Cap29

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:21 a.m.
`

Exerc´cios Resolvidos de Teoria Eletromagn´ tica
ı e
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de F´sica Te´ rica
ı o
Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
ı

Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´sica
ı

Mat´ ria para a SEGUNDA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro
e ¸˜ ¸˜
“Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
ı

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte´
udo 29.2.1 Trabalho, energia e FEM . . . . 2
29.2.2 Diferencas de potencial . . . . .
¸ 2
29 Circuitos El´ tricos
e 2 29.2.3 Circuitos de malhas m´ ltiplas .
u 4
29.1 Quest˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 2 29.2.4 Instrumentos de medidas el´ tricas
e 7
29.2 Problemas e Exerc´cios . . . . . . . . .
ı 2 29.2.5 Circuitos RC . . . . . . . . . . 9

Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para
a o jgallas @ if.ufrgs.br
(lista2.tex)

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 1 de 12
a

`

29 Circuitos El´ tricos
e
Uma determinada bateria de autom´ vel cuja fem e de
o ´
V F
V tem uma carga inicial de W SF
CV
A h. Supondo que
29.1 Quest˜ es
o a diferenca de potencial entre seus terminais permaneca
¸ ¸
constante at´ que a bateria esteja completamente descar-
e
regada, por quantas horas ela poder´ fornecer energia na
a
Q 29-1. taxa de W? YXF
CC
¡ N˜ o. O sentido convencional da fem e sempre do
a ´ ´
¡ `
Se e a taxa com a qual a bateria entrega energia e
terminal negativo para o terminal positivo da bateria, in- ´ a #$
e o tempo, ent˜ o $cba
# ` ¤
e a energia entregue
´
! $ #
dependentemente do sentido da corrente que atravessa a num tempo . Se e a carga que passa atrav´ s da bate-
´ e
bateria. ria no tempo ¦ $
#
e e a fem da bateria, ent˜ o
´ a . d¥
¦! ¤
Igualando-se as duas express˜ es para e resolvendo-se
o
Q 29-4.
para , temos # $
¡ Para medir a fem use um volt´metro com uma re-
ı A h
g h8F¥¤ 6 QfF@26 DWC QF CDQfF2 ¤ `¦ ! ¤e#$
g V V horas
V
sistˆ ncia elevada e ligue os terminais do aparelho aos
e W C
terminais da bateria sem nenhum outro circuito conec-
tado a bateria. Para medir a resistˆ ncia interna da bate-
` e
ria, utilize uma pequena resistˆ ncia em s´ rie juntamente 29.2.2 Diferencas de potencial
e e ¸
com um amper´metro (tamb´ m em s´ rie). A seguir meca
ı e e ¸
¢
a ddp atrav´ s dos terminais da bateria e a corrente ,
e £
P 29-5.
que passa no circuito s´ rie considerado. Calcule a re-
e
sistˆ ncia interna da bateria mediante a seguinte relacao: Na Figura 29-18,
e ¸˜ Ve usr¦ Qp5h¦
t ¤ q VF ¤ i
V. Qual e o sen-
´
tido da corrente no resistor? Que fem est´ realizando
a
©§¥¢
£ ¨ ¦ ¤ v 4
trabalho positivo? Que ponto, ou , apresenta o mais
alto potencial?
¡
O sentido da corrente e anti-hor´ rio, determinado pe-
´ a
29.2 Problemas e Exercćios ı lo sentido da fonte “resultante” de fem: res xr$wh§¤ ¦
¤ q¦ ï¦
29.2.1 Trabalho, energia e FEM
V. 07F
g ¤t ¨V
A fonte que realiza trabalho positivo e a que tem o mes-
´
mo sentido da fonte “resultante”; neste caso e a fonte
´
E 29-2. i¦
. Se tivessemos mais fontes no circuito, todas as que
tivessem o mesmo sentido da fonte “resultante” e que ´

