Geometria 5° 3 b

29 30COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria GEOMETRÍA
5to Secundaria
TEOREMA DE THALES
A
B
F
E
L1
L2
L3
C
D
EF
DE
BC
AB
=
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
B
c
m n
α
a
α
n
a
m
c
=
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
c
m
α
a
α
n
SEMEJANZA DE TRIANGULO
α°
A
θ°
β°
CH
B'
α°
A'
θ°
β°
C'H'
B
~
K
'H'B
BH
'C'A
AC
'C'B
BC
'B'A
AB
====
PRACTICA DE CLASE
01.El Perímetro de un ∆ rectángulo es 132 y la
suma de los cuadrados de los 3 lados es 6050.
Hallar los lados.
02. Hallar “x” en la figura:
4xx+2
4x+1
03.Hallar “x” en la figura:
5x+2x+3
3x +12
04. Hallar el área del triángulo:
A
B
H
B
9 16
05.Los catetos de un triángulo miden: 2 3 y
3 2 . Hallar la altura relativa a la
hipotenusa.
06.Si L1 // L2 // L3. Hallar x.
9
x x+2
x+6
L1
L2
L3
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
07.De la figura hallar m/n. Si L1 // L2 // L3.
9
n
L1
L2
L3
3
m
a) 1/3 b) 3/2 c) 4/1
d) 1/4 e) 3/4
08.Hallar AC, si AB = 15, BC = 20 y AD = 6.
A D C
B
α α
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 6
09.Hallar CE, si AB = 20, BC = 10 y AC = 21.
A C E
B
θ
θ
a) 10 b) 42 c) 21
d) 20 e) 28
10.Hallar x.
x x9 25
α α
a) 10 b) 12 c) 15
d) 25 e) 30
11.En un triángulo ABC, AB = 16, se traza la
mediana BM. Hallar BM, si m MBC = m
BAC + m ACB.
a) 12 b) 8 c) 16
d) 8 2 e) 8 3
12.Hallar el lado del cuadrado PQRS. Si AP = 1,
SC = 9.
A C
B
P S
RQ
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
13.Hallar MN, si AB = 9 , BC = 6 , MC = 2 y
AB // MN.
A C
B
N
M
a) 2 b) 6 c) 4
d) 3 e) 5
S5GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
SEMEJANZA Y
III

5to Secundaria
14.Hallar EF. Si BF = 3; AB = 9, AC = 6.
A C
B
F
E
α
α
a) 2 b) 6 c) 4
d) 3 e) 5
15.Hallar BC si AN = 3NB = 9
A
C
BN
α
α
a) 9 b) 6 c) 5
d) 4 e) 7
16. En un triángulo ABC, AB = 27, por el
baricentro G, se traza EF paralelo a AC (E
sobre AB y F en BC). Hallar BE.
a) 9 b) 18 c) 25
d) 24 e) 15
17.Si ABCD es un cuadrado. Hallar FE.
A
B C
D
F
Q
E
6
6
a) 6 b) 8 c) 9
d) 10 e) 8,5
18.Hallar PQ, si PQ // AC.
A
B
C
P Q
5
12
3
a) 7,5 b) 6,5 c) 7
d) 6 e) N.A.
19.Calcular “x”. Si AB = 12 y CD = 6.
A
B
C
D
O
x
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
20.Si AC//MN ; AC=10 MN=4 ; BC=12.
Hallar BN.
A
B
C
M N
a) 3,8 b) 3,5 c) 4
d) 4,8 e) 3,5
21.Hallar el lado del cuadrado MNPQ. Si:
AC=10 y la altura del triángulo es 12.
A
B
C
M
Q
P
Q
a) 15,6 b) 05,6 c) 38,5
d) 18,5 e) 45,5
22.Si: BE=3 ; EC=5 . Hallar HC
B
C
θ
A
θ
ε
H
a) 10 b) 12 c) 16
d) 17 e) 19
23.Hallar AB, Si: BN=7 ; MC=5 ; AC=8
a) 8,75 b) 9 c) 10
d) 9,05 e) 9,52
EJERCICIOS PROPUESTOS 01
01. Hallar "MC" si : AB = 8 , TN = 2
CNA
M
B
T
53°
θ
θ
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
02. Calcular QC si : BN = 8 y BC = 17
B
N
Q
CA
M
R
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) N.A
03. En la figura mostrada BE = a y EC =
b. Hallar "AE".
C
B
A
E
30 - 3
10+2α
α
a) 2a+b b) a + b c) a + 2b
d) 0 e) N.A
04.En un triángulo acutángulo ABC se traza la
altura BH y la mediana CM , Calcular el
∠MCA si BH = MC
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 40º e) N.A
05.Calcular "x" si BC = 2 PB ; Q = Punto
medio AC ; M = Punto medio BC .
36 24
X
M
P
C
B
A
O
o o
a) 20º b) 21º c) 24º
d) 25º e) N.A
06. El triángulo MNP. Se llama : ("p" un punto

