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DOCUMENTO DE TRABAJO            2009




   TRIGONOMETRÍA




Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
DOCUMENTO DE TRABAJO                                               2009


TRIGONOMETRÍA




        ANGULO TRIGONOMÉTRICO

 *   ANGULO TRIGONOMETRICO
     Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición
     inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo
     llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación:
     :




     Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede
     ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en
     cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos
     trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello
     las siguientes consideraciones:




 *   SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
     Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos;
     destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades:


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                                                                        TRIGONOMETRÍA


            Sistema       Unidad    ∠1 vuelta       Sexagesimal   Centesimal
                                                                   g        m
            Sexagesimal     1°        360°          1° = 60'      1 = 100
                                g           g                      m        s
            Centesimal      1         400           1' = 60''     1 = 100
                                                                   g            s
            Radial         1rad      2 πrad         1° = 3600''   1 = 10000



       A partir de estas definiciones, se pueden establecer :

       1. 1 rad. > 1º > 1g               2.         180º < > 200g < > πrad
       3. 9º < > 10g                                4.   aºb'c'' = aº+b'+c''
          27' < > 50m                                    xgymzs = xg + ym + zs
          81"< > 250s

 *     CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS
       Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un
       sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de
       conversión que consiste en lo siguiente:
 •     Convertir 40g → radianes            Convertir π/3 rad → sexagesimal




 *     FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
       Es otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general
       de conversión es la relación entre los números que representan la
       medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo
       "α ", se cumple:




 •     Por ejemplo, si queremos convertir 30° → radianes:
       tenemos: S = 30 y R = ??


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TRIGONOMETRÍA


     Luego:

            S  R   30 R     π
              = ⇒    = ⇒R =
           180 π  180 π     6

           ∴ 30° < > π rad
                     6
     Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los
     cuales se requiere tener además, lo siguiente :

                 S   C  S C  S 9
           1.      =   ⇒ =  ó =
                180 200 9 10 C 10



                  S  R          R
           2.       = ⇒ S = 180
                 180 π          π




                  C  R          R
           3.       = ⇒ C = 200
                 200 π          π


 *   Una aplicación sería:
     "Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números
     de grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo,
     planteamos el problema así:

     Si:
                S
                        # grados + # grados = 19
           " α" C
                R
                     ⇒    sexag.     centes.
                                                    S + C = 19
                


     como piden "R", entonces:
           180R 200R        380R             π
               +     = 19 ⇒      = 19 ⇒ R =
             π    π           π             20


                              π
           ∴el ángulo mide      rad
                             20


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                                        PROBLEMAS
 NIVEL 1
                                                   4. A qué es igual 320''
 1. En el gráfico, señale lo que es
       correcto respecto a " α " y " β ":             a) 3º40'                  b) 3'40''
                                                      c) 3º20''                 d) 5º 40'
                                                      e) 5'20''

                                                   5. A qué es igual: 1º 20'

                                                      a) 1500''                 b) 3620''
                                                      c) 4000''                 d) 4800''
                                                      e) 6000''

                                                   6. A qué es igual:
       a) α + β =90º         b) α - β = 90º                     2°3'
                                                           E=
       c) β - α = 90º        d) α + β = 0º                       3'

       e) α + β = -90º                                a) 2             b) 1 2          c) 4 0
                                                      d) 4 1           e) 5 2
 2. En el gráfico, señale lo que es correcto
    respecto a los ángulos mostrados:              7. Convierta a radianes: 45º

                                                           π                π                 π
                                                      a)     rad       b)     rad      c)       rad
                                                           3                4                 8

                                                           π                π
                                                      d)     rad       e)     rad
       a) α + β = 90º        b) α - β = 90º                2                9
       c) β - α =90º         d) α + β = 0º
                                                   8. Convierta a radianes: 36º
       e) α + β = -90º
                                                           π                π                 π
 3. Exprese "x" en función de "α" y "β"; a            a)     rad       b)     rad      c)       rad
    partir del gráfico mostrado:                           2                3                 4