Uma corrente de A e mantida num circuito por uma fariam trabalho positivo.
´

bateria recarreg´ vel cuja fem e de V, durante minu- Chamando de
a ´ e h¢ h¢
€ y
o potencial no ponto e , res- v 4
tos. De que quantidade diminui a energia qu´mica da pectivamente, temos, pela “regra da fem”, ao ir do ponto
ı
bateria? 4 v
ao ponto passando atrav´ s das fontes
e
¡ A energia qu´mica da bateria e reduzida de uma quan-
ı ´
tidade ! ¤
¦!
, onde e a carga que passa atrav´ s dela
´ e
x€ dsƒ5QF ‚y ¢
„ ¢ ¤t ¨V
num tempo %$
¤# ¦
minutos e e a fem da bateria. Se
´ ou seja £
#$(£§'!
¤
for a corrente, ent˜ oa e „ ˆ‡…u¤ € c¨ y ¢
C †g¨ ¢
D B6
C A seg
o que implica ser h§w¢
y¢ ‰ €
.
3@2$0987532 1$0)¦§¤
6 ¢ 26 4 ¤ # £ min
min E
UISQPIGFDF ¤
T RCF H E 29-8.
Suponha que as baterias na Fig. 29-19 ao lado tenham
Note que foi necess´ rio converter o tempo de minutos
a
resistˆ ncias internas desprez´veis. Determine: (a) a cor-
e ı
para segundos para as unidades ficarem corretas.
rente no circuito; (b) a potˆ ncia dissipada em cada re-
e
sistor e (c) a potˆ ncia de cada bateria e se a energia e
e ´
P 29-4. fornecida ou absorvida por ela.

a

`

£ ¡
(a) Seja a corrente no circuito e suponhamos que (b)
ela seja positiva quando passamos da direita para a es-
querda de i'
. Usando a lei de Kirchhoff das malhas: q£ ¤ `
C¤“r¦‘i')’5)‘h¦
q ¨ £ ¨q £ ï
. Ou seja CYXF¥¤”hgSC UC32 q BCSg2 ¤
C 6 6 Watts
hC¤ —¨ •V– g F ¤ q rP¨•h¦ ”£
– t q¦ i ¤
ei
V V
A (c)

O fato de termos obtido um valor positivo para a cor-
£ i¦ ¤ `
rente indica que o sentido arbitrado inicialmente foi o Watts CYDd¤eYCSg2@YVQ(F2 ¤
C 6 6
sentido correto da corrente.
(d) Parecem-se ser as mesmas. Mas acho que n˜ o en-a
(b) A potˆ ncia dissipada pelo resistor
e e
´ i I
tendi a quest˜ o... N˜ o parece fazer sentido perguntar-se
a a
isto. Pensar...
A „ d%…•™g2 q 6 ˜U3C¥¤ i `
F ¤6– W 2
q 5
enquanto que a dissipada pelo resistor e
´ E 29-10.

d%…—9t2 q 6 ˜U3C¥¤ q `
V ¤6– A 2 W Na Figura 29-20 o potencial no ponto
Qual e o potencial no ponto ?
´ j
` e de
´ YXF
CC V.

£
(c) Se representar a corrente que passa atrav´ s de uma
e ¡ Precisamos determinar primeiramente o sentido e o
¦
bateria com de fem, ent˜ o a bateria fornece energia a
a valor da corrente no circuito, para ent˜ o poder deter-
a
uma taxa )¦£u¤p`
desde que a corrente e a fem estejam minar a queda de potencial devida a cada uma das re-
na mesma direcao. A bateria absorve energia a uma ta-
¸˜ sistˆ ncias. O sentido da corrente e aquele imposto pela
e ´
xa )¦ub`
£ ¤se a corrente e a fem estiverem em direcoes
¸˜ bateria mais forte: a de SQF
C
V: sentido anti-hor´ rio. O
a
opostas. Para a potˆ ncia e
e ´ i U¦ valor da corrente e obtido usando a lei das malhas, de
´

%6 F(86 h9C2 ¤ i `
¤ V2 A V W
j
Kirchhoff. Partindo do ponto e seguindo no sentido
anti-hor´ rio temos:
a
e para q r¦ ela e
´ „ wD‡—Skhlk—SF
C ¤£f ¨ C ¨£V ¨ C ou seja Dde£
CV ¤ A
—6 986 h9C¥7e`
f ¤ 2 2 ¤q
A V W Tendo este valor, partimos novamente do ponto j no
sentido anti-hor´ rio, descobrindo facilmente que
a
F
Na bateria a corrente est´ na mesma direcao que a fem
a ¸˜
de modo que esta bateria fornece energia para o circuito. DQuqhnsS©ƒ5DQF h¢
CCF p o¢ ¤ CV H V ¨ C m V
A bateria est´ descarregando-se. A corrente na bateria
a V
flui na direcao contr´ ria da fem, de modo que a bateria Portanto
¸˜ a
absorve energia. Portanto, ela est´ carregando-se.
a Q'd¤ m ¢
CF ¨ V