5to Secundaria
N
B
M
A
P C
P
a) Triángulo Podar
b) Triángulo Mediano
c) Triángulo A y B
d) Triángulo Ortico
e) N.A
07.En un triángulo ABC, los ángulos B y C
miden 45º y 60º . ¿ Qué longitud tiene la
altura bajada de A sobre el lado "a" , si el
lado "b" mide 10 3 ?
a) 5 2 b) 8 3 c) 18
d) 15 e) 12
08. Calcular BD si AE = 30º
A B
C
D
E
a) 0 b) 5º c) 10º
d) 15º e) N.A
09.En la figura , MF es mediatriz de
BC;BH es altura. Calcular el valor del
ángulo A.
B
M
A H F C
α
α8
a) 9º b) 81º c) 71º
d) 18º e) N.A
10. En el gráfico hallar PQ ;
P
A C
M N
B
Q
a) √2 b) 2√2 c) 8
d) 4 e) N.A
11. Los lados de un triángulo cuiden 8 m, 10 m y
9 m hallar la longitud del segmento que une
el incentro con el baricentro
a) 3 b) 1/3 c) 0,25
d) 0,5 e) 1
12. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC
interseca en N al lado BC y a la
prolongación de AB en "E". Hallar BE , si
AB = 16 y CN = 5 BN
a) 3 b) 4 c) 8
d) 5 e) 7
13.Calcular el perímetro de un triángulo, si sus
lados miden 12; 2x+5; x-2, además " x " es
un número entero
a) 20 b) 27 c) 30
d) 35 e) 31
14.En un triángulo ABC se traza la bisectriz
interior AD , por D se traza una paralela a
AC que corta a AB en E. Hallar AB, si
DE = 3 y BE = AB/3
a) 5 b) 4,5 c) 4
d) 3 e) 6
15. Los triángulos ABC y CDE son equiláteros,
calcular AD, si BE = 9
B
C
E
D
A
a) 12,5 b) 10 c) 18
d) 9 e) 12
16.En la figura, el triángulo ABC es equilátero
de 8 cm de lado. Hallar MN, si BN = NC
A
M
B
N
C
a) 4 b) 8 c) 2√3
d) 4√3 e) 2√2
17.Calcular uno de los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo, si la distancia de su
ortocentro a su circuncentro es igual a uno de
sus catetos.
a) 15° b) 20° c) 30°
d) 75° e) 45°
18.En un triángulo equilátero ABC de 8 cm de
lado, por el punto medio D del lado AB se
traza DE perpendicular a BC . Hallar la
distancia de E al lado BC .
a) 2√3 cm b) 3√3 cm c) 4√3 cm
d) √3 cm e) 4 cm
19.¿Cuántos puntos del plano de un triángulo
equidistan de sus lados?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) Ningún punto
20. Determinar el valor de "x" en la sgte figura
A D
X
C
6
B
4 3
12
a) 3√3 b) 4√3 c) 4√2
d) 6√2 e) 8√2

5to Secundaria
TAREA DOMICILIARIA
01.En la figura mostrada ABCD es un
paralelogramo. ′A A = 4 , ′C C = 2 .
Hallar BB
,
D
CA
A B C
B
,,,
a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
02. Hallar la longitud de DH si AE = 5 ; BF
= 4 y CG = 3
A
B
C D
E F G H
T
a) 12 b) 12/5 c) 5/12
d) 5 e) 6
03.Los lados del rectángulo miden 20 y 30m
respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones
del rectángulo de 360 m de perímetro
semejante al dado ?
a) 72 y 108 m b) 80 y 100 m
c) 75 y 150 m d) 68 y 102 m
e) 96 y 144 m
04. Hallar " x " si AB = BC y BE = BD
A D
E
Cx
20
B
a) 10° b) 15° c) 20°
d) 25° e) N.A
05.Si las áreas de los siguientes triángulos
semejantes están en razón de 9 : 1
x 12
¿Cuál será el valor de x ?
a) 2 b) 4 c) 5
d) 12/9 e) N.A
06.En la figura AB // CD , BC // DE si OA = 12
, OE = 48. Hallar CE
D
B
O A C E
a) 24 b) 26 c) 28
d) 14 e) N.A
07.Hallar PQ si PR = 7
α
α R
P
Q
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) N.A
08. Hallar EF en función de a y b
6
a
E
1
F 5
b
a)
b6a7
ab
+
b)
b7a6
ab
+
c)
b7a6
a
+
d)
b6a7
b
+
e) N.a.
09. Hallar : PQ
α
αR
2
P
Q
a) 4 b) 5 c) 3
d) 6 e) N.A
10.Si por el centro de un cuadrado de 40 cm de
perímetro, se traza una perpendicular al
centro de dicho cuadrado, hallar la longitud
de dicha perpendicular (H) para que al unir el
punto exterior con los vértices de dicho
cuadrado formen 4 triángulos congruentes.
H = perpendicular ; L = lado; R = radio
a) H = L b) H = L2
√3 c) H = R
d) H = 2πR e) N.A
11.La base de un triángulo mide 4 m, calcular la
paralela a la base que divide al triángulo en
dos partes equivalentes.
a) 3(√3 - 1) b) √5 - 2 c) 2√2
d) 4(√3 - 1) e) N.A
12. Hallar NC si AB // MP // NQ; AM // PN
A
P
Q
B
M
N
b
a
C

