Aritmetica

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria ARITMETICA
3er. Año Secundaria
OBJETIVOS:
♦ Reconocer las características inherentes de
los objetos y seres dado la comparación.
♦ Analizar cuantitativamente dichas
características.
♦ Deducir de los resultados encontrados en la
comparación para obtener formas prácticas de
resolver problemas de la vida real, además
aplicarlos en otras disciplinas.
INTRODUCCIÓN:
Ejemplo:
Ronaldo vive en Chosica lugar que se encuentra a
500 metros sobre el nivel del mar y una
temperatura promedio de 28°C. Victor vive en
Cerro de Pasco lugar que se encuentra a 4500
metros sobre el nivel del mar y a una temperatura
promedio de 7°C.
1500m
Cerro de Pasco 7°C
Chosica 28°C
500m
Observamos:
Cerro de Pasco se encuentra a (4500 - 500 =
4000), 4000 metros más sobre el nivel del mar
que Chosica.
La temperatura promedio de Chosica es






= 4
7
28
4 veces la temperatura promedio de
Cerro de Pasco
Concluimos:
♦ Al comparar las alturas sobre el nivel del
mar de Cerro de Pasco y Chosica: lo
comparamos por medio de una sustracción.
40005004500 =−
A dicha comparación se ele denomina Razón
Aritmética.
♦ Al comparar las temperaturas de Chosica
respecto a la de Cerro de Pasco, lo
comparamos por medio de una división.
4
7
28
=
A dicha comparación se le denomina Razón
Geométrica.
♦ Al comparar dos cantidades se puede
realizar de varias formas. Lo que
desarrollaremos serán las dos formas
anteriores mencionadas.
RAZON ARITMETICA (R.A.)
Ejemplo
Sean las edades de Carlos y Jhon 48 y 28 años
respectivamente, la razón aritmética de sus
edades es:
Donde: 48 – 28 = 20
Antecedente
Consecuente
Valor de la R.A.
Podemos decir, que el peso de Diana (56=8 . 7) y
el peso de Margoth (35=5 . 7) están en relación o
son entre sí , o son proporcionales a 8 y 5 en ese
orden. La R.G. es más aplicable para una variedad
de problemas sólo indican la razón, quedará
sobreentendido que es la R.G.
SERIE DE RAZONES GEOMETRICAS
EQUIVALENTES. (S.R.G.E.)
Consideremos razones geométricas, cuyos
valores sean iguales.
Ejemplo
5
7
35
;5
4
20
;5
3
15
===
Igualando dichas razones equivalentes.
15
3
=
20
4
=
35
7
= 5
Constante de
proporcionalidad
Consecuente
Antecedentes
Se cumple :
1. 5
743
352015
=
++
++
5
73
3515
=
+
+
2.
3
5
543
352015
=
××
××
2
5
73
3515
=
×
×
3.
7
735
4
420
3
315 ±
=
±
=
±
735
735
420
420
315
315
−
+
=
−
+
=
−
+
Observamos: La serie de la forma:
1
5
5
25
25
125
125
625
===
Se denomina serie de 4 razones geométricas
equivalentes “continua”
PROPORCION:
Ejemplo 1:
En la familia de Rosario son: 5 hombres y 2
mujeres y en la de Viviana son: 7 hombres y 4
mujeres.
Observamos
En la familia de Rosario hay (5 - 2 = 3) 3
hombres más que mujeres. En la familia de
Viviana también hay (7 - 4 = 3) 3 hombres más
que mujeres. La comparación por sustracción en
ambos casos son equivalentes.
Igualando :
4725 −=−
Esta igualdad de dos razones aritméticas
equivalentes se denomina “proporción aritmética”
Ejemplo 2:
En el recipiente A se tiene una mezcla de 6 l de
alcohol y 2 l de agua; en el recipiente B se tiene
una mezcla de 15 l de alcohol y 5 l de agua.
En el recipiente A: se tiene 





= 3
2
6
el
volumen de alcohol es el triple del volumen de
agua.
En el recipiente B: se tiene 