E 29-9.
Sugest˜ o: refaca o problema indo de para , por´ m
a ¸ e j `
aplicando a lei de Kirchhoff das malhas no sentido
Uma bateria de autom´ vel com uma fem de 12 V e uma hor´ rio. Ser´ que suas respostas finais poder˜ o depen-
o a a a
resistˆ ncia interna de
e xSYC hC
– gC
est´ sendo carregada com
a der do sentido escolhido?
C S
uma corrente de A. (a) Qual a diferenca de potencial
¸
entre seus terminais? (b) A que taxa a energia est´ sendo E 29-11.
a
dissipada como calor na bateria? (c) A que taxa a ener-
gia el´ trica est´ sendo convertida em energia qu´mica? Na Fig. 29-21, o trecho de circuito
e a ı absorve W v “4 C D
(d) Quais s˜ o as respostas dos itens (a), (b), (c) quan-
a de potˆ ncia quando e percorrido por uma corrente
e ´ d”£
F ¤
do a bateria e usada para suprir
´ A para o motor de A no sentido indicado. (a) Qual a diferenca de poten-
C S ¸
arranque? cial entre e ? (b) O elemento n˜ o tem resistˆ ncia
a e v 4 r
¡ interna. Qual e a sua fem? (c) Qual e a sua polaridade?
´ ´
(a) ¡
(a) Como , temos: € syh(¢£¤u`
)©¦ ¤ ‡
£ ¨ ¢
QFu¤eBgDC h9C2@BCSg2ˆ5F ¤
C 6 6 ¨V Volts C Sn¤ DFC ¤ £ ` ¤ sy ¢
€ W
A
Volts

a

`

t
(b) Chamando-se de um ponto qualquer que fique en- P 29-22.
r
tre o resistor e o elemento , temos
(a) Na Fig. 29-5a, mostre que a taxa na qual a energia

e dissipada em como energia t´ rmica e um m´ ximo
´ e ´ a
dˆ'©H dv)hcPhdsw¢
V ¤ – V F ¤ £ ¤ u¢ ¨ y¢ ¤ uy A Volts quando a•
¤
. (b) Mostre que esta potˆ ncia m´ xima
e a

Portanto a fem do elemento r ser´
a
vale SY™gr‘ q u`
6 2 ¦ ¤ .
¡ (a) A corrente no circuito e dada pela relacao
´ ¸˜
Y'ƒIDshccswdw¦
tg ¤ V ¨ C ¤ uy¢ ¨ €y¢ ¤ Volts

€ c¨ y ¢
¢
(c) Subtraia e some u¢
ao valor de obtendo
¦ e£
¤
| wƒ@zˆw¢ x | wc{zwwd¤ | wc~{zww¢ x
€ ¢ ¨ y u u ¢ ¨ y y ¢ x € ¢ ¨} y y 6I32–`
Com ela vemos que a express˜ oa que d´ a energia
a

q t´ rmica liberada em funcao de e:
e ¸˜ ´
€R q
Portanto
negativo.
v hp‚w¢
€¢ ‰ u
, ou seja, o terminal e o terminal
´ q 6' ¦ ™2 n q %'9–`
¤ £ ¤6 2
Para encontrar o valor procurado de
vamos procu-
P 29-15. rar o ponto maximo da curva '9–`
6 2
. O ponto de in-

(a) Na Fig. 29-23, que valor deve ter para que a cor-
flex˜ o de
a '3–` — —
6 2
e obtido como raiz da primeira derivada:
´
F
rente no circuito seja de mA? Considere V, „ƒh¦
V ¤ i . Ou seja, da equacao
¸˜ v “`
C ¤ ‘
n7r¦
f ¤q Ve 5n5X“l
– f ¤ q ¤ i. (b) Com que taxa a energia

t´ rmica aparece em ?
e q lV ¨ q q ¦ ¤ ` ——
¦
¡ £
(a) Supondo que uma corrente circula no circuito no Š ' 92 ' q ¦ ™2
6 6
sentido anti-hor´ rio e aplicando a lei das malhas no sen-
a hC†7Sc ˜©Š ' ™2 ¤
¤™ V ¨
tido hor´ rio, a partir de um ponto “a” localizado entre
a 6
os dois terminais positivos das fontes de fem, obtemos
Desta equacao vˆ -se facilmente que a raiz procurada e
¸˜ e ´
Û¦ lg£ ‡£ X)£ rP7†¢
¤ i i q q¦ ¨ … … †¢ p
¤ . NOTA: para garantir que a potˆ ncia seja real-
e
¤ ‡£ l)£ Q)£
i q hP’r¦
i¦ ¨q mente m´ xima e preciso ainda investigar-se a segunda
a ´
¤ 8‹rXF Yf 9f8X‹rXfF2
Š ‰C 6 26Š ‰C F¥IcIf
¤V ¨ derivada de '9–`
6 2
! Faca isto.
¸

