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33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
DEFINICIÓN
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de otro punto llamado centro
ELEMENTOS
- Arco : AB
- Cuerda: AB
- Radio : OE
- Diámetro : CD
- Tangente: T
- Secante : L
- Flecha o Sagita : MN
M
B
E
N
O
D
L
A
C
T
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
1. Circunferencias Exteriores
R r
d
d > R + r
2. Circunferencias Tangentes Exteriores :
R r
d
d = R + r
3. Circunferencias Secantes :
d
R - r < d < R + r
4. Circunferencias Tangentes Interiores :
d = R - r
d
R
d
o o1
r
5. Circunferencias Interiores :
d < R - r
d
r
R
6. Circunferencias Concéntricas :
d = cero
r
R
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1.Angulo Central 2. Angulo Inscrito
B
A
O
= AB
α
α
B
A
C
= AC / 2
α
α
3. Angulo Semi – Inscrito
B
A
C
= BC / 2
α
α
4 Angulo Interior
BA
C
= ( AB + DC ) / 2
α
α
D
5.Angulo Exterior
= ( n - m ) / 2α
B
A
C
α
D
E
n
m
B
A
C
α
Dn
m
B
A
C
α
n
m
6. Angulo Ex - Interior
B
A
C
= ABC / 2
α
α
PROPIEDADES FUNDAMENTALES :
1.
x = 90°
x
T
O
2.
AB = BCB
A
O
C
3.
B
A
O
C
Si AB BC
D
AB = CD
≅
4.
Si: AB CD
AC BD
A B
C D
≅
05.
Si :
OM
o
M
L
"M" es un conjunto
de tangencia
L
S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
II
CIRCUNFERE
33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
06.
Si :
ABCD : Cuadrilátero
Circunscrito
AB + CD = AD + BC
B
A D
C
07.
A C
B
rO
F
Si: OF = r, es el radio de la
circunferencia inscrita
AB + BC = AC + 2r
08.
AD + BC = CD - AB
C
D
B
Si : Cuadrilátero ex - inscrito
09.
P Q
R S
Si P, Q, R y S : son puntos de
tangencia
PQ = RS
10.
α
θ
A
B
C
D
Si A B C D: Cuadrilátero
α + θ =180º
inscrito
PRACTICA DE CLASE
01. Calcular en la figura el arco QP siendo
“O” centro de la circunferencia
80º
Q
P
O
a) 160° b) 40° c) 80°
d) 70° e) N.a.
02. Hallar x .
B
A
D
100°
C
x
a) 100º b) 90º c) 50º
d) 80º e) N.a.
03. Hallar x en la figura
B
A
D
20°
C
x
130°
a) 75º b) 105º c) 130º
d) 20º e) N.a.
04. En la figura, hallar “x”
B
A
D
C
2x + 3
15
a) 5 b) 6 c) 4
d) 7 e) 4
05. Hallar “x” si AB = 30º y BC = 140º
C
B
A
x
a) 110º b) 55º c) 100º
d) 100º e) N.a.
06. Hallar PQ , si QC = 105°
C
Q
P
20°
a) 105º b) 40º c) 65º
d) 20º e) 110º
07. Hallar el ángulo BOA si “O” es el centro.
C
A
O
B68°
a) 56º b) 34º c) 130º
d) 28º e) N.a.
08. Hallar el ángulo AOC si “O” es el centro.
C
A
O
B40°
a) 100º b) 120º c) 130º
d) 140º e) 150º
09. En la figura AB = 100º, CD = 120º, hallar
BD si AB CD/ /
C
A B
D
a) 140º b) 70º c) 80º
d) 90º e) N.a.
10. Hallar “R”. Si AB BC3 4, =
B
R
O
CA
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) N.a.
11. En la figura. Hallar PQ
Si PR r QR= = =9 2 3, ,
Q
r
O
RP
a) 11 b) 9 c) 13
d) 10 e) 5
12. Hallar x si AB DC+ =18
S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
B
R
S
Q
C
P
4
x
6D
A 5
a) 5 b) 4 c) 6
d) 9 e) 3
13. Si AB = 50º. Hallar
  x y z+ +
x
B
y z
A
a) 150º b) 50º c) 100º
d) 200º e) 75º
14. Hallar  x y+
x
y
20°
a) 40º b) 20º c) 60º
d) 10º e) 30º
15. Si AB es diámetro y BD = 60º
Hallar x
C
A B
D
x
a) 120º b) 60º c) 30º
d) 80º e) N.a
16. Si PQ es diámetro, hallar x
S
30º
QP
x
R
a) 30º b) 60º c) 120º
d) 15º e) 90º
17. Si O es el centro de la semicircunferencia,
además AO BC= . Hallar x
DA
x
B
C
O
a) 45º b) 50º c) 60º
d) 30º e) 90º
18. Hallar x , si AOB es 100º
A
x
B
O
a) 40º b) 100º c) 80º
d) 50º e) N.a.
19. En la figura “O” es el centro de la
circunferencia. Hallar x
β
α
O
x
a) α + β b) 2α + β c) α + 2β
d) 2α + 2β e) α − β
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 1
01. En la figura “O” es el centro de la
circunferencia. Hallar x
Si BAO = 20º y BCO = 30º
O
x
B
C
A
a) 70º b) 100º c) 90º
d) 110º e) 80º
02. Desde un punto E, exterior a una
circunferencia se trazan las secantes
EBA y EDC . Hallar el ángulo
AEC
, si AC = 123º y AD es
perpendicular a BC
a) 33º b) 28º c) 123º
d) 38º e) 66º
03. En la figura AB = 70º.Calcular α + β
B
αβ
A
a) 40º b) 50º c) 60º
d) 70º e) 80º
04. Hallar
x , si 4AB = ACB
D
B
CA
x
a) 72º b) 144º c) 36º
d) 88º e) 164º
05. ¿Cuánto mide el mayor ángulo formado por
dos tangentes trazadas a una circunferencia
desde un punto exterior; si la cuerda que
une los puntos de tangencia es igual al radio
de la circunferencia ?
a) 300º b) 60º c) 150º
d) 120º e) 30º
06. Calcular el ángulo ABC, siendo B el centro
de la circunferencia, además
AC AP AP y PC= ; son tangentes.
A
C
B
P
a) 40º b) 60º c) 120º
d) 30º e) 150º
07. En la figura, hallar x , si “O” es el centro
de la circunferencia.