= 3
5
15
el
volumen de alcohol es el triple del volumen de
agua. La comparación por división en ambos
casos son equivalentes.
Igualando:
S3AR31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S3AR31B “ El nuevo símbolo de una buena educación...”
RAZONES Y

5
15
2
6
=
Esta igualdad de 2 razones geométricas
equivalentes se denomina “proporción
geométrica”
.
Conclusión:
6
2
=
5 - 2 = 7 - 4
Proporción
1er. 2do. 3er. 4to.
TERMINOS
Aritmética 5 2 7 4
15
5
Proporción
Geométrica
6 2 15 5
TIPOS DE PROPORCIONES:
Considerando, respecto a los términos medios.
CONTINUA:
Cuando los términos medios de la proporción son
iguales.
* Ejemplo 1
12202028 −−−
Proporción Aritmética Continua
Donde :
- 20 es la media diferencial de 28 y 12
- 12 es la tercia diferencial de 28 y 20
* Ejemplo 2
12
24
24
48
=
Proporción Geométrica Continua
Donde:
- 24 es la media proporcional de 48 y 12
- 12 es la tercia proporcional de 48 y 24
DISCRETA:
Cuando los términos medios de la proporción son
diferentes.
* Ejemplo 1
8182535 −=−
Proporción Aritmética Discreta
Donde:
- 8 es la cuarta diferencial de 35, 25 y 8
Ejemplo 2
5
35
3
21
=
Proporción Geométrica Discreta
Donde:
- 5 es la cuarta proporcional de 21, 3 y 35.
PRACTICA DE CLASE
01.La razón aritmética de dos números es 40 y
su razón geométrica es 9/4. Hallar la suma de
los números.
a) 104 b) 65 c) 78
d) 91 e) 52
02.La relación de dos cantidades es de 9 a 13, y
el triple del menor más el mayor es 160. Dar
como respuesta la diferencia de los números.
a) 12 b) 16 c) 20
d) 14 e) 48
03.Si :
7
c
5
b
2
a
== y ab+bc=180.
Hallar a+b+c
a) 360 b) 380 c) 379
d) 381 e) 382
04.El dinero que tiene Carla es al dinero que
tiene Betina como 11 es a 7. Si Carla diese
S/.40 a Betina ambas tendrían la misma
cantidad. ¿Cuánto tiene Carla?
a) 220 b) 110 c) 88
d) 99 e) 165
05.De un grupo de niños y niñas se retiran 15
niñas quedando 2 niños por cada niña.
Después se retiran 45 niños y quedan
entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el
número de niñas al comienzo.
a) 38 b) 45 c) 40
d) 54 e) 20
06.En una proporción geométrica continua la
suma de los extremos es 34 y la diferencia de
los mismos es 16. Hallar la media
proporcional.
a) 12 b) 15 c) 18
d) 21 e) 13
07.Si 8 es la cuarta proporcional de “a”, 6 y “b”
y “a” es la cuarta proporcional de “b”, 16 y
48. Hallar el valor de (a+b).
a) 56 b) 28 c) 42
d) 46 e) 16
08.El jardinero “A” planta rosas más
rápidamente que el jardinero “B” en la
proporción de 4 a 3, cuando “B” planta “x”
rosas en 1 hora. “A” planta “x+2” rosas.
¿Cuántas rosas planta “B” en 8 horas?
a) 24 b) 32 c) 48
d) 30 e) 36
09.En una caja se tienen cubos negros y blancos.
Si se sacan 20 cubos negros la relación de los
cubos de la caja es de 7 blancos por 3 negros.
Si enseguida se sacan 100 cubos blancos la
relación es de 3 negros por cada blanco.
¿Cuántos cubos habían inicialmente en la
caja?
a) 140 b) 210 c) 80
d) 220 e) 190
10.Una proporción continua tiene como suma de
términos medios 48 y como diferencia de
extremos a 36. Calcular la suma de éstos
últimos.
a) 48 b) 50 c) 52
d) 60 e) 62
11.La suma de la media diferencial de 34 y con
la cuarta diferencial de 22; 12 y 16 igual a:
a) 18 b) 29 c) 31
d) 26 e) 34
12.¿Cuál es la diferencia entre los extremos de
una proporción geométrica continua?. Si la
suma de los cuatro términos es 36 y la razón
entre la suma y la diferencia de los dos
primeros términos es 3.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
13.En una proporción geométrica continua el
producto de los 4 términos es 1296 y el
producto de los antecedentes es 24. Hallar la
tercera parte proporcional.
a) 9 b) 12 c) 15
d) 8 e) 16
14.En una proporción geométrica discreta cuya
suma de sus 4 términos es 600. Se conoce
que cada uno de los términos siguientes es el
doble del anterior. Dar como respuesta el
primer antecedente.
a) 30 b) 40 c) 60
d) 15 e) 20
15.En una serie de tres razones geométricas
iguales y discretas, el producto de los
antecedentes es 1/64 del producto de los
consecuentes. Si la suma de los antecedentes
es 400, hallar la suma de los consecuentes.

