadrado da – 1. Número Complejo en forma binómica: Una expresión de la forma a+bi en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la parte unidad imaginaria, se denomina número complejo, a+bi es la forma binómica del número complejo. Donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Es decir: (a,b) = a(1,0) + b(0,1) por convención se acordó llamar a: a(1,0) = a (a,b) = a + bi z = a + bi b(0,1) = bi Observación:  a se representa sobre el eje real,  b se representa sobre el eje imaginario.  Si b=0, el complejo a+bi se identifica con el número real a.  Si a=0, el número complejo a+bi tiene sólo parte imaginaria, y recibe el nombre de imaginario puro.  Si a=0 y b=0, el complejo a+bi es el complejo 0. Ejemplo1: Dado el número complejo z = 3 + 2i. Su representación gráfica viene a ser: Im 3i z= 3 + 2i 2i 1i 5 0 1 2 3 Re 4 7
  8. 8. Ejemplo2: Dado el número complejo z = -4 (real puro). Representación gráfica. Im Re 0 -4 Ejemplo3: Dado el número complejo z = 4 (real puro). Representación gráfica. Im Re 0 Ejemplo4: Dado 1 el 2 número 3 4 complejo z = -4i (imaginario puro). Representación gráfica. Im 0 Re 4i Ejemplo5: Dado el número complejo z = 4i (imaginario puro). Representación gráfica. 8
  9. 9. Im 4i Re 0 Número Complejo en forma Trigonométrica o polar: Un número complejo de la forma Z = a + bi tiene su representación geométrica como un punto en el plano y también puede ser expresado en un sistema de coordenadas polares de la siguiente forma: Im Im (a,b) b r α α α a 0 Z = a+ bi bi r b ó α α α a Re 0 Re i a Cada complejo Z = a + bi se representa por un vector con origen en el origen de coordenadas 0= (0,0) y extremo en el punto P(a,b) ó z=a+bi. Para ubicar el punto (a,b) ó z en el plano, las coordenadas a y b (rectangulares) son sustituidas por las coordenadas r y α (polares). De donde α es el ángulo medido desde el eje real positivo y r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto (a,b) ó z. De acuerdo a la disposición de los ejes y el segmento dado, se ha formado un triángulo rectángulo con catetos a y b, e hipotenusa dada por r. Usando el teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud del segmento r; veamos r = hipotenusa r = = b α α a α b = Cateto Opuesto a = Cateto Adyacente = = = = 9
  10. 10. Por Teorema de Pitágoras: r= es el módulo del número complejo.  La formula = = la podemos escribir como: = Ahora despejemos b de  = Primero multiplicamos por a ambos lados de la igualdad =  De esta forma obtenemos: b=  La formula = =b = la podemos escribir como: = Ahora despejemos a de  = Primero multiplicamos por a ambos lados de la igualdad = De esta forma obtenemos: =a a= Así obtenemos: a=r y b=r Luego; z = a + bi = r + i*r z = a + bi = r*( ) z = a + bi = r*cisα (forma abreviada)   La fórmula = la podemos escribir como: = Ahora despejemos α de  Aplicamos a ambos lados de la igualdad la inversa de la tangente: arc tg ó (arc tg)  = Así obtenemos: α = arc tg = (arc tg) (argumento del número complejo). 10
  11. 11. Ejemplo2: Dado el número complejo z = 2 + 2i representar gráficamente y expresarlo en forma trigonométrica o polar. Solución:  Primero, hacemos la representación gráfica del número complejo Im 2 r Z = 2 + 2i 2i r 0 α α 2 α 2 α α α 2 2 Re  Sobre el triángulo que se nos forma calculamos r y α r 2 α α 2 α α = ángulo medido desde el eje x (positivo) = argumento de z r= r= r= r= r= r=2  Ahora calculamos el argumento del número complejo α = arc tg Observación: α = arc tg α = 45º 11
  12. 12.  Finalmente: z = a + bi = r( z = 2 + 2i = 2 ) = r*cisα ( )=2 *cis45º Fase III Explicitación: En esta fase se formarán mesas de trabajo, organizando a los estudiantes en grupos de 4 ó 5 personas. Se les facilitará a los estudiantes fichas con palabras claves, para estimularlos a realizar un mapa conceptual de lo que han aprendido hasta el momento; es decir, utilizando los conocimientos previos, los estudiantes deberán ser capaces de construir su propio mapa conceptual, esto permitirá observar si realmente los estudiantes han logrado consolidar como mínimo, los números que pertenecen a cada conjunto numérico u/o lo que diferencia a un conjunto numérico de otro. La estrategia a utilizar también permitirá diagnosticar las dudas que se puedan presentar, en particular, la estrategia tiene como objetivo asegurar que el paso a la siguiente fase sea sólido, en otras palabras, que los estudiantes estén claros y seguros de sus conocimientos, lo cual facilitará la resolución de ejercicios. 12