O
x
70°
a) 20º b) 70º c) 40º
d) 30º e) 60º
08. Hallar el arco AB
BA
O
30°
a) 120º b) 40º c) 60º
d) 80º e) 100º
S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
09. En la figura, hallar x
A
D E
B
50°
F
C
x
a) 100º b) 50º c) 80º
d) 130º e) N.a.
10. Se dan un triángulo ABC y la circunferencia
inscrita, tangente AB en P, a AC en Q
y a BC en R. Si la suma del ángulo A
con el ángulo C es 70°. Hallar el ángulo
PQR.
a) 35º b) 70º c) 110º
d) 55º e) N.a.
11. Calcular “α” P y Q son puntos de
tangencia.
α
Q
P
100º
40º
a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
12. En la figura hallar el ángulo X,
si: BC + FE = 130º
xA
F
B
C
D
E
a) 25° b) 20° c) 50°
d) 30° e) 35°
13. En la figura “O” es centro y la
m PNQ = 130° . Calcular “x”
x
O
Q
P
N
a) 50 b) 40 c) 30
d) 25 e) 20
14. Si α + β = 100°. hallar m MQ
β
M
α
P
Q
a) 60 b) 70 c) 80
d) 90 e) 75
15. En el gráfico BC es tangente a la
circunferencia de diámetro AP siendo la
medida del arco MN igual a 62°. Hallar
m∡C.
M N
A
P
C
B
a) 7 b) 14 c) 28
d) 31 e) 62
TAREA DOMICILIARIA
01. Hallar “ X ”. Si ACyAB son
tangentes:
B
C
A
a - b + x2 2 2
(a + b) (a - b) + 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2,5
02. Hallar el suplemento de “ X “
x
0
50°
a) 25° b) 20° c) 100°
d) 155° e) 50°
03. Hallar el radio de la circunferencia:
18 R
24
a) 2 b) 6 c) 5
d) 3 e) 1
04. ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos
tangentes trazadas desde el mismo punto, si
la cuerda que une los puntos de tangencia
es igual a el radio?
a) 90° b) 120° c) 150°
d) 180° e) N.a.
05.Calcular X Si : AB = 90° ; AC = 80° y
PM es tangente
A
CB
M P
x
a) 30 b) 45 c) 50
d) 55 e) 65
06. Calcular lamABC Si: mPTQ = 4mDTE
20°
E Q
T
A
P
D
C
B
a) 50 b) 70 c) 90
d) 110 e) 115
07. Calcular “ X ” .Si P, Q y T son puntos de
tangencia.
x
P
TQ
80°
60°
a) 15 b) 18 c) 20
d) 30 e) 36
08. Desde un punto “ E “ exterior a una
circunferencia se trazan la tangencias
QyEP Ε si “ M “ es un punto del
menor arco PQ y m∡PMQ = 3m∡E.
Calcular m∡E.
a) 20 b) 30 c) 36
d) 35 e) 45
09. Si mOBP = 200: Calcular “ X ”.
S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
x
B
C
P
A
Q
a) 30 b) 40 c) 45
d) 50 e) 60
10. En la figura “A” y “B” son puntos de
tangencia. Calcular
30°
x
A
B
a) 150 b) 135 c) 165
d) 120 e) 115
CONGRUENCIAS, PROPORCIONAL Y
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
A. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. Casos de Congruencia de Triángulos.
A. Caso (ALA) :
B
CA
α θ
b
≅
M P
b
N
α θ
ABC ≅ MNP
B. caso (LAL) :
A C
c
B
M P
c
N
b b
α α
≅
ABC ≅ MNP
C. Caso (LLL) :
CA
a
B
b
PM
a
N
b
≅
ABC ≅ MNP
c c
2. PROPIEDADES :
A. Propiedades de la bisectriz de un
ángulo
..................................................................
..................................................................
..................................................................
α°
α°O
M
N
P
B
Z
A
B. Propiedad de la mediatriz de un
segmento
..................................................................
..................................................................
..................................................................
M
P
BA
PM: mediatriz de AB
C. Propiedad de triángulo Isósceles
.......................................................... ........
................................................... ...............
............................................
H
C
B
A
∆ ABC es isósceles, AB = BC
BH
Altura :
Mediana :
Bisectriz
Médiatriz
E. Propiedad de la mediana relativa a la
hipotenusa
...........................................................
...........................................................
...........................................................
D. Propiedad de los puntos medios
...........................................................
...........................................................
...........................................................
A C
M N
B
a) Si “M” es punto medio de AB y
MN // AC .
Entonces: “N” es punto medio de BC
b) Si “M” y “N” son puntos medios de
AB y BC respectivamente.
M =
2
AC
Entonces :
A
B
C
M
BM : Mediana relativa a AC
Entonces: BM =
2
AC
TRIÁNGULO RECTÁNGULOS NOTABLES
45°
m
45°
m 2 L
2
2
45°
45°
L
L
2
2m
30°
60° 37°
53°
h
h
2
h
2
3
3K
4K
5K
Algunos triángulos Rectángulos cuyos lados
son números enteros
12
13
5
24
25
7
S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
15
17
8
40
41
9
Observación
A
h
15°
75°
B
H C
4h
B. PROPORCIONALIDAD
Definición.- Se dice que dos números (a y b) son
proporcionales a otros dos números (c y d)
cuando la razón geométrica de los primeros sea
igual a la razón geométrica de los segundos:
Es decir:
d
c
b
a
1. Teorema de Thales :
Tres o más rectas paralelas determinan sobre
otros dos secantes a ellas segmentos cuyas
longitudes serán proporcionales entre si.
A
B
C
D
E
F
L
1
L
2
L
3
Si L1 // L2 // L3
BC EF
AB DE
= También :
AC DF
AB DE
=
Ejm: Si L1 // L2 // L3. Hallar x
L
1
L
2
L
3
4
6
x - 2
x + 2
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
Aplicación del Teorema de Thales a un
triangulo
M N
CA
B
BM BN
=
MA NC
Si: MN // AC
Ejm: Si AC//MN . Hallar:
M N
CA
B
x
4 6
9
2. Teorema de la Bisectriz Exterior
x ba
m n
a b
m n=
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
Ejm: Hallar x
45°
45°
B
A D
C
4
x
M a
a
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
3. Teorema de la bisectriz Exterior :
a
b
n
m
a b
m n=
Ejm: Hallar x
12
x
α+θ
θα
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
PROPIEDAD
B
1° 2° 3°
A M C N
Si BM ⇒ bisectriz interior y
BN ⇒ bisectriz exterior
MC CN
AM AN
=
• Regla Practica
°
=
°
°
3
total
2
1
Ejm: Hallar x
20° 20°
70°
x24
................................................................