a) 100 b) 1600 c) 800
d) 200 e) 1200
TAREA DOMICILIARIA
01.Si :
8
c
7
b
5
a
== ;
además : 4a + 3b + 2c =171
Hallar : a . c + b
a) 360 b) 380 c) 379
d) 381 e) 382
02.La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de
su producto es 1152. Encontrar el mayor de
los dos números.
a) 84 b) 36 c) 49
d) 48 e) 45
03.Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si
se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se
obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el
menor?
a) 90 b) 75 c) 60
d) 40 e) 45
04.Hallar la cuarta diferencial entre: la cuarta
diferencial de 18, 12 y 24 y las medias
diferenciales entre 18 y 8 ; y 96 y 54.
a) 70 b) 65 c) 75
d) 71 e) 60
05.El producto de los cuatro términos de una
proporción geométrica es 50625 sabiendo que
los medios son iguales y que uno de los
extremos es 75. Indicar la suma de los cuatro
términos de la proporción.
a) 180 b) 108 c) 156
d) 216 e) 258
06.Dado :
c
b
b
a
= .
Además : 576cb2a
222
=++
Hallar : (a+c)
a) 23 b) 24 c) 25
d) 14 e) 34
07.En la siguiente serie de razones geométrica
equivalentes:
5
d
4
c
3
b
2
a
===
Se cumple que:
a . b . c . d = 1920 ; hallar: a+b+c+d
a) 25 b) 33 c) 28
d) 42 e) 21
08.Dos números se encuentran en la relación de
7 a 4. Se sabe además que suman 935.
Determinar el menor y dar como respuesta la
suma de sus cifras.
a) 12 b) 9 c) 7
d) 19 e) 17
09.Un par de números son entre sí como 8 es a 5.
Además el doble del menor menos el mayor
es 400. Hallar la diferencia de los números.
a) 200 b) 400 c) 600
d) 300 e) 630
10.Si
9
c
7
b
4
a
== ;
sabiendo que : a + b – c = 114.
Hallar
2
)cb(
a2
+
−
a) 1 b) 0 c) 228
d) 2 e) 200
11.Se tiene la siguiente serie de razones :
7
c
6
b
5
a
== y 3a + 7b – 8c = 9.
Dar a+b+c
a) 144 b) 134 c) 124
d) 44 e) 154
12.La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si
a uno de ellos se le suma 33 unidades y al
otro se le suma 60 entonces ambos resultados
serían iguales. Hallar dichos números.
a) 86 y 145 b) 88 y 1332 c) 96 y 123
d) 95 y 130 e) 99 y 126
13.En una fiesta concurren 400 personas entre
hombres y mujeres asistiendo 3 hombres por
cada 2 mujeres. Luego de 2 horas por cada 2
hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se
retiraron?
a) 120 b) 240 c) 80
d) 160 e) 200
14.En una reunión asistieron personas solteras y
casadas en relación de 13 a 5. La relación
entre hombres casados y mujeres casados es
de 3/2. Si asistieron 900 personas en total.
¿Cuántas mujeres casadas asistieron a dicha
reunión?
a) 50 b) 150 c) 100
d) 650 e) 250
15.Si “P” es la media proporcional de 25 y “Q”
es la cuarta proporcional de 45, P y 1. Hallar
(P+Q)
a) 31 b) 21 c) 20
d) 22 e) 23
OBJETIVOS:
Al finalizar el capítulo el estudiante estará en la
capacidad de:
MAGNITUDES Y