  13. 13. Fase IV: Orientación libre: En esta fase se continuará con las mesas de trabajo, anteriormente organizadas, y se procederá a la resolución de los siguientes ejercicios: 1. ¿Cuáles son las partes real e imaginaria de los siguientes complejos?  7+    3 + 2i 2. Representar en forma trigonométrica los números:  i  -i  -3  +   4 – 3i Fase V Integración: Por último se aplicará un juego didáctico que les va permitir a los estudiantes integrar los conocimientos que adquirieron durante el desarrollo de Números Complejos y demostrar lo aprendido. Para tal actividad se diseñará un rompecabezas. Descripción del recurso didáctico: Se parte de la idea de elaborar un hexágono y elaborar seis triángulos dentro del hexágono, a su vez se elaborarán tres triángulos dentro de cada triángulo. 13
  14. 14. Se les indicará a los estudiantes que ubiquen en cada triángulo grande un conjunto numérico, para ello, deberán colocar los números correspondiente al conjunto en los triángulos pequeños. Ejemplo: I ∏ ℓ 14
  15. 15. Anexos: 15
  16. 16. Resumen El modelo Van Hiele se enfoca en que el aprendizaje de la Geometría se logra pasando por unos determinados niveles de pensamiento y conocimiento. Que no van asociados a la edad y que sólo alcanzado un nivel se puede pasar al siguiente. Según los Van Hiele, alcanzar un nivel superior de pensamiento significa, que con un nuevo orden de pensamiento, una persona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevos objetos. Es importante señalar algunas ideas previas al modelo y referidas a los estudiantes, que basadas en la experiencia del trabajo con ellos y ellas del modelo Van Hiele, marcan el diseño del modelo. Se puede señalar entre otras cosas, que en la base del aprendizaje de la Geometría, hay dos elementos importantes el lenguaje utilizado y el significado de los contenidos. Lo primero implica que los niveles, y su adquisición, van muy unidos al dominio del lenguaje adecuado y, lo segundo, que sólo van a asimilar aquello que les es presentado a nivel de su razonamiento. Si no es así se debe esperar a que lo alcancen para enseñarles un contenido matemático nuevo. En consecuencia, no hay un método para alcanzar un nivel nuevo. Sin embargo, mediante actividades y enseñanzas apropiadas se puede predisponer a los estudiantes para su adquisición. Los Van Hiele enfatizan en la idea que “el paso de un nivel a otro depende más de la enseñanza recibida que de la edad o madurez”, es decir, dan una gran importancia a la organización del proceso de enseñanzaaprendizaje así como a las actividades diseñadas y los materiales utilizados. Las fases que postulan en su modelo son cinco y que, a continuación, se mencionan: Fase 1: Información. Fase 2: Orientación dirigida. Fase 3: Explicitación. Fase 4: Orientación libre. Fase 5: Integración. 16
  17. 17. Mérida 30 de Octubre del 2013 Clase1: La primera clase inicio con un breve saludo a los estudiantes, y se les pidió a los estudiantes que cada uno se presentara y respondiera a la siguiente pregunta: ¿te gusta la matemática?, la respuesta de todos los estudiantes fue ¡no!, parecía que ninguno quería saber nada de la matemática y si pudieran la eliminarían del planeta, pero si se les preguntaba las razones o las causas por lo cual no le gusta la matemática sus respuestas eran muy vanas (vacías), algunos simplemente respondían porque era complicada, otros porque había que resolver ejercicios, y si se les preguntaba si preferían leer entonces la lectura les parecía aburrida. En fin las razones por la cuales no les gusta la matemática son sólo escusas. Es necesario romper el esquema que los estudiantes traen programado en su cerebro sobre la matemática, lo cual es difícil para el docente, pero no imposible. La clase continuó con la lluvia de ideas, a lo cual los estudiantes no se mostraron muy animados con las preguntas sin embargo en su mayoría participaron. Posteriormente se comenzó con el repaso de los conjuntos numéricos, donde se observó que los estudiantes identifican el conjunto de los números naturales, los enteros y las letras con las cuales se denotan. Presentando dificultad en los racionales, debido a que lo veían como un número entero, para aclararlo se realizó la representación gráfica de los naturales y los enteros, luego se comenzó hacer ejercicios