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21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
Número Primo:
Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el
mismo y la unidad.
Nro. Primo Divisores Unicos
2 1 y 2
3 1 y 3
5 1 y 5
 
P 1 y P
P : número primo.
Tabla de Números Primos Menores que 100
2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97
Propiedades:
1. No existe fórmula para hallar todos los números
primos.
2. La serie de los números primos es ilimitada, es
decir que por más grande que sea un número primo,
siempre hay otro número primo mayor.
3. Si "P" es un número mayor que 2.
14P ±
°
=
4. Si "P" es un número primo mayor que 3.
16P ±
°
=
5. Número simple:
  
imosPrNúmeros
...........,5,3,2,1
6. Número compuesto.- Es aquel número que tiene
más d e2 divisores.
Ejemplo:
  
CompuestosNúmeros
....;12;10;9;8;6;4
⇒ 6 posee 4 divisores: 1, 2, 3 y 6
∴ 6 es Nro compuesto.
7. Números primos relativos o primos entre si (PESI)
Son dos o más números que tiene como único
divisor común a la unidad.
Ejemplo:
Número Divisores
10 1 ; 2; 5; 10
21 1 ; 3; 7; 21
= Divisor común.
∴ 10 y 21 son PESI
8. Números primos entre si dos a dos (PESI) 2 a 2)
Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si
precisamente al tomarlos en pareja resultan ser
primos entre sí.
Ejemplo:
¿Son 8; 9 y 25 PESI 2 a 2?





PESIson25y9
PESIson25y8
PESIson9y8
∴ 8; 9; 25 son PESI dos a dos.
Nota:
A. Dos números enteros consecutivos siempre son
PESI.
Ejemplo 1
16 1 ; 2; 4; 8; 16
17 1 ; 17
Divisores
16 y 17 son PESI
Ejemplo 2: si "n" es número entero.
"n" y "n + 1" son PESI
B. Dos números impares consecutivos también son
PESI.
Criterio para reconocer si un número entero es
primo.
Para saber si un número dado es primo o no, se deben
seguir los siguientes pasos:
a. Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por
defecto.
b. Enumerar los números primos menores a esta
aproximación.
c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del número
por cada uno de estos números primos.
Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el
número es primo.
Ejemplo:
¿Es 853 número primo?
Solución:
a) 853 ≅ 29 , . . .
b) Los números primos menores que: 29 son:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29
c) Concluimos que 853 es un número primo porque
no es divisible con los números anteriores.
DIVISORES DE UN NÚMERO
Divisor
Se denomina divisor de un número a cualquier valor
que lo divide exactamente mediante una división entera.
Observación:
Sea N un número entero, si "d" es un divisor de N
entonces:
Nd0 ≤<
Observación:
Divisor Propio:
Es todo aquel divisor de N, menos que dicho número.
1)N(D)N(D p −=
Donde: Dp = (N) : divisores propios
D (N) : divisores de N
Ejemplo:
6 → 
Divisores
6,3,2,1
propiosD : 1; 2; 3
Regla para determinar los divisores de un número
a) Se descompone el número en factores primos.
b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a
continuación se pone las diversas potencias del
primer factor primo.
c) Se multiplica los divisores hallados por las
diferentes potencias del segundo factor primo.
d) Se multiplica todos los factores hallados
anteriormente por las diferentes potencias del tercer
factor y así sucesivamente. El último divisor
hallado al formar éstos productos es el número
dado.
Tabla de divisores de 240
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
5 10 20 40 80
15 30 60 120 240
Ejemplo:
Analizar y clasificar los divisores de 24.
Divisores de 24
La unidad 1
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
TEORÍA DE LOS
21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
Divisores Primos (Dp)
2
3
Divisores Compuestos
(Dp)
4
6
8
12
24
D24 = 1 + DP + DC = 1 + 2 + 5 = 8
Generalizando:
Sea "N" un número compuesto.
1DDD CP)N( ++=
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
(Teorema fundamental de la Aritmética o
Teorema de Gauss)
Todo número entero mayor que uno (compuesto) se
puede descomponer como el producto de sus factores
primos elevados a exponente enteros positivos, dicha
descomposición es única.
Sea "N" el número compuesto.
θβα
××= CBAN
A, B, C → Factores primos
α, β, θ → Exponentes (números enteros
positivos)
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN
NÚMERO
I. Cantidad de divisores [D(N)]
El número total de divisores de un número es igual
producto de los exponente sd e los factores primos
aumentados en 1.
)1()1()1(D )N( +θ+β+α=
Ejemplo:
720 = 24
× 32
× 51
D(720) = (4 +1) (2 + 1) (1 + 1)
D(720) = 5 × 3 × 2 = 30
Observación:
Número Divisores Total de
divisores
Aα
1; A; A2
; A3
; ... ; (α + 1)
Bβ
1; B; B2
; B3
; ... ; (β + 1)
Cθ
1; C; C2
; C3
; ... ; Cθ
(θ + 1)
Por el principio de combinaciones:
)1()1()1(D )N( +θ+β+α=
PROBLEMAS RESUELTOS
01. Calcular los divisores de 240.
Solución: Descomponiendo 240:
240
120
60
30
15
5
1
2
2
2
2
3
5
240 = 24
⋅ 3 ⋅ 5
Luego: 240 tiene 20 divisores
(3 divisores primos: 2; 3; 5)
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
5 10 20 40 80
15 30 60 120 240
02. Calcular la cantidad de divisores de 26 160.
Solución:
Descomponiendo canónicamente tenemos:
26 160 = 26
⋅ 32
⋅ 5 ⋅ 7
Luego:
Aplicando fórmula tenemos:
D (26160) = (6+1) (2+1) (1 + 1) (1 + 1)
D(26160) = 84
03. ¿Cuántos divisores más tiene 3600 que el número
980?
Solución:
Descomponiendo cada número en el producto de
sus factores primos:
3600 = 24
× 32
× 52
980 = 24
× 5 × 72
Cálculo de cantidad de divisores:
D(3600) = (4 + 1) (2+ 1) (2 + 1) = 45
D(980) = (2 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 18
Nos piden:
45 – 18 = 27
04. Si el número: 15(30x
) tiene 294 divisores. Hallar
"x".
Solución:
Sea: N = 15 (30x
) ⇒ N = 2x
⋅ 3x + 1
⋅ 5x + 1
Hemos hecho una descomposición canónica, luego:
D(N) ⇒ (x +1) (x + 2) (x + 2) = 294
Dando forma:
(x + 1) (x + 2)2
= 6 (7)2
Comparando: 5x =
05. Si el número 8x
tiene 19 divisores. Hallar "x".
Solución:
Sea: N = 8x
⇒ N = 23x
Luego:
D(N) = (3x + 1) = 19
Despejando x:
6x =
PRACTICA DE CLASE
Marca con una aspa según el número dado sea primo
absoluto o compuesto.
Número Primo Compuesto
01. 7
02. 24
03. 111
04. 173
05. 187
06. 119
07. 213
08. 217
Escribir todos los divisores de los números dados.
Número Divisores
09. 12
10. 15
11. 28
12. 33
13. 42
Descomponer canónicamente los siguientes números y
establecer la cantidad de divisores de dichos números.
Número
Descomposición
Canónica
14. 120
15. 240
16. 90
17. Hallar el número de divisores de 882.
a) 10 b) 8 c) 18
d) 20 e) 40
18. Hallar el número de divisores propios de 288.
a) 17 b) 18 c) 15
d) 19 e) N.a.
19. Si 5n
tiene 14 divisores.
Hallar "n"
a) 10 b) 14 c) 13
d) 19 e) 21
20. Si 8n
tiene 18 divisores.
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MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
Hallar "n"
a) 10 b) 8 c) 19
d) 9 e) 15
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. ¿Cuántos divisores tiene un número primo de 4
cifras?
a) 1 b) 3 c) 2
d) 8 e) 10
02. ¿Cuántos múltiplos tiene un número de 2 cifras?
a) 100 b) 99 c) 999
d) infinitos e) N.a.
03. ¿Cuál es el mayor divisor de 784?
a) 780 b) 392 c) 784
d) 800 e) 420
04. El número 1890 es divisible por:
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) Todas
05. Si 4n
tiene 81 divisores. Hallar "n":
a) 20 b) 40 c) 80
d) 9 e) 27
06. El número de divisores de 144 es:
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) N.a.
07. El número de divisores de 200 es:
a) 20 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
08. ¿Cuántos divisores tiene el número 24000?
a) 60 b) 56 c) 24
d) 48 e) N.a.
09. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 14
000?
a) 40 b) 38 c) 36
d) 64 e) N.a.
10. ¿Cuántos divisores tiene el número 49000?
a) 60 b) 36 c) 24
d) 48 e) N.a.
11. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 34
000?
a) 40 b) 38 c) 36
d) 64 e) N.a.
12. Hallar el número de divisores de:
A = 7n + 1
– 3 ⋅ 7n
a) 3 (n +1) b) 3 (n – 1) c) 2 (n – 1)
d) (n + 1) e) N.a.
13. ¿Cuántos divisores tiene 420
?
a) 40 b) 41 c) 80
d) 60 e) 4
14. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 3010
?
a) 1340 b) 1338 c) 1327
d) 1364 e) N.a.
15. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 4210
?
a) 1323 b) 1325 c) 1327
d) 1329 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
I. Marca con una aspa según el número dado sea
PRIMO ABSOLUTO o COMPUESTO.
Número
Primo Compuesto
341
311
321
409
413
477
419
509
511
II. Escribir todos los divisores de los números dados y
formar las parejas de dichos números cuyos
elementos sean números entre sí.
Número Divisores
45
48
50
54
55
Pares de números primos entre sí:
15 y 28;
III. Descomponer canónicamente los siguientes
números y establecer la cantidad de divisores de
dichos números.
Número
Descomposición
Canónica
Cantidad de
Divisores
180
140
300
360
520
400
480
560
724
846
900
1200
IV. Responde las siguientes preguntas:
4.1 ¿Hallar el número de divisores de:
A = 5n + 1
– 3 ⋅ 5n
a) 3 (n +1) b) 3 (n – 1) c) 2 (n – 1)
d) (n + 1) e) (n + 2)
4.2 Si 100n
tiene 289 divisores. Hallar el valor que tiene
que asumir "n".
a) 8 b) 6 c) 9
d) 10 e) 12
4.3 ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
60060?
a) 96 b) 90 c) 89
d) 91 e) N.a.
4.4 Si 42n
tiene 81 divisores. Hallar el valor de "n".
a) 20 b) 21 c) 22
d) 24 e) N.a.
4.5 ¿Cuántos divisores más tiene 360 que el número
98?
a) 6 b) 9 c) 18
d) 27 e) N.a.
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21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
Mínimo Común Múltiplo
De dos o más números naturales, es el menor de sus
múltiplos comunes. El mínimo común múltiplo de
varios números, a, b, c, se designa abreviadamente así:
m.c.m. (a, b, c)
Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más
números se puede recurrir a su descomposición factorial
tomando cada uno de los factores primos que
intervengan en las descomposiciones de los distintos
números elevado a la máxima potencia con que
aparezca. Por ejemplo, para hallar M = m.c.m. (500,
420, 880) se procede como se explica a continuación.
Se empieza descomponiendo los tres números en
factores primos:
500 = 22
⋅ 53
420 = 22
⋅ 3 ⋅ 5 7
880 = 24
⋅ 5 ⋅ 11
Ahora, para hallar M se toman todos los factores primos
que intervienen, 2, 5, 3, 7 y 11, elevados a la máxima
potencia con la que aparecen:
M = m.c.m. (500, 420, 880) = 24
⋅ 3 ⋅ 53
⋅ 7 ⋅ 11 = 462.
000
Por tanto, el menor de los múltiplos comunes a 500, 420
y 880 es 462.000.
Máximo Común Divisor
De dos o más números naturales, es el mayor de sus
divisores comunes. El máximo común divisor de varios
números a, b, c, se designa abreviadamente así: M.C.D.
(a, b, c).
Para obtener el máximo común divisor de dos o más
números se puede recurrir a su descomposición factorial
tomando cada uno de los factores primos comunes a
todas las descomposiciones de los distintos números,
elevado a la mínima potencia con que aparezca. Por
ejemplo, para hallar D = M.C.D. (1.980, 600, 5.040) se
procede como se indica a continuación.
Se empieza descomponiendo en factores primos los tres
números:
1.980 = 22
⋅ 32
⋅ 5 ⋅ 11
600 = 23
⋅ 3 ⋅ 52
5,040 = 24
⋅ 32
⋅ 5 ⋅ 7
Ahora, para hallar D se toman los factores primos
comunes a las tres descomposiciones, 2, 3, 5, elevados a
la mínima potencia con que aparecen:
D = M.C.D. (1.980, 600, 5.040) = 22
⋅ 3 ⋅ 5 = 60
Por tanto, el mayor de los divisores comunes a 1.980,
600 y 5,040 es 60. El máximo común divisor de dos
números también se puede obtener mediante el
algoritmo de Euclides.
Algoritmo de Euclides
Procedimiento para hallar el máximo común divisor de
dos números. Se basa en al siguiente propiedad. "Si d es
divisor común de p y q, y p > q, entonces d es divisor
del resto de dividir p entre q".
Esta propiedad justifica el siguiente razonamiento: para
hallar el M.C.D. (p, q) se divide p entre q, obteniendo
un cociente q1 y un resto r1.
Entonces:
D = M.C.D. (p, q) = M.C.D. (q, r1)
Ahora se procede de forma análoga con q y r1: se hace
la división entera entre q y r1, obteniendo un cociente
q2 y u resto r2. Entonces:
D = M.C.D. (q, r1) = M.C.D. (r1, r2)
Se prosigue así sucesivamente obteniendo números
cada vez menores. De esta forma se llegará a ua
división exacta. El divisor de dicha división, que es el
resto de la anterior, es el M.C.D., D, buscado. Como
ejemplo se obtiene el M.C.D. (520, 360):
520 |360 M.C.D. (520, 360) = M.C.D. (360, 160)
160 1
360 |160 M.C.D. (360, 160) = M.C.D. (160, 40)
40 2
160 | 40M.C.D. (160, 40) = 40
0 4
Por tanto, M.C.D. (520, 360) = 40
Los cálculos sucesivos suelen disponerse del siguiente
modo:
1 2 4
520 360 160 40
160 40 0
Para calcular el M.C.D. de tres números a, b, c, se halla
el M.C.D. de dos de ellos, D, y luego se hallar el
M.C.D. de D y el tercero, pues:
M.C.D. (a, b, c) = M.C.D. (D, c)
Siendo D = M.C.D. (a, b)
Teniendo en cuenta que entre el máximo común divisor,
D y el mínimo común múltiplo, M, de dos números, a y
b, se da la siguiente relación:
a ⋅ b = D ⋅ M
Conociendo D se puede calcular M;
D
ba
M
⋅
=
Por ejemplo, para hallar el m.c.m. (520, 360), cuyo
máximo común divisor se ha calculado mediante el
algoritmo de Euclides, D = 40, se procede así:
M = m.c.m. (520, 360) =
40
360520 ⋅
= 4,660
PROBLEMAS RESUELTOS
01. Hallar el M.C.M. de:
A = 24
× 53
× 73
y B = 23
× 55
× 7 × 132
Solución:



•
•
=
onentesexpmayores
divisoreslostodos
MCM
Luego MCM (A, B) = 24
× 55
× 73
× 132
02. Hallar el MCM de: 72, 40 y 88.
Solución:
03. Hallar el MCM (6; 8)
Solución:
Sean 6 y 8
6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,78,
84, 90, ...
8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, ...
Múltiplos comunes: 24, 48, 72, 80, 88, ...
Luego el MCM (6, 8) = 24
04. Hallar el MCM (10; 15; 30).
Solución:
Sean 10, 15 y 30
10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110,
120, ...
15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ...
30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, ...
Múltiplos comunes: 30, 60, 90, 120, ...
Luego el MCM (10, 15, 30) = 30
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO Y
600 2 420 2 880 2
250 2 210 2 440 2
125 5 105 3 220 2
25 5 35 5 110 2
5 5 7 7 55 5
1 1 1
1980 2 600 2 5040 2
990 2 300 2 2520 2
495 3 150 2 1260 2
165 3 75 3 630 2
55 5 25 5 315 3
11 11 5 5 105 3
1 1 35 5
7 7
1
72 – 40 – 88 2
36 – 20 – 44 2
18 – 10 – 44 2
9 – 5 – 11 3 MCM
3 – 5 – 11 3
1 – 5 – 11 5
1 – 1 – 11 11
1 – 1 – 1
21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
05. Calcular el MCD (25200; 19800; 27900)
Solución: Descomposición Canónica:
25 200 = 24
⋅ 32
⋅ 52
⋅ 7
19 800 = 23
⋅ 32
⋅ 52
⋅ 11
27 900 = 22
⋅ 32
⋅ 52
⋅ 31
Luego:
MCD = 22
⋅ 32
⋅ 52
= 900
06. Calcular el MCD (72, 40 y 88)
Solución:
Es decir MCD (72, 40, 88) = 2 × 2 × 2 = 8
07. Calcular el mínimo común múltiplo de 120; 96; 72
y 35.