* Reconocer que es una magnitud y sus estados
particulares representado por cantidades.
* Poder entender que las magnitudes jamás
aparecen solas ya que siempre están
relacionadas con otras.
* Establecer las distintas comparaciones entre
las magnitudes.
* Poder resolver a partir de éste capítulo
problemas que se pueden presentar en la vida
diaria.
INSTRODUCCIÓN:
Al observar la naturaleza y los fenómenos que
ocurren en ella podemos notar que se tienen
características que aparecen en diversos estados
por lo que se puede cuantificar como por ejemplo:
El peso, la temperatura, el tiempo, el número de
obreros, obras realizadas etc..... nuestro estudio
está basado en el análisis de todo esto.
MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser
medido.
CANTIDAD: Es un estado particular de la
magnitud por ejemplo.
Magnitud Cantidad
Longitud 75 cm
Volumen 30 litros
Número de días 25 días
Número de
obreros
43 obreros
Cantidad de obra 700 m3
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONAL (D.P)
Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada
una de las botellas con un litro de gaseosa a S/. 2
analizamos las magnitudes, número de botellas
vendidas y el precio.
x 4 x 32 x 5/6÷
# de botellas 1 4 2 6 5
precio 2 8 4 12 1
0
Se observa que:
5.0
10
5
12
6
4
2
8
4
2
1
=====
Observamos que la relación entre los valores
correspondientes entre las 2 magnitudes es
constante, cuando ocurre esto a las magnitudes
las llamaremos D.P. (precio).
Veamos gráficamente.
1 2 4 5 6
12
10
8
4
2
de botellas#
MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES (I.P)
Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja
en 10 días, analicemos los valores
correspondientes que pueden tomar las magnitudes
número de obreros y números de días.
x 23 x 3/4÷
# de Obreros 24 8 16
# de días 10 30 15
2x 3 3/4
÷ ÷
Podemos Observar que:
24 . 10 = 8.30 = 16 .15 = 12 . 20
Cuándo dos magnitudes cumplen que el producto
de sus valores correspondientes es constante les
llamaremos magnitudes I.P.
∴ (# de obreros) I.P (# de días)
Veamos gráficamente
8 12 16 24
30
10
15
20
de obreros#
# de días
Luego 2 magnitudes son I.P. si el producto de sus
valores correspondientes es constante, su gráfica
será una o parte de una rama de una hipérbole
equilátera.
Entonces, sean las magnitudes A y B I.P. Se
cumple (valor de A) (valor de B) = etc.
a.- Si la magnitud A2
es I.P 3
B , calcule x, si:
A 15 X
B 27 1728
b.- La presión es I.P con el volumen, ¿a qué
presión está sometido un gas, si al aumentar
la presión en 12 atmósferas, el volumen varía
en 1/7?
Analicemos las magnitudes I.P. como
función de proporcionalidad.
Sabemos que cuando A I P B:
(Valor de A) (Valor de B) = etc.
Llamaremos: “y” al valor de A
“x” al valor de B
“m” a la etc,
luego reemplazamos y . x = m
x
m
y =
lo que es una ecuación de una hipérboles
equilátera por lo que:
y = f(x) entonces :
x
m
)x(f = ó f(x).x =
m
en donde f(x) es una función de
proporcionalidad inversa
Luego 2 magnitudes son D. P si la relación
entre sus valores correspondientes es
constante.
Su gráfica será una línea recta o punto de
pertenencia o una misma línea recta que pasa
por el origen de coordenadas.
Entonces, sean las magnitudes A y B, D . P se
cumple.
( )
( )BdeValor
AdeValor
= k (cte)
Aplicación 1:
Si la magnitud A es D.P.B2
, calcule el valor que
asume la magnitud A cuando B es 16, sabiendo
que cuando A asume el valor de 25, en B asume
el valor de 20
Aplicación 2:
La temperatura en grados centígrados en una aula
es D.P, a la raíz cuadrada del número de alumnos
presentes. En un determinado momento la
temperatura fue de 24ºC. Cuando estuvieron
presentes 36 alumnos, Cuál será la temperatura
cuando ingresen 28 alumnos más.
Analicemos las magnitudes D.P como
función de proporcionalidad:
Sabemos que cuando A es D.P.B. se cumple.
( )
( )BdeValor
AdeValor
= k (cte)
Llamemos:

“y” al valor de A
“x” al valor de B
“m” a la etc
Entonces:
m
x
y
=
Lo que nos representa la ecuación de una recta que
pasa por el origen de coordenadas por lo que: y =
f(x), entonces :
F(x) = mx , en donde f(x) es una función de
proporcionalidad
Aplicación 3
Si f(x) es una función de proporcionalidad
directa, en donde f(4) = 12, Calcule f(3) + f(2)
Aplicación 4
Si f(x) es una función de proporcionalidad,
calcule
)9(F
1
x
)17(F
))5(F()4(Fx)3(F
x
2
−
=
PRACTICA DE CLASE
01.¿Cual de las siguientes relaciones no indica
una relación de proporcionalidad entre x e y?
a) 5x = 7y b) 9x = 2/4
c) x + y = 12 d) x + y = 2y
e) (x+1)2 = y + 2
02.Si A es D.P. a B, además cuando A = 12
entonces B es igual a 16. Hallar A cuando B
sea igual a 12.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 6
03.Si A es I.P. a B además cuando A es igual a
10, entonces B es igual a 24. Hallar B cuando
A sea igual a 15.
a) 10 b) 8 c) 16
d) 12 e) 4
04.Si A es D.P. a B2
, además cuando A es igual a
32 entonces B es igual a 4. Hallar A cuando B
sea igual a 3.
a) 6 b) 9 c) 18
d) 27 e) 36
05.Si A es D.P. a B. IP a C e I.P. a D, además
cuando AD=2 entonces B=2C. Hallar A
cuando B=48, C=2 y D=3.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 12 e) 16
06.Si: A es D.P. a B, e I.P. a C, además cuando
A es igual a 2, entonces B es igual a 6 y C es
igual a 8. Hallar A ciando B sea 15 y C igual
10.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 5
07.Se tiene dos magnitudes tales que: A3 es
I.P. a B. Si cuando A = 8 entonces B = 6,
halar A cuando B sea 4.
a) 9 b) 27 c) 4
d) 32 e) 64
08.Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A
es D.P. a B e I.P. a C2
cuando A=8 y
B=16 entonces C=6. Hallar B cuando A=9 y
C=4.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 6 e) 16
09.Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A
es DP a B1/2
; A es IP a C2
. Cuando A=8,
B=16, C=6. Calcular B si A=9 y C=4.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10.La magnitud A es DP a B2
, e IP a C1/3
. Si el
valor de B se duplica y el de C disminuye en
sus 26/27. ¿Qué sucede con el valor de A?
a) Queda multiplicado por 12
b) Disminuye en 1/11 de su valor
c) Aumenta en 1/11 de su valor
d) Se triplica
e) Se cuadriplica
11.A es DP a D y la suma de B y C e IP a B.C.
A=3D cuando B=3 y C=2, siendo: BDP C.
Calcular A cuando B es igual a 9 y D=5.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12.Se tiene la siguiente tabla de valores para dos
magnitudes A y B:
A 36 144 324 n 4
B 6 3 2 9 18
Hallar “n”
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
13.Sean dos magnitudes A y B tales que: A IP B
(B≤ 30); A DP B (B ≥ 30). Si A = 6 cuando B
= 20. ¿Cuál será el valor de A cuando B =
60?
a) 2 b) 4 c) 8
d) 3 e) 6
14. El peso de un eje varía proporcionalmente a
su longitud y a su sección transversal. Si un
metro de hierro forjado de un centímetro de
diámetro pesa 0,6 kg. Calcular el peso de un
eje de 5m de largo y 5 cm de diámetro.
a) 60kg b) 75kg c) 90kg
d) 105kg e) 120kg
15.¿Cuál es el peso de un diamante que vale
55.000 dólares, si uno de 6 kilates cuesta
19800 y el precio es proporcional al cuadrado
de su peso.
(1 kilate = 0.259)
a) 6g b) 6,25g c) 2,5g
d) 25g e) 62,5g
16.Si:
MAGNITUD VALORES ASIGNADOS
A 36 144 324 9 4
B 6 3 2 12 18
Determinar la relación correcta entre A y B
a) AD.P 1/B b) A2
D.P. 1/B c) AI.P.B.2
d) B/1P.DA e)
2
B.P.IA
17.A varía como la suma de 2 cantidades de las
cuales una varía como B y la otra
inversamente a 2
B . Si A = 19 cuando B es
2 ó 3. Hallar A cuando B = 6
a) 28 b) 29 c) 30
d) 31 e) 32
18.Según la ley de Boyle, la presión es I.P. al
volumen que contiene determinada cantidad
de gas. ¿a qué presión está sometida un gas, si
al aumentar este en 2atm, el volumen varía en
40%
a) 4atm b) 5 c) 6
d) 2 e) 3
19.Se sabe que una magnitud A varía en forma
proporcional a B . Hallar el valor de A,
si se sabe que al disminuir en 30 unidades
entonces el valor se B varía en 9/25 de su
valor.
a) 150 b) 180 c) 120
d) 200 e) 90
20.Se tiene 2 magnitudes A y B tales que 3
A
es I.P. a B si cuando A = 8, B = 6. Hallar A si
B = 2

