Matemática para Ingeniería - Determinantes

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Matemática para Ingeniería - Determinantes
Se tocaran los temas de la regla de sarrus, propiedades de las determinantes y la relación entre inversa y determinantes.
Vladimir Acori Flores

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Matemática para Ingeniería - Determinantes

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA VLADIMIR ACORI FLORES AYACUCHO 2015
  2. 2. Índice general 1. Determinantes 1 1.1. Determinantes. Definición y primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. La regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4. Relación entre la inversa y los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Breve historia de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II
  3. 3. Cap´ıtulo 1 Determinantes Introduciremos un nuevo concepto, determinante asociada a una matriz. Este concepto nos permite sim- plificar operaciones matriciales para el cálculo del rango y de la inversa de una matriz. Historicamente, los determinantes precedían a las matrices, un hecho curioso a la luz de la forma como se enseña el álgebra lineal en la actualidad, con las matrices antes que los determinantes. No obstante, los determinantes surgen independientemente de las matrices en la solución de muchos problemas prácticos, y la teoría de los determinantes estaba bien desarrollada casi dos siglos antes de que a la matrices se les otorgara un valor de estudio como tal. Recuerde que el determinante de la matriz   a11 a12 a21 a22   de orden 2 es det (A) = a11 · a22 − a12 · a21 Esta expresión se encontró por primera vez cuando se determinaron formas para calcular la inversa de una matriz. En particular, se encontró que A−1 =   a11 a12 a21 a22   −1 = 1 a11a22 − a12a21   a22 −a12 −a21 a11   1.1. Determinantes. Definición y primeros ejemplos Si es una matriz de orden 2 × 2 el determinante de la matriz A, denotada por det(A) ó |A|, es el número det(A) = |A| = a11 a12 a21 a22 = a11 · a22 − a12 · a21 ∈ R. Ejemplo: Calcular determinantes de orden 2 es muy fácil, veamos: a) |A| = −4 2 3 5 = −4 · 5 + 2 · 3 = −20 + 6 = −14 b) |B| = 1 15 0 3 = 1 · 3 + 15 · 0 = 3 + 0 = 3 1
  4. 4. UNSCH 2015–I Determinantes Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente algunos conceptos. Sea A matriz cuadrada de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de la matriz A, como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho elemento aij, se representa por Mij. Ejemplo: Para la matriz A =      −1 3 7 5 4 −2 3 5 0      calcular los menores complementarios de la fila 1 y columna 3. Los menores complementarios de la fila 1 son: 1. Menor complementario de -1: M11 = 4 −2 5 0 = 0 + 10 = 10 2. Menor complementario de 3: M12 = 5 −2 3 0 = 0 − 6 = −6 3. Menor complementario de 7: M13 = 5 4 3 5 = 25 − 12 = 13 Los menores complementarios de la columna 3 son: Menor complementario de 7: M13 = 5 4 3 5 = 25 − 12 = 13 Menor complementario de -2: M23 = −1 3 3 5 = −5 − 9 = −14 Menor complementario de 0: M33 = −1 3 5 4 = −4 − 15 = −19 Ejercicio: Obtener los restantes menores complementarios de los elementos de la matriz A. Ligado a este concepto de menor complementario se encuentra el de adjunto de una matriz. Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el adjunto de un elemento aij de A como el número: Aij = (−1)i+j · Mij es decir, es el menor complementario correspondiente acompañado de un signo mas o menos dependiendo de la fila y columna en la que se encuentre el elemneto en cuestión. Por ejemplo, para la matriz anterior, los adjuntos de los elementos de la fila 1 son: 1. Adjunto de -1: A11 = (−1)1+1 · M11 = 1 · 10 = 10 (coincide con el menor complementario). 2. Adjunto de 3: A12 = (−1)1+2 · M12 = −1 · −6 = 6 (menor complementario con signo cambiado) 3. Adjunto de 7: A13 = (−1)1+3 · M13 = 1 · 5 = 5 (coincide con el menor complementario) Capítulo 1 2 Designed en LATEX by VAF.