                                                           π                π
                                                      d)     rad       e)     rad
                                                           5                6

                                                   9. Convierta a radianes: 60g

                                                            π                        3π
                                                      a)      rad               b)      rad
                                                           20                        10

                                                           3π                        π
                                                      c)      rad               d)     rad
       a) 2π − α − β         b) 2π − α + β                 20                        5
       c) 2π + α − β         d) β − α − 2π                 π
                                                      e)     rad
       e) β + α − 2π                                       4


2009                                           4                            Módulo de Estudios

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TRIGONOMETRÍA
 10. Convierta a centesimales: 72º
                                                    6. La suma y diferencia de dos ángulos
    a) 70g            b) 80g          c) 90g           son 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor?
    d) 60g            e) 72g
                                                       a) 1'         b) 2'            c) 3'
 NIVEL II                                              d) 4'         e) 5'

 1. Convierta al sistema sexagesimal :              7. En un triángulo sus ángulos miden:
        π
    "     rad "                                               160x g       πx
        7                                              14x°;           y      rad .
                                                                9          3

    a) 25º 42' 51''            b) 6º 37' 30''          ¿Cuál es el valor de "x"?
    c) 5º 37' 20''             d) 5º 32' 30''
    e) N.A                                             a) 1          b) 2             c) 3
                                                       d) 4          e) 5
 2. Convierta al sistema centesimal:
                                                    8. Señale la medida de un ángulo en
       π                                               radianes sabiendo que la diferencia
    "     rad "
      125                                              de   sus   números     de   grados
                                                       centesimales y sexagesimales es 5.
    a) 1g 30 m                 b) 1g 50 m
    c) 1g 60 m                 d) 1g 40 m                   π             π                π
                                                       a)     rad    b)               c)
    e) 1g 70 m                                              2             3                4
                                                            π             π
 3. Convierta al sistema centesimal:                   d)            e)
                                                            5             6
         π
    "       rad"
        125                                         9. Sabiendo que el doble del número de
                                                       grados sexagesimales que contiene
    a) 1g 30 m                 b) 1g 50 m              un ángulo disminuido en su número
                                                       de grados centesimales es igual a 8.
    c) 1g 60 m                 d) 1g 40 m
                                                       ¿Cuánto mide el ángulo en radianes?
    e) 1g 70 m

                                                            π             π                 π
            π                                          a)     rad    b)               c)
 4. Si:        rad <> a° bc'                                4             5                10
            48
                                                             π            π
    Calcular: E = (b + c)a-1                           d)            e)
                                                            20            40
    a) 1              b) 2            c) 3
                                                    10. Sabiendo que: (S + C)π = 4nR donde
          1                1                            "S", "C" y "R" son lo conocido para un
    d)                e)
          3                2                            mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"?

 5. La suma de dos ángulos es 40° y su                 a) 85         b) 78            c) 95
                                                       d) 98         e) 100
    diferencia es 30 g . ¿Cuánto mide el
    mayor?
                                                    NIVEL III
    a) 27°                     b) 28°
                                                    1. Halle la medida circular de un ángulo
    c) 27°50'                  d) 28°30'
                                                       que cumple:
    e) 18°30'


 Módulo de Estudios                             5                                               2009
 Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
DOCUMENTO DE TRABAJO                                                                2009