a) 64 b) 216 c) 512
d) 1000 e) 343
TAREA DOMICILIARIA
01.Si “X” varia a razón directa a “Y” e inversa al
cuadrado de “Z”. Cuando X = 10 entonces
Y= 4 y Z = 14. Hallar “X” cuando Y = 16 y Z
= 7
a) 180 b) 160 c) 154
d) 140 e) 120
02.El precio de un pasaje varia inversamente con
el número de pasajeros con el número de
pasajeros, si para 14 pasajeros el pasaje es de
S/. 15. ¿Cuántos pasajeros serán cuando el
pasaje cueste S/. 6?
a) 31 b) 33 c) 34
d) 35 e) 36
03.Dos magnitudes son inversamente
proporcionales si una de ellas disminuye en
1/4 d su valor. ¿En cuánto aumenta o
disminuye la otra?
a) Aumenta 1/4 b) Disminuye 1/4
c Aumenta 1/8 d) Disminuye 1/8
e) Disminuye 1/3
04.Se sabe que la fuerza de atracción entre 2
cuerpos varia en forma D.P. al producto de
sus masas e I.P. al cuadrado de la distancia
entre ellos si la distancia entre dos cuerpos
aumenta en 20% que pasa con la
fuerza de atracción entre ellos?
a) Aumenta en 25%
b) Disminuye en 23/8%
c) Disminuye en 69,4%
d) Disminuye en 30,55%
e) Disminuye en 29%
05.Se sabe que “A “ es I.P. con “B” y que “B” es
I.P. con “C”. Si cuando “A” aumenta 15
unidades “C” varia en 20%. ¿Qué pasa con
“B” cuando “A”. aumenta en 25 unidades?
a) Aumenta en 10%
b) Aumenta en 20%
c) Disminuye en 15%
d) Disminuye en 25%
e) No varia
06.De las siguientes afirmaciones:
I. El área de un cuadrado es D.P. a su lado
II. Si “A” y “B” son magnitudes I.P.
entonces el cociente entre sus valores
correspondientes es constante
III. Si “A” es D.P. a “B”, “B” es D.P. a “C”
entonces “A” es D.P. a “C”.
Señalar cuál es verdadera
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Sólo I y III e) N.A.
07.Si “A” varia en forma D.P. con “B” y “C” y
“C” varia en forma D.P. con 3
F , cuando A
= 160 entonces B = 5, F = 2. Si B = 8 y F = 5.
¿Cuánto será A?
a) 4000 b) 3800 c) 3500
d) 3200 e) 2400
08. La eficiencia se mide en puntos y es D.P. a
los años de servicio e I.P. a la raíz cuadrada
de la edad del trabajador . Se sabe que la
eficiencia de Juan es de 2 puntos cuando tiene
un año de servicio y 25 años de edad. ¿Cuál
será la eficiencia a los 36 años?
a) 18 b) 25 c) 28
d) 20 e) 22
09. De las siguientes gráficas
x
12
15 k
24
2k
A C
D
B 30 y
A.D.P B C.I.P D
Hallar: x/y
a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7
d) 0,8 e) 2
10.Las magnitudes 2
A y B son I.P. y cuando
A=20. A es a B como 10 es 9. ¿Qué valor
toma “A” cuando “B” = 72?
a) 18 b) 16 c) 10
d) 12 e) 15
Dado un conjunto de cantidades, se denomina
promedio a una cantidad representativa de las
anteriores. El promedio es una cantidad de
tendencia central. es por eso que estará
comprendida entre la menor y mayor de las
cantidades.
Algunos promedios importantes son:
MEDIAS I
Ma, Mg,

