UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
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INTRODUCCIÓN
La propuesta que se ha diseñado se enfoca bajo el modelo Van Hiele, el cual
consta de cinco fases que se pret...
OBJETIVO GENERAL:


Contribuir al mejoramiento en 4to. Año de Educación Media General del
proceso de enseñanza y aprendiz...
estudiante, si conoce qué es un ángulo, cómo se denota, medida de ángulos, si
distingue que es un triángulo rectángulo y e...
1.1.- Definición de ángulo.
Es una figura que se forma por dos semirrectas que parten de un punto en común,
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¿Cuál es la medida de un ángulo generado al dar un giro de

de revolución contra

reloj?
Solución:
Como una revolución cor...
Dónde:
S=longitud del arco
r=longitud del radio
θ=ángulo en radianes
Ejemplo 3:
Encuentra la longitud del arco correspondi...
Razón: Es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí.
Los términos de una razón se llaman: antece...
triángulo con una letra minúscula que se corresponde con la letra mayúscula del
vértice opuesto.

La relación fundamental ...
Es la relación entre la medida del lado opuesto al ángulo α y la medida de la
hipotenusa.

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Ejemplo 1:
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Para el triáng...
Donde a=

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Determinar el valor de cos β y cos α.
De forma que:

1.3.3.- Tangente de un ángulo.
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Ahora bien, vemos las razones trigonométricas que se presentan a continuación,
pues son las razones recíprocas del seno, c...
1.3.5.- Secante de un ángulo.
Es la relación entre la medida de la hipotenusa y la medida del cateto adyacente al
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La hipotenusa del triángulo mide:
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=2,02cm

Luego:

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Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°,
dibujamos un triángulo equilátero de longitud de ...
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Podemos entonces escribir:

Analicemos ahora que pasa cuando un ángulo es tan pequeño que su valor ...
En palabras, lo anterior puede expresarse así: el ángulo α tiende a cero grados, el
cateto a tiende a cero y la hipotenusa...
A medida que ángulo α crece, acercándose a 90°, tanto la hipotenusa c como el
cateto a crecen indefinidamente tendiendo am...
Cierre: se asignará una actividad para que las resuelvan en sus casas (la cual la
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ha sido diseñado con el propósito de que los alumnos utilicen sus habilidades y
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CONCLUSIONES
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Niveles de razonamiento: Describe los distintos tipos de cuerpos geométricos
de los estudiantes a lo largo de su formación...
Imágenes.
Guía de ejercicios.
1. Expresa el ángulo 120,256° en grados, minutos y segundos.
2. Expresa el ángulo de 60°45´20´´ en gra...
10. Determina las seis razones trigonométricas de los ángulos agudos θ y β
mostrados en las siguientes figuras:

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Test.
1. Expresa los siguientes ángulos en grados:
a) -45°70´15´´
b) 60´12´´
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  1. 1. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN CÁTEDRA: TALLER DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA ÁREA MATEMÁTICA PROPUESTA DE ORIENTACIÓN DIDÁCTICA DIRIGIDA A ESTUDIANTES DE 4TO. AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA GENERAL PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. BACHILLERES: THANIA MÁRQUEZ C.I: V-19997322 ERICSON GUTIERREZ C.I: V-20397987 PROFESORA: YAZMARY RONDÓN ASIGNATURA: TALLER DE GEOMETRÍA MÉRIDA; NOVIEMBRE DE 2013
  2. 2. INTRODUCCIÓN La propuesta que se ha diseñado se enfoca bajo el modelo Van Hiele, el cual consta de cinco fases que se pretende desarrollar en el transcurso de tres clases y las cuales están dirigidas a estudiantes de 4to. Año de Educación Media General, con la finalidad de generar un mejor desenvolvimiento en cuanto a la enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométricas; de manera tal que las clases están organizadas con el propósito de fomentar la participación, creatividad, imaginación e ingenio y así lograr que el estudiante acceda a algún nivel de razonamiento superior al cual presenta actualmente. El modelo de Van Hiele está basado en la didáctica de la matemática que describe las maneras o formas de razonamiento de los estudiantes en geometría; formado por dos partes: las fases de enseñanza y los niveles de razonamiento. Este modelo servirá para organizar de una forma más adecuada la manera de planificar los distintos contenidos geométricos que se aplican en las etapas desde primaria hasta Educación Media General; es decir, el profesor hará uso de ciertas técnicas y mediante la utilización de herramientas didácticas logrará que los estudiantes adquieran los conocimientos necesarios para su formación académica y profesional.
  3. 3. OBJETIVO GENERAL:  Contribuir al mejoramiento en 4to. Año de Educación Media General del proceso de enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométricas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Diagnosticar los conocimientos previos.  Promover la participación de los estudiantes.  Desarrollar la creatividad e ingenio del estudiante de manera tal que utilice sus habilidades y destrezas para aprender.  Motivar e incentivar al estudiante por medio de varias actividades didácticas para que de esta manera demuestre interés por aprender el contenido.  Ejercitar al estudiante mediante el desarrollo de varios problemas con el propósito de que analice las propiedades y características de las razones trigonométricas.  Aplicar un recurso didáctico. DESARROLLO Se propone desarrollar las fases de enseñanza en el transcurso de tres clases que constan de 1:30 hora/min. CLASE I: Se desarrollarán las fases I: Información y II: Orientación dirigida del modelo de Van Hiele. Inicio: la clase comenzará con su respectivo saludo y presentación del contenido a tratar, dando una breve explicación sobre qué significa la trigonometría y de dónde proviene. Desarrollo: mediante una lluvia de ideas trataremos de indagar sobre los conocimientos previos acerca de las razones trigonométricas que presenta el
  4. 4. estudiante, si conoce qué es un ángulo, cómo se denota, medida de ángulos, si distingue que es un triángulo rectángulo y en general si presenta algún tipo de noción sobre las razones trigonométricas; con base en la información recopilada verificaremos si están orientados o desorientados con el contenido a tratar. Y así proceder a desarrollar la fase siguiente. Luego nos dedicaremos a ciertos conceptos, definiciones y propiedades acerca de las razones trigonométricas, los cuales son: 1.- Las razones trigonométricas. La palabra trigonometría se origina de los vocablos griegos “Trigon” (Triángulo) y “Metros” (Medida). En ese sentido, trigonometría significa medida de triángulos. Ampliando este significado, diremos que la trigonometría se ocupa de la relación entre los ángulos de un triángulo y los lados que forman al mismo. Sin embargo, la solución de triángulos no es el único aspecto que estudia la trigonometría. El estudio de las funciones trigonométricas y sus propiedades constituyen motivos de interés para diversos campos del saber. En física, ingeniería, astronomía, arquitectura y aun en fenómenos biológicos es necesario el uso de las funciones trigonométricas. El desarrollo de la trigonometría data de viejos tiempos. Los comienzos de la trigonometría como método para la solución de triángulos se iniciaron con los primeros astrónomos (150 a.C.) para resolver los problemas de las posiciones y movimientos aparentes de estrellas y planetas. Luego los griegos, hindúes y árabes (450 a 1200 d.C.) se basaron en los conocimientos antiguos y desarrollaron nuevos conceptos. Posteriormente, el desarrollo de la trigonometría en Europa permitió pasar de la solución de triángulos al análisis trigonométrico propiamente dicho, haciendo más énfasis en el estudio de las funciones trigonométricas y sus usos en una gran variedad de campos.