5to Secundaria
a)
ba
a 2
+
b)
ba
a 2
−
c)
ba
ab
+
d)
ba
b 2
+
e)
ba
b 2
−
13. Si : AB // DC // MN ; AM/MD = 1/4
AB = 7, DC = 17, Hallar MN
A
M
D
B
N
C
a) 6 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
1. TEOREMA DE EUCLIDES (I)
m n
c
a b
m.c2cab 222
−+=
n.c2cba 222
−+=
Aplicación:
Hallar “x”
x
10
810
Aplicando Euclides:
(10)2
= (10)2
+ (8)2
– 2(10)x
100 = 100 + 64 – 20x
20x = 64
x = 3,2
2. TEOREMA DE EUCLIDES (II)
a
c m
a
b
cm2cba 222
++=
Aplicación:
Hallar “x”
8
4 2 x
4
Aplicando Euclides:
82
= 42
+ (4 2 )2
+ 2(4 2 ) (x)
64 = 16 + 32 + 8 2 x
16 = 8 2 x
x = 2
TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)
m
b
n
x
a
Ceviana
c
mncnambcx 222
−+=
Aplicación:
Hallar “EG”
3 2
E
3 5 2
x
A G B
Aplicando el T de la Ceviana
x2
5 = 22
. 3 + (3 5 )2
. 2 – (2) (3) (5)
x2
5 = 12 + 90 – 30
x2
5 = 72
X =
5
106
TEOREMA DE LA MEDIANA
b
x
a
c
2
c
x2ba
2
222
+=+
Aplicación:
Hallar AM
m
x
12
8 10
A
Aplicando T. De la Mediana
82
+ 102
= 2x2
+
2
122
64 + 100 = 2x2
+
2
144
x = 46
TEOREMA DE HERÓN:
RELACIONES
MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA

5to Secundaria
b
a
c
H
( )( )( )cpbpapp
c
2
H −−−=
Desde: P =
2
cba ++
Aplicación:
Hallar “x”
7
6
5
x
Aplicando Herón:
9
2
576
P =
++
=
∴P = 9
( ) ( ) ( )7969599
5
2
x −−−=
∴ x = 6
5
12
En la Circunferencia:
C
B
D
A
T P
T : punto de tangencia
PT : tangente
CD y AB : cuerdas
PB : secante
AP : parte externa de la secante BP
PROPIEDADES:
01.TEOREMA DE LAS CUERDAS:
Si por un punto del interior de una
circunferencia se trazan dos cuerdas, se
cumple que los productos de los segmentos
determinados en cada cuerda son iguales.
C
B
D
A
x P y
b
a
PD.PCPB.AP =
También: x . y = a . b
02.TEOREMA DE LA SECANTE:
Si por un punto extensor de una
circunferencia se trazan las secantes, se
cumple que los productos entre cada secante
entero y la respectiva parte externa son
iguales.
C
B
D
A
P
PC.PDPB.AP =
03.TEOREMA DE LA TANGENTE:
Si desde un punto exterior a una
circunferencia se traza una tangente y una
secante se cumple que tangente al cuadrado
es igual al producto de la secante por su parte
externa.
B
A
T P
PB.PATP 2
=
Aplicación:
Hallar “x”
x
8
x
4
Solución:
12 . 4 = (2x) (x)
x = 2 6
Aplicación:
Hallar “x”
4
x
2
Solución:
42
= (2 + x) 2
8 = 2 + x
x = 6
Aplicación:
Hallar “x”
B
A
T
5
O
N
x
30º
2 5
Solución:

5to Secundaria
B
A
T
5
O
N
x
30º
2 5
K
5
5
- En el triángulo rectángulo OTB : TB =
5
- Por propiedad: KT = TB = 5
- Por teorema de cuerdas:
5 . x = 5 . 5
x = 1
PRACTICA DE CLASE
01. Hallar "x" :
R
X
a) R( 2 -1) b) R 2 c) R
d) R(1- 2 ) e) N.A
02. Calcular x si r = 2
r
r
x
a) 3 /2 b) 3 /4 c) 3
d) 2 e) N.A
03. Hallar "x" si OA = OB =R
R
x
a) 2/9R b) R/9 c) R
d) 2R e) N.A
04.Sea un triángulo ABC, inscrito en una
circunferencia, la bisectriz exterior del ángulo
β corta a la prolongación del lado AC en D y
el arco AB en E. Hallar BD si AE = 8m y EB
= 4m.
a) 5m b) 6m c) 8m
d) 12m e) 16m
05.En el sgte gráfico calcular el ángulo AED si :
CD = tangente; AB=diámetro; DCA=20º
A
E D
B
C
a) 160º b) 145º c) 135º
d) 125º e) 150º
06.Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB =
AC), tomándose AC como diámetro se traza
una circunferencia que corta el lado BC en D
de modo que BD = 10 m ; luego se traza DE
perpendicular a AC de modo que DE = 8 m .
Calcular AC.
a) 16 b) 16,5 c) 16,66
d) 17 e) N.A
07. En la figura BAC = 10º, arcoDE = 32º.
Hallar arcoFG
D
G
F
B
C
E
a) 26º b) 42º c) 32º
d) 48º e) 52º
08.dadas dos circunferencias secantes en B y D
de radios 2,5 y 6 mts , la perpendicular
trazada por D a la cuerda común corta a la
circunferencia menor y mayor en A y C
respectivamente, la prolongación de AB corta
a la mayor en E. Hallar EB si AC = 14 m.
a) 1 m b) 0,8 m c) 1,7 m
d) 2,5 m e) 2,7 m
09.Dado un triángulo ABC recto en A, tomando
como diámetro AC se describe una
circunferencia que corta en M a la hipotenusa
y a la prolongación de la mediana relativa a
dicha hipotenusa en N Hallar MN si AB = 4m
y BM = 2m.
a) 3 m b) (3 3 /2)m c) 2 3 m
d) 2m e) 4m
10.Hallar "x" . P y Q incentros de los triángulos
rectángulos ABH y BHC.
B
P
Q x
CHA
a) 40º b) 42º c) 45º
d) 50º e) N.A
11.Hallar "x" . I1 y I2 son incentros de los
triángulos rectángulos ABH y BHC
B
l
lx
HA C
1
2
a) 85º b) 86º c) 88º
d) 90º e) N.A
12. Hallar el perímetro del ∆ PQH. P y Q
incentros de los triángulos rectángulos ABH y
BHC, además MN = 20

5to Secundaria
B
P
M
A
H
N
Q
C
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) N.A
13.En la figura hallar el radio si
AC. AF + BC.BE = 144. Además
"O" es el centro de la circunferencia.
R
BA
C
FE
O
a) 3√2 b) 4 c) 12
d) 5 e) 6
14. En la figura, calcular la longitud de FM
R
R R
F
M
A
O B
a) 3R/5 b) R 5 /5 c) 3R 5
d) 3R 5 /5 e) N.A
15. En la figura : ED / / BC ,
Hallar ED si : AB = 2BC
Centro
O
F D
B
A
C
E
Tangente
a) 13 b) 15 c) 14
d) 16 e) N.A
16. Sean las rectas L1 // L2 // L3 Calcular la
longitud de BC
A
B
L
L
L
1
2
2
3
1
M
60
60
a) 21 /7 b) 2 21 /7 c) 2 21
d) 21 /3 e) 2 21 /3
17. Hallar AF .
AO = OB = BC = R
A
E
CB
F
D
O
a) 7 21 /3 .R b) 21 /3R
c) 2R 21 d) R/3
e) R/2 . 21
18. En la figura : Calcular : MO
A
O R
M
B
C
8
2
x
a) 2,5 b) 3 c) 3,5
d) 4 e) 5
19. En la figura : ME = LJ = a y
ML = EF . Calcular MA.MB
A BE
L
JF
M
a) a2
b) 3a2
/2 c) a2
/2
d) 2a2
/3 e) a2
20. En el semicírculo mostrado:
AB ,CD, AD son tangentes. Siendo
AB = 10 , DC = 2,5 . Calcular EF
B
A
10
E
F
D
C
2,5
x
a) 2,5 b) 2 c) 4
d) 5 e) 4,5
01. Si r = 3 y AC = 9 . Calcular AQ
Q
B
T C
A
r
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
02. En la figura : O y B. son centros. Los radios
mide 6 y 10 . Hallar PE.
A
E
O
P
B
a) 8 b) 7 c) 8,2
d) 2,5 e) 7,2
03. Calcular el perímetro del triángulo ABC si
PQ = 16.
B
A
OP Q
a) 16 b) 17 c) 18