Promedio o Media Aritmética 




MA
cantidadesdeNúmero
cantidadesdeSuma
MA =
Promedio o Media Geométrica 




MG
cantidades
denúmero
cantidadesdeoductosPrMG =
Promedio o Media Armónica 




MH
cantidadeslasde
inversaslasdeSuma
cantidadesdeNúmero
MH =
Por ejemplo, calcule la MA , MG y MH
de:
a) 1 y 25 b) 6, 12 y 24 c) 11, 11 y 11
PROPIEDADES:
A. Observando los ejemplos podemos deducir:
1. Para un conjunto de cantidades no todas
iguales:
MAMGMH <<
2. Para un conjunto de cantidades iguales:
MAMGMH ==
B. Para 2 cantidades “a” y “b”:
1. MA (a ; b) × MH (a ; b) = a × b
2. MA (a ; b) × MH (a ; b) =
[ ]2
)b,a(MG
3. 2
)ba( − =4
( )( )MGMAMGMA −+
Alteraciones en la Media Aritmética.
Por ejemplo, sean los números:
12, 15, 21, 33, 34
Podemos calcular el promedio:
23
5
3433211512
MA =
++++
=
Si a las dos primeras cantidades le aumentamos 7 y
le restamos 2 a cada una de las 2 últimas, veamos
que sucede con el promedio:
5
)234()233(21)715()712(
MA
−+−+++++
=
5
2.27.2
5
34533211512
MA
−
+
++++
=
25223MA =+=∴
De donde podemos deducir que:






+




=





uyemindis
sequeiaciónvar
inicial
promedio
promedio
Nuevo












−





=





cantidades
detotalNúmero
promedia
sequeTotal
aumenta
sequetotal
promedio
deliaciónvar
PRACTICA DE CLASE
01.Hallar el exceso de la M.G. de 16, 24 y 36
sobre la M.H. de 12, 6 y 4.
a) 16 b) 19 c) 20
d) 14 e) 18
02.Si la media armónica de dos cantidades es
160 y su media geométrica es 200. ¿Cuál es
su media aritmética?
a) 150 b) 250 c) 175
d) 275 e) N.a.
03.Hallar la media geométrica de 10, 4 y 25.
a) 8 b) 10 c) 5
d) 7 e) N.a.
04.Hallar la media geométrica de:
34
; 36
; 38
; 310
y 32
a) 9 b) 27 c) 81
d) 729 e) N.a.
05.Hallar la media armónica de 4 y 8
a) 7/3 b) 3 d) 14/3
d) 16/3 e) N.a.
06.Hallar la media armónica de 3/4; 4/5 y 1/2
a) 36/55 b) 25/44 c) 13/33
d) 9/22 e) N.a.
07.Para dos números “a” y “b”, tales que: a=9b,
se cumple que: Mg=k(Mh). Calcular el valor
de “k”.
a) 1,6 b) 2,4 c) 1,8
d) 2,5 e) Ninguna
08.La mh de dos cantidades es 16/3; su ma es 3.
¿Cuál es su mg?
a) 4 b) 5 c) 2
d) 6 e) Absurdo
09.Hallar la media geométrica de: 2, 1, 1/8, 64
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2,25
10.Calcular la Mh de los números 2,3 y 4.
a) 25/11 b) 22/13 c) 36/13
d) 48/11 e) N.a.
11.Calcular la Mh de 2,3,4 y 5.
a)12/13 b) 3/44 c) 3/11
d) 240/77 e) 15/19
12.Si la suma de dos números es "a" y su
producto es "b". Calcular su Mh.
a) 2a/b b) 2b/a c) √ab
d) a/2b e) N.a.
13.Hallar la media armónica de (Mh) de los
siguientes números:
4,6,8,10,12,14
a) 5.53 b) 6.53 c) 7.53
d) 8.53 e) N.a.
14.Dos números están en la relación de 4 a 25,
en qué relación están sus media aritmética y
geométrica?
a) 29 : 20 b) 23 : 20 c) 26 : 25
d) 31 : 20 e) 30 : 29
15.Cuatro números que están en la relación 3, 4,
5 y 6. ¿En qué relación están la ma. y la m.h.
de dichos números?
a) 161/150 b) 170/161 c) 171/161

d) 171/160 e) 171/165
16.Sabiendo que la M.a. y la M.g. de dos
números a y b están en razón de 5 a 4. Hallar
entonces en que razón están los números a y
b.
a) 5 a 1 b) 3 a 2 c) 4 a 1
d) 4 a 3 e) N.A.
17.El producto de la Ma., Mg., Mh. de dos
números enteros es 8000 y la mayor
diferencia entre dos de las medias es 9.
Determinar el valor del menor de los
números.
a) 6 b) 5 c) 2
d) 10 e) 15
18.Las medias armónicas de “a y c”, “b y c” y “a
y b” están en la misma relación que los
números 2, 3 y 6. Calcular la menor suma
entera de “a, b y c”
a) 1 b) 10 c) 20
d) 37 e) 47
19.Hallar dos números tales que su media
aritmética sea 18,5 y su media geométrica
17,5.
a) 10 y 25 b) 11,5 y 25,5
c) 13 y 24 d) 12,5 y 24,5
e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01. La suma de la M.a. y M.g. de los números :
0. 4

, 1. 7

y 7. 1

es:
a) 44/3 b) 44/6 c) 22/9
d) 44/9 e) 42/9
02.Calcular la M.G. de los números 4,6 y 9.
a)6 b) 3
66 c) 6√6
d) 4 e) 16
03.Calcular la M.G. de los números 8,27,3 y
512.
a) 24 b) 48 c) 12
d) 36 e) N.a.
04.Hallar el promedio geométrico de los
números 3; 4 y 18.
a) 3,5 b) 4 c) 5
d) 6 e) 3
18
05.Hallar el promedio armónico de 1; 2; 3 y 6
a) 1,8 b) 2 c) 2,1
d) 3 e) 4
06.Hallar 2 números sabiendo que su Ma. es 5 y
su Mh es 24/5
a) 7 y 3 b) 8 y 2 c) 6,5 y 3,5
d) 6 y 4 e) N.a.
07.La suma de 2 números es 100 y su M.h. es
32. La M.g. de ellos es:
a) 32 b) 132 c) 64
d) 1600 e) 40
08.Si la Mh de dos números “a” y “b” es “x” y la
Mh de las inversas de dichos números es “y”.
Encontrar la Mg de a y b.
a) xy b) y/x c) y/x
d) x/y e) N.a.
09.El doble de la M.a. de dos números es igual al
cuadrado de su M.g. mas 1. Si uno de los
números es 77, el otro será:
a) 144 b) 11 c) 7
d) 1 e) Absurdo
10.Hallar “n” si la M.g. de:
3n64278
3,......,3,3,3,3
es 356
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
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