  5. 5. UNSCH 2015–I Determinantes Ejercicio: Obtener los restantes adjuntos de los elementos de la matiz A. En general se puede saber si el signo del menor complementario y del adjunto coinciden o no, basta aplicar la siguiente regla gráfica, por ejemplo para matrices 3 × 3 , 4 × 4 y 5 × 5 basta fijarse en la matrices:      + − + − + − + − +              + − + − − + − + + − + − − + − +                    + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − +            donde + significa que el adjunto coincide con el menor comlementario y el − indica que tienen signo contrario. Una vez conocidos estos conceptos podemos definir lo siguiente: Dada una matriz cuadrada A de orden n se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una línea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus correspondientes adjuntos. Se puede demostrar, aunque dicha demostración excede los contenidos del curso, que el valor del determi- nante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo. Ejemplo: Calcular la determinante de la matriz A =      −5 0 9 2 1 7 −3 2 −1      Elegimos la fila 1 y aplicando la definición tenemos: det(A) = −5 0 9 2 1 7 −3 2 −1 = −5 · 1 7 2 −1 − 0 · 2 7 −3 −1 + 9 · 2 1 −3 2 = −5 · (−1 − 14) − 0 · (−2 + 21) + 9 · (4 + 3) = 75 − 0 + 63 = 138 Si elegimos la columna 3 tenemos: det(A) = −5 0 9 2 1 7 −3 2 −1 = 9 · 2 1 −3 2 − 7 · −5 0 −3 2 − 1 · −5 0 2 1 = 9 · (4 + 3) − 7 · (−10 − 0) − 1 · (−5 − 0) = 63 + 70 + 5 = 138 En general se elige una fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros. Ejercicios: Calcular la determinante de las siguientes matrices desarrollando por la fila o columna que decidas.      −1 3 −6 2 4 7 −1 5 −8              1 1 2 1 −6 1 1 6 5 1 1 5 1 2 3 1                    1 2 3 3 1 0 0 0 4 0 −1 0 −3 2 −1 −3 4 5 0 −3 1 1 1 1 1            1.2. La regla de Sarrus La definición de determinante es bastante tedioso y se hace mucha más pesada a medida que aumenta el orden de la matriz A. Capítulo 1 3 Designed en LATEX by VAF.
  6. 6. UNSCH 2015–I Determinantes En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, la regla de Sarrus facilita el cálculo de dichas determi- nantes. Sea la matriz A =      a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33      , entonces el determinante de A se calcula restando dos expresiones obtenidas del siguiente modo: debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizon- tales, se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, luego se multiplican entre sí los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha con su propio signo y se restan el producto de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda. Ejemplo: Calcular la determinante de la matriz A =      −3 6 1 4 1 −5 5 −8 7      Aplicando el procedimiento explicado, tenemos: −3 6 1 4 1 −5 5 −8 7 −3 6 1 4 1 −5 = (−3 · 1 · 7 + 4 · −8 · 1 + 5 · 6 · −5) − (1 · 1 · 5 + −5 · −8 · −3 + 7 · 6 · 4) = (−21 − 32 − 150) − (5 − 120 + 168) = 1.3. Propiedades de los determinantes Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración son: 1. Si una matriz tiene fila (o columna) de ceros, el determinante es cero. 2. Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales o proporcionales, su determinante es cero. 3. Si permutamos dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. 4. El determinante es lineal en filas y columnas, es decir si los elementos de una fila o columna se escriben como la suma de dos o más términos, el determinante es igual a la suma de dps o más determinantes. 5. Si multiplicamos todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante por un número , el determinante queda multiplicado por dicho número. 6. Si a la fila (o columna) de una matriz se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un número, el determinante no cambia. Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular determinantes de orden mayor que 3. 7. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta. |A| = |At | Capítulo 1 4 Designed en LATEX by VAF.