  5. 5. 1.1.- Definición de ángulo. Es una figura que se forma por dos semirrectas que parten de un punto en común, a las semirrectas se les llama lados del ángulo y al punto común vértice. 1.2.- Medidas de ángulos. Grados. Radianes. Los ángulos pueden ser expresados en varias unidades de medidas. Una de ellas es la medida en grados. Un grado (1º) es la medida de un ángulo formado al girar el lado inicial de una revolución. Una revolución completa corresponde a 360º, media revolución (un ángulo llano) corresponde a 180º y un cuarto de revolución corresponde a 90º. A veces se utilizan también submúltiplos de un grado como el minuto y el segundo, de manera que: Cada salto de una unidad a otra significa una multiplicación o división por 60. Si se va hacia abajo (de una unidad mayor a una menor) se multiplica, mientras que si se va a hacia arriba (de una unidad menor una mayor) se divide. Un ángulo expresado en grados, minutos y segundos puede adoptar formas como 13° 10´ 12´´. Ejemplo 1:
  6. 6. ¿Cuál es la medida de un ángulo generado al dar un giro de de revolución contra reloj? Solución: Como una revolución corresponde 360°, de revolución corresponde a: =60° Ejemplo 2: Expresa el ángulo 50° 30´ 15´´ en grados. Solución: 50°=50° 30´: 15´´: 0,00416° (2 saltos hacia arriba, 60x60= 3600) Luego 50°30´15´´ equivalen a 50°+0,5°+0,00416°=50,504°. Un Radián es la medida de un ángulo que tiene su vértice en el centro de un círculo y subtiende un arco sobre la circunferencia del círculo de igual longitud al radio r. Existe una relación sencilla entre el arco subtendido y el ángulo expresado en radianes. Esta es:
  7. 7. Dónde: S=longitud del arco r=longitud del radio θ=ángulo en radianes Ejemplo 3: Encuentra la longitud del arco correspondiente a un ángulo de 120° con r=2,5 m. Solución: Primero reducimos 120° a radianes: 360°-----2 radianes 120°----- x El valor del ángulo de 120° en radianes es: Luego; = 5,23m Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; por lo tanto, un ángulo de 180° corresponde a π radianes. Entonces tenemos lo siguiente: a. Multiplica los grados por b. Multiplica los radianes por para convertirlos en radianes. para convertirlos en grados. Triángulo: Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir; no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Triángulo rectángulo: Un triángulo rectángulo es todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados.
  8. 8. Razón: Es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí. Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor. La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de base es: . No hay que confundir razón con fracción. Si es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la razón los números a y b pueden ser decimales. Círculo trigonométrico: Es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. A través del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios. 1.3.- Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Los lados que forman el ángulo recto se conocen como catetos, mientras que el tercer lado se le conoce como hipotenusa. Es usual designar los lados de un
  9. 9. triángulo con una letra minúscula que se corresponde con la letra mayúscula del vértice opuesto. La relación fundamental entre los lados de un triángulo rectángulo está dada por el Teorema de Pitágoras. A α c b α β C B a Así; para el triángulo anterior puede escribirse como: Es necesario recordar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es entonces para la figura anterior: De donde: Relación que establece que en un triángulo rectángulo la suma de sus ángulos agudos es igual a . complementarios. 1.3.1.- Seno de un ángulo. A los ángulos α y β se les conoce como ángulos
  10. 10. Es la relación entre la medida del lado opuesto al ángulo α y la medida de la hipotenusa. A Ejemplo 1: α Para el triángulo rectángulo ABC: c b α β B C a Donde a= 2,5 cm b=3 cm c= Determinar el valor de sen α y sen β. De forma que: 1.3.2.- Coseno de un ángulo. Es la relación entre la medida del lado adyacente al ángulo α y la medida de la hipotenusa. Ejemplo 2: Para el triángulo rectángulo ABC: B c a β α C b A
  11. 11. Donde a= cm, b=3cm y c= = =3,61cm Determinar el valor de cos β y cos α. De forma que: 1.3.3.- Tangente de un ángulo. Es la relación entre la medida del cateto opuesto al ángulo α y la medida del cateto adyacente al ángulo α. Ejemplo 3: Para el triángulo rectángulo ABC: B c β a A α C Donde a=2 y b=4cm b Determinar el valor de tan α y tan β. De forma que: c= Así; = = =5,29cm