¤ ‹‰ XF
Š C DDŒ UC
gŒ (b) A potˆ ncia m´ xima liberada e:
e a ´
¤ 57DDŒ
– gŒ q q
(b)
Yg¦ ¤ q S ¦ ™2 ' q §—Sv9–`
6 ¤ £ ¤ 6 ¤ 2
w‰ XDŒ hehSD3Œ2 q 6 †‰ XfF¥n q “Ž`
R CF H g Œ ¤ 6gŒ Š C 2 ¤ £ ¤ Watts
29.2.3 Circuitos de malhas multiplas
´
P 29-20.
£ ¡
(a) Sendo a corrente no circuito, a ddp na bateria
E 29-29.
e
´ i )£q¤ i ¢ F
¨ ¦
e para que seja nula e preciso que
´
i ”¤ £i
‘ ¦
. A lei de Kirchhoff das malhas diz-nos que Na Fig. 29-24 determine a corrente em cada resistor e a
C“¤’‡£ˆ¨ q )ˆ¨ i )ˆclV
£ £ ¨ ¦
. Substituindo-se › š i lŽa$£
‘ ¦ ¤
diferenca de potencial entre e . Considere
¸ V, v7h¦
¤i
q ¨ i v
¤
nesta express˜ o nos fornece
a . 7Dd¤ q “DQu¤ i ¤ Š ¦ d¤ q ¦ ”
– C – CCF
V, g
V, e .

(b) Como tem que ser positivo, precisamos ter ¡ ‰i
Aplicando a Lei das Malhas, no sentido anti-hor´ rio,
a
q X
. A ddp atrav´ s da bateria com a maior resistˆ ncia
e e
interna pode ser anulada atrav´ s de uma escolha apro- nas duas malhas indicadas obtemos:
e
e
priada de . A ddp atrav´ s da bateria com a menor re-
„ C œ58‡q¨ Š P’r‘h¦
¤ q £ ¦ ¨ q¦ ï
sistˆ ncia interna n˜ o pode ser anulada.
e a
„ C œr¦ 'fi…¨
¤ q i £
a

`

que fornecem

BC h¤ DQF ¤ i r¦ ˆfi£
C CC q ¤ A
l‘ Ÿq i¢ …5
g t ¤£
Para que tenhamos
— ‚t £
¤
vemos que e preciso ter-se
´
DC Ux¥¤ P5ScI œ‡q£
C ¨ g ¨ C ¨ ¤ A f ¤ , que e a resposta procurada.
´

Note que £q
tem sentido contr´ rio ao que foi arbitra- P 29-39.
a
do inicialmente no problema. Para encontrarmos a
diferenca de potencial entre os pontos e computa- Disp˜ e-se de um certo n´ mero de resistores de
¸ › š o u , ¤XF
– C
š ›
mos as quedas de tens˜ o desde at´ :
a e cada um deles capaz de dissipar somente W. Que F
n´ mero mńimo de tais resistores precisamos dispor nu-
u ı
… n' g w¢
¢ ¤ ma combinacao s´ rie-paralelo, a fim de obtermos um
¸˜ e
De onde descobrimos que: Œ¤ c7w¢
¢ ¨… Volts.
resistor de 7QF
–C
capaz de dissipar pelo menos W?
¡
Divida os resistores em grupos em paralelo, sendo ¥
cada um destes grupos formado por um arranjo em s´ rie
e
E 29-33.
¦
de resistores. Como todos os resistores s˜ o iguais, a
a
Duas lˆ mpadas, uma de resistˆ ncia
a e i
e a outra de re- resistˆ ncia equivalente e
e ´
sistˆ ncia ,
e q ‰ i q
est˜ o ligadas a uma bateria (a)
a
em paralelo e (b) em s´ rie. Que lˆ mpada brilha mais
e
(dissipa mais energia) em cada caso?
a
total
i¥ ¦ ¤ F
¡ ¦
(a) Seja a fem da bateria. Quando as lˆ mpadas s˜ o
a a Como desejamos que total u¤
, precisamos escolher
conectadas em paralelo a diferenca de potencial atrev´ s
¸ e §ƒ¦
¥ ¤
.
delas e a mesma e e a mesma que a fem da bateria. A
´ A corrente em cada resistor e a mesma e temos um total
´
IS‘ q q•‚”` F q
potˆ ncia dissipada pela lˆ mpada e
e a
potˆ ncia dissipada pela lˆ mpada e
e a ´
´ i ¦ ¤ i
5l‘ ¥‡wž V
q ¦ ¤q
ea
. Co-
q §¤ ¦ `
de
` ¦
total
deles, de modo que a potˆ ncia total dissipada e
`
e
, sendo a potˆ ncia dissipada por apenas
e
´