................................................................
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Geometria 4° 2 b

  • 1. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria DEFINICIÓN Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto llamado centro ELEMENTOS - Arco : AB - Cuerda: AB - Radio : OE - Diámetro : CD - Tangente: T - Secante : L - Flecha o Sagita : MN M B E N O D L A C T POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 1. Circunferencias Exteriores R r d d > R + r 2. Circunferencias Tangentes Exteriores : R r d d = R + r 3. Circunferencias Secantes : d R - r < d < R + r 4. Circunferencias Tangentes Interiores : d = R - r d R d o o1 r 5. Circunferencias Interiores : d < R - r d r R 6. Circunferencias Concéntricas : d = cero r R ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1.Angulo Central 2. Angulo Inscrito B A O = AB α α B A C = AC / 2 α α 3. Angulo Semi – Inscrito B A C = BC / 2 α α 4 Angulo Interior BA C = ( AB + DC ) / 2 α α D 5.Angulo Exterior = ( n - m ) / 2α B A C α D E n m B A C α Dn m B A C α n m 6. Angulo Ex - Interior B A C = ABC / 2 α α PROPIEDADES FUNDAMENTALES : 1. x = 90° x T O 2. AB = BCB A O C 3. B A O C Si AB BC D AB = CD ≅ 4. Si: AB CD AC BD A B C D ≅ 05. Si : OM o M L "M" es un conjunto de tangencia L S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...." II CIRCUNFERE
  • 2. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 06. Si : ABCD : Cuadrilátero Circunscrito AB + CD = AD + BC B A D C 07. A C B rO F Si: OF = r, es el radio de la circunferencia inscrita AB + BC = AC + 2r 08. AD + BC = CD - AB C D B Si : Cuadrilátero ex - inscrito 09. P Q R S Si P, Q, R y S : son puntos de tangencia PQ = RS 10. α θ A B C D Si A B C D: Cuadrilátero α + θ =180º inscrito PRACTICA DE CLASE 01. Calcular en la figura el arco QP siendo “O” centro de la circunferencia 80º Q P O a) 160° b) 40° c) 80° d) 70° e) N.a. 02. Hallar x . B A D 100° C x a) 100º b) 90º c) 50º d) 80º e) N.a. 03. Hallar x en la figura B A D 20° C x 130° a) 75º b) 105º c) 130º d) 20º e) N.a. 04. En la figura, hallar “x” B A D C 2x + 3 15 a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 4 05. Hallar “x” si AB = 30º y BC = 140º C B A x a) 110º b) 55º c) 100º d) 100º e) N.a. 06. Hallar PQ , si QC = 105° C Q P 20° a) 105º b) 40º c) 65º d) 20º e) 110º 07. Hallar el ángulo BOA si “O” es el centro. C A O B68° a) 56º b) 34º c) 130º d) 28º e) N.a. 08. Hallar el ángulo AOC si “O” es el centro. C A O B40° a) 100º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º 09. En la figura AB = 100º, CD = 120º, hallar BD si AB CD/ / C A B D a) 140º b) 70º c) 80º d) 90º e) N.a. 10. Hallar “R”. Si AB BC3 4, = B R O CA a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) N.a. 11. En la figura. Hallar PQ Si PR r QR= = =9 2 3, , Q r O RP a) 11 b) 9 c) 13 d) 10 e) 5 12. Hallar x si AB DC+ =18 S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 3. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria B R S Q C P 4 x 6D A 5 a) 5 b) 4 c) 6 d) 9 e) 3 13. Si AB = 50º. Hallar   x y z+ + x B y z A a) 150º b) 50º c) 100º d) 200º e) 75º 14. Hallar  x y+ x y 20° a) 40º b) 20º c) 60º d) 10º e) 30º 15. Si AB es diámetro y BD = 60º Hallar x C A B D x a) 120º b) 60º c) 30º d) 80º e) N.a 16. Si PQ es diámetro, hallar x S 30º QP x R a) 30º b) 60º c) 120º d) 15º e) 90º 17. Si O es el centro de la semicircunferencia, además AO BC= . Hallar x DA x B C O a) 45º b) 50º c) 60º d) 30º e) 90º 18. Hallar x , si AOB es 100º A x B O a) 40º b) 100º c) 80º d) 50º e) N.a. 19. En la figura “O” es el centro de la circunferencia. Hallar x β α O x a) α + β b) 2α + β c) α + 2β d) 2α + 2β e) α − β PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 1 01. En la figura “O” es el centro de la circunferencia. Hallar x Si BAO = 20º y BCO = 30º O x B C A a) 70º b) 100º c) 90º d) 110º e) 80º 02. Desde un punto E, exterior a una circunferencia se trazan las secantes EBA y EDC . Hallar el ángulo AEC , si AC = 123º y AD es perpendicular a BC a) 33º b) 28º c) 123º d) 38º e) 66º 03. En la figura AB = 70º.Calcular α + β B αβ A a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º 04. Hallar x , si 4AB = ACB D B CA x a) 72º b) 144º c) 36º d) 88º e) 164º 05. ¿Cuánto mide el mayor ángulo formado por dos tangentes trazadas a una circunferencia desde un punto exterior; si la cuerda que une los puntos de tangencia es igual al radio de la circunferencia ? a) 300º b) 60º c) 150º d) 120º e) 30º 06. Calcular el ángulo ABC, siendo B el centro de la circunferencia, además AC AP AP y PC= ; son tangentes. A C B P a) 40º b) 60º c) 120º d) 30º e) 150º 07. En la figura, hallar x , si “O” es el centro de la circunferencia. O x 70° a) 20º b) 70º c) 40º d) 30º e) 60º 08. Hallar el arco AB BA O 30° a) 120º b) 40º c) 60º d) 80º e) 100º S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 4. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 09. En la figura, hallar x A D E B 50° F C x a) 100º b) 50º c) 80º d) 130º e) N.a. 10. Se dan un triángulo ABC y la circunferencia inscrita, tangente AB en P, a AC en Q y a BC en R. Si la suma del ángulo A con el ángulo C es 70°. Hallar el ángulo PQR. a) 35º b) 70º c) 110º d) 55º e) N.a. 11. Calcular “α” P y Q son puntos de tangencia. α Q P 100º 40º a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 12. En la figura hallar el ángulo X, si: BC + FE = 130º xA F B C D E a) 25° b) 20° c) 50° d) 30° e) 35° 13. En la figura “O” es centro y la m PNQ = 130° . Calcular “x” x O Q P N a) 50 b) 40 c) 30 d) 25 e) 20 14. Si α + β = 100°. hallar m MQ β M α P Q a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 75 15. En el gráfico BC es tangente a la circunferencia de diámetro AP siendo la medida del arco MN igual a 62°. Hallar m∡C. M N A P C B a) 7 b) 14 c) 28 d) 31 e) 62 TAREA DOMICILIARIA 01. Hallar “ X ”. Si ACyAB son tangentes: B C A a - b + x2 2 2 (a + b) (a - b) + 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2,5 02. Hallar el suplemento de “ X “ x 0 50° a) 25° b) 20° c) 100° d) 155° e) 50° 03. Hallar el radio de la circunferencia: 18 R 24 a) 2 b) 6 c) 5 d) 3 e) 1 04. ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos tangentes trazadas desde el mismo punto, si la cuerda que une los puntos de tangencia es igual a el radio? a) 90° b) 120° c) 150° d) 180° e) N.a. 05.Calcular X Si : AB = 90° ; AC = 80° y PM es tangente A CB M P x a) 30 b) 45 c) 50 d) 55 e) 65 06. Calcular lamABC Si: mPTQ = 4mDTE 20° E Q T A P D C B a) 50 b) 70 c) 90 d) 110 e) 115 07. Calcular “ X ” .Si P, Q y T son puntos de tangencia. x P TQ 80° 60° a) 15 b) 18 c) 20 d) 30 e) 36 08. Desde un punto “ E “ exterior a una circunferencia se trazan la tangencias QyEP Ε si “ M “ es un punto del menor arco PQ y m∡PMQ = 3m∡E. Calcular m∡E. a) 20 b) 30 c) 36 d) 35 e) 45 09. Si mOBP = 200: Calcular “ X ”. S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 5. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria x B C P A Q a) 30 b) 40 c) 45 d) 50 e) 60 10. En la figura “A” y “B” son puntos de tangencia. Calcular 30° x A B a) 150 b) 135 c) 165 d) 120 e) 115 CONGRUENCIAS, PROPORCIONAL Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS A. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. Casos de Congruencia de Triángulos. A. Caso (ALA) : B CA α θ b ≅ M P b N α θ ABC ≅ MNP B. caso (LAL) : A C c B M P c N b b α α ≅ ABC ≅ MNP C. Caso (LLL) : CA a B b PM a N b ≅ ABC ≅ MNP c c 2. PROPIEDADES : A. Propiedades de la bisectriz de un ángulo .................................................................. .................................................................. .................................................................. α° α°O M N P B Z A B. Propiedad de la mediatriz de un segmento .................................................................. .................................................................. .................................................................. M P BA PM: mediatriz de AB C. Propiedad de triángulo Isósceles .......................................................... ........ ................................................... ............... ............................................ H C B A ∆ ABC es isósceles, AB = BC BH Altura : Mediana : Bisectriz Médiatriz E. Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa ........................................................... ........................................................... ........................................................... D. Propiedad de los puntos medios ........................................................... ........................................................... ........................................................... A C M N B a) Si “M” es punto medio de AB y MN // AC . Entonces: “N” es punto medio de BC b) Si “M” y “N” son puntos medios de AB y BC respectivamente. M = 2 AC Entonces : A B C M BM : Mediana relativa a AC Entonces: BM = 2 AC TRIÁNGULO RECTÁNGULOS NOTABLES 45° m 45° m 2 L 2 2 45° 45° L L 2 2m 30° 60° 37° 53° h h 2 h 2 3 3K 4K 5K Algunos triángulos Rectángulos cuyos lados son números enteros 12 13 5 24 25 7 S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 6. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 15 17 8 40 41 9 Observación A h 15° 75° B H C 4h B. PROPORCIONALIDAD Definición.- Se dice que dos números (a y b) son proporcionales a otros dos números (c y d) cuando la razón geométrica de los primeros sea igual a la razón geométrica de los segundos: Es decir: d c b a 1. Teorema de Thales : Tres o más rectas paralelas determinan sobre otros dos secantes a ellas segmentos cuyas longitudes serán proporcionales entre si. A B C D E F L 1 L 2 L 3 Si L1 // L2 // L3 BC EF AB DE = También : AC DF AB DE = Ejm: Si L1 // L2 // L3. Hallar x L 1 L 2 L 3 4 6 x - 2 x + 2 ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ Aplicación del Teorema de Thales a un triangulo M N CA B BM BN = MA NC Si: MN // AC Ejm: Si AC//MN . Hallar: M N CA B x 4 6 9 2. Teorema de la Bisectriz Exterior x ba m n a b m n= ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ Ejm: Hallar x 45° 45° B A D C 4 x M a a ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ 3. Teorema de la bisectriz Exterior : a b n m a b m n= Ejm: Hallar x 12 x α+θ θα ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ PROPIEDAD B 1° 2° 3° A M C N Si BM ⇒ bisectriz interior y BN ⇒ bisectriz exterior MC CN AM AN = • Regla Practica ° = ° ° 3 total 2 1 Ejm: Hallar x 20° 20° 70° x24 ................................................................ ................................................................ S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 7. 