  12. 12. Ahora bien, vemos las razones trigonométricas que se presentan a continuación, pues son las razones recíprocas del seno, coseno y tangente. Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo: Secante: (abreviado como sec) es la razón reciproca de coseno, o también su inverso multiplicativo. Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón reciproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo: Normalmente se emplean las relaciones trigonométr icas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse. 1.3.4.- Cosecante de un ángulo. Es la relación entre la medida de la hipotenusa y la medida del cateto opuesto al ángulo α.
  13. 13. 1.3.5.- Secante de un ángulo. Es la relación entre la medida de la hipotenusa y la medida del cateto adyacente al ángulo α. 1.3.6.- Cotangente de un ángulo. Es la relación entre la medida del cateto adyacente al α y la medida del cateto opuesto al ángulo α. Ejemplo 4: Dado el siguiente triángulo rectángulo ABC: A c b α B a a) con a= cm y b=2cm. Determinar la csc α. Solución: C
  14. 14. La hipotenusa del triángulo mide: c= = = =2,02cm Luego: b) con b=6cm, c= 7,21cm y cos α=0,55. Determinar la sec α. Solución: El cateto a mide: Luego: c) con a=2,5cm, c=4,06 y sen α=0,78. Determinar la cotg α. Solución: El cateto b mide: Luego: 1.4.- Razones trigonométricas de ángulos de .
  15. 15. Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, dibujamos un triángulo equilátero de longitud de lado igual a 2 unidades. Recordemos que en un triángulo equilátero los ángulos internos miden todos 60° y que la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto, divide a dicho lado en 2 iguales y bisecta a uno de los ángulos. Usando el Teorema de Pitágoras obtenemos la medida del lado BD mostrado en la siguiente figura: B B 2 2 A 2 C 2 30° 60° A C 1 D 1 A partir de esta última construcción, obtenemos: = Para el ángulo de 60°: = = = En el caso del ángulo de 45°, construimos un triángulo rectángulo de catetos cuya longitud es la unidad. Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es igual a Como se muestra en la siguiente figura: .
  16. 16. B 45° 1 45° A C 1 Podemos entonces escribir: Analicemos ahora que pasa cuando un ángulo es tan pequeño que su valor se acerca a cero. Para ello observemos la siguiente figura: B c a A C b Veamos que a medida que el ángulo BAC se hace más pequeño, el cateto opuesto, a, se acerca a cero, mientras que la longitud de la hipotenusa se acerca a la longitud del cateto adyacente. Esto podemos simbolizarlo de la siguiente manera: α 0° a c
  17. 17. En palabras, lo anterior puede expresarse así: el ángulo α tiende a cero grados, el cateto a tiende a cero y la hipotenusa c tiende a b. A medida que a se hace más cercano a cero, su valor puede reemplazarse por 0°, la longitud de a puede reemplazarse por cero y la hipotenusa c puede reemplazarse por el cateto b. entonces, podemos escribir: (Indefinido) Cos0°= = Sec0°= = (Indefinido) En los casos de Csc0° y Ctg0°, obtenemos una división por 0 cuyo resultado es indefinido. Sabemos que cuando dividimos por un número muy pequeño, el resultado es muy grande. Podemos entonces establecer que los valores de Cscα y Ctgα, aunque indefinidos cuando , se hacen muy grandes. Simbólicamente esto se expresa de la siguiente manera: α 0° que se lee: “cuando Cscα Ctg tiende a cero grados, cscα y ctgα tienden a infinito.” Finalmente, consideramos que sucede cuando α . Para ello, observamos la siguiente figura: B c a A C b
  18. 18. A medida que ángulo α crece, acercándose a 90°, tanto la hipotenusa c como el cateto a crecen indefinidamente tendiendo ambos al mismo valor. El cateto b se hace mucho más pequeño que a o c ( ). Simbólicamente, podemos describir esto de la siguiente manera: α 0° a De acuerdo a lo anterior, podemos escribir: =1 Cos90°= Sec90°= α (Ya que el denominador es muy grande). En la tabla siguiente se resumen los valores de las razones trigonométricas para el ángulo 0º, 30º, 60º, 45º, 90º.
  19. 19. Cierre: se asignará una actividad para que las resuelvan en sus casas (la cual la pueden resolver en grupo) donde se pondrá en práctica todo lo discutido en clase con el fin de que vayan preparados para la clase siguiente donde tendrán que explicar y compartir con todo el grupo de estudio como resolvieron la actividad. Clase II: se desarrollará la fase III: Explicitación Y IV: Orientación libre del modelo de Van Hiele Inicio: se introducirá la clase con el respectivo saludo y además se hará una síntesis sobre los puntos más importantes y relevantes estudiados en la clase anterior, así como también se les hará saber que participarán en dos actividades importantes: pasarán a la pizarra y luego realizarán un test. Desarrollo: procederemos a pasar a los estudiantes al pizarrón con el propósito de que comenten y expliquen de qué manera resolvieron la actividad y si tienen alguna duda entonces la aclararemos a todo el grupo, esto puede resultar beneficioso porque puede que la duda que tenga un estudiante la presente otro y así se irán despejando