mo i I
e maior que
´ q 7
, a lˆ mpada dissipa energia a
a V ´
um resistor. E pedido que total D§‰ q `
` , onde ¨`
F ¤
uma taxa maior do que a lˆ mpada , sendo portanto a
a F W. Portanto, precisamos que ¦
seja maior que . O
mais brilhante das duas. menor n´ mero inteiro satisfazendo esta condicao e , o
u ¸˜ ´ f
(b) Quando as lˆ mpadas s˜ o conectadas em s´ rie a
a a e que fornece o n´ mero mńimo de resistores necess´ rios:
u ı a
corrente nelas e a mesma. A potˆ ncia dissipada pela
´ e Œ ¤ q ¦, ou seja, trˆ s ramos em paralelo, cada ramo con-
e
i q q ¤ i `
lˆ mpada e agora
a ´ £ F e a potˆ ncia dissipada
e tendo trˆ s resistores em s´ rie.
e e
pela lˆ mpada e
a q d¤ q ` V
´ £ . Como i
e maior do que
´
q , mais potˆ ncia e dissipada pela lˆ mpada do que pe-
e ´ a F P 29-40.
V
la lˆ mpada sendo agora a lˆ mpada a mais brilhante
a a F ¡ (a) Estando conectadas em paralelo, n˜ o apenas a ddp
a
das duas.
sobre as duas baterias e a mesma como tamb´ m a cor-
´ e
E 29-35. £
rente (positiva para a esquerda) que circula por elas e,

Nove fios de cobre de comprimento e diˆ metro est˜ o
a Ÿ a
— portanto, £ lV
a corrente que circula em . A regra das
ligados em paralelo formando um unico condutor com-
´
malhas nos fornece v)Sƒ5)P©¦
C ¤ £V ¨ £ ¨
, de modo que

posto de resistˆ ncia . Qual dever´ ser o diˆ metro de
e a a
um unico fio de cobre de comprimento , para que ele
´ Ÿ
t DV ¦ e£
¤
tenha a mesma resistˆ ncia?
e A potˆ ncia dissipada e
e ´
¡ De acˆ rdo com a Eq. 15 do Cap. 28, a resistˆ ncia dos
o e q
9 fios juntos e
´ q 6ID V ¦ ™2 n q d`
¤ £ ¤
qŸ — SŒ ¤ Ÿ D¡u
gl‘ ¢ 4 Œ ¤ „ O valor m´ ximo e obtido colocando-se igual a zero a
a ´
4
onde e a area de cada fio individual.
´ ´
derivada de em relacao a :
¸˜ `
A resistˆ ncia de um fio unico equivalente, com mesmo
e ´ q ¦ q Yg q¦ —
comprimento e ´ Ÿ 'Š6 'cV ¨79 2 ™2 ¤ Š 'SV ¦ ™2 ¨ q 'SV ™2 ¤ ` —
SV
6 D 6 6
a