Solución:
Aplicando M.C.M. (120; 96) = 480
Luego:
M.C.M (120; 96; 72; 35) = M.C.M (480; 72; 35)
Pero: M.C.M (480; 72) = 1440
Luego:
M.C.M (1440; 35) = 10080
Por tanto:
M.C.M(120; 96; 72; 35)= M.C.M(480;72; 35) =
M.C.M (1440; 35) = 10080
08. Hallar el MCM y MCD de: 120, 180 y 300
Solución:
Descomponiendo:
09. Hallar el MCM y MCD de: 18; 24 y 30
Solución:
MCD (8; 24; 30) = 2 ⋅ 3 = 6
MCM (8; 24; 30) = 23
⋅ 32
⋅ 5 = 360
10. Hallar el MCD (424; 120)
Solución: Aplicando el Algoritmo de Euclides:
3 1 1 7
424 120 64 56 8
64 56 8 0
Cocientes
Residuos:
MCD
∴ MCD (424; 120) = 8
PRACTICA DE CLASE
I. Hallar el MCM y el MCD de:
1) 20 y 80
2) 425; 800 y 950
3) 54; 76; 114 y 234
4) 54; 133; 532 y 1824
5) 7; 8; 9 y 13
6) 3; 5; 15; 21 y 42
7) 15; 30; 60 y 180
8) 7; 14; 28 y 26
9) 100; 300; 800 y 900
10) 19 578 y 47 190
II. Contesta las siguientes preguntas:
11. ¿Cuáles son los dos números primos entre sí, cuyo
MCM es 330 y su diferneica 7?
a) 55 y 46 b) 22 y 29 c) 18 y 25
d) 22 y 15 e) 14 y 21
12. 3 reglas de 100 milímetros de longitud cada una,
están uniformemente graduadas; la primera cada
milímetro, la segunda cada 16/25 de milímetro y la
tercera cada 18/23 de milímetro. Si se les hace
coincidir en toda su extensión. ¿A qué distancia del
origen coinciden tres trazos de las reglas?
a) 114 milímetros b) 140 milímetros
c) 141 milímetros d) 144 milímetros
e) 156 milímetros
13. Las longitudes de las circunferencias de las ruedas
delanteras y traseras de una locomotora son
respectivamente 250 y 425 centímetros. ¿Qué
distancia tendrá que recorrer la locomotora para
que una de las ruedas de 2 870 vueltas más que la
otra?
a) 16 500 b) 17 326 c) 16 843
d) 17 425 e) 16 923
14. Hallar los números A y B si se sabe que satisfacen
A2
+ B2
= 10 530. Y el mínimo común múltiplo es
297.
a) 11; 27 b) 99;27 c) 27;33
d) F.D. e) N.a.
15. El MCM de 2 números de 30 030 y su MCD es 5.
¿Cuántos pares de números hay con esta
propiedad?
a) 16 b) 8 c) 5
d) 4 e) 2
16. ¿Cuál de los siguientes números es el menor
número múltiplo de los 4 primeros números
primos?
a) 105 b) 210 c) 630
d) 1135 e) N.a.
17. Un ómnibus: la primera cada 10 minutos, la
segunda cada 12 minutos, la tercera cada 15
minutos y la cuarta cada 20 minutos. Si a las 9:00
a.m. salieron las cuatro líneas juntas, ¿a qué hora
volverán a salir juntas nuevamente?
a) 9:30 a.m. b) 10:00 a.m. c) 9:45 a.m.
d) 10:30 a.m. e) 11:00 a.m.
18. Tres ciclistas recorren una pista circular y tardan 3
minutos, 5 minutos y 7 minutos respectivamente.
¿Después de cuanto tiempo volverán a pasar al
mismo tiempo por el punto de partida, si partieron
simultáneamente de dicho punto?
a) 15 min b) 105 min c) 85 min
d) 21 min e) N.a.
19. Se dispone de tres barriles que contienen 210 litros,
300 litros y 420 litros de aceite, respectivamente.
Para vaciarlos en envases iguales y que tengan la
mayor capacidad posible. ¿Cuántos envases son
necesarios?
a) 21 b) 31 c) 41
d) 51 e) 61
20. Un bodeguero tiene tres sacos de arroz (pesos 72
kg. 180 kg y 25 kg), y quiere dividirlos en sacos
con igual peso. ¿Cuál debe ser el mayor peso en
kilogramos de cada uno de elllos?
a) 90 b) 300 c) 125
d) 36 e) 54
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Tres cables miden 120m. 85m y 70m, deben
dividirse en el menor número posible de trozos de
igual longitud. ¿Cuál es la longitud de cada trozo?
a) 3 m b) 11 m c) 5 m
d) 8 m e) 6 m
02. Tres semáforos presentan la LUZ ROJA cada 9'; 12'
y 18'. ¿Cada cuántos minutos los 3 semáforos al
mismo tiempo presentaran la LUZ ROJA?
a) 24 min b) 18 min c) 64 min
d) 36 min e) 48 min
03. ¿Cuál de los siguientes números es le menor
número múltiplo de los 5 primeros números
primos?
a) 105 b) 2310 c) 630
d) 1135 e) N.a.
04. Dos cintas de 36 y 48 m d e longitud se quieren
dividir en pedazos iguales y de la MAYOR
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
72 – 40 – 88 2
36 – 20 – 44 2 MCD (notar que no
18 – 10 – 44 2 no se puede sacar
9 – 5 – 11 más en común)
120 = 23
⋅ 3 ⋅ 5 MCD (120; 180; 300) =
180 = 22
⋅ 32
⋅ 5 22
⋅ 3 ⋅ 5 = 60
300 = 22
⋅ 3 ⋅ 52
MCM (120; 180; 300) =
23
⋅ 32
⋅ 52
= 1800
18 – 42 – 30 2
9 – 12 – 15 3 MCD
3 – 4 – 5 3 MCM
1 – 4 – 5 4
1 – 1 – 5 5
1 – 1 – 1
21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada
pedazo?
a) 10 m b) 12 m c) 11 m
d) 15 m e) 18 m
05. ¿Cuál es la MAYOR longitud de una medida con la
que se pueda medir exactamente 3 dimensiones de
140 m; 560 m y 800 m?
a) 20 m b) 40 m c) 10 m
d) 80 m e) 100 cm
06. Hallar el MCD (144 y 520)
a) 10 b) 5 c) 7
d) 8 e) 12
07. Hallar el MCD /345; 850)
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 18
08. Hallar el MCD (33; 77; 121)
a) 10 b) 7 c) 9
d) 17 e) 11
09. Hallar el MCD (2168; 7336; 9184)
a) 10 b) 12 c) 14
d) 15 e) 8
10. Hallar el MCD (320; 450; 560; 600)
a) 10 b) 14 c) 12
d) 8 e) 40
11. Hallar el MCM (2; 3; 11)
a) 12 b) 14 c) 16
d) 66 e) 80
12. Hallar el MCM (5; 10; 40; 80)
a) 10 b) 45 c) 40
d) 80 e) 20
13. Calcular el MCM (9; 12; 16; 25)
a) 3250 b) 3520 c) 3800
d) 3720 e) N.a.
14. Calcular el MCM (2; 4; 8; 16)
a) 10 b) 20 c) 16
d) 18 e) 40
15. Calcular el MCM (8; 10; 15; 32)
a) 400 b) 480 c) 500
d) 510 e) 580
TAREA DOMICILIARIA
I. Hallar el MCD y el MCM por cualquier método de:
1) 72 y 260
2) 69 y 170
3) 66; 154 y 121
4) 32; 48; 56; 64
5) 40; 80; 10; 160
II. Desarrollar los siguientes problemas:
06. Hallar la menor distancia que se puede medir
exactamente con una regla de 2, de 5 o de 8 cm de
largo.
07. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito
para comprar un número exacto de pantalones de
S/. 30, S/. 45, S/. 50. C/u, si quiero que en cada
caso me sobren S/. 25?
08. Se recolectan para hacer paquetes de donación: 300
paquetes de fideos, 450 bolsas de avena y 180
tarros de leche. Se desea hacer paquetes que tenga
el mismo número de artículos.
¿Cuántos paquetes como máximo se pueden hacer?
09. Una librería tiene 300 lapiceros, 180 reglas y 240
borradores. Si el dueño desea venderlos
empaquetados al mismo precio cada bolsa. ¿Cuál es
el mayor número de bolsas que podrían fabricarse
con 3 artículos y que no sobren ni falten?
10. En el problema anterior. ¿Cuál es el número que
representa a la suma de lapiceros y borradores en
cada bolsa?
1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES
Dos magnitudes son directamente proporcionales,
si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la
otra aumenta o disminuye en las mismas
condiciones.
Notación:
BAóBaD.P.esA α
Ejemplo:
(A)# de
huevos
8 16 24 32 ...
(B) Costo
S/.
2 4 6 8 ...
Observe que si duplicamos el # de huevos, el
costo también se duplicará. Ocurrirá lo mismo si
triplicamos, cuadriplicamos, etc.
Se cumple:
4..........
8
32
6
24
4
16
2
8
====
(constante)
Se concluye que: “si dos magnitudes (A y B) son
directamente proporcionales, el cociente de sus
valores correspondientes es una constante,
llamada constante de proporcionalidad”.
cte:k;k
B
A
BaD.P.esASi =⇒
2. MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si
al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra
disminuye o aumenta en las mismas condiciones.
Notación:
B
1
AoB
1
A,BaI.P.esA α
α
Ejemplo:
(A)# de
obreros
2 4 6 8 ...
(B) # de
días
24 12 8 6 ...
Observe que si duplicamos el # de obreros, el # de
días se reduce a la mitad. Ocurrirá lo mismo si
triplicamos, cuadriplicamos, etc.
Se cumple:
2x24 =4 x12=6 x 8 =6=....= 48 (constante)
Se concluye que: “Si dos magnitudes (A y B) son
inversamente proporcionales, el producto de sus
valores correspondientes es una constante, llamada
constante de proporcionalidad”.
cte.:kkB.A.BaI.P.esASi =⇒
PRACTICA DE CLASE
Encontrar la relación matemática de cada
enunciado:
01. La magnitud A es D.P. a la magnitud B
02. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es I.P. a
B
03. Se tiene cuatro magnitudes A; B; C y D tales que A
es D.P. a B; A es I.P. a C; A es I.P. a D.
