1. 1.5 数的开方与二次根式
一、考试内容
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方
根.
2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用
立方运算求某些数的立方根，会用科学计算器求平方根和立方根.
3. 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用运算法则进行有关
实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.
二、近三年中考试卷分析
年份 题号 考察题型 考察知识点 分值 难度
08年 20 解答题 二次根式的计算 3 基础题
09年 20 解答题 二次根式的计算 3 基础题
3 选择题 平方根的概念 3 基础题
1 0年
18 解答题 二次根式的计算 2 基础题
三、考点整合
考点 1：平方根、立方根、算术平方根（了解）
注 1： 会区分平方根和算术平方根（算术平方根是非负数的正的平方根）.
注 2： 负数没有平方根，任意实数都有立方根.
注 3： 正数有 2 个平方根，它们互为相反数.
注 4： 算术平方根等于本身的数是 0 或 1；立方根等于本身的数是 0，-1 或 1.
☆命题角度： 平方根、立方根、算术平方根的概念；
求一个数的平方根、立方根、算术平方根.
☆例题解析
1、（2010•泉州）9 的平方根是（ ）.
A. B. C. ±3 D. 3
± 3 3
2、（2010•福建龙岩）下列运算正确的是（ ）.
A. B. C. D.
(−2)0 = 1 (−2) −1 = 2 4 = ±2 24 × 22 = 28
考点 2：二次根式的概念和性质（了解）
1

2. 注 1： 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0.
a ≥0
二次根式的性质
( a)
2
注 2： = a (a ≥ 0)
a2 = a
注 3： 最简二次根式的概念与化简二次根式——二次根式运算的基础.
☆ 命题角度： 二次根式有意义的条件；二次根式的性质.
☆ 例题解析
1、（2010•鲤城质检）计算： = .
( 3) 2
2、（2010•泉港质检）使 有意义的 x 的取值范围是 ．
x- 3
3、（2010•晋江质检 2）若 有意义，则 ( ) .
1 + 2x
A. x ≤ 1 B. x ≥ 1 C. x ＜ 1 D. x ＞ 1
- - - -
2 2 2 2
4、（2010•广东广州）若 ，化简 ＝（ ）
a <1 2
( a − 1) − 1
A． a − 2 B． 2 − a C． a D． −a
5、（2010•四川成都）若 x, y 为实数，且 ，则 = ．
x + 2 + y −3 = 0 ( x + y ) 2010
考点 3：二次根式的计算（理解）
， a a
注 1： a g b = ab ( a ≥ 0, b ≥ 0 )
.
= ( a ≥ 0, b > 0 )
b b
注 2： 二次根式的相乘除只需将被开方数进行乘除；二次根式加减法的关键在
于合并同类二次根式.
注 3： 二次根式的运算结果一定要化简为最简二次根式.
☆ 命题角度： 二次根式的化简；二次根式的计算.
☆ 例题解析
1、（2010•德化质检）下列计算正确的是（ ）．
A、 = C、 D、
20 2 10 B、 2 × 3 = 6 4- 2= 2 (−3) 2 = −3
2、（2010•山东聊城）化简： = ．
4
27 - 12 +
3
3、（2010•江苏南京）计算 的结果是 ．
2a ⋅ 8a (a ≥ 0)
2