`

Desta ultima express˜ o verificamos que tem um va-
´ a ` O resultado para a segunda fonte e negativo pois a cor-
´
lor extremo (que tanto pode ser um m´ ximo quanto um
a rente ‡q£
percorre-a no sentido contr´ rio ao sentido de
a
mńimo), para
ı SDv
V‘ ¤. sua fem.
Para verificar que para DDu
V‘ ¤
o valor de realmente
q — ‘“` ` q — Observe que DQGFUC SYC UC YDf h'DDV YF
t C g C ¤ f , como de-
e m´ ximo, vocˆ ainda precisa calcular
´ a e e ve- veria ser.
rificar que tal derivada e negativa para
´ DS§•
V‘ ¤
. N˜ o
a
deixe de conferir e, principalmente, perceber bem que P 29-50.
nos problemas de m´ ximo e mńimo, e sempre impres-
a ı ´
cind´vel o c´ lculo da segunda derivada antes de se poder
ı a ¡ (a) O fio de cobre e a capa de alumńio est˜ o conec-
ı a
afirmar a natureza das solucoes.
¸˜ tados em paralelo, de modo que a ddp sobre eles e a ´
(b) A taxa m´ xima de dissipacao de energia e obtida
a ¸˜ ´ mesma e, portanto,
substituindo-se DSv
V‘ ¤
na express˜ o da potˆ ncia:
a e
q ‘ q „ 7”‡y§q5%‡£
y £ ¤
St¦ ¤ DqV DlgV2 ¦ ¤ `
max
S 6 onde o subńdice ‘C’ refere-se ao cobre e ‘A’ ao
ı
alumńio. Para cada um dos fios sabemos que
ı ¤ ®
@4‘ h
¯ , ou seja,
P 29-46.
„ 6 q ƒ¯ ¨ y q 3›%¢ ¤ y
Na Fig. 29-33,
š 2 V, V, „ q ¯ iš ¢ °¤
, 1u' ©dr¦ 1vh¦
– ¤ i F ¤ q f ¤ i
, e as duas baterias s˜ o ideiais.
a ª¤ Š ”„ƒ5
–g –V ¤ q
7”‡y§q5%‡£
y £ ¤
(a) Qual e a taxa de dissipacao de energia em ? Em que substituidas em
´ ¸˜ i ' fornecem
? Em
bateria ?
? (b) Qual e a potˆ ncia da bateria ? e da
´ e
q ƒ ¨ ‡y£q › ¤ q š ‡£
y F Š V 5 q
š
(a) Usando a lei das malhas e a lei dos n´ s obtemos o
o
¡
sistema de trˆ s equacoes envolvendo as trˆ s inc´ gnitas Resolvendo esta equacao juntamente com a equacao
e ¸˜ e o ¸˜ ¸˜
, e : £ £y ƒ ”£
£ ¤
, onde e a corrente total, obtem-se
´
Š £ £q £i
£ qš
y q š wq 6 q ƒ¨ q 3›2 ¤ )£
šq „ C Î@(i¨ Š Š •U¦
¤ i £ £ ï
6 ƒq ¨ g›2 q ¤ ‡y£
£q š
y š w 6 ƒ¨ 3›2 „ C Î@(i…58‡q£ h¦
¤ i £ ¨q q
š £q e £i ¤ Š £

Numericamente, encontramos para o denominador o va-
Resolvendo estas equacoes, encontramos:
¸˜
Š Xq– } i ‰ XXGFUf
¥W CF H C lor de ,e

DYt hƒ‡y£
fŒ C ¤ „ DGFD¥c)£
F F ¤ A „ QŒ F ¤ 85 Š 8 r¦ @I7@h¦ 5{' ¤ £i
A q q i A

±±¢
VF ¤ f ¤ Š ¦ 6Š q %i Š 92 iq P¨ i q i i ¦
(b) Considere o fio de cobre. Sendo Volts a
A „ QF 85 @I 5{' œ‡q£
Œ t Š IXh”Š Q7i 'q 9lhii ¦ ¤
ddp, usamos a express˜ o
a
i q q ¦ ¨ 6 q i 2
„ ¯ q i š ¢ £ q7e‡¥¢
¤ £ ¤ A QF ¤ q i •q i ¤ Š £
Œ Š Š
A potˆ ncia dissipada em cada resistor e
e ´ de onde obtemos

q
DQd¤ ¢ i¢£š ¤ ¯
VF W „ YDf hC ¤ i iqq ¤ i `
g £
metros
W „ SBC hC ¤ q qq ¤ q `
C £
W DS˜«hC ¤ Š Š ¤ Š `
ŒC £
(b) As potˆ ncias fornecidas s˜ o:
e a P 29-51.
¡ Primeiro, devemos obter uma funcao ¸˜ que ‹™²DI
6 2 i~
DDV Yu…h¦ Š £ ê`
f F ¤ i ¤ i W forneca o valor da resistˆ ncia do pedaco de
¸ e ¸ que est´
a
S¬Fhxu“r@¦‡qˆ¨ œŽ`
t C ¨ ¤ q £ ¤ q W em paralelo com , bem como ‹™²D5
6 2q
, que forneca a
¸