04. Se sabe que A es D.P. a B e I.P a C.
05. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es
D.P. a C e I.P.B.
06. Si A es D.P. a B2
07. Si A es D.P. a M. IP a C e I.P. a D
08. Si: A es D.P. a P, e I.P. a Q
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
PROPORCIONALID
21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
09. Se tiene dos magnitudes tales que: A3 es I.P. a
B
10. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es
D.P. a B e I.P. a C2
11. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es
DP a B1/2
; A es IP a D2
12. Si : A es DP con B2 e IP a c ,
Encontrar la relación matemática y calcula el valor
de una variable
13. La magnitud A es D.P. a la magnitud B; cuando
A=51, B=3. Hallar el valor que toma B, cuando
A=34
14. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es I.P.
a B además cuando A=20, entonces B=24. Hallar
B cuando A sea igual a 30
15. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es D.P.
a B además cuando A = 75 y B = 5. Hallar A
cuando B =4.
16. Si A es D.P. a B, además cuando A = 120 entonces
B es igual a 160. Hallar A cuando B sea igual a
120.
17. Si A es I.P. a B además cuando A es igual a 100,
entonces B es igual a 240. Hallar B cuando A sea
igual a 150.
18. Si A es D.P. a B2
, además cuando A es igual a 32
entonces B es igual a 4. Hallar A cuando B sea
igual a 3.
19. Se tiene dos magnitudes tales que: A3 es I.P. a
B. Si cuando A = 8 entonces B = 6, halar A cuando
B sea 4.
20. Si A es I. P a B3
, además cuando A es igual a 1/8
entonces es igual a 2. Hallar A cuando B sea igual a
3.
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. El cuadrado de “A” varía proporcional-ente al
cubo de “b”. Si “A” = 3 ; “B” = 4. Hallar “B”
cuando A =
3
3
a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4
d) 4/3 e) 5/3
02. Si "A" es directamente proporcional con B2
e
inversamente proporcional a C , cuando A = 4,
B = 8 y C = 16. hallar "A" cuando B = 12 y C = 36.
a) 7 b) 8 c) 10
d) 9 e) 6
03. Si "A" varía en razón directa a "B" e inversamente
al cuadrado de "C", cuando A = 10, entonces, B = 4
y C = 14. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 7.
a) 200 b) 180 c) 160
d) 140 e) 156
04. Sabiendo que "A" es I.P. a B3
. Hallar "A" cuando
B = 2, si A = 6, entonces B = 4.
a) 48 b) 46 c) 50
d) 52 e)4
05.Se tiene que "A" es D.P. a "B", si A = 10, cuando B
= 4. hallar "B". Cuando A = 8
a) 1 b) 2 c) 8
d) 4 e) 16
06. "A" es I.P. a "B", si A = 20, entonces B= 30. hallar
"A" cuando B = 50
a) 10 b) 12 c) 8
d) 16 e) 20
07. Si "A" es D.P. con B2
e I.P. a C , cuando A = 4,
B = 8 y C = 16. Hallar "A" cuando B = 16 y C =
36.
a) 6 b) 12 c) 2
d9 4 e) 10
08. Se sabe que "A" es D.P. a B e I.P. a 3 C .
Además cuando A = 14. Entonces B = 64 y C =
B. Hallar "A" cuando B = 4 y C = 2B
a) 2 b) 7 c) 4
d) 5 e) 6
09. "A" varía en razón directa a "B" e inversa a C2
, si A
= 10, cuando B = 4 y C = 14. Cuando B = 16 y C =
7, "A" es igual a:
a) 210 b) 140 c) 160
d) 120 e) 180
10. Si "A" es D.P. a B2
, "B" es I.P. a C2
y "C" es D.P. a
1
D −
, luego, que relación existe entre "A" y
"D", aplicación A = 6, entonces d = 3. Hallar "D", si
A = 150.
11. Sabiendo que "A" es I.P. a B2
y B es I.P. a C. Hallar
a cuando 6C = , si cuando A = 28, C =
24.
a) 8 b) 7 c) 4
d) 9 e) 12
12. Si: "A" es D.P. a (B + C) e I.P. a D2
, si cuando A =
2, B = 3 y D = 6, entonces C = 5. Hallar "C",
cuando A = 9, B = 10 y D = 4.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
13.Sabiendo que "A" es I.P. a "B" y "B" es I.P. a "C",
hallar "A" cuando C= 3 , si A = 27 y C = 3.
a) 1 b) 4 c) 3
d) 9 e) 3
14. Sabiendo que "A" es I. P. a B2
y "C" es D.P. a "B".
hallar "A" cuando C = 8, si A = 96 y C = 4.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 9 e) 6
15. Si A2
y B son I.P. y cuando A = 20, "A" es a "B"
como 10 es a 9. ¿Qué valor toma "A" cuando B =
72?.
a) 16 b) 17 c) 15
d) 18 e) 20
TAREA DOMICILIARIA
01. A es D.P. con B2
e I.P. a C , cuando A = 4;
B = 8 y C = 16. hallar A cuando B = 12 y C =
36.
a) 4 b) 8 c) 9
d) 12 e) 6
02. A es D.P. con B e I.P. con C, cuando C es igual a
2
3
, A y B son iguales. ¿Cuál es el valor de B
cuando A es igual a 1 y C es igual a 12?
a) 8 b) 6 c) 4
d) 12 e) 9
03. A varía proporcionalmente a B y al cuadrado de c e
inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8,
B = 5 y C = 4, entonces D es 2.
¿Cuánto valdrá B cuando: A = 2D y D =
4C?
a) 40 b) 80 c) 160
d) 120 e) N.A.
04. X varía en razón directa a Y e inversamente al
cuadrado de Z. Cuando X = 10, entonces Y =
4 y Z = 4. Hallar X cuado Y = 16 y Z = 7
a) 180 b) 160 c) 154
d) 140 e) 120
05. Si A es D.P. a B y C es I.P. con D y E. Cuando A =
2B, D = 4, C = 2, entonces: E = 3. Calcular E
cuando A = 72, D = 6, B = 2 y C = 3E2
.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 5 e) 9
06. El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo
de B cuando A = 3 y B = 4. Hallar el valor de B
cuando
3
3
A =
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
a)
3
1
1 b)
3
2
1 c) 3/4
d) 2 e) 22
07. El cuadrado de "X" varía proporcional-mente al
cubo de "Y". Si "X" = 4, "Y" = 2. hallar "Y"
cuando X = 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08. Si "A" es D.P. con B2
e I.P. a C1/2
, cuando A = 1;
B = 2 y C = 64. hallar "A" cuando B = 1 y C = 4
a) 2 b) 1/2 c) 1/4
d) 1 e) 8
09. Si "A" es D.P. con "B" e I.P. a C2
. Cuando A =
4, entonces B =2 y C = 2. Hallar "A" cuando B = 3
y C = 1/2.
a) 10 b) 96 c) 48
d) 4/3 e) 8/3
10. Sabiendo que "A" es I.P. a B3
. Hallar A cuando B =
3; Si A = 3 y B = 2
a) 8/9 b) 7/4 c) 3/8
d) 9/8 e) N.A.
1. REGLA DE TRES SIMPLE
Es un método en el cual intervienen dos
magnitudes proporcionales, que tiene como
objetivo hallar un cuarto valor, dado tres valores
correspondientes a estas dos magnitudes.
Clases
1.1. Directa: (Cuando intervienen dos
magnitudes directamente propor-cionales).
Esquema:
D.P.
A B
# huevos Costo (S/.)
a1 ................... b1
a2 ................... b2
a1, b1, a2 son datos, mientras que x es la
incógnita.
Por teoría de magnitudes proporcio-nales se
cumple que:
1
2
1
2
2
1
1
a
a
bx
a
a
b
a
⋅=⇒=
Ejemplo: Sofía compra 40 huevos por S/
15. ¿Cuánto le costará 72 huevos?
# huevos Costo (S/.)
40
72
15
X

40
72
15X ⋅=
X = S/ 27
1.2. Inversa: (Cuando intervienen dos
magnitudes inversamente proporcio-nales).
I.P.
A B
# huevos # días
a1 ........................... b1
a2 ........................... x
Por teoría de magnitudes proporcionales, se
cumple que:
2
1
1211
a
a
.bxx.ab.a =⇒=
a1, b 1 = a2 son datos, mientras que x es la
incógnita.
Ejemplo: Cien obreros emplean 45 días para
hacer una obra. ¿Cuántos días emplean 225
obreros para hacer la misma obra?
# de obreros # días
10 ....................... 45
225 ....................... x

25
100
45x ⋅=
∴ x = 20 días
2. REGLA DE TRES COMPUESTA
Se llama así cuando intervienen más de dos
magnitudes proporcionales
# obreros # días # h/d obra eficiencia dificultad
A
I.P.
D.P.
I.P
D.P.
ba
a x
c
c
d
d
e
e
f
f
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
B C D E F
Usando el método de las fracciones, hallaremos el valor
de “x” . Previo al cálculo. Se debe establecer la relación
de proporcionalidad entre la incógnita “x” (# días) y las
demás magnitudes. Por ejemplo la magnitud “A” (#
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
REGLA DE
21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
obreros) y la magnitud “B” (# días) son I.P. ya que a
MÁS obreros trabajando se emplearán MENOS días, de
igual modo se hará con las magnitudes restantes.