3. 4、（2010•丰泽质检）先化简，再求值： ，其中 ．
(a + 1) 2 + a(a − 2) a= 2
（ 为有理数），则 等于（
( )
5、（2010•山东日照）若 2 =
2+ 2 a +b 2 a,b a +b
).
（A）2 （B）3 （C）8 （D）10
四、真题训练（12 分钟左右）
1、（2010•江苏南通）9 的算术平方根是（ ）.
A．3 B．－3 C．81 D．－81
2、（2010•广西钦州）要使二次根式 在实数范围内有意义，则实数 a 的取
a +1
值范围是 ．
3、（2010•山东青岛）化简： ．
48 − 3 =
4、（2010•江苏镇江）计算： = ； = .
8´ 2 8- 2
5、（2009•四川凉山州）已知一个正数的平方根是 3 x − 2 和 5 x + 6 ，则这个数是
.
6、（2010•山东济宁）若 ，则 x - y 的值为（ ）．
x + y - 1 +( y + 3 )2 =0
A．1 B．－1 C．7 D．－7
7、（2010•鲤城质检）要使式子 有意义，则 x 应满足的条件是（ ）．
3x − 5
A． 5 B． 5 C． 5 D． 5
x≠ x≥ x> x≤
3 3 3 3
( ) (
2
)
8、（2010•江苏镇江）计算： 0 .
5 - cos 60o +| - 4 |
9、（2010•德化质检）化简： .
a 2b
a ( a +2 - ) b
10、（2010•浙江衢州）计算： 20 + 4 + − 1 − sin 30° ．
2
3

4. ☆答题分析
错题： 知识点： 二次巩固情况：
错题： 知识点： 二次巩固情况：
错题： 知识点： 二次巩固情况：
五、纠错加强（10 分钟左右）
1、（2010•山东济宁）4 的算术平方根是 ) .
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4
2、（2010•四川南充）使 有意义的 x 取值范围是 ．
x −1
3、（2010•山东东营）64 的立方根是( )
A．4 B．－4 C．8 D．－8
4、（2009•福建厦门）下列计算正确的是（ ）
( −3 )
A． B． C． D． 2
3+ 3 = 6 3− 3 =0 3g 3 = 9 = −3
5、（2009•福建莆田）要使代数式 有意义，则 的取值范围是（ ）
x x
A． x ≥0 B． x < 0 C． x ≠ 0 D． x > 0
6、（2009•福建三明）化简： = ．
12 − 3
7、（2010•福建福州）若二次根式 有意义，则 的取值范围为（ ）．
x −1 x
A. x ≠ 1 B. x ≥ 1 C. x < 1 D.全体实数
8、（2009•安徽芜湖）已知 ，则 ．
| a + 1| + 8 − b = 0 a −b =
9、（2010•福建福州）计算： ．
−3 + (−1)0 − 9
10 、 （ 2009• 洛 江质 检） 先化 简代 数式 ，再 求值 ： ， 其中
( a - 1 )2 + a( 1 - a )
.
a= 2-1
☆答题分析
错题： 知识点： 二次巩固情况：
错题： 知识点： 二次巩固情况：
六、能力提高（5 分钟左右）
4

5. ☆命题角度： 二次根式的综合应用；分母有理化.
☆例题解析
（ 为有理数），则 等于（
( )
1、（2010•山东日照）若 2=
2+ 2 a + b 2 a,b a +b
).
（A）2 （B）3 （C）8 （D）10
2、（2010•湖北荆门）化简： .
x - 1 + 1- x =
3、（2010•复习指南）已知 ， ， ，……
2 2 3 3 4 4
2 + =2 3 + =3 4+ =5
3 3 8 8 15 15
请根据以上规律，用含 n 的代数式将其规律表示出来（ n ³ 2 ）.
4、（2009•湖南邵阳）阅读下列材料，然后回答（1）（2）问题。
在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如 5 ， ， 2 一样的式子，
2
3 3 3 +1
其实我们还可以将其进一步化简：
（一） （二） （三）
5 5´ 3 5 2 2´ 3 6
= = 3 = =
3 3´ 3 3 3 3´ 3 3
，以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2
=
2´ ( 3-1 ) = 3-1
3 +1
( 3 +1 )( 3-1 )
2 还可用以下方法化简：（四）
3 +1
( 3) =( )( ) = 3 - 1.
2
2 - 12 3 +1 3-1
=
3 +1 3 +1 3 +1
（1）请用不同的方法化简 2 ．
5+ 3
5

6. （2）化简： 1 1 1 1 ．
+ + +××
×+
3 +1 5 + 3 7+ 5 2n +1 + 2n - 1
6