5to Secundaria
d) 19 e) 20
04. En el gráfico si : AO = OB = R y
AD = BC. Hallar "r"
R
D
C
O
r
A B
a) 3R/4 b) 3R/5 c) R/4
d) 2R/5 e) 3R/8
05.Si : AO = OB = 7 además PH = HB = QH.
Calcular OP
A
P
O
Q
B
a) 7(√2-1) b) (√2-1) c) 7(√2+1)
d) (√2-1)/2 e) N.A
06.En un triángulo ABC donde AB = 6, BC = 8
y AC = 9 se traza una circunferencia interior
a dicho triángulo que es tangente a los lados
BC y AC en "P" y "Q"
respectivamente. calcular OM("O" es centro
de la circunferencia de radio igual a 2 y "M"
punto medio de AB ).
a) 7 30 /2 b) 9 30 /2 c) 30 /2
d) 5 30 /2 e) 3 30 /2
07.El apotema de un triángulo equilátero inscrito
mide 8 cm. Hallar el perímetro del hexágono
regular inscrito en la misma circunferencia.
a) 96 cm b) 90 cm c) 86 cm
d) 80 cm e) N.A
08.En la figura adjunta hallar el radio de la
circunferencia inscrita en el triángulo
unixtilíneo AMD.
A Da
a
CMB
x
a) 3/8.a b) 8/3.a c) 8a
d) 3a e) N.A
09. Hallar EF
A
C
24
E
B
F
o
12
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) N.A
10.Hallar AB. m // AC
B m
A
4 E
F
5
C
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) N.A
11.Hallar "x"
x
8
10
α
α
a) 9 b) 12 c) 18
d) 24 e) N.A
12. Hallar "x"
60
o
30o
x
2 3
a) 4√3 b) 6√3 c) 6
d) 12 e) 12√3
TAREA DOMICILIARIA
01.Calcular el lado de un triángulo equilátero
inscrito en una circunferencia de diámetro
6m.
a) 6√3 b) 3√3 c) 4√3
d) 3 e) 6
02.Hallar : AB si R = 12 ; r = 3
R
r
A B
a) 6 b) 9 c) 12
d) 15 e) N.A
03.En un triángulo ABC (
A =75°;
B =90°) se
traza la altura BH y la mediana BM. Hallar el
inradio del triángulo BHM
si AC = 12
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) N.A
04.En un triángulo rectángulo la suma de los
catetos es 20m. La suma del inradio con el
circunradio es:
a) 20m b) 15m c) 10m
d) 5m e) N.A
05.Se tiene dos circunferencias O y O' secantes
en A y B; se trazan los diámetros AOC y