  7. 7. UNSCH 2015–I Determinantes 8. Para una matriz A de orden n, se tiene: |r · A| = rn · |A| |A · B| = |A| · |B| Esta propiedad permite intercambiar operaciones elementales filas y columnas en el proceso del calculo de los determinantes. 9. Si A tiene matriz inversa, A−1 , se verifica que: |A−1 | = 1 |A| 10. Si la matriz A es de orden n, entonces las siguientes propiedades son equivalentes: a) det(A) = 0. b) A no es inversible. c) rango(A) < n. d) Al menos una fila (o columna) de la matriz A se puede poner como combinación lineal del resto de las filas (o columnas). Una estrategia para tener en cuenta en el caso de determinantes de orden 4 o superior, incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de hacer ceros, puesto que el valor del determinante no cambia al realizar ciertas operaciones elementales en filas (o columnas), como indica la propiedad 5 , siendo cuidadosos en aplicar dicha propiedad. Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros una fila o columna y desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces sólo tendremos que calcular un adjunto. Por ejemplo, si calculamos: 2 1 3 −2 1 3 2 −4 −1 4 −4 2 3 −2 1 3 F2 : F2 + F3 −−−−−−−−→ 2 1 3 −2 0 7 −2 −2 −1 4 −4 2 3 −2 1 3 F4 : F4 + 3 · F3 −−−−−−−−−−→ 2 1 3 −2 0 7 −2 −2 −1 4 −4 2 0 10 −11 9 F1 : F1 + 2 · F3 −−−−−−−−−−→ 0 9 −5 2 0 7 −2 −2 −1 4 −4 2 0 10 −11 9 = −1 · 9 −5 2 7 −2 −2 10 −11 9 F1 : F1 + F2 −−−−−−−−→ − 1 · 16 −7 0 7 −2 −2 10 −11 9 = −  2 · 16 −7 10 −11 + 9 · 16 −7 7 −2   = −(2 · (−176 + 70) + 9 · (−32 + 49)) = −(−212 + 153) = 59 Capítulo 1 5 Designed en LATEX by VAF.
  8. 8. UNSCH 2015–I Determinantes 1.4. Relación entre la inversa y los determinantes Hay una estrecha relación entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. La propiedad 8 anterior nos dice que una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante es no nulo. Además, la matriz inversa de A, A−1 se calcula de la siguiente manera A−1 = (Adj(A))t |A| donde Adj(A) denota la matriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene de sustituir cada elemento de A por su adjunto. Ejemplo: Calcular si es posible la inversa de la matriz A =      −1 1 −1 0 1 −2 1 0 3      En primer lugar calculemos su determinante: |A| = −1 1 −1 0 1 −2 1 0 3 = 0 1 2 0 1 −2 1 0 3 = -2 - 2= -4 y por lo tanto A tiene inversa. Calculando Adj(A), se obtiene Adj(A) =                1 −2 0 3 − 0 −2 1 3 0 1 1 0 − 1 −1 0 3 −1 −1 1 3 − −1 1 1 0 1 −1 1 −2 − −1 −1 0 −2 −1 1 0 1                =      3 −2 −1 −3 −2 1 −1 −2 −1      Por tanto: (Adj(A))t =      3 −3 −1 −2 −2 −2 −1 1 −1      Y entonces se obtiene A−1 = 1 4 ·      −3 3 1 2 2 2 1 −1 1      Ejercicios: 1. Calcular por este método la inversa de las matrices: A =      1 2 −3 3 2 −4 2 −1 0      B =      −2 1 4 0 1 2 1 0 −1      Capítulo 1 6 Designed en LATEX by VAF.