                                                                              TRIGONOMETRÍA

            S     C    R
               +     + =6                         4. La diferencia de medidas de dos
           180 200 π                                 ángulos    consecutivos    de   un
       siendo: "S", "C" y "R" lo conocido            paralelogramo es 30°. ¿Cuánto mide
                                                     el ángulo mayor en radianes?
       a) πrad       b) 2π         c) 3π
       d) 4π         e) 5π
                                                          5π             7π            2π
                                                     a)      rad    b)            c)
 2. La diferencia de las recíprocas que                   12             12             3
    representan la medida sexagesimal y
                                                          4π             5π
    centesimal de un ángulo, es igual a su           d)             e)
    número de radianes entre 2π. ¿Cuánto                  3              6
    mide el ángulo en el sistema
    sexagesimal?                                  5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un
                                                     mismo ángulo, tales que:
       a) 6°         b) 8°         c) 10°                S        1   C         1
       d) 12°        e) 15°                                = x + ;       = 2x −
                                                         9        x 10          x
 3. Se tiene un ángulo que al medirlo en             calcular la medida radial del ángulo.
    grados sexagesimales dicho número
    excede a 7 veces su número de
                                                          π 2            π 2           π 2
                                                     a)       rad   b)            c)
                              22                           40             15            5
       radianes en 79. Si: π=    , halle la
                               7
       medida sexagesimal del ángulo.                     π 2
                                                     d)             e) N.A.
                                                           20
       a) 75°        b) 90°        c) 60°
       d) 120°       e) 45°




2009                                          6                          Módulo de Estudios

   Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

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Conversion de angulos

  • 1. DOCUMENTO DE TRABAJO 2009 TRIGONOMETRÍA Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
  • 2. DOCUMENTO DE TRABAJO 2009 TRIGONOMETRÍA ANGULO TRIGONOMÉTRICO * ANGULO TRIGONOMETRICO Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación: : Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello las siguientes consideraciones: * SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos; destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades: Módulo de Estudios 1 2009 Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
  • 3. DOCUMENTO DE TRABAJO 2009 TRIGONOMETRÍA Sistema Unidad ∠1 vuelta Sexagesimal Centesimal g m Sexagesimal 1° 360° 1° = 60' 1 = 100 g g m s Centesimal 1 400 1' = 60'' 1 = 100 g s Radial 1rad 2 πrad 1° = 3600'' 1 = 10000 A partir de estas definiciones, se pueden establecer : 1. 1 rad. > 1º > 1g 2. 180º < > 200g < > πrad 3. 9º < > 10g 4. aºb'c'' = aº+b'+c'' 27' < > 50m xgymzs = xg + ym + zs 81"< > 250s * CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de conversión que consiste en lo siguiente: • Convertir 40g → radianes Convertir π/3 rad → sexagesimal * FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN Es otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general de conversión es la relación entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo "α ", se cumple: • Por ejemplo, si queremos convertir 30° → radianes: tenemos: S = 30 y R = ?? 2009 2 Módulo de Estudios Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
  • 4. DOCUMENTO DE TRABAJO 2009 TRIGONOMETRÍA Luego: S R 30 R π = ⇒ = ⇒R = 180 π 180 π 6 ∴ 30° < > π rad 6 Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los cuales se requiere tener además, lo siguiente : S C S C S 9 1. = ⇒ = ó = 180 200 9 10 C 10 S R R 2. = ⇒ S = 180 180 π π C R R 3. = ⇒ C = 200 200 π π * Una aplicación sería: "Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números de grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo, planteamos el problema así: Si: S  # grados + # grados = 19 " α" C R ⇒ sexag. centes. S + C = 19  como piden "R", entonces: 180R 200R 380R π + = 19 ⇒ = 19 ⇒ R = π π π 20 π ∴el ángulo mide rad 20 Módulo de Estudios 3 2009 Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
  • 5. DOCUMENTO DE TRABAJO 2009 TRIGONOMETRÍA PROBLEMAS NIVEL 1 4. A qué es igual 320'' 1. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a " α " y " β ": a) 3º40' b) 3'40'' c) 3º20'' d) 5º 40' e) 5'20'' 5. A qué es igual: 1º 20' a) 1500'' b) 3620'' c) 4000'' d) 4800'' e) 6000'' 6. A qué es igual: a) α + β =90º b) α - β = 90º 2°3' E= c) β - α = 90º d) α + β = 0º 3' e) α + β = -90º a) 2 b) 1 2 c) 4 0 d) 4 1 e) 5 2 2. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a los ángulos mostrados: 7. Convierta a radianes: 45º π π π a) rad b) rad c) rad 3 4 8 π π d) rad e) rad a) α + β = 90º b) α - β = 90º 2 9 c) β - α =90º d) α + β = 0º 8. Convierta a radianes: 36º e) α + β = -90º π π π 3. Exprese "x" en función de "α" y "β"; a a) rad b) rad c) rad partir del gráfico mostrado: 2 3 4 π π d) rad e) rad 5 6 9. Convierta a radianes: 60g π 3π a) rad b) rad 20 10 3π π c) rad d) rad a) 2π − α − β b) 2π − α + β 20 5 c) 2π + α − β d) β − α − 2π π e) rad e) β + α − 2π 4 2009 4 Módulo de Estudios Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
  • 6. DOCUMENTO DE TRABAJO 2009 TRIGONOMETRÍA 10. Convierta a centesimales: 72º 6. La suma y diferencia de dos ángulos a) 70g b) 80g c) 90g son 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor? d) 60g e) 72g a) 1' b) 2' c) 3' NIVEL II d) 4' e) 5' 1. Convierta al sistema sexagesimal : 7. En un triángulo sus ángulos miden: π " rad " 160x g πx 7 14x°; y rad . 9 3 a) 25º 42' 51'' b) 6º 37' 30'' ¿Cuál es el valor de "x"? c) 5º 37' 20'' d) 5º 32' 30'' e) N.A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Convierta al sistema centesimal: 8. Señale la medida de un ángulo en π radianes sabiendo que la diferencia " rad " 125 de sus números de grados centesimales y sexagesimales es 5. a) 1g 30 m b) 1g 50 m c) 1g 60 m d) 1g 40 m π π π a) rad b) c) e) 1g 70 m 2 3 4 π π 3. Convierta al sistema centesimal: d) e) 5 6 π " rad" 125 9. Sabiendo que el doble del número de grados sexagesimales que contiene a) 1g 30 m b) 1g 50 m un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es igual a 8. c) 1g 60 m d) 1g 40 m ¿Cuánto mide el ángulo en radianes? e) 1g 70 m π π π π a) rad b) c) 4. Si: rad <> a° bc' 4 5 10 48 π π Calcular: E = (b + c)a-1 d) e) 20 40 a) 1 b) 2 c) 3 10. Sabiendo que: (S + C)π = 4nR donde 1 1 "S", "C" y "R" son lo conocido para un d) e) 3 2 mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"? 5. La suma de dos ángulos es 40° y su a) 85 b) 78 c) 95 d) 98 e) 100 diferencia es 30 g . ¿Cuánto mide el mayor? NIVEL III a) 27° b) 28° 1. Halle la medida circular de un ángulo c) 27°50' d) 28°30' que cumple: e) 18°30' Módulo de Estudios 5 2009 Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
  • 7. DOCUMENTO DE TRABAJO 2009 TRIGONOMETRÍA S C R + + =6 4. La diferencia de medidas de dos 180 200 π ángulos consecutivos de un siendo: "S", "C" y "R" lo conocido paralelogramo es 30°. ¿Cuánto mide el ángulo mayor en radianes? a) πrad b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π 5π 7π 2π a) rad b) c) 2. La diferencia de las recíprocas que 12 12 3 representan la medida sexagesimal y 4π 5π centesimal de un ángulo, es igual a su d) e) número de radianes entre 2π. ¿Cuánto 3 6 mide el ángulo en el sistema sexagesimal? 5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo, tales que: a) 6° b) 8° c) 10° S 1 C 1 d) 12° e) 15° = x + ; = 2x − 9 x 10 x 3. Se tiene un ángulo que al medirlo en calcular la medida radial del ángulo. grados sexagesimales dicho número excede a 7 veces su número de π 2 π 2 π 2 a) rad b) c) 22 40 15 5 radianes en 79. Si: π= , halle la 7 medida sexagesimal del ángulo. π 2 d) e) N.A. 20 a) 75° b) 90° c) 60° d) 120° e) 45° 2009 6 Módulo de Estudios Prof. Juan Gutiérrez Céspedes