33 34 ∆ ABC - ∆ MNB ∆ ABC - ∆ MNB COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ 4. Teorema de Menelao : M N PCA B AM . BN . CP = MB . NC . AP Ejm: Hallar x : M N PCA B T 26 x ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ 5. Teorema de Ceva M N CPA B AM . BN . CP = MB . NC . AP C. SEMEJANZA : Definición: Dos triángulos serán semejantes cuando los ángulos de uno de ellos sean iguales a los ángulos del otro; como consecuencia. Sus lados respectivos serán proporcionales entre si: A C B M P N β α θ β α θ MˆAˆ = Si: NˆBˆ = ⇒ ∆ PˆCˆ = ∴ K: razón de semejanza Ejm: Los lados de un triangulo miden 2, 8 y 12. Hallar el mayor lado de otro triángulo semejante al primero cuyo perímetro es 182. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 1. Primer Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulo iguales. α θ α θ ∼ 2. Segundo Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen un mismo ángulo y los lados que lo forman son proporcionales. α α ∼a b m n Si : 3. Tercer Caso: Dos triángulos serán semejantes si sus lados son proporcionales entre si. ∼a b m n c p Si: PROPIEDADES 1. A C M N B Si: AC//MN 2. M N A C B Si: AC//MN 3. Si: CD//MN//AB B A M C N D b a 4. θ θ a n m S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...." ABC ∼ ∆ MNP K MP AC NP BC MN AB === n b m a = p c n b m a == MN= ba ab + a2 = m . n
  • 8. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria PRACTICA DE CLASE 01. En la figura mostrada. Si m // n // t Hallar x: 4x 15 n x + 2 m x l a) 1,75 b) 1,5 c) 1,42 d) 2,5 e) 1,25 02. En la figura mostrada. Si m // n // l // r Hallar x. 6 y n 2 m x t 2y +13x+2 l a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. En la figura mostrada. Si m // n // l. y CD//AB . Hallar x. E 2x n x +1 m A l C 3x B 9 D a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 5 04. AC//GN . Hallar AC . Si G es baricentro y GN = 4 G N TA C B a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 05. Siendo L1 // L2 // L3 .Hallar BC 4 F E G A L1 L 2 L 3 5k - 5 1 5k +1 C B a) 5 b) 10 c) 15 d) 7/5 e) 8 06. En la figura, calcular los valores de “a” , “b” y “c” y Halle : E= c b.a 2 Si: L1 // L2 // L3 // L4 // L5 a L1 L2 L3 L4 L5 8 6 c 4 3 5 b a) 10 b) 6,4 c) 3,2 d) 4,8 e) 7,2 07. De la figura mostrada, hallar =ACyAC//MNSi,BN 4MN;16 = 12BC; = A C M N B a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. De la figura: ,6BN,2xMB;1xAM =+=− NC = x – 3 .¿Qué valor puede tomar “x” para que ACaparalelaseaMN ? A C M N B α β x + 2 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 09. En la figura hallar ECSi.BE = 10. ED = 6, 10AD = A B C E D a) 2,8 b) 0,8 c) 4, 4 d) 3, 2 e) N.a. 10. En un triángulo ABC, AB = 15, BC =13 y AC = 14. Se traza la bisectriz BD . Hallar: AD a) 2,5 b) 5,5 c) 6,5 d) 7,5 e) 8 11. Hallar AB. Si BN = 4 y NC = 5 α α B N C A a) 9 b) 6 c) 7 d) 6 e) 5 12. En el siguiente gráfico, Hallar EF. α α E 7 3 F5 a) 2,2 b) 1,5 c) 3,5 d) 6,2 e) 3,1 13. En la figura, ADEF es un cuadrado. AB= 6 m; BC = 10 m. Hallar el lado del cuadrado. D B E A F C a) 3 b) 4 c) 24/7 d) 12/7 e) 6 S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 9. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 14. En el triángulo ABC AC//MN ,AB= 60 BN = 28 y NC = 17. Hallar AM M N CA B a) 11,3 b) 23 c) 24 d) 22,6 e) 21,2 15. Hallar AB: CA B 9 H 16 a) 12 b) 15 c) 17 d) 16 e) 20 16. Hallar BH: CA B 1 H 9 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 17. Hallar BH: CA B 6 H 8 a) 2,2 b) 2,4 c) 6,8 d) 4,8 e) 9,6 18. Hallar R, Si: OP = 6; ON = 8 R C O P M A D N B a) 14 b) 12 c) 10 d) 11 e) 15 19. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz CF y luego por F, una paralela a AC de modo que intersecta a BC en Q. Hallar BQ. Si: BC = 5 m y AC = 6 m. a) 13/7 b) 25/11 c) 15/4 d) 49/5 e) 2,4 20. En un triángulo ABC. Si ∡B = 120°, AB = 15, se traza la bisectriz BE . Hallar la longitud de BE . a) 11/4 b) 17.8 c) 15/4 d) 19/6 e) 19/6 PROBLEMAS PROPUESTOS N°02 01. En la figura. Si m // n // t. Calcular: “x”: 4 n m t 5x - 5 7 2x +1 a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 6 e) 8 02. Para que el valor de “x” en AC//MN . A C m N 4 B x x + 4 x - 2 a) 6 b) 9 c) 8 d) 9 e) 10 03. En la figura. Si AN = 4 y AC = 18. Hallar: AH M A N H C B a) 6 2 b) 3 2 c) 2 3 d) 6 3 e) 3 5 04. Se da un rectángulo ABCD, en el cual AD = 2CD. Por B se traza BE perpendicular a AC . Si E está en EDyAD = 9m. Hallar : AD a) 10m b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 05. En la figura mostrada //L//L//L 321 4L . Si AB= 3m, BC= 4m, MN= 2x – 2, Np = 2x + 2, PQ = 3x – 1, CD = y. Hallar : (x + y) Q N M B P A C D 4 L 3 L 2 L 1 L a) 12m b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 06. En la figura mostrada //L//L//L 321 4L . Si: EF – AB = 3m, AC = 16m y DF= 24m. Hallar EF. B A C D 3 L 2 L 1 L E F a) 6m b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 07. En la figura mostrada. Si AB= 12m, AC= 9m y BN= 4m. Hallar: MN. M N CA B θ θ a) 2m b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 08. En un triángulo ABC se trazan, la bisectriz AD , la mediana BM y la ceviana S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 10. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria CE , concurrntes. Hallar EB. Si AB = 4m; BC = 5m y AC = 6m. a) 2m b) 1,8 c) 3 d) 2,5 e) 1,6 09. En la figura mostrada: Si AB = 2m y CD = 3m. Hallar: MN. B A 2 2 M 3 D 3 C N a) 2m b) 1,.8 c) 1,5 d) 1,2 e) 3 10. En la figura mostrada. Si: AB= 9m , BC= 7m, AC= 8m y MN // AC. Hallar: MN. M N CA B a) 8m b) 3 c) 8/3 d) 6 e) 6/5 11. En la figura los lados de los cuadrados de menor a mayor miden 4, xy 9. Calcular: x. D BA C E a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 8 12. En la figura TB = 7, AT = 15, AK = KC y GC = 4. Calcular TG. G c B A K M T θ θ a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 3,5 e) 4 13. En un triángulo isoceles PQR (PQ= QR), se traza la ceviana PF que corta a la altura QH en “E”. Si FQ = 7dm, EQ = 8dm y EH = 2dm. Calcular QR a) 10,5dm b) 12,5 c) 15 d) 10,7 e) N.a 14. En un triángulo ABC, se tiene que AB= 6, BC= 8 y AC= 10. La altura BH y la bisectriz interior AF , se cortan en Q. Hallar QB. a) 2,8 b) 3,6 c) 4 d) 3 e) N.a 15. En un triángulo ABC, la bisectriz interior BD y la mediana AM se cortan en “F”. Calcular la longitud de FD , si: BF = a, AB = 3b y BC = 4b. a) 2/7 a b) 3/5 a c) 3/7 a d) 4/5 a e) a/3 Una proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es la porción comprendida entre los pies de las perpendiculares trazadas desde los extremos del segmento a dicha recta. A B A B A B AB Proyección ortogonal PROYECCIÓN ORTOGONAL EN EL TRIANGULO Acutángulo Rectángulo Obtusángulo A C A C B H A C B B AH: proyección de AB HC: proyección de BC RELACIONES MÉTRICAS EN EL, TRIANGULO RECTÁNGULO m n a b c h 1. 222 bac += S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...." RELACIONES
  • 11. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 2. h.cb.a = 3. cnb cma 2 2 = = APÉNDICE DE RELACIONES MÉTRICAS a) Primer teorema de Euclides : (∆ Acutángulo) Si α < 90 a b c cm2cba 222 -+= a m b) Segundo Teorema de Euclides (∆ Obtusángulo) Si α > 90 a b c cm2cba 222 ++= α m c) Teorema de la Mediana Si mc mediana a b c m c d) Teorema de la bisectriz interior : a b m n x x = ab - mn 2 e) Teorema de bisectriz exterior : a b m x x = mn - ab2 n PRACTICA DE CLASE 01. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza BH altura relativa a la hipotenusa . Si BH = 2 cm. Calcular AH.HC. a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 2 2 cm 02. Calcular la longitud de los catetos del triángulo mostrado 2 4 a) 2 3 , 2 6 b) 2 2 , 3 c) 3, 2 6 d) 2 3 , 6 e) 3, 6 03. En un triángulo rectángulo, se traza la altura relativa a la hipotenusa. Esta altura determina en la hipotenusa dos segmentos (proyecciones) de longitudes 6 cm y 8 cm respectivamente . Hallar la longitud de ambos catetos del triángulo. a) 2 7 , 2 14 b) 2 7 , 3 7 c) 7, 14 d) 2 21 , 4 7 e) 7 , 21 04. La altura relativa a la hipotenusa y la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 2 cm y 4 cm respectivamente. Hallar el producto de los catetos. a) 6 cm2 b) 8 cm2 c) 10 cm2 d) 12 cm2 e) N.A 05. Si AB = 15. BH = 12. Hallar : BC/AC B A H C a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 4/5 e) N.a 06. Según la figura, marcar la relación correcta. H c B A C h n m a b a) ab = ch b) h2 =nm c) a2 = nc d) a2 + b2 = c2 e) Todas se cumplen 07. Del problema anterior: Hallar la distancia del punto “H” al lado AC. (Recomendación: aplicar la primera relación anterior en el triángulo AHC) a) nm/b b) nm/a c) hb d) mh/b e) N.A 08. En el problema 06, hallar la distancia del punto “H” al lado BC a) nh b) mh c) mn d) mh/b e) nh/ a 09. Las diagonales del rectángulo mostrado miden 9 cm. Si AH cm=4 , el lado CD mide : A H B C D a) 6 cm b) 2 5 cm c) 3 5 cm d) 5 cm e) N.A 10. En el problema anterior BH AD+ es : a) 2 5 cm b) 3 5 cm c) 5 5 cm d) 5 cm e) 10 cm 11. En un triángulo de lados 5, 6, 7 cm. hallar la longitud de la proyección del lado menor sobre el mayor. a) 17/7 b) 17/9 c) 2 d) 19/7 e) 3 12. En un triángulo de lados 5, 9 y 10, hallar los segmentos que determina la altura sobre el lado mayor. a) 25/7 y 45/7 b)3,6 y 6,4 c)2,2 y 7,8 d) 2,85 y 7,15 e) N.A 13. En un triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. Calcular la altura relativa al lado mayor a) 4,6 cm b) 3,2 cm c) 5,1 cm d) 5,8 cm e) N.A 14. En un triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 7 cm. Calcular la altura relativa al lado de 6 cm a) 2 3 cm b) 2 2 cm c) 2 6 cm d) 6 cm ) N.A 15. Hallar la mediana relativa al lado mayor mide : 12 5 13 x a) 5 b) 6 c) 6, 5 d) 4, 3 e) 7, 2 16. En un triángulo de lados 7 cm, 9 cm y 14 cm, hallar la longitud de la mediana relativa al lado mayor. a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 7 cm 17. Hallar BT , si AT TC. =20 . S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...." a + b = 2mc + c 2 2 2 2 2
  • 12. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria T 10 12 B A C ß ß a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 18. En un triángulo ABC recto en B, hallar la longitud de la bisectriz trazada desde el vértice A, sabiendo que AB cm=3 y AC cm=5 . a) 3 5 /2cm b) 2 5 /3cm c) 3 5 cm d) 5 cm e) 5 5 /2 cm 19. En un triángulo ABC, de lados AB cm=5 , BC cm=6 AC cm=4 .Si la bisectriz interior AP P en BC( ) es igual al PC , entonces AP mide : a) 10/3 cm b) 2 cm c) 5/3 cm d) 3 cm e) 8/3 20. En la figura, AB DE cm y AE cm+ = =7 25 Hallar BD C A BD E a) 21m b) 24m c) 18m d) 16m e) 14m PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En el cuadrilátero, calcular el lado AD A B D C 10 3 55 a) 4 5 b) 4 3 c) 6 5 d) 15 e) 19 02. En el triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo ß. 2 2 3 + 1 ß a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75° 03. Se da un triángulo ABC, cuyos lados AB AC, y BC miden 8 cm, 6 cm y 10 cm respectivamente. Hallar la proyección de AB sobre la bisectriz interior del ángulo A a) 6 2 cm b) 8 2 cm c) 3 cm d) 4 2 cm e) 5 cm 04. En un triángulo acutángulo ABC, el lado AB cm=17 y el lado BC = 16 cm. Hallar la medida de AC si su proyección sobre BC es 6 cm a) 10 