sobre como realizar la representación gráfica de un número racional. Para ello se les explico de la siguiente manera: a Significa el desplazamiento desde cero. Dividiendo la unidad: b Significa el número de divisiones de la unidad. Con la práctica sucesiva de algunos quebrados tanto positivos como negativos, ejemplo: , , los estudiantes lograron comprender la diferencia entre un quebrado y un número entero, además de ello lo representaron gráficamente. Para ello se les enseño un ejemplo en la pizarra y luego se les coloco otros quebrados para que los estudiantes lo realizaran en clase. La clase cerro, con la representación gráfica de los números: naturales, enteros, y racionales. Observación: Se tenia previsto para la primera clase: la fase I y la fase II, lo cual no se pudo lograr debido a que fue necesario dedicar tiempo para la representación gráfica de los quebrados. 17
  18. 18. Mérida 01 de Noviembre del 2013 Clase 2: La segunda clase inicio con un breve repaso sobre la clase anterior, para luego continuar con el conjunto de los números irracionales y el conjunto de los números reales, recordándoles que los números naturales (N) están contenidos en los enteros (Z) y los números enteros están contenidos en los racionales (Q). En tal sentido, el conjunto de los números reales (R) nace de la unión del conjunto de los números Racionales y los números Irracionales, en otras palabras (Q U I), además se realizo la representación gráfica de los números reales en la recta real, explicándoles que para representar los números reales se usa un sistema ordenado llamado recta real ó eje x. Su dirección positiva a la derecha de cero y su dirección negativa a la izquierda de cero. Luego, se inició con los números complejos, a manera de un cuento breve se partió de la ecuación x2 +7 = 0, para explicarles de donde surgen los números complejos. Se les explico, que tal ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, es decir, que al despejar x se obtiene x = se observa que no existe ningún número real que elevado al cuadrado de . Aclarándoles, que para solucionar problemas en los que aparezcan raíces de números negativos, fue preciso ampliar el conjunto de los números reales, construyendo un nuevo conjunto llamado el conjunto de los números complejos y se denota con la letra C. Una vez explicado el porque de los números complejos, se comenzó con la representación gráfica de un número complejo, para ello se consideró un sistema de coordenadas cartesianas de ejes perpendiculares que se cortan en el origen, con la diferencia de que en este nuevo sistema, el eje de las abscisa se identificaría como eje real y el eje de las ordenadas se identificaría como eje imaginario. Posteriormente se comenzó con la representación gráfica de un número complejo en su forma binómica, para ello se utilizó la expresión general a + bi, la cual se denotó como z = a + bi e identificándoles la parte real, imaginaria y la unidad imaginaria. Se realizó un ejemplo y su representación gráfica, además se propusieron ejercicios para que los estudiantes los realizaran en el aula de clase de forma individual, con la intención de observar si los estudiantes habían comprendido, descartar posibles dudas y a su vez inducirlos a la práctica. La clase cerró con la realización de ejercicios, como: z=-4, z=4, z=-4i, z=4i. Observaciones:  El despeje de la ecuación x2 +7 = 0 se realizó paso a paso, utilizando propiedades de potenciación, sin embargo los estudiantes mostraron debilidad en el proceso, por lo cual fue necesario explicarlo varias veces. 18
  19. 19.  Surgió un hecho curioso, al designar la expresión a + bi como z = a + bi, a z lo relacionaron con el conjunto de los números enteros (pensaban que era el mismo Z), la confusión se aclaró explicándoles, que para designar un número complejo podemos utilizar cualquier letra del abecedario siempre y cuando sean diferentes de la parte real y de la parte imaginaria, ejemplo p = a + bi y la letra Z que utilizamos para denotar el conjunto de los números enteros siempre va ser la misma y se escribe en letra mayúscula.  