Entonces:
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
f
f
.
e
e
.
d
d
.
c
c
.
a
a
.bX =
Ejemplo:
Con 18 obreros se puede hacer una obra en 42 días.
¿En cuántos días 15 obreros harán una obra cuya
dificultad es el quíntuple de la anterior?
Solución:
Colocaremos en dos filas los datos correspondientes a
cada una de estas magnitudes, es decir:
# obreros # días dificultad
18
15
42
x
1
5
1
5
.
15
18
.42x =
x = 252 días
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Si caminando durante 15 minutos se avanza 1500
metros. ¿Cuánto se avanzaría en 20 minutos?.
Solución:
15 min .............. 1500 m
20 “ ................... x
2000x;
15
20x1500
x ==
02.Si 424 personas consumen 36 bolsas de fideos.
¿Cuántas personas podrán alimentarse con 9
bolsas?
Solución:
424 .............. 36 bol
x ................... 9 “
personas106
36
9x424
x ==
03.Si viajando a 60km por hora se demora 3 horas en
un viaje. ¿Cuánto se demoraría viajando a 90 km
por hora?
Solución:
Como se trata de una regla de tres simple inversa se
consideran los siguientes pasos:
60 km/h .............. 3 horas
90 km/h ................... x
90
180
x;
90
60x3
x ==
x = 20 días
04.Si 12 obreros demoran 15 días para levantar una
muralla. ¿Cuánto hubieran demorado si solo
hubiera trabajado 9 obreros?
Solución:
12 obreros .............. 15 días
9 obreros ................... x
20
9
12x15
x ==
x = 20 días
05.Si un viaje ha demorado 21 horas a un promedio de
80 km por hora. ¿A qué velocidad habría que ir
para demorar solamente 14 horas?
Solución:
12 hs .............. 80 km/h
14 hs ................... x
120
14
21x80
x ==
x = 120 días
PRÁCTICA DE CLASE
01. Si un lápiz cuesta S/. 65. ¿Cuánto cuestan 15
lápices?
02. Si una docena de clavos cuesta S/. 144. ¿Cuánto
cuesta medio ciento?
03. Si 6 personas consumen 3 kg de arroz. ¿Cuántos
kgs consumirán 24 personas?
04.Si a 16 km por hora se recorre 32 km. ¿Cuántos km
se recorrerá en el mismo tiempo, a 12 km por hora?
05.Si 12 personas demoran 36 días en hacer una obra.
¿Cuántos días demorarían 18 personas en la misma
obra?
06. A 64 km por hora un viaje se ha demorado 6 horas.
¿Cuánto se hubiera demorado si la velocidad
hubiese sido de 72 km por hora?
07. Un estanque de 600 litros se ha vaciado en 12
minutos . ¿Cuánto tiempo hubiese demorado si sólo
tuviera 450 litros?
08. 42 personas de un campamento tienen provisiones
para 30 días; si se retirasen 6 personas. ¿Para
cuántos días alcanzaría las provisiones?
09. Si un móvil que viaja a velocidad constante en 6
hrs recorre 600 km . ¿Qué distancia recorrerá al
cabo de 8 hrs?
10.Si 20 obreros realizan un trabajo en 30 días.
¿Cuántos días demorarán 40 obreros en realizar el
mismo trabajo?
11. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al
cabo de 6 días de trabajo se les junta cierto número
de obreros de otro grupo de modo que en 15 días
terminan la obra. ¿Cuántos obreros eran en el
segundo grupo?.
12. Si 20 obreros son contratados para realizar un
trabajo de 800 m2
en 10 días, y al cabo del cuarto
día les comunica que en realidad la obra era de
1000m2
, y que deben acabar un día antes de lo
establecido. ¿Cuántos obreros deberán ser
contratados?
13.Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días.
¿Cuántos obreros hay que incrementar para que la
obra se termine en 8 días?
a) 15 b) 12 c) 10
d) 8 e) 14
14. 12 obreros pueden hacer un trabajo en 29 días.
Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros.
¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra?
a) 15 días b) 30 días c) 80 días
d) 5 días e) N.A
15.Una guarnición de 2200 hombres, tiene provisiones
para 62 días, al terminar el día 23 se retiran 250
hombres. ¿Cuánto tiempo podrán durar las
provisiones que quedan al resto de la guarnición?
a) 40 días b) 44 días c) 80 días
d) 50 días e) N.A
16.8 obreros pueden haber una obra en 20 días.
Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros.
¿Con cuántos días de atraso se entregará la obra?
a) 10 b) 14 c) 9
d) 12 e) 20
17. Un propietario tiene 649 corderos que puede
alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos deben
vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días
más dando la misma ración?
a) 100 b) 200 c) 300
d) 180 e) 120
18. Un caballo atado con una soga de 3 m de largo
demoran 5 días en comer el pasto que está a su
alcance. Si la soga fuera de 6 m. ¿Cuántos días
tardará en comer todo el pasto a su alcance?
19. En al construcción de un puente trabajaron 15
albañiles durante 12 días, e hicieron las 3/4 partes
de la obra; después se retiraron 7 de ellos. En
cuántos días concluyeron las restantes la obra?
20. Una obra lo pueden hacer 28 hombres en cierto
tiempo . ¿Cuántos obreros se necesitarán aumentar
para hacer 1/4 de la obra en un tiempo 2/7 del
anterior trabajando la mitad de horas diarias?
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo
a 90 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo
trayecto yendo a 60 km/h?
a) 10 b) 50 c) 56
d) 60 e) N.A
02. A y B recorren cierta distancia, y los tiempos que
emplean están en la razón 15/21. La velocidad de A
es de 56 Km/h. ¿Cuál es la velocidad de B?
a) 10 km/h b) 20 km/h c) 30 km/h
d) 40 km/h e) 80 km/h
03. Dos ruedas cuyos diámetros son 1,5m y 2,4 m están
movidas por una correa. Cuando la menor da 220
revoluciones. ¿Cuántas revoluciones da la mayor?
a) 137,5 rev b) 140 rev c) 180 rev
d) 175 rev e) N.A
04. Nataly demora 6 horas en construir un cubo
compacto de 4 cm de arista, después de 54 horas de
trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12 cm de arista
habrá construido?
a) 1/ 2 b) 1/ 3 c) 1/ 8
d) 2/ 3 e) 4/ 5
05. Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el
triple de rápido que Franklin. Si entre los tres pueden
terminar una tarea de Aritmética en 16 días. ¿En
cuántos días Miguel con Franklin harán la misma
tarea?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 80
06. Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de longitud
puede comer la hierba que está a su alcance en 2
días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba
que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera
de 15m?.
a) 10 b) 9 c) 8
d) 12 e) 15
07. Para pavimentar 180 metros de pista; 18 obreros
tardan 21 días. ¿Cuánto días se necesitarán para
pavimentar 120m de la misma pista con 4 obreros
menos?
a) 18 b) 20 c) 40
d) 60 e) N.A
08. Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias durante 20
días hacen 60 sillas. ¿Cuántos días necesitarán 40
obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un
ciento de las mismas sillas?
a) 10 b) 20 c) 18
d) 15 e) 23
09. Si 180 hombres en 6 días, trabajando 10 horas cada
día, pueden hacer una zanja de 200m de largo, 3m de
ancho y 2m de profundidad. ¿En cuántos días, de 8
horas, harían 100 hombres una zanja de 400 metros
de largo; 4m de ancho y 3 metros de profundidad?
a) 100 b) 54 c) 58
d) 61 e) 24
10. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días.
¿Cuántos días tardarían 45 carpinteros para hacer 12
puertas iguales?
a) 5 b) 7 c) 6
d) 8 e) 10
11. Por 8 días de trabajo, 12 obreros han cobrado S/.640.
¿Cuánto ganarán por 16 días, 15 obreros con los
mismos jornales?
a) 1600 b) 1800 c) 1520
d) 1810 e) 1740
12. 20 obreros, en 14 días de 8 horas; han realizado un
trabajo de 120m de largo. ¿Cuántos días de 7 horas
emplearán 24 obreros para hacer 90m del mismo
trabajo?
a) 11 b) 10 c) 80
d) 30 e) 18
13. Por trabajar 8 horas diarias durante 20 días un peón
ha ganado S/.120. ¿Cuántas horas diarias habrá
trabajado en la misma obra si por 30 días le han
pagado S/.225?
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
14. Si con 120 Kg de pasto se alimenta a 4 caballos
durante 5 días. ¿Cuántos kg de pasto se necesitarán
para alimentar a 9 caballos en tres días?
a) 16 kg b) 160 kg c) 162 kg
d) 140 kg e) N.a.
15. Si 8 secretarias tardan 3 horas para digitar 72
páginas. ¿Cuánto tardarán 6 secretarias para digitar
90 páginas?
a) 6 horas b) 5 horas c) 1,6 horas
d) 2 horas e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01. Si 5 sillas cuestan S/. 180. ¿Cuánto costarán 8
sillas?
a) 280 b) 288 c) 200
d) 250 e) 283
02. Si 20 chocolates cuestan S/. 60. ¿Cuánto costarán 6
chocolates?
a) 15 b) 16 c) 18
d) 13 e) 20
03. Si 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En
cuántos días terminarán la misma obra 12 obreros?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) N.a.
04. Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de
obreros tardan 18 días para terminar una obra,
trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días
terminarán la misma obra?
a) 30 b) 25 c) 33
d) 28 e) 27
05. Si 25 pollos cuestan S/. 112,50. ¿Cuánto costarán
14 pollos?
a) S/. 63 b) S/. 62 c) S/. 50
d) S/. 44 e) S/. 53
06. Si tres metros de polystel cuesta S/. 120. ¿Cuánto
se pagará por 5,5 metros del mismo polystel?
a) 200 b) 220 c) 185
d) 230 e) 195
07. Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra.
¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la
misma obra en 15 días?
a) 11 obreros b) 14 obreros c) 15 obreros
d) 13 obreros e) 12 obreros
08. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto
yendo a 90 km/h. ¿Cuántos tardará en recorrer el
mismo trayecto yendo a 60 km/h?
a) 10h b) 11h c) 12h
d) 13h e) 14h
09. Un albañil ha construido un muro en 16 días. Si
hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8
días más para hacer el muro. ¿Cuántas horas
hubiera trabajado por día?
a) 6h b) 12 h c) 10 h
d) 8 h e) 16 h
10. Un grupo de estudiantes tienen víveres para un
viaje de 48 días. Si se retiran el 25% de los
estudiantes. ¿para cuántos días más alcanzaron los
víveres?
a) 120 b) 24 c) 16
d) 15 e) 64
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04
01. C C D C
02. D D E D
03. C B C A
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria
04. E B A B
05. B A D D
06. C D B C
07. E D A A
08. B E B D
09. C E C B
10. D A E C
11. A D B A
12. A D C B
13. B B C A
14. C C E C
15. C B B B
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003
S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”

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Razonamiento matematico 1º2 b

  • 1. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria Número Primo: Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad. Nro. Primo Divisores Unicos 2 1 y 2 3 1 y 3 5 1 y 5   P 1 y P P : número primo. Tabla de Números Primos Menores que 100 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 Propiedades: 1. No existe fórmula para hallar todos los números primos. 2. La serie de los números primos es ilimitada, es decir que por más grande que sea un número primo, siempre hay otro número primo mayor. 3. Si "P" es un número mayor que 2. 14P ± ° = 4. Si "P" es un número primo mayor que 3. 16P ± ° = 5. Número simple:    imosPrNúmeros ...........,5,3,2,1 6. Número compuesto.- Es aquel número que tiene más d e2 divisores. Ejemplo:    CompuestosNúmeros ....;12;10;9;8;6;4 ⇒ 6 posee 4 divisores: 1, 2, 3 y 6 ∴ 6 es Nro compuesto. 7. Números primos relativos o primos entre si (PESI) Son dos o más números que tiene como único divisor común a la unidad. Ejemplo: Número Divisores 10 1 ; 2; 5; 10 21 1 ; 3; 7; 21 = Divisor común. ∴ 10 y 21 son PESI 8. Números primos entre si dos a dos (PESI) 2 a 2) Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí. Ejemplo: ¿Son 8; 9 y 25 PESI 2 a 2?      PESIson25y9 PESIson25y8 PESIson9y8 ∴ 8; 9; 25 son PESI dos a dos. Nota: A. Dos números enteros consecutivos siempre son PESI. Ejemplo 1 16 1 ; 2; 4; 8; 16 17 1 ; 17 Divisores 16 y 17 son PESI Ejemplo 2: si "n" es número entero. "n" y "n + 1" son PESI B. Dos números impares consecutivos también son PESI. Criterio para reconocer si un número entero es primo. Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos: a. Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto. b. Enumerar los números primos menores a esta aproximación. c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos. Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo. Ejemplo: ¿Es 853 número primo? Solución: a) 853 ≅ 29 , . . . b) Los números primos menores que: 29 son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 c) Concluimos que 853 es un número primo porque no es divisible con los números anteriores. DIVISORES DE UN NÚMERO Divisor Se denomina divisor de un número a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera. Observación: Sea N un número entero, si "d" es un divisor de N entonces: Nd0 ≤< Observación: Divisor Propio: Es todo aquel divisor de N, menos que dicho número. 1)N(D)N(D p −= Donde: Dp = (N) : divisores propios D (N) : divisores de N Ejemplo: 6 →  Divisores 6,3,2,1 propiosD : 1; 2; 3 Regla para determinar los divisores de un número a) Se descompone el número en factores primos. b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del primer factor primo. c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo. d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado. Tabla de divisores de 240 1 2 4 8 16 3 6 12 24 48 5 10 20 40 80 15 30 60 120 240 Ejemplo: Analizar y clasificar los divisores de 24. Divisores de 24 La unidad 1 S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” TEORÍA DE LOS
  • 2. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria Divisores Primos (Dp) 2 3 Divisores Compuestos (Dp) 4 6 8 12 24 D24 = 1 + DP + DC = 1 + 2 + 5 = 8 Generalizando: Sea "N" un número compuesto. 1DDD CP)N( ++= DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (Teorema fundamental de la Aritmética o Teorema de Gauss) Todo número entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponente enteros positivos, dicha descomposición es única. Sea "N" el número compuesto. θβα ××= CBAN A, B, C → Factores primos α, β, θ → Exponentes (números enteros positivos) ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO I. Cantidad de divisores [D(N)] El número total de divisores de un número es igual producto de los exponente sd e los factores primos aumentados en 1. )1()1()1(D )N( +θ+β+α= Ejemplo: 720 = 24 × 32 × 51 D(720) = (4 +1) (2 + 1) (1 + 1) D(720) = 5 × 3 × 2 = 30 Observación: Número Divisores Total de divisores Aα 1; A; A2 ; A3 ; ... ; (α + 1) Bβ 1; B; B2 ; B3 ; ... ; (β + 1) Cθ 1; C; C2 ; C3 ; ... ; Cθ (θ + 1) Por el principio de combinaciones: )1()1()1(D )N( +θ+β+α= PROBLEMAS RESUELTOS 01. Calcular los divisores de 240. Solución: Descomponiendo 240: 240 120 60 30 15 5 1 2 2 2 2 3 5 240 = 24 ⋅ 3 ⋅ 5 Luego: 240 tiene 20 divisores (3 divisores primos: 2; 3; 5) 1 2 4 8 16 3 6 12 24 48 5 10 20 40 80 15 30 60 120 240 02. Calcular la cantidad de divisores de 26 160. Solución: Descomponiendo canónicamente tenemos: 26 160 = 26 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 Luego: Aplicando fórmula tenemos: D (26160) = (6+1) (2+1) (1 + 1) (1 + 1) D(26160) = 84 03. ¿Cuántos divisores más tiene 3600 que el número 980? Solución: Descomponiendo cada número en el producto de sus factores primos: 3600 = 24 × 32 × 52 980 = 24 × 5 × 72 Cálculo de cantidad de divisores: D(3600) = (4 + 1) (2+ 1) (2 + 1) = 45 D(980) = (2 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 18 Nos piden: 45 – 18 = 27 04. Si el número: 15(30x ) tiene 294 divisores. Hallar "x". Solución: Sea: N = 15 (30x ) ⇒ N = 2x ⋅ 3x + 1 ⋅ 5x + 1 Hemos hecho una descomposición canónica, luego: D(N) ⇒ (x +1) (x + 2) (x + 2) = 294 Dando forma: (x + 1) (x + 2)2 = 6 (7)2 Comparando: 5x = 05. Si el número 8x tiene 19 divisores. Hallar "x". Solución: Sea: N = 8x ⇒ N = 23x Luego: D(N) = (3x + 1) = 19 Despejando x: 6x = PRACTICA DE CLASE Marca con una aspa según el número dado sea primo absoluto o compuesto. Número Primo Compuesto 01. 7 02. 24 03. 111 04. 173 05. 187 06. 119 07. 213 08. 217 Escribir todos los divisores de los números dados. Número Divisores 09. 12 10. 15 11. 28 12. 33 13. 42 Descomponer canónicamente los siguientes números y establecer la cantidad de divisores de dichos números. Número Descomposición Canónica 14. 120 15. 240 16. 90 17. Hallar el número de divisores de 882. a) 10 b) 8 c) 18 d) 20 e) 40 18. Hallar el número de divisores propios de 288. a) 17 b) 18 c) 15 d) 19 e) N.a. 19. Si 5n tiene 14 divisores. Hallar "n" a) 10 b) 14 c) 13 d) 19 e) 21 20. Si 8n tiene 18 divisores. S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