5to Secundaria
AO'D. Calcular la longitud del segmento que
une los puntos medios de OB y ′O B
si CD = 8m
a) 1m b) 2m c) 3m
d) 4m e) 5m
06.Los catetos de un triángulo rectángulo miden
6m y 8m tomando como diámetros dichos
catetos se trazan semicircunferencias las
cuales determinan los puntos 'E" y "F" sobre
la hipotenusa. ¿ Cuál es la longitud de EF?
a) 2m b) 1m c) 1,4m
d) 1,5m e) 0 m
07.En un triángulo ABC se traza la
circunferencia ex-inscrita relativa a BC, la
prolongación de AB es tangente a la
circunferencia en "M". Hallar el perímetro del
triángulo ACB, si AM = 28.
a) 28 b) 56 c) 14
d) 42 e) N.A
08.El área del cuadrado inscrito en un
semicírculo es al área del cuadrado inscrito en
el círculo completo como:
a) 1:2 b) 2:5 c) 2:3
d) 3:5 e) 6:4
09.En una circunferencia se traza una cuerda
AB cuyo punto medio es M, por M se
traza la cuerda CD tal que CM = 4 y MD =
2. Hallar AB.
a) 8 b) 4 c) 4√2
d) 3√2 e) √6
10. Calcular AF, si DC = CB = BA, FC = 6,
CE = 2
D C
E
B
A
F
a) 4 b) 5 c) 6
d) 10 e) 8
11.Por un punto exterior a una circunferencia se
traza una secante cuya parte externa mide 4 y
su parte interna mide 8, por el mismo punto
se traza otra secante cuya parte externa mide
3. calcular la parte interna de la última
secante trazada.
a) 16 b) 10 c) 12
d) 15 e) 6
12.Un rectángulo se inscribe en una
circunferencia de radio 5, si uno de sus lados
mide 6. Hallar su otro lado desigual.
a) 7 b) 6 c) 8
d) 11 e) 11
13. El radio de la circunferencia mide √2,
además
AB = L3 , AC = L4. Hallar BC
A
B
C
a) √2+√6 b) √2+√6 c) √3+1
d) √3+2 e) N.A
14. AB y CD son dos diámetros
perpendiculares de un circulo de centro O.
AM es cualquier cuerda que pase por A.
Dicha cuerda intersecta a CD en el punto
P. Entonces AP . AM es igual a:
a) AO .OB b) AO . AB c)
CP .CD
d) CP . PD e) CO . PO
15. Hallar "x" (O centro)
8
6
BA
O
x
a) 9,1 b) 7,1 c) 8,1
d) 5,1 e) 4,1
16. De la figura : calcular "AC" CF = 6; ED = 5
C
A
B
ED
F
a) 6 b) 10 c) 7
d) 8 e) 9
17.De la figura, ABCD es un cuadrado, calcular
MD, si AD = 5 ,
PB = 7.
D
M
A
B PC
a) 60/13 b) 13/60 c) 60/17
d) 17/60 e) N.A
18. Si : R/r = 5/3 Hallar : AM
Si : MB = 4
A
B
M
R
r
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
19. Hallar "BT" si AB = 4 y BC = 9
A
B
T C
α α
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
20. La intersección de las mediatrices de tres
cuerdas cualquiera no es el centro de una
circunferencia
PORQUE
El punto de intersección varía de acuerdo a

5to Secundaria
las longitudes de las cuerdas
En el triángulo ABC
C
m n
H
b
a
a y b : catetos
c : hipotenusa
m: proyección de a sobre C
n: proyección de b sobre C
h: altura relativa a la hipotenusa C
Propiedades:
01.Un cateto elevado al cuadrado es igual al
producto de la hipotenusa por su proyección.
C
m
a
c.ma 2
=
Aplicación:
Hallar “a”
3 4
ba
Solución: ¬
a2
= (7) (3)
a = 21
Solución:
3 4
b
b2
= (7) (4)
b = 2 7
02.El producto de los catetos es igual al producto
de la hipotenusa y su altura relativa a ella.
C
H
ba
CHab =
Aplicación:
Halla “x”
3
4
x
Solución: Según el gráfico la hipotenusa mide 5
luego por propiedad se cumple.
(3) (4) = (5) (x)
∴ x = 12/5
Aplicación: Hallar AB
8
A
B
10
Rpta: ............................................................
03.La altura relativa a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo al cuadrado es igual al
producto de las proyecciones de los catetos.
a
H
b
abH 2
=
Aplicación:
Hallar “x”
2
x
3
Solución:
X2
= (3) (2)
RELACIONES MÉTRICAS
EN EL TRIÁNGULO

5to Secundaria
X = 6
Aplicación: Hallar “x”
2
x
6
Rpta: ..........................................................
04.En todo triángulo la suma de los cuadrados de
los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa.
Aplicación:
Hallar “x”
2
x
3
Solución:
22
+ 32
= x2
4 + 9 = x2
x = 13
Aplicación:
Halla “x”
5
x
13
Rpta: ...........................................................
05.En todo triángulo rectángulo se cumple que la
inversa del cuadrado de la altura es igual a la
suma de las inversas de los cuadrados de los
catetos.
a
H
b
222
b
1
a
1
H
1
+=
PRÁCTICA DE CLASE
01. Hallar "MC" si : AB = 8 , TN = 2
CNA
M
B
T
53oθ
θ
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
02. Calcular QC si : BN = 8 y BC = 17
B
N
Q
CA
M
R
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) N.A
03. En la figura mostrada BE = a y EC =
b. Hallar "AE".
C
B
A
E
30 - 3
10+2α
a) 2a+b b) a + b c) a + 2b
d) 0 e) N.A
04.En un triángulo acutángulo ABC se traza la
altura BH y la mediana CM , Calcular el
∠MCA si BH = MC
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 40º e) N.A
05.Calcular "x" si BC = 2 PB ; Q = Punto
medio AC ;
M = Punto medio BC .
36 24
X
M
P
C
B
A
O
o o
a) 20º b) 21º c) 24º
d) 25º e) N.A
06. El triángulo MNP. Se llama : ("p" un punto
N
B
M
A
P C
P
a) Triángulo Podar
b) Triángulo Mediano
c) Triángulo A y B
d) Triángulo Ortico
e) N.A
07.En un triángulo ABC, los ángulos B y C
miden 45º y 60º . ¿ Qué longitud tiene la
altura bajada de A sobre el lado "a" , si el lado
"b" mide 10 3 ?
a) 5 2 b) 8 3 c) 18
d) 15 e) 12
08. Calcular BD si AE = 30º
A B
C
D
E
a) 0 b) 5º c) 10º
d) 15º e) N.A
09.En la figura , MF es mediatriz de
BC;BH es altura. Calcular el valor del
ángulo A.
B
M
A H F C
α
α8
a) 9º b) 81º c) 71º
d) 18º e) N.A
10. En el gráfico hallar PQ ;

