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Funciones especiales

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  • 1. Funciones EspecialesGráficas, dominios y rangos
  • 2. Las funciones que a continuación se presentan son de uso frecuente, por ello, es necesariorecordar sus características. Entre estas funciones se consideran: Función Constante, Identidad;Lineal, Inversa y Valor Absoluto.Debes considerar los conjuntos con los cuales se trabajará cada gráfica y por lógica si cambia losconjuntos, los gráficos tendrán algunas variaciones.
  • 3. Dada la función y = ax + b, realizaremos una variación.► Hacemos que a = 0 , entonces la función resultante es: y = b; a esta función se ledenomina función constante ya que no presenta la variable.► Son ejemplos de este tipo de función: y = 3; y = -5; y = 2/3; h(x) = - 11; etc.► La función constante y = b nos dice que todos sus pares ordenados tienen como segundacomponente al número b.Ejemplo: La gráfica de y = 4 o de otra forma k(x) = 4 es: (observa los conjuntos de definición) Atención: ☼ El dominio de una función constante es R (Reales) ☼ El rango de la función constante es: { b} ☼ Su gráfica es una recta horizontal
  • 4. Dada la función y = ax + b, realizaremos algunas variaciones .► Hacemos que a = 1 y b = 0 , entonces la función resultante es: y = x; a esta función se ledenomina función identidad ya que ambas variables toman valores idénticos.► La función identidad y = x nos dice que todos sus pares ordenados gozan de lacaracterística siguiente: “su segunda componente es igual a su primera componente”Ejemplo: La gráfica de y = x o de otra forma f(x) = x es: (observa los conjuntos de definición) Atención: ☼ El dominio de una función identidad es R. ☼ El rango de la función identidad es R ☼ Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante
  • 5. Es la función de la forma: y = ax + b o también expresada como h(x) ax + b; donde: a R – {0},b R.Ejemplo: La gráfica de: y = 3x + 1; es: x y = f(x) = 3x + 1 Pares ordenados … … … -2 y = 3(-2) +1 = -5 (-2;-5) -1 y = 3(-1) +1 = -2 (-1;-2) 0 y = 3(0) +1 = 1 (0;1) 1 y = 3(1) +1 = 4 (1; 4) … … … Atención: ☼ El dominio de una función lineal es: R (reales) ☼ El rango de la función lineal es R ☼ Su gráfico es una recta oblicua que intercepta al eje “y” en un punto de ordenada “b” (b 0 )
  • 6. Una función lineal se puede delimitar su dominio al utilizar un subconjunto de R expresadopor un intervalo. En este caso, su gráfica puede ser un segmento, rayo o semirrecta.Para las siguientes gráficas debes observar muy bien los signos de los intervalos ya que ellos nosindicara el tipo de gráfica. Además sólo podemos tabular los valores de los extremos delintervalo y luego trazar la gráficaEjemplo:a) y = x + 2 con x [-4;1] b) y = 2-x con x [-2;+ > c) y = 2 con x <- ; 3> x y=x+2 x y=2-x x y=2 -4 -2 cerrado -2 4 cerrado -5 2 cerrado 1 3 cerrado 5 -3 cerrado 3 2 abierto ilimitada por un lado Rango y {2} ilimitada por un lado Rango y <- ; 4 ] Rango y [ -2; 3 ]
  • 7. Para determinar la función inversa f-1 de una función inyectiva f se procede de la siguientemanera: Atención:► Se despeja x de la ecuación y = f(x). Una función f de A en B ( f: A B) tiene su► Se intercambian las variables x e y. correspondiente función inversa (f-1 : B A)Observa como se resuelve el siguientes ejemplo. si y sólo si f: A B es inyectiva.Determinamos la función inversa f-1 de una función: , definida por f(x)= 3x.Resolución. 1 3 ♪ De y = 3x despejamos x, resultando: x = y/3 2 6 ♪ Intercambiamos las variables en y = x/3, y x 3xobtenemos la función inversa de f, es decir: f-1 = x/3 x/3 x ♪ Graficamos la función. … …En toda función f: A B que tiene su correspondiente función inversa f-1 : B A, se cumpleque: f La función f y su A B respectiva ◘ ◘ D(f) = R(f-1) inversa f-1 ◘ ◘ R(f) = D(f-1) ◘ ◘ ◘ f-1
  • 8. La función valor absoluto es una función real, definida por f(x) = |x| ó y = |x|, esta funciónpuede expresarse de la siguiente manera: Esta notación se interpreta como la Es cero o positivo unión de dos funciones Es negativo Este menos nos indica el opuesto del valor que tome x Veamos el ejemplo básico: y = x ; si x 0 y = - x ; si x < 0 x y=x Si: x 0 0 y = 0 (0,0) cerrado 1 y = 1 (1;1) cerrado 2 y = 2 (2;2) cerrado Luego: Dom = R … Ran = [0; + > x y=x Si: x< 0 -1 y = -(-1) (-1,1) cerrado -2 y = -(-2) (-2;2) cerrado Atención: La gráfica tiene la forma de “V” y cada -3 y = -(-3) (-3;3) cerrado brazo de la gráfica es simétrica a la otra …
  • 9. Otro ejemplo Hallar y graficar el dominio y el rango de la función: y = |x-2| + 1 Resolución.☼ De la definición de valor absoluto: ♪ Obtenemos: ♪ Luego: ♪ Y finalmente:Con la última expresión es que podemos interpretarlo como la unión de dos funciones, veamos: x y = x-1 Si: x 2 2 y = 2-1 = 1 (2,1) cerrado 3 y = 3-1 = 2 (3;2) cerrado Luego: 4 y = 4-1 = 3 (4;3) cerrado Dom = R … Ran = [1; > x y = -x +3 Si: x< 2 1 y = -(1)+3 = 2 (1,2) cerrado 0 y = -(0)+3 = 3 (0;3) cerrado -1 y = -(-1)+3 = 4 (-1;4) cerrado …
  • 10. 1.- ¿Qué función tiene un solo elemento en el rango? F. Constante F . Identidad F. Valor Absoluto F. Lineal2.- Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen F. Constante F . Identidad F. Valor Absoluto F. Lineal3.- En una función Valor Absoluto cuya gráfica tiene la forma de “V” invertida,podemos afirmar que: La variable toma valores negativos e incluido el cero. Los coeficientes de los términos son negativos Se refiere al opuesto del valor absoluto