  • 3. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria Hallar "n" a) 10 b) 8 c) 19 d) 9 e) 15 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿Cuántos divisores tiene un número primo de 4 cifras? a) 1 b) 3 c) 2 d) 8 e) 10 02. ¿Cuántos múltiplos tiene un número de 2 cifras? a) 100 b) 99 c) 999 d) infinitos e) N.a. 03. ¿Cuál es el mayor divisor de 784? a) 780 b) 392 c) 784 d) 800 e) 420 04. El número 1890 es divisible por: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) Todas 05. Si 4n tiene 81 divisores. Hallar "n": a) 20 b) 40 c) 80 d) 9 e) 27 06. El número de divisores de 144 es: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) N.a. 07. El número de divisores de 200 es: a) 20 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 08. ¿Cuántos divisores tiene el número 24000? a) 60 b) 56 c) 24 d) 48 e) N.a. 09. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 14 000? a) 40 b) 38 c) 36 d) 64 e) N.a. 10. ¿Cuántos divisores tiene el número 49000? a) 60 b) 36 c) 24 d) 48 e) N.a. 11. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 34 000? a) 40 b) 38 c) 36 d) 64 e) N.a. 12. Hallar el número de divisores de: A = 7n + 1 – 3 ⋅ 7n a) 3 (n +1) b) 3 (n – 1) c) 2 (n – 1) d) (n + 1) e) N.a. 13. ¿Cuántos divisores tiene 420 ? a) 40 b) 41 c) 80 d) 60 e) 4 14. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 3010 ? a) 1340 b) 1338 c) 1327 d) 1364 e) N.a. 15. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 4210 ? a) 1323 b) 1325 c) 1327 d) 1329 e) N.a. TAREA DOMICILIARIA I. Marca con una aspa según el número dado sea PRIMO ABSOLUTO o COMPUESTO. Número Primo Compuesto 341 311 321 409 413 477 419 509 511 II. Escribir todos los divisores de los números dados y formar las parejas de dichos números cuyos elementos sean números entre sí. Número Divisores 45 48 50 54 55 Pares de números primos entre sí: 15 y 28; III. Descomponer canónicamente los siguientes números y establecer la cantidad de divisores de dichos números. Número Descomposición Canónica Cantidad de Divisores 180 140 300 360 520 400 480 560 724 846 900 1200 IV. Responde las siguientes preguntas: 4.1 ¿Hallar el número de divisores de: A = 5n + 1 – 3 ⋅ 5n a) 3 (n +1) b) 3 (n – 1) c) 2 (n – 1) d) (n + 1) e) (n + 2) 4.2 Si 100n tiene 289 divisores. Hallar el valor que tiene que asumir "n". a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12 4.3 ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 60060? a) 96 b) 90 c) 89 d) 91 e) N.a. 4.4 Si 42n tiene 81 divisores. Hallar el valor de "n". a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) N.a. 4.5 ¿Cuántos divisores más tiene 360 que el número 98? a) 6 b) 9 c) 18 d) 27 e) N.a. S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
  • 4. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria Mínimo Común Múltiplo De dos o más números naturales, es el menor de sus múltiplos comunes. El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, se designa abreviadamente así: m.c.m. (a, b, c) Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números se puede recurrir a su descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos que intervengan en las descomposiciones de los distintos números elevado a la máxima potencia con que aparezca. Por ejemplo, para hallar M = m.c.m. (500, 420, 880) se procede como se explica a continuación. Se empieza descomponiendo los tres números en factores primos: 500 = 22 ⋅ 53 420 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 7 880 = 24 ⋅ 5 ⋅ 11 Ahora, para hallar M se toman todos los factores primos que intervienen, 2, 5, 3, 7 y 11, elevados a la máxima potencia con la que aparecen: M = m.c.m. (500, 420, 880) = 24 ⋅ 3 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11 = 462. 000 Por tanto, el menor de los múltiplos comunes a 500, 420 y 880 es 462.000. Máximo Común Divisor De dos o más números naturales, es el mayor de sus divisores comunes. El máximo común divisor de varios números a, b, c, se designa abreviadamente así: M.C.D. (a, b, c). Para obtener el máximo común divisor de dos o más números se puede recurrir a su descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos comunes a todas las descomposiciones de los distintos números, elevado a la mínima potencia con que aparezca. Por ejemplo, para hallar D = M.C.D. (1.980, 600, 5.040) se procede como se indica a continuación. Se empieza descomponiendo en factores primos los tres números: 1.980 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 11 600 = 23 ⋅ 3 ⋅ 52 5,040 = 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 Ahora, para hallar D se toman los factores primos comunes a las tres descomposiciones, 2, 3, 5, elevados a la mínima potencia con que aparecen: D = M.C.D. (1.980, 600, 5.040) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 Por tanto, el mayor de los divisores comunes a 1.980, 600 y 5,040 es 60. El máximo común divisor de dos números también se puede obtener mediante el algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides Procedimiento para hallar el máximo común divisor de dos números. Se basa en al siguiente propiedad. "Si d es divisor común de p y q, y p > q, entonces d es divisor del resto de dividir p entre q". Esta propiedad justifica el siguiente razonamiento: para hallar el M.C.D. (p, q) se divide p entre q, obteniendo un cociente q1 y un resto r1. Entonces: D = M.C.D. (p, q) = M.C.D. (q, r1) Ahora se procede de forma análoga con q y r1: se hace la división entera entre q y r1, obteniendo un cociente q2 y u resto r2. Entonces: D = M.C.D. (q, r1) = M.C.D. (r1, r2) Se prosigue así sucesivamente obteniendo números cada vez menores. De esta forma se llegará a ua división exacta. El divisor de dicha división, que es el resto de la anterior, es el M.C.D., D, buscado. Como ejemplo se obtiene el M.C.D. (520, 360): 520 |360 M.C.D. (520, 360) = M.C.D. (360, 160) 160 1 360 |160 M.C.D. (360, 160) = M.C.D. (160, 40) 40 2 160 | 40M.C.D. (160, 40) = 40 0 4 Por tanto, M.C.D. (520, 360) = 40 Los cálculos sucesivos suelen disponerse del siguiente modo: 1 2 4 520 360 160 40 160 40 0 Para calcular el M.C.D. de tres números a, b, c, se halla el M.C.D. de dos de ellos, D, y luego se hallar el M.C.D. de D y el tercero, pues: M.C.D. (a, b, c) = M.C.D. (D, c) Siendo D = M.C.D. (a, b) Teniendo en cuenta que entre el máximo común divisor, D y el mínimo común múltiplo, M, de dos números, a y b, se da la siguiente relación: a ⋅ b = D ⋅ M Conociendo D se puede calcular M; D ba M ⋅ = Por ejemplo, para hallar el m.c.m. (520, 360), cuyo máximo común divisor se ha calculado mediante el algoritmo de Euclides, D = 40, se procede así: M = m.c.m. (520, 360) = 40 360520 ⋅ = 4,660 PROBLEMAS RESUELTOS 01. Hallar el M.C.M. de: A = 24 × 53 × 73 y B = 23 × 55 × 7 × 132 Solución:    • • = onentesexpmayores divisoreslostodos MCM Luego MCM (A, B) = 24 × 55 × 73 × 132 02. Hallar el MCM de: 72, 40 y 88. Solución: 03. Hallar el MCM (6; 8) Solución: Sean 6 y 8 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,78, 84, 90, ... 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, ... Múltiplos comunes: 24, 48, 72, 80, 88, ... Luego el MCM (6, 8) = 24 04. Hallar el MCM (10; 15; 30). Solución: Sean 10, 15 y 30 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, ... 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ... 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, ... Múltiplos comunes: 30, 60, 90, 120, ... Luego el MCM (10, 15, 30) = 30 S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y 600 2 420 2 880 2 250 2 210 2 440 2 125 5 105 3 220 2 25 5 35 5 110 2 5 5 7 7 55 5 1 1 1 1980 2 600 2 5040 2 990 2 300 2 2520 2 495 3 150 2 1260 2 165 3 75 3 630 2 55 5 25 5 315 3 11 11 5 5 105 3 1 1 35 5 7 7 1 72 – 40 – 88 2 36 – 20 – 44 2 18 – 10 – 44 2 9 – 5 – 11 3 MCM 3 – 5 – 11 3 1 – 5 – 11 5 1 – 1 – 11 11 1 – 1 – 1