dudas y aclarando ideas de la manera más conveniente. Luego de que los estudiantes hayan podido organizar sus ideas y entender o comprender mejor las razones trigonométricas mediante el diálogo en grupo y la ejercitación en el pizarrón se le entregará a cada estudiante un test a desarrollar en clase para así medir el grado de conocimiento que presenta el alumno sobre el contenido en curso. Cierre: se les pedirá a los estudiantes que repasen y analicen los valores de las razones trigonométricas para los ángulos pues en la clase siguiente se trabajará con ello. Clase III: se desarrollara la última fase: Integración del modelo de Van Hiele. Inicio: se dará el saludo respectivo y se comentará sobre las instrucciones de la actividad a realizar en dicha clase. Desarrollo: llevaremos a cabo una actividad mediante un recurso didáctico el cual
  20. 20. ha sido diseñado con el propósito de que los alumnos utilicen sus habilidades y destrezas para encajar en su memoria los valores de las razones trigonométricas de los ángulos; dicho recurso será una especie de un juego de memoria que los estudiantes trabajarán en grupos. Descripción del recurso: Trigo-memoria. El recurso didáctico, está compuesto por 60 fichas, las cuales contienen las seis razones trigonométricas de los ángulos: 0°,30°,45°, 60° y 90°. El juego se basa en encontrar parejas de fichas equivalentes, es decir; una de las fichas contendrá el nombre de la razón trigonométrica con su respectivo ángulo y la otra su valor. Se pretende usar este recurso con el fin de que los estudiantes logren integrar el contenido estudiado y asimilen la información en lo que respecta a los diferentes valores de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Instrucciones: 1. Se elegirán los estudiantes a participar en dos grupos de tres personas. 2. Las fichas estarán encubiertas, así los estudiantes elegirán dos fichas cualesquiera y trataran de agrupar las que son equivalentes. 3. Gana el grupo que mayor número de parejas de fichas ha logrado conseguir durante el juego. Cierre: se discutirá sobre cómo les pareció el tema y qué tan accesible se les presentó, así los estudiantes tendrán la oportunidad de expresar todas sus experiencias y nosotros daremos las sugerencias respectivas. Nivel de razonamiento a alcanzar: Con esta propuesta los estudiantes serán capaces de llegar a desenvolverse en el nivel de análisis, ya que pues además de conocer las definiciones y conceptos podrán resolver planteamientos basándose en las propiedades que presentan las razones trigonométricas.
  21. 21. CONCLUSIONES Para enseñar matemática es conveniente indagar sobre una serie de factores que pueden resultar útiles en el aula de clase, es por ello; que debemos utilizar la didáctica como recurso para enseñar, aunque estemos acostumbrados a ver las matemáticas como algo serio donde no caben este tipo de cosas podemos intentar cambiar esa mentalidad e incluir todos aquellos factores que favorecen el proceso enseñanza-aprendizaje. El modelo de Van Hiele permite que como futuros profesores nos centremos a trabajar la geometría de manera sistemática y organizada llevando a cabo una serie de pasos instructivos; ya que un estudiante sólo podrá comprender aquella parte de la geometría si el profesor le presenta de manera adecuada el contenido de acuerdo a su nivel de razonamiento actual sin dar saltos y sobregiros. Si un contenido geométrico no puede ser expresado en cierto nivel de razonamiento que presente el alumno será necesario que el profesor ayude a que el estudiante obtenga lo antes posible un nivel de razonamiento superior para presentarle tal contenido, el profesor logrará que esto suceda si y sólo si brinda una enseñanza adecuada sin obligar al estudiante a razonar de una determinada forma. Por otra parte, se utilizó como recurso didáctico para la integración del contenido el juego de memoria en el que trabajamos con los valores de las razones trigonométricas; ya que nos pareció interesante porque un juego bien elegido lo podemos utilizar para dar la introducción a algún tema, para ayudar a comprender y analizar conceptos y contenidos; así como también para afianzar los ya adquiridos, como en este caso. Otra ventaja es que mantendremos a los alumnos animados, motivados y divertidos mientras ellos colocan a prueba sus habilidades y destrezas.
  22. 22. RECOMENDACIONES  Es importante implementar propuestas pedagógicas de este nivel, porque los estudiantes accederán a los conocimientos geométricos de una manera más eficaz; ya que la didáctica así como la organización y la secuencia de las clases favorecen el aprendizaje.  Es necesario que para enseñar cualquier contenido se planifique y organice con anterioridad y bajo ciertas pautas la programación que se desee impartir a los estudiantes.  Mostrar dominio del tema para no crear confusiones e inseguridad.  Llevar un control del tiempo el cual se ha destinado para desarrollar el contenido.  Crear un ambiente de disciplina por parte de los estudiantes para favorecer el proceso de enseñanza y aprendizaje.  Ser lo más interactivo posible para que así los estudiantes tengan la oportunidad de participar y dialogar sobre los aspectos que le parecen relevantes; así se lograra que se aprenda en conjunto y de una manera íntegra.