a

`

e ¸ ~
resistˆ ncia do pedaco restante de , de modo que te-
¡ (a) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos e , o f F
nhamos sempre 6‹™²2D5 †9²l'³p ~
q 6 2i , qualquer que ‘truque’ e perceber que temos os pontos e no mes-
´ g V
seja o valor de . ² ~ mo potencial, bem como os pontos e est˜ o no mesmo
a t
O enunciado do problema informa que a resistˆ ncia
e potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo-
e uniforme, isto e, varia linearmente de a . Portanto,
´ ´ ~ C do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorcao
¸˜
altere as correntes. .....
„ ~ ² ´‹™²l'
¤ 6 2i Longos c´ lculos....:
a sD¤ Š i
g‘ f.
² ¨…YA§¤—‹²™DiIƒ¨ ~ ¯ ´‹™²D5
„~ E F 6 2 ¤ 6 2q (b) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos e , o ‘tru- « F
¯ que’ e perceber que temos os pontos e no mesmo
´ g
²
onde deve ser medido na mesma unidade que , por potencial, bem como os pontos e est˜ o no mesmo
¯ a f
exemplo, em cent´metros.
ı potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo-
µ x
Chamando-se de o paralelo de com temos do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorcao
i ¸˜
i6 9U‘ i 5¶x
2 ¤ µ e, consequentemente, a re- altere as correntes. .....
sistˆ ncia equivalente total
e · “
do circuito e
´ Longos c´ lculos....:
a . lsSd¤ (½i
‘
~ ² ¨… ¸F µ “5 µ ¤ ·
¤q 29.2.4 Instrumentos de medidas el´ tricas
e
¹ 0¯
Como a corrente fornecida pela bateria e a mesma cor-
´
P 29-56.
q 5
rente que passa tanto atrav´ s de
e quanto do paralelo
¦
µ
, vemos facilmente que a diferenca de potencial
¸ Qual e a corrente, em termos de e , indicada pe-
´ º w¢
i
sobre ‹¢ (que obviamente coincide com
sobre ) lo amper´metro na Fig. 29-41? Suponha que a re-
ı i ' 4
pode ser obtida da relacao
¸˜ sistˆ ncia do amper´metro seja nula e a bateria seja ideal.
e ı
¡ Chamemos de a o terminal positivo da bateria, de b o
6„ µi ¢ )¤2 µ º ¢ ¤ · ¦ Ž£
¤ terminal negativo, de c o terminal do amper´metro que
ı
est´ ligado entre
a SV

e e, finalmente, de d o terminal
ou seja, do amper´metro que est´ ligado entre e .
ı a
(i£
Chamemos de a corrente que flui atrav´ s de e de DV
%¦ · µ ¤ º ¢ )q£
a para c. Analogamente, de a corrente fluindo de a
‡y£
para d. Finalmente, chamemos de a corrente que flui
atrav´ s do amper´metro, indo de d para c. Assim, a cor-
e ı
A potˆ ncia pedida e ent˜ o:
e ´ a rente de c para b ser´
a ‡y£ fi£
, enquanto que a corrente
qº ¢ de d para b será ‡yq7‡q£
£ ¨
. Estas informacoes devem ser
¸˜
¤ e`
º colocadas sobre a Figura do problema, para simplificar
o uso da lei das malhas.
„ q ¼8iI @63i'X‘ iI I 92U8'56f e¦ ‹²¨…F(2 »uF ¤
‘ i~ Verifique que a corrente que sai e que entra nos termi-
6 2 r ¯‘ nais da bateria tem o mesmo valor,
poderia deixar de ser.

, como n˜ o
a £q … £i
que, simplificada, fornece o resultado final
Da lei das malhas, aplicada aos circuitos bacb e badb
q ~ ² 2 CQ obtemos duas equacoes independentes:
¸˜
„ q 6 q 6–SSQ‹F‘C² i9¦YlDsF DYXfF2 ¤ º `
² ¨ ~ ‘C C C 6 e‡y£ fi9£ fi7DV ¤ ¤ †¢
2 £ ¦ …
onde ² deve ser medido em cent´metros.
ı
{e‡y’)q9£‡ ‡q5 ¤
6 £ ¨ 2 £
Al´ m disto, temos que
e
P 29-52. (i5DV ©@¾w¢
£ ¤ …
V QF
A Fig. 29-11a (pg. 143) mostra resistores, cada um de S‡q5 À@¿w¢
£ ¤ …
e
resistˆ ncia , formando um cubo. (a) Determine
Š I
i
, Por´ m, como a resistˆ ncia do amper´metro (suposto
e e ı
a resistˆ ncia equivalente entre as extremidades da dia- ideal aqui) e nula, sabemos que
e ´ , ou CÂ¤¿‡†¢Ápÿh¢
¾
gonal de uma face. (b) Determine f½I
i
, a resistˆ ncia seja, que
e
equivalente entre as extremidades da diagonal do cubo.
(Veja o Exemplo 29-4, pg. 143.) Y@¿†d‘@¾w¢
…¢ p …
a