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 12,5 cm e) 13 cm 05. En un triángulo rectángulo la distancia del incentro a los extremos de la hipotenusa miden 13 y 2 26 . Calcular la medida de la hipotenusa. a) 17 b) 150 c) 15 d) 19 e) 13 06. En el dibujo, hallar la proyección de OC , sobre AO , si OC cm=17 . O B A C a) 17 2 /2 b) 17/2 c) 34 2 / 3 d) 34 3 / 3 e) F.D 07. Dos autos parten del mismo punto recorriendo calles distintas a diferentes velocidades . ¿ Cuántos kilómetros han recorrido cada auto si encontrándose a 80 Km de distancia uno del otro, uno de ellos avanzó 16 km más que el otro? a) 32 Km, 48 Km b) 40 Km, 56 Km c) 48 Km, 64 Km d) 56 Km, 72 Km e) N.a 08. Juan y Carlos parten del punto “P” con la misma velocidad. Juan va por la pista “A” y Carlos por la “C”. Cuando Carlos termina de recorrer la pista “C”, Juan a recorrido la pista “A” y la mitad de la pista “B”. La menor pista es : A C B P a) A b) B c) A y B d) B y A e) N.a 09. La base mayor de un trapecio mide 8 m; sus diagonales son ortogonales y miden 6 m y 8 m. Hallar la base menor. a) 1 m b) 1,5 m c) 2 m d) 3 m e) 4 m 10. En el trapecio ABCD ( BC AD/ / ) las diagonales se cortan perpendicularmente y luego se traza la altura BH . Hallar dicha altura si : BC =6 , AD =9 y AH =1 a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 7 e) 2 14 11. La hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el otro cateto es igual a la mitad del cateto mayor restado en 10 m, hallar la longitud de la hipotenusa. a) 25 m b) 17 m c) 13 m d) 10 m e) N.A 12. La hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el otro cateto es igual a la mitad del cateto mayor disminuido en 2 m, hallar la longitud de la hipotenusa. a) 25 m b) 17 m c) 13 m d) 10 m e) N.A 13. Un “pisapapeles” está sobre una mesa rectangular a 4 cm de un borde de esta y 3 cm de otro consecutivo al primero. La distancia del objeto a una esquina de la mesa será : a) 3 cm b) 4 cm c) 3,5 cm d) 5 cm e) N.A S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 13. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 14. Internamente a un cuadrado de lado 5 cm ubicamos el punto “P”. Si las distancias de este punto “P” a dos lados consecutivos del cuadrado son de 2 cm y 1 cm, calcular la suma de las distancias del punto “P” a los vértices del cuadrado. a) 7 5 b) 3 5 +2 10 c) 5 + 3 5 + 10 d) 10 2 e) 5 + 5 5 + 10 15. los lados de un triángulo rectángulo se encuentran en progresión de razón igual a 4. Hallar la altura relativa a la hipotenusa. a) 10 b) 9,8 c) 9,6 d) 9,4 e) N.A. TAREA DOMICILIARIA 01. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide 15m y la altura 6m. Hallar la longitud del cateto menor. a) 5 b) 35 c) 53 d) 3 e) N.A. 02. En un triángulo rectángulo, recto en B, se traza la altura BH . Si AH = 9, HC = 16; calcular la longitud del cateto AB . a) 15 b) 30 c) 45 d) 5 e) N.A. 03. Según el gráfico. Hallar BC: 4 A a B CH 2a a) 2 3 b) 3 6 c) 6 2 d) 5 3 e) 4 3 04. Un arco de circunferencia tiene una cuerda de 2 dm y una flecha e 2 cm. El radio medirá. a) 18 cm b) 9 cm c) 26 cm d) 20 cm e) 13 cm 05. Hallar la hipotenusa: θ θ x B 3 5 6 10 a) 12 b) 10 c) 8 d) 9 e) 13 06.Hallar AC θθ B 10 A a a + 6 18 C a) 22 b) 23 c) 21 d) 18 e) 19 07.En la figura, hallar BM A C B M 10 8 6 a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 4 08.Hallar la longitud de la bisectriz. BD en la figura. A 6 B 16 CD 20 a) 22 23 4 b) 11 4 3 c) 15 3 4 d) 11 3 5 e) N.a. 09.En el gráfico hallar: “m” 5 m B A B 8 10 a) 4,12 b) 3,16 c) 3,24 d) 3,05 e) 2,96 10.Los lados de un triángulo son 8, 10 y 14 metros, respectivamente. Hallar la longitud de la mediana respecto al lado mayor. a) 31 m b) 33 m c) 4 2 m d) 33 m e) 2 7 m a) Teorema de cuerdas : a d c b a.b = c.d b) Teorema de Secantes : ab = cdb a d c c) Teorema de la Tangente : x = ab b a x 2 APENDICE : a) x = 2 RrR r x S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...." RELACIONES MÉTRICAS EN LA
  • 14. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria b) x = L L x L 16 c) x = R 3 x R R PRACTICA DE CLASE 01. Si AE es a EB como 2 es a 5 y CE ED. =160, hallar AE D A B C E a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) N.A 02. Hallar AC , si AH = 2 , HB =3 y HD =6 . D A B H C a) 3 b) 2 5 c) 5 d) 4 e) 2 2 03. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia, se dibujan las secantes PAB y PCD. Si AB cm=3 , AP cm=4 y CP m=2 . Calcular la medida de CD . a) 10 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 13 cm e) 14 cm 04. En una circunferencia se dibujan dos secantes : ABQ y CDQ . Si AB cm=4 , CD cm=12 y QB cm=5 . Calcular QD a) 3 cm b) 3,5 cm c) 4 cm d) 4,5 cm e) N.A 05. Se prolonga el diámetro AB cm=10 de una circunferencia un segmento BD cm=8 . Calcular la media de la tangencia trazada a dicha circunferencia por D. a) 10 cm b) 8 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 5 2 cm 06. Hallar BC , si AC = 16 cm y TC = 8 cm. (T es punto de tangencia) A B CT a) 4 b) 5 c) 6 d) 5,5 e) N.a 07. En la figura; hallar R R R 8 a) 12 b) 8 c) 16 d) 24 e) 30 08. Hallar “x”, si O centro de la circunferencia mayor OT =2 3 y OO′=9 O´ x T O a) 1/3 b) 2/3 c) 3/2 d) 3 e) 3/4 09. La razón entre los catetos de un triángulo rectángulo es de 2 : 3, entonces la razón entre los segmentos determinados sobre la hipotenusa al ser trazada la altura es de: a) 4/9 b) 5/4 c) 5/9 d) 8/9 e) 2/3 11. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm. y determina en ella segmentos que son entre sí como 9 es a 16. a) 30 cm b) 48 cm c) 72 cm d) 54 cm e) 60 cm 12. En el cuadrado ABCD mostrado, M es punto medio del lado BC y AB cm=4 . Calcular ME . E B C D A M a) 2 5 cm b) 2 5 / 5cm c) 1/5 cm d) 5 cm e) 1 cm 13. Se tienen dos circunferencias de radio 3 cm y 5 cm. Se dibuja una cuerda sobre la mayor que es trisecada por la menor como se muestra . Hallar la longitud de dicha cuerda. a) 2 2 cm b) 4 2 c) 6 2 cm d) 8 2 e) N.a 14. En la figura hallar r, si ACB o =90 . A C B R = 12 1 R = 3 2 r a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 15.Si r1 = 18 3 , r2= 12 3 . Hallar ACB , si B o ==90 A C B r 1 r 3 r2 a) 30° b) 60° c) 37° d) 53° e) 45° 16. En un cuadrado ABCD, haciendo centro en el vértice D se traza el arco AC que corta a AM en el punto E. (“M” punto medio de BC ). Si BC = 2 5 cm. Hallar EM a) 5 cm b) 2 5 cm c) 5/2 cm d) 1 cm e) 2 cm S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 15. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 17. Interiormente a un cuadrado ABCD se dibuja una semicircunferencia de diámetro CD . La tangente trazada por B corta a AD en el punto E. Si AB a= , hallar ED a) 2a b) a c) a/3 d) a/4 e) 4a 18. En la figura hallar AF , si BC y CD= =1 3 F A B C D E AF = FB a) 1 b) 2 c) 3 d) 1,5 e) 1, 2 19. Hallar “x”, si R = 3 + 2 2 . R x a) 1/2 b) 1/4 c) 1 d) 1/3 e) 1/5 20. Tomando como centros los vértices A y D de un cuadrado ABCD se dibujan cuartos de circunferencia. Si la intersección de estas es el punto E, hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo BEC. (El cuadrado tiene lado L). a) L/8 b) L/4 c) L/16 d) 2L/7 e) N.A EJERCICIOS PROPUESTOS 01. En el cuadrado ABCD mostrado: .210ECAE =+ Hallar ED : A D C B F a) 5m b) 10 c) 15 d) 20 e) 1 02. En el triángulo escaleno ABC: B = 60° ,m33BCAB =+ “O” es el baricentro del triángulo equilátero ACD, hallar OB . a ) 1m b) 3 c) 6 d) 9 e) 12 03. En el triángulo rectángulo ABC: 22BRBQ =+ m, siendo PQRS un cuadrado de centro “O”. Hallar OB . Q O A R P B C S a) 1 m b) 2 c) 2 d) 2 2 e) 4 04. En el triángulo acutángulo ABC, hallar MN si AC es el diámetro del semicírculo mostrado, además AM = 7m. A B M x N 15 25 O C 7 a) 5 m b) 10 c) 15 d) 20 e) 5 05. En el cuadrante AOB, hallar AC siendo: BC = 2m, OBAO = = 3m 3 A C O 3 x B 2 a) 2 - 2 b) 3 - 2 ) 4 - 2 d) 5 - 2 e) 2 - 1 06. Siendo BC = 2m, EF = 6m, ED = 4m. Calcular: AB . E 6 F D 4 A C 2 B x a) 7 b) 8 c) 11 d) 13 e) 14 07. Siendo 2EF,4CD,5BC === , FC = 4. Hallar AB . A C 4 F 2 E B D 4 C 5 a) 1 m b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. Calcular la cuerda común AB siendo: AP,PBCD = = 1m. A C P B D a) 1 m b) 2 c) 3 d) 1,5 c) 6 09. Calcular la tangente MC.BMsi,AM = 8. C A M B a) 2 m b) 4 c) 6 d) 8 e) N.a. 10. En el círculo de centro “O”, PC = 5m, PE = 2m, ECˆP2Pˆ = . Calcular el radio del círculo. E C 5 O 2α α R 2 P a) 2 m b) 4 c) 6 S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 16. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria d) 8 e) 10 11. En el cuadrilátero de 5 m de radio. Calcular MCsi,CD = 5 A MB D C 5 5 5 a) 1 m b) 2 c) 3 d) 4 ed) 5 12. Siendo AM la mediana del triángulo ABC, AE = 4m, EB = 6m, CF = 3m. Hallar AF . A 4 E 6 B M x F 3 C a) 12 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21 13. En la figura calcular “r”, si: PQ = 1, QR = 4 y R = 6. QP O R a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 0,5 14. Si AB = 5; BC = 2 y CD = 1 Calcular DE C D A B E a) 1 b) 1, 5 c) 2 d) 2, 5 e) 3 15. Calcular BC Si AB = 3 y CD = 4 A B C D a) 1, 5 b) 2 c) 2, 5 d) 3 e) 4 TAREA DOMICILIARIA 01. Desde un punto B se traza una tangente BA y una secante BCD a una circunferencia, de tal manera que BA = 8 m y BC m=4 . Calcular la cuerda DC . a) 12 m b) 11 m c) 10 m d) 9 m e) 8 m 02.En la figura, hallar AB BC AM MC. .− , si BD y BC= =8 18 . ß ß A M C B D F a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 03. En un triángulo ABC se traza la mediana BM y la bisectriz BF , la circunferencia circunscrita al triángulo BMF corta a los lados AB y BC en D y E respectivamente . Si AD m=10 . Calcular CE . a) 5 b) 10 c) 20 d) 15 e) N.A 04. En un triángulo ABC AB BC. =24 . Se t raza la bisectriz interior BD y la mediana BM ; si BD DM= . Hallar AC . a) 2 6 b) 6 c) 4 d) 4 6 e) N.A 05. En la figura, hallar AQ, si AO = diámetro AO OB y AP= =2 A 0 B QP a) 2 b) 3 c) 2/3 d) 8 e) N.a 06.Hallar “R” R 3 2 A BO a) 25/2 b) 25/4 c) 35/2 d) 35/4 e) N.a 07. Calcular el radio de la circunferencia . Si AO OB OM MB= = =8, R O M B A a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.a 08. Hallar BC , PD CD y PE= = =3 4 7, A O C B D P E a) 3 b) 4 c) 7 d) 7 e) N.a 09. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la secante PAB y la tangente PC . Por los puntos A y B se traza otra circunferencia que intersecta a PC en el punto M y a la prolongación de PC en el Punto N. Hallar CN sabiendo que MC MP BC AC y BC AC= = − =, . 18 3 2 2 S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 17. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) N.A 10. De la figura calcular el radio de la circunferencia si el lado del cuadrado es (2 - 2 ) R a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) N.a SOLUCIONARIO Nº Ejercicios Propuestos 01 02 03 04 01. B B A B 02. A C B B 03. D A D B 04. B C C C 05. D A E C 06. C D A E 07. A B C C 08. A E A C 09. C D C E 10. A C E B 11. C B A C 12. C D C C 13. D A D C 14. C D C B 15. C C C B GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."