  9. 9. UNSCH 2015–I Determinantes 1.5. Breve historia de los determinantes Como se menciono al inicio de esta sección, la historia de los determinantes antecede a la de las matrices. De hecho, los determinantes se introdujeron primero, de manera independiente, por parte de Seki, en 1683, y Leibniz, en 1693. En 1748, los determinantes aparecieron en el Tratado de álgebra de Maclaurin, que incluyó un tratamiento de la regla de Cramer hasta el caso de 4 × 4. En 1750, el mismo Cramer probó el caso general de su regla y la aplicó al ajuste de curvas, y en 1772 Laplace dio una demostración de su teorema de expansión. El término determinante no se acuñó sino hasta 1801, cuando lo usó Gauss. En 1812, Cauchy usó por primera vez los determinantes en el sentido moderno. De hecho, Cauchy fue el responsable de desarrollar mucha de la teoría temprana de los determinantes, incluidos muchos resultados importantes que se han men- cionado: la regla del producto para determinantes, el polinomio característico y la noción de una matriz diago- nalizable. Los determinantes no fueron ampliamente conocidos sino hasta 1841, cuando Jacobi los popularizó, aunque en el contexto de funciones de varias variables, como se les encuentra en un curso de cálculo multi- variable. (En 1850, Sylvester llamó “jacobianos” a ese tipo de determinantes, un término que todavía se usa en la actualidad.) Hacia finales del siglo XIX, la teoría de los determinantes se desarrolló hasta el punto de que libros com- pletos se dedicaban a ellos, incluido el Tratado elemental sobre los determinantes de Dodgson, en 1867, y la monumental obra en cinco volúmenes de Thomas Muir, que apareció a principios del siglo XX. Aunque su historia es fascinante, los determinantes de hoy son más de interés teórico que práctico. La Regla de Cramer es un método desesperadamente ineficiente para resolver un sistema de ecuaciones lineales, y los métodos numéricos han sustituido cualquier uso de los determinantes en el cálculo de eigenvalores. Sin embargo, los determinantes se usan para dar a los estudiantes una comprensión inicial de los polinomios característicos. Takakazu Seki K¯owa (1642-1708), Niño prodigio autodidacta, que descendía de una familia de guerreros samurai. Además de descubrir los determinantes, escribió acerca de ecuaciones diofantinas, cuadrados mágicos y números de Bernoulli (antes que Bernoulli) y muy probablemente realizó descubrimientos en cálculo. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), nació en Leipzig y estudió leyes, teología, filosofía y matemáti- cas. Probablemente es mejor conocido por desarrollar (con Newton, de manera independiente) las ideas principales del cálculo diferencial e integral. Sin embargo, sus aportaciones a otras ramas de las matemáti- cas también son impresionantes. Desarrolló la noción de determinante, conoció versiones de la regla de Cramer y del teorema de expansión de Laplace antes de que otros le dieran el crédito a ellos, y tendió los cimientos para la teoría de matrices mediante el trabajo que hizo sobre las formas cuadráticas. Leib- niz también fue el primero en desarrollar el sistema binario de aritmética. Creía en la importancia de una buena notación y, junto con la notación familiar para derivadas e integrales, introdujo una forma de notación de subíndices para los coeficientes de un sistema lineal que en esencia es la que se usa en la actualidad, [1]. Ejercicios: Capítulo 1 7 Designed en LATEX by VAF.
  10. 10. UNSCH 2015–I Determinantes 1. Calcular el determinante de la siguiente matriz: A =         1 1 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16 1 x x2 x3         B =         x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x         C =         x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x2         Resp. A = 2(x − 1)3 , B = (x − 1)3 (x + 3), C = (x − 1)3 (x2 + 3x + 3) 2. Calcular el determinante de la matriz D =               α 0 0 0 0 β 0 α 0 0 β 0 0 0 α β 0 0 0 0 β α 0 0 0 β 0 0 α 0 β 0 0 0 0 α               . Resp.(α2 − β2 )3 3. Calcular D = x − y − z 2x 2x 2y −x + y − z 2y 2z 2z −x − y + z . Resp. D = (x + y + z)3 4. Sean a, b, c, d = 0. Calcular la solución de la ecuación a + x x x x x b + x x x x x c + x x x x x d + x = 0 Resp. x = [a−1 + b−1 + c−1 + d−1 ]−1 5. Calcular el determinante de la siguiente matriz: 1 1 1 1 1 1 + a 1 1 1 1 1 + b 1 1 1 1 1 + c Resp.abc 6. Calcular: 20 k=1 1 1 1 1 2 3 1 4 k2 7. Calcular el determinante a b c a + b b + c c + a b + c c + a a + b Resp. 3abc − a3 − b3 − c3 Capítulo 1 8 Designed en LATEX by VAF.