`

Estas trˆ s ultimas equacoes implicam termos
e ´ ¸˜ O erro fracional e
´

filnx)q£
£V ¤ Erro „ DYC h¤ QGFDˆGFDF QGFDF ¤
C f C V F Q 7

¨
que, substituido na express˜ o acima para
a nos permi- ou seja,
w¢
… . È If
te determinar que ISg«UŽln¤ £i
6 2‘ ¦V e que, finalmente,
P 29-63.
S¦ « P‡y£
¤ A ponte de Wheatstone. Na Fig. 29-44 ajustamos o valor
de É I
at´ que os pontos e fiquem exatamente com
e › š
o mesmo potencial. (Verificamos esta condicao ligan-
¸˜
do momentaneamente um amper´metro sens´vel entre
ı ı š
P 29-58. ›
e ; se estes pontos estiverem no mesmo potencial, o
¡ amper´metro n˜ o defletir´ .) Mostre que, ap´ s essa ajus-
ı a a o
A corrente em £ q £i
e . Seja a corrente em
´ e i
tagem, a seguinte relacao e v´ lida:
¸˜ ´ a
suponha-a para baixo. De acordo com a lei dos n´ s, ao
corrente no volt´metro e
ı ´ i ws£
£ ¨
, para baixo. Aplicando a
lei das malhas no laco da esquerda obtemos
¸
' É d05
q
i ¤Ê
h'g‘'{fi’7‡©¦
C ¤ £ ï £ ¨q £ ¨ ¡ ‡Ë£
Chamando de a corrente que passa de para i q
£¿
e de a corrente que passa de para , temos, su- Ê 7 É
Aplicando a mesma lei no laco da direita temos
¸ pondo : wd¤ … ¢
¢
hq'(8fiPe™£§‘I@fi£
C ¤ Ã 6 £ ¨ 2 ï É ¿ £¤ i B)Ë£
e UÊ5 ¿ ¤ q B‡Ë£
£
Portanto, da raz˜ o entre estas duas express˜ es encontra-
a o
Resolvendo estas equacoes encontramos
¸˜
mos o resultado pedido.
¡
Procedimento sugerido por um aluno: Seja a cor- fi£
l £i I I ' Ž£
„ Ã Ã i ¤ rente em e 7 '
q i
e considere-a positiva quando apontar
na direcao do ponto “a” ao passar por . Seja a cor-
¸˜ i ' q‡£
que quando substituida na primeira das equacoes acima rente em
¸˜ e Ê I
É
, considerando-a positiva quando ela
fornece-nos apontar na direcao do ponto “b” ao passar por . Com
¸˜ É5
esta convencao a regra da malhas fornece
¸˜
„ …fi‘' (i£ l •q 986IÃ —i 32 ©¦
C ¤ £i 6 2 ¨
Ã U“‡q‡£@6I Ê 3ˆ•fi‡£Q7 '92
C ¤ É 2 ¨ 6q i 6 DgÌ2
ou seja Como os pontos “a” e “b” est˜ o no mesmo potencial,
a
temos 5X)qÍ“'{fi£
É£ ¤ i
. Esta ultima equacao nos d´
´ ¸˜ a
Ã i S •q Ä¦9@26 Ã %i 92 ¤ £i
6
Ã '
acima produz
IlQ'{fib”‡q£
É ‘i £ ¤
, que quando substituida na equacao (*)
¸˜

por
i I@(i£
A leitura no volt´metro ser´ , portanto,
ı a , que e dada
´ l(i£ i7 {6I Ê 3dxfihQ7 '92
q É 2 ¤ £6q i
YDDgV@26 Š X‡C U386 C U9f2
6C CF H 2
V
'll7†I¤ Ê
i ‘q É
donde tiramos facilmente .

6 Š XFH$C rg2@BCSDgV2 6 Š QPC r DD3V8YYXF DD3f2
C 6 CF H C 26CC CC P 29-64.
express˜ o esta que nos fornece o valor
a › š Se os pontos e na Fig. 29-44 forem ligados por um
fio de resistˆ ncia , mostre que a corrente no fio ser´
e a
Volts QGFDF ˆ'{fi£
V ¤ i
„ 5 É DV 6 Ê6B7 •%É 9—232 @¦ SlV 32 e£
Ê Ê
¨ IÉ
6
A corrente na ausˆ ncia do volt´metro pode ser obtida da
e ı
¤
express˜ o de
a
¤iI no limite : ¦ onde Çc'
Æ Å Ã i '{fi£
e a fem da bateria ideal. Suponha que
´
Cv¤ ~
V
n55
¤q e que
…5SY3V@26 C h9f2
6 – C . Esta f´ rmula e consistente com
i Ä¦
o ´
o resultado do Problema 63? e do 56?
¡ “YXF “DYf 7DDV ¤ 7 ' …'{fi£
– CC – CC – C q i ¤i
Volts QGFDF ¤
a

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