  23. 23. ANEXOS Modelo Van Hiele: En la didáctica de la geometría ha tenido una fuerte influencia el trabajo desarrollado por Pierre Van Hiele y Dina Van Hiele para comprender y orientar el desarrollo del pensamiento geométrico de los estudiantes. El modelo es conocido como el de “los niveles de Van Hiele” comenzó a proponerse en 1959, pero continúa siendo útil para organizar el currículo de geometría en la educación primaria y secundaria. Fases de enseñanza: describe cómo un profesor puede organizar la actividad de sus clases para conseguir que sus alumnos sean capaces de acceder al nivel de razonamiento superior al que tienen actualmente. Las fases de aprendizaje propuestas por Van Hiele son cinco las cuales son: 1. Información: Acá el profesor descubrirá que conocimientos presenta el alumno acerca del tema a tratar, así mismo informará sobre los conocimientos básicos imprescindibles para que los estudiantes centren su atención en el trabajo por realizar. 2. Orientación dirigida: El objetivo principal de esta fase es conseguir que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan cuáles son los conceptos, definiciones y propiedades acerca del contenido. 3. Explicitación: En esta fase los estudiantes intercambian experiencias, explican cómo han resuelto las actividades, comentan sobre las dudas, inquietudes e inconvenientes que han presentado, todo esto dentro de un contexto de diálogo en grupo. 4. Orientación libre: En este momento los alumnos deberán aplicar de forma individual los conocimientos que acaban de adquirir a otras investigaciones diferentes de las anteriores. 5. Integración: Acá los estudiantes deben adquirir una visión general del contenido estudiado, así el profesor puede utilizar un recurso que implique comprensiones globales donde se acumule compare y combine cosas que ya conoce.
  24. 24. Niveles de razonamiento: Describe los distintos tipos de cuerpos geométricos de los estudiantes a lo largo de su formación matemática, que van desde el razonamiento visual de los niños de preescolar hasta el formal y abstracto de las facultades de Ciencias. Así el modelo de Van Hiele propone cinco niveles: 1.- Nivel 0 (reconocimiento): en este nivel los objetos se percibe en su totalidad como un todo sin diferenciar sus características y propiedades. 2.- Nivel 1 (análisis): perciben propiedades de los objetos geométricos y pueden describir objetos a través de sus propiedades. 3.- Nivel 2 (ordenamiento): describen los objetos de manera formal y son capaces de seguir demostraciones. 4.- Nivel 3 (deducción formal): realizan deducciones y demostraciones y entienden la naturaleza axiomática. 5.- Nivel 4 (rigor): se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos.
  25. 25. Imágenes.
  26. 26. Guía de ejercicios. 1. Expresa el ángulo 120,256° en grados, minutos y segundos. 2. Expresa el ángulo de 60°45´20´´ en grados. 3. ¿Cuánto mide un ángulo de 360° en radianes? 4. Un ángulo central de un círculo de radio 0,75m subtiende un arco de 0,30m. ¿Cuál es la medida del ángulo en grados? 5. ¿Cuál ángulo se genera al dar: a) Un giro de b) Un giro de de revolución contra reloj? de revolución a favor del reloj? 6. Expresa los siguientes ángulos en grados: a) 50°20´ b) -10´´ c) 150°70´20´´ 7. Expresa los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos: a) 75,28° b) -38,496° c) 0,49° 8. Convierte los siguientes grados en radianes: a) 60° b) 270° c) 120° d) -180° 9. Convierte los siguientes ángulos a grados: a) b) c) d)
  27. 27. 10. Determina las seis razones trigonométricas de los ángulos agudos θ y β mostrados en las siguientes figuras: B B 4 3 2 θ β A C C A 5 (a) (b)
  28. 28. Test. 1. Expresa los siguientes ángulos en grados: a) -45°70´15´´ b) 60´12´´ c) 81°57´25´´ 2. Expresa los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos: a) 754,34° b) -380,56° c) 12,395° 3. Convierte los siguientes grados en radianes. a) 330° b) -150° c) -510° d) 45° 4. Convierte los siguientes ángulos, expresados en radianes a grados: a) b) c) d) 5. Determina las seis razones trigonométricas para los siguientes ángulos agudos: 1 β 3 α 3 θ 4 4 (a) α θ 5 (b) (c)
  29. 29. Recurso didáctico: Trigomemoria. 0 1 1
  30. 30. 0 0 1
  31. 31. 2 1 1
  32. 32. 2 1 0
  33. 33. REFERENCIAS Duarte, A., Moya, A., Míguez, Á., Torres, C., Silva, D., Vásquez, F. et al. (2012). Naturaleza matemática. Caracas, Distrito Capital: Colección Bicentenario. Figuera, J. (2006). Matemática. Cumaná, Edo. Sucre: Colegial Bolivariana.

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