5to Secundaria
P
A C
M N
B
Q
a) √2 b) 2√2 c) 8
d) 4 e) N.A
11. Los lados de un triángulo cuiden 8 m, 10 m y
9 m hallar la longitud del segmento que une
el incentro con el baricentro
a) 3 b) 1/3 c) 0,25
d) 0,5 e) 1
12. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC
interseca en N al lado BC y a la
prolongación de AB en "E". Hallar BE , si
AB = 16 y CN = 5 BN
a) 3 b) 4 c) 8
d) 5 e) 7
13.Calcular el perímetro de un triángulo, si sus
lados miden 12; 2x+5; x-2, además " x " es
un número entero
a) 20 b) 27 c) 30
d) 35 e) 31
14.En un triángulo ABC se traza la bisectriz
interior AD , por D se traza una paralela a
AC que corta a AB en E. Hallar AB, si
DE = 3 y BE = AB/3
a) 5 b) 4,5 c) 4
d) 3 e) 6
15. Los triángulos ABC y CDE son equiláteros,
calcular AD, si BE = 9
A
B
C
E
a) 12,5 b) 10 c) 18
d) 9 e) 12
16.En la figura, el triángulo ABC es equilátero
de 8 cm de lado. Hallar MN, si BN = NC
A
M
B
N
C
a) 4 b) 8 c) 2√3
d) 4√3 e) 2√2
17.Calcular uno de los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo, si la distancia de su
ortocentro a su circuncentro es igual a uno de
sus catetos.
a) 15° b) 20° c) 30°
d) 75° e) 45°
18.En un triángulo equilátero ABC de 8 cm de
lado, por el punto medio D del lado AB se
traza DE perpendicular a BC . Hallar la
distancia de E al lado BC .
a) 2√3 cm b) 3√3 cm c) 4√3 cm
d) √3 cm e) 4 cm
19.¿Cuántos puntos del plano de un triángulo
equidistan de sus lados?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) Ningún punto
20. Determinar el valor de "x" en la sgte figura
A D
X
C
6
B
4 3
12
a) 3√3 b) 4√3 c) 4√2
d) 6√2 e) 8√2
01.En un triángulo dos lado miden 9 cm y 7 cm.
Hallar el perímetro (2p) del triángulo
sabiendo que el tercer lado es el doble de uno
de los otros dos.
A
7cm
B
9cm
C
a) 35 cm b) 25 cm c) 30 cm
d) 34 cm e) N.A
02.Los lados de un triángulo ABC miden AB =
4, BC = 5, AC = 6. Hallar el mayor segmento
que determina la altura BH sobre el lado
AC
a) 3 b) 3,8 c) 3,9
d) 3,75 e) 3,85
03. Del gráfico mostrado; hallar x
A
30
o
D
7
C
x
B2 3
a) √3 b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
04.La base de un triángulo mide 15 m, se trazan
dos rectas paralelas a la base, dividiendo en
tres superficies equivalentes. calcular la
longitud del segmento paralelo más cercano a
la base
a) 3°3 m b) 4°2 m c) 5m
d) 5°6 m e) 7,5 m
05.En un triángulo ABC cuyo lado AB mide
12m, se toma un punto M y se traza MN
paralela a BC de tal manera que el
triángulo quede dividido en la relación de 1 es
a 3. Calcular la longitud de AM .
a) 10m b) 8m c) 6m
d) 4m e) 7m
06.La diferencia de 2 lados de un triángulo es de
3 cm.; la bisectriz trazada del vértice del
ángulo formado por estos lados determina en
el lado opuesto, segmentos de 12 y 14 cm.
Hallar los lados que forman el ángulo.
a) 18 y 21 cm b) 19 y 20 cm c) 20 y 23
d) 16 y 19 e) N.A