  11. 11. UNSCH 2015–I Determinantes 8. Sea f(x) = a b −2a 3b −1 x 0 0 0 −1 x 0 0 0 −1 x , si f(0) = −3, f(1) = f(−1). Calcular a y b. Resp. a = 0, b = −1 9. Calcular el determinante de las siguientes matrices: A =         1 x x2 x3 1 1 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16         B =         a2 ab ab b2 ab a2 b2 ab ab b2 a2 ab b2 ab ab a2         Resp. A = 2(1 − x)3 , B = (a2 − b2 )4 10. 11. Calcular: 47 26 12 119 68 33 191 110 54 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12. Determinar el valor de x para que se cumpla la siguiente propiedad: la determinante de la matriz 2B es 160, siendo B = x 3 1 x + 1 4 2 x 2 − x2 1 13. Demostrar sin calcular que 1 a2 a3 1 b2 b3 1 c2 c3 = bc a a2 ca b b2 ab c c2 14. Demostrar sin calcular 1 6 9 1 8 2 0 4 1 + 1 1 1 5 6 8 4 9 2 = 1 6 9 1 8 2 1 9 5 . 15. Calcular el valor los siguientes determinantes: √ 5 + 3 −3 2 √ 5 − 3 1 1 0 −1 2 3 0 −1 0 2 −1 3 4 1 2 −1 0 0 −1 2 5 4 3 −1 2 16. Sean A y B matrices de orden n tales que: |A| = 3 y |B| = 2. Calcular: a) |2A| b) |B · At | c) |1 2 · B| Capítulo 1 9 Designed en LATEX by VAF.
  12. 12. UNSCH 2015–I Determinantes d) |A · B| e) |(B · A)t | f) |(Bt · At · B)t | 17. Calcular los siguientes determinantes: 1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b 1 2 22 23 1 3 32 33 1 4 42 43 1 5 52 53 −a 1 2 3 a −1 4 1 a a 2 8 a a a 3 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 18. Demostrar sin desarrollar, que los siguientes determinantes son nulos: 0 2 4 6 1 3 5 7 10 12 14 16 21 23 25 27 , 12 15 18 21 1 1 1 1 0 3 6 9 1 2 3 4 , 7 8 9 10 12 13 14 15 17 18 19 20 21 23 24 25 , 1 a b c 1 b c a 1 c a b 1 2a − b 2b − c 2c − a 19. Resolver las siguientes ecuaciones: 1 − x 2 2 2 1 − x 2 2 2 1 − x = 0 2 − x 0 3 0 1 2 − x 0 3 0 0 2 − x 0 0 0 1 2 − x = 0 x + 2 6 1 4 x + 4 3 1 3 2 = 0 2 −8 4 0 3 −3 3 1 0 x 2 3 1 17 −5 0 = 0 1 3 x − 5 4 2 + x x −1 1 −3 = 0 1 1 1 3x − 6 4 x + 4 3 1 −1 = 0 20. Justificar mediante las propiedades de los determinantes la igualdad: 3 4 2 1 0 5 2 7 0 = 3 4 342 1 0 105 2 7 270 21. Demostrar, sin calcularlo, que el siguiente determinante es múltiplo de 11: 5 0 9 3 3 0 8 0 5 6 5 4 9 3 6 1 Capítulo 1 10 Designed en LATEX by VAF.
  13. 13. UNSCH 2015–I Determinantes 22. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades: a) 2 8 24 100 = 2 8 0 4 = 8 1 4 0 1 b) 5 30 20 6 9 12 1 −3 0 = 15 1 6 4 2 3 4 1 −3 0 = 15 1 6 4 2 3 4 2 3 4 23. Sabiendo que: x y z 5 0 3 1 1 1 = 1. Calcular sin desarrollar: 5x 5y 5z 1 0 3/2 1 1 1 x y z 2x + 5 2y 2z + 3 x + 1 y + 1 z + 1 24. Sabiendo que a b c d e f g h i = 5 , calcular: −a −b −c 2d 2e 2f −g −h −i d e f g h i a b c a + 5c 3b c d + 5f 3e f − 3c g + 10i 6h 2i d b c d − 3a e − 3b f − 3c 2g 2h 2i 25. Demostrar de la forma más sencilla posible que: a2 ab b2 2a a + b 2b 1 1 1 = (a − b)3 b + c b c a c + a c a b a + b = 2 0 c b c 0 a b a 0 Capítulo 1 11 Designed en LATEX by VAF.
  14. 14. Bibliografía [1] POOLE, DAVID Álgebra lineal, Una introducción moderna. CENGAGE Learning, 2011. 12

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