En la segunda clase no se concluyó la fase II. Mérida 06 de Noviembre del 2013 Clase 3: La tercera clase inició con un breve repaso de la clase anterior, haciendo énfasis en la representación gráfica e identificando eje imaginario y eje real. Para continuar con la representación gráfica de un número complejo en su forma trigonométrica o polar, primero se les dibujó un triángulo rectángulo con la finalidad de utilizar el teorema de Pitágoras, se les pidió identificar la hipotenusa, el cateto adyacente, el cateto opuesto y despejar la hipotenusa, esta actividad permitió dar paso a las siguientes razones: = = = = = posteriormente se les indico que z = a + bi = r ( ) es la forma trigonométrica o polar de expresar un número complejo. Para explicar con mayor detalle se propuso un ejercicio donde se pedía representar gráficamente un número complejo y expresarlo en forma trigonométrica o polar. A medida que se fue desarrollando el ejercicio se fue explicando paso a paso quien era r, quien era el ángulo α y como hallarlos. El proceso se dio de una forma muy pausada tratando de que los estudiantes intervinieran, o nos diesen aviso cuando no entendieran. La clase cerró con la aplicación de la fase III. Los estudiantes fueron organizados por grupos para que realizasen su propio mapa mental de lo aprendido hasta el momento, allí se pudieron observar logros y fallas, en su mayoría los estudiantes identificaban los distintos tipos de números, sin embargo cuando se encontraban con un número complejo (una raíz imaginaria) y un número irracional (una raíz) dudaban a cual conjunto pertenecían cada 19
  20. 20. uno. La aplicación de la estrategia permitió reforzar aquellos estudiantes que no habían quedado claros o que aun tenían dudas y no las habían manifestado. Observaciones:  En la tercera clase se concluyó con la fase II y se inicio la fase III.  Se concluyó la fase III.  Para la fase IV se había planificado mesas de trabajo para la resolución de ejercicios a fin de ejercitar mas a los estudiantes, lo cual no se pudo ejecutar porque el profesor de la cátedra nos pidió que se realizara un examen, para ello nos cedió un día mas de clase. Se elaboró un examen muy sencillo basado en lo que se dio en clase. Mérida 08 de Noviembre del 2013 Se aplicó el examen de números complejos, el examen se diseño para ser resuelto en un tiempo estimado de una hora. Una vez que los estudiantes terminaron el examen, se finalizó con la fase V. La aplicación del juego didáctico. Observaciones:  Durante el desarrollo del examen se observaron debilidades en operaciones básicas, puede deberse a dificultades no resueltas de años anteriores.  Durante el desarrollo del juego didáctico, se observó que los estudiantes estaban seguros de cada pieza que armaban. Cada grupo logro armar su rompecabezas. Observaciones Generales:  Tres clases no son suficientes para dar todo el tema de números complejos, sin embargo los profesores pueden abarcar los tópicos mas importantes del tema (Definición, representación gráfica en forma binómica y trigonométrica) de esta manera los estudiantes conocerán otro conjunto numérico aparte de los reales. 20
  21. 21. Conclusión El método de fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele permitió el logro de aprendizaje de conocimientos conceptuales y procedimentales en el área de la geometría, específicamente en el contenido de números complejos. El propósito principal de la cátedra de Taller de la Enseñanza de la Geometría se refiere al mejoramiento de las habilidades y destreza del estudiante (futuro docente) para comprender y aplicar los conocimientos geométricos, lo cual es alcanzable con la práctica de la metodología propuesta en la Teoría de Van Hiele, ya que contribuye a que los individuos puedan percibir la estructura del conocimiento geométrico, explorar las relaciones entre la teoría y el método y establecer conclusiones acerca de posibles soluciones a la situación planteada. Los docentes que decidan usar esta metodología de enseñanza, deben revisar previamente y en forma exhaustiva las bases y procedimientos de la Teoría de Van Hiele, puesto que es fundamental la capacidad didáctica del docente y la previa planificación de actividades concretas. Todas las actividades que se planifiquen deberán estar enfocadas en potenciar el razonamiento geométrico del estudiante en el contexto de la realidad, nacional y sobre todo basado en experiencias significativas. Bibliografía Rivero Mendoza, Francisco. (2001). Una Introducción a lo Números Complejos. (Mérida - Venezuela). Educación Media. Naturaleza Matemática (Cuarto Año). Gobierno Bolivariano de Venezuela. 21

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