5to Secundaria
07. Si : PB = 11, CB = 7, BA 8. Hallar :
AP
P
C B A
a) 16 b) 17,8 c) 297
d) 295 e) 19,5
08. Si los lados de un triángulo miden: 3, 3 y 7
cm respectivamente. ¿ Qué tipo de triángulo
es :
a) Rectángulo b) Isósceles c) Equilátero
d) Equiángulo e) N.A
09. Dos lados diferentes de un triángulo
isósceles miden 12 y 5 metros. Hallar su
perímetro .
a) 24m b) 20m c) 17m
d) 22m e)N.A
10.En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa
mide 48. Hallar la distancia del punto medio
de la median relativa a la hipotenusa al
baricentro del triángulo rectángulo.
a) 8 b) 10 c) 4
d) 2 e) N.A
11. Hallar "x"
4
x
α
α
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) N.A
12.Por el vértice " B " de un triángulo ABC se
trazan perpendiculares, BP y BQ a las
bisectrices interiores de los ángulos C y A
respectivamente.
Calcular PQ si AB + BC =14 y
AC =10°
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) N.A
13. Si BH = 2. Hallar AD
A
B D
C
H
α
α
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
14.En un triángulo ABC la bisectriz del ángulo
B y la mediatriz de AC se intersectan.
¿Cuál de los gráficos es correcto ?
a)
B
A C
b)
α
α
c)
α
d)
A C
B
α α α
e) N.A
15. La relación correcta es: (Ver figura)
k z
m
n a
6
a) m + a + z = n + b + k
b) abz = mnk
c) maz = nbk
d) maz = kzn
e) mna = kzb
16.En un triángulo rectángulo los catetos están
en la relación de 3 a 4. Hallar la hipotenusa si
el área de dicho triángulo es 48.
a) 20º b) 30º c) 40º
d) 45º e) N.A
17. En un triángulo recto ABC, recto en B, la
mediatriz de AC corta BC en "P".
Si PC = 2 AB . Hallar Cˆ .
a) 30º b) 15º c) 45º
d) 25º e) 20º
18. Hallar el mínimo perímetro de un triángulo,
sabiendo que sus lados son tres números
pares consecutivos y que el mayor ángulo es
el doble del menor.
a) 18 unidades b) 30 unidades
c) 48 unidades d) 60 unidades
e) 120 unidades
19. En un triángulo ABC, escaleno se construyen
los triángulos equiláteros ABR y BCQ.
Hallar : AQ si CR = 10√3
a) 10√3 b) 20√3 c) 25√3
d) 30√3 e) N.A
20. En la figura hallar "x" si AP = PB y PC =
2AB
A P
B
C
x
a) 18º b) 19º c) 17º
d) 20º e) N.A
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar PQ , si PE = EC , AC = 8,
BC = 6 y CQ es bisectriz
P
A E
C
B
Q
a
a
a) 4 b) 3 c) 3/4
d) 4/3 e) 2

5to Secundaria
02.Hallar: AC, si AB = 8 y BC = 15.
A
B
C
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
03.Hallar AB, si AH = 3 y AC = 12.
A
B
CH
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
04.Hallar BH. Si AH = 1, HC = 4.
A
B
CH
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
05.Hallar AH, si AB = 2 y AC = 5.
A
B
CH
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6
d) 0,8 e) 1,2
06.Hallar BH, si AB = 15, BC = 20.
A
B
CH
a) 9 b) 12 c) 16
d) 6 e) 8
07.Hallar: BC, si AD = 18; DC = 7, AB = BD.
A
B
CD
a) 15 b) 12 c) 11
d) 12,5 e) 20
08.Calcular “r”, si P y Q son puntos de
tangencia.
r
2
r
P
Q
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 16
09.Si AB = 6; PQ = 8; OF = 2. Hallar OH.
A
B
P
Q
FO
H
a) 2 b) 10 c) 11
d) 13 e) 15
10.Hallar R.
6
2
R
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 3 2
11.Se pide x.
x
10 17
15
a) 5 b) 7 c) 11 d) 6 e) 10
12. En un triángulo rectángulo ABC recto en B,
se traza la mediana BM, tal que AB=BM=6.
Hallar la altura relativa a la hipotenusa.
a) 3 b) 6 3 c) 3 3 d) 2 e) 2
3
13.Hallar “r” si el lado del cuadrado ABCD es
32.
r
a a
a) 8 b) 9 c) 10
d) 8,5 e) 9,5
SOLUCIONARIO
N°
Ejercicios Propuestos
01 02 03
01 D A C
02 C C D
03 A A B
04 C E D

5to Secundaria
05 C A C
06 A C A
07 D B C
08 C A E
09 B A E
10 B D C
11 B D A
12 B A
13 B A
14 B C
15 D C
16 D A
17 C C
18 B B
19 D A
20 B A

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