  • 5. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria 05. Calcular el MCD (25200; 19800; 27900) Solución: Descomposición Canónica: 25 200 = 24 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7 19 800 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 11 27 900 = 22 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 31 Luego: MCD = 22 ⋅ 32 ⋅ 52 = 900 06. Calcular el MCD (72, 40 y 88) Solución: Es decir MCD (72, 40, 88) = 2 × 2 × 2 = 8 07. Calcular el mínimo común múltiplo de 120; 96; 72 y 35. Solución: Aplicando M.C.M. (120; 96) = 480 Luego: M.C.M (120; 96; 72; 35) = M.C.M (480; 72; 35) Pero: M.C.M (480; 72) = 1440 Luego: M.C.M (1440; 35) = 10080 Por tanto: M.C.M(120; 96; 72; 35)= M.C.M(480;72; 35) = M.C.M (1440; 35) = 10080 08. Hallar el MCM y MCD de: 120, 180 y 300 Solución: Descomponiendo: 09. Hallar el MCM y MCD de: 18; 24 y 30 Solución: MCD (8; 24; 30) = 2 ⋅ 3 = 6 MCM (8; 24; 30) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 360 10. Hallar el MCD (424; 120) Solución: Aplicando el Algoritmo de Euclides: 3 1 1 7 424 120 64 56 8 64 56 8 0 Cocientes Residuos: MCD ∴ MCD (424; 120) = 8 PRACTICA DE CLASE I. Hallar el MCM y el MCD de: 1) 20 y 80 2) 425; 800 y 950 3) 54; 76; 114 y 234 4) 54; 133; 532 y 1824 5) 7; 8; 9 y 13 6) 3; 5; 15; 21 y 42 7) 15; 30; 60 y 180 8) 7; 14; 28 y 26 9) 100; 300; 800 y 900 10) 19 578 y 47 190 II. Contesta las siguientes preguntas: 11. ¿Cuáles son los dos números primos entre sí, cuyo MCM es 330 y su diferneica 7? a) 55 y 46 b) 22 y 29 c) 18 y 25 d) 22 y 15 e) 14 y 21 12. 3 reglas de 100 milímetros de longitud cada una, están uniformemente graduadas; la primera cada milímetro, la segunda cada 16/25 de milímetro y la tercera cada 18/23 de milímetro. Si se les hace coincidir en toda su extensión. ¿A qué distancia del origen coinciden tres trazos de las reglas? a) 114 milímetros b) 140 milímetros c) 141 milímetros d) 144 milímetros e) 156 milímetros 13. Las longitudes de las circunferencias de las ruedas delanteras y traseras de una locomotora son respectivamente 250 y 425 centímetros. ¿Qué distancia tendrá que recorrer la locomotora para que una de las ruedas de 2 870 vueltas más que la otra? a) 16 500 b) 17 326 c) 16 843 d) 17 425 e) 16 923 14. Hallar los números A y B si se sabe que satisfacen A2 + B2 = 10 530. Y el mínimo común múltiplo es 297. a) 11; 27 b) 99;27 c) 27;33 d) F.D. e) N.a. 15. El MCM de 2 números de 30 030 y su MCD es 5. ¿Cuántos pares de números hay con esta propiedad? a) 16 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2 16. ¿Cuál de los siguientes números es el menor número múltiplo de los 4 primeros números primos? a) 105 b) 210 c) 630 d) 1135 e) N.a. 17. Un ómnibus: la primera cada 10 minutos, la segunda cada 12 minutos, la tercera cada 15 minutos y la cuarta cada 20 minutos. Si a las 9:00 a.m. salieron las cuatro líneas juntas, ¿a qué hora volverán a salir juntas nuevamente? a) 9:30 a.m. b) 10:00 a.m. c) 9:45 a.m. d) 10:30 a.m. e) 11:00 a.m. 18. Tres ciclistas recorren una pista circular y tardan 3 minutos, 5 minutos y 7 minutos respectivamente. ¿Después de cuanto tiempo volverán a pasar al mismo tiempo por el punto de partida, si partieron simultáneamente de dicho punto? a) 15 min b) 105 min c) 85 min d) 21 min e) N.a. 19. Se dispone de tres barriles que contienen 210 litros, 300 litros y 420 litros de aceite, respectivamente. Para vaciarlos en envases iguales y que tengan la mayor capacidad posible. ¿Cuántos envases son necesarios? a) 21 b) 31 c) 41 d) 51 e) 61 20. Un bodeguero tiene tres sacos de arroz (pesos 72 kg. 180 kg y 25 kg), y quiere dividirlos en sacos con igual peso. ¿Cuál debe ser el mayor peso en kilogramos de cada uno de elllos? a) 90 b) 300 c) 125 d) 36 e) 54 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Tres cables miden 120m. 85m y 70m, deben dividirse en el menor número posible de trozos de igual longitud. ¿Cuál es la longitud de cada trozo? a) 3 m b) 11 m c) 5 m d) 8 m e) 6 m 02. Tres semáforos presentan la LUZ ROJA cada 9'; 12' y 18'. ¿Cada cuántos minutos los 3 semáforos al mismo tiempo presentaran la LUZ ROJA? a) 24 min b) 18 min c) 64 min d) 36 min e) 48 min 03. ¿Cuál de los siguientes números es le menor número múltiplo de los 5 primeros números primos? a) 105 b) 2310 c) 630 d) 1135 e) N.a. 04. Dos cintas de 36 y 48 m d e longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la MAYOR S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” 72 – 40 – 88 2 36 – 20 – 44 2 MCD (notar que no 18 – 10 – 44 2 no se puede sacar 9 – 5 – 11 más en común) 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 MCD (120; 180; 300) = 180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 300 = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 MCM (120; 180; 300) = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 1800 18 – 42 – 30 2 9 – 12 – 15 3 MCD 3 – 4 – 5 3 MCM 1 – 4 – 5 4 1 – 1 – 5 5 1 – 1 – 1
  • 6. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? a) 10 m b) 12 m c) 11 m d) 15 m e) 18 m 05. ¿Cuál es la MAYOR longitud de una medida con la que se pueda medir exactamente 3 dimensiones de 140 m; 560 m y 800 m? a) 20 m b) 40 m c) 10 m d) 80 m e) 100 cm 06. Hallar el MCD (144 y 520) a) 10 b) 5 c) 7 d) 8 e) 12 07. Hallar el MCD /345; 850) a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 18 08. Hallar el MCD (33; 77; 121) a) 10 b) 7 c) 9 d) 17 e) 11 09. Hallar el MCD (2168; 7336; 9184) a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 8 10. Hallar el MCD (320; 450; 560; 600) a) 10 b) 14 c) 12 d) 8 e) 40 11. Hallar el MCM (2; 3; 11) a) 12 b) 14 c) 16 d) 66 e) 80 12. Hallar el MCM (5; 10; 40; 80) a) 10 b) 45 c) 40 d) 80 e) 20 13. Calcular el MCM (9; 12; 16; 25) a) 3250 b) 3520 c) 3800 d) 3720 e) N.a. 14. Calcular el MCM (2; 4; 8; 16) a) 10 b) 20 c) 16 d) 18 e) 40 15. Calcular el MCM (8; 10; 15; 32) a) 400 b) 480 c) 500 d) 510 e) 580 TAREA DOMICILIARIA I. Hallar el MCD y el MCM por cualquier método de: 1) 72 y 260 2) 69 y 170 3) 66; 154 y 121 4) 32; 48; 56; 64 5) 40; 80; 10; 160 II. Desarrollar los siguientes problemas: 06. Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 2, de 5 o de 8 cm de largo. 07. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de pantalones de S/. 30, S/. 45, S/. 50. C/u, si quiero que en cada caso me sobren S/. 25? 08. Se recolectan para hacer paquetes de donación: 300 paquetes de fideos, 450 bolsas de avena y 180 tarros de leche. Se desea hacer paquetes que tenga el mismo número de artículos. ¿Cuántos paquetes como máximo se pueden hacer? 09. Una librería tiene 300 lapiceros, 180 reglas y 240 borradores. Si el dueño desea venderlos empaquetados al mismo precio cada bolsa. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que podrían fabricarse con 3 artículos y que no sobren ni falten? 10. En el problema anterior. ¿Cuál es el número que representa a la suma de lapiceros y borradores en cada bolsa? 1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra aumenta o disminuye en las mismas condiciones. Notación: BAóBaD.P.esA α Ejemplo: (A)# de huevos 8 16 24 32 ... (B) Costo S/. 2 4 6 8 ... Observe que si duplicamos el # de huevos, el costo también se duplicará. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etc. Se cumple: 4.......... 8 32 6 24 4 16 2 8 ==== (constante) Se concluye que: “si dos magnitudes (A y B) son directamente proporcionales, el cociente de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad”. cte:k;k B A BaD.P.esASi =⇒ 2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra disminuye o aumenta en las mismas condiciones. Notación: B 1 AoB 1 A,BaI.P.esA α α Ejemplo: (A)# de obreros 2 4 6 8 ... (B) # de días 24 12 8 6 ... Observe que si duplicamos el # de obreros, el # de días se reduce a la mitad. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etc. Se cumple: 2x24 =4 x12=6 x 8 =6=....= 48 (constante) Se concluye que: “Si dos magnitudes (A y B) son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad”. cte.:kkB.A.BaI.P.esASi =⇒ PRACTICA DE CLASE Encontrar la relación matemática de cada enunciado: 01. La magnitud A es D.P. a la magnitud B 02. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es I.P. a B 03. Se tiene cuatro magnitudes A; B; C y D tales que A es D.P. a B; A es I.P. a C; A es I.P. a D. 04. Se sabe que A es D.P. a B e I.P a C. 05. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a C e I.P.B. 06. Si A es D.P. a B2 07. Si A es D.P. a M. IP a C e I.P. a D 08. Si: A es D.P. a P, e I.P. a Q S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” PROPORCIONALID
  • 7. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria 09. Se tiene dos magnitudes tales que: A3 es I.P. a B 10. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a B e I.P. a C2 11. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es DP a B1/2 ; A es IP a D2 12. Si : A es DP con B2 e IP a c , Encontrar la relación matemática y calcula el valor de una variable 13. La magnitud A es D.P. a la magnitud B; cuando A=51, B=3. Hallar el valor que toma B, cuando A=34 14. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es I.P. a B además cuando A=20, entonces B=24. Hallar B cuando A sea igual a 30 15. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es D.P. a B además cuando A = 75 y B = 5. Hallar A cuando B =4. 16. Si A es D.P. a B, además cuando A = 120 entonces B es igual a 160. Hallar A cuando B sea igual a 120. 17. Si A es I.P. a B además cuando A es igual a 100, entonces B es igual a 240. Hallar B cuando A sea igual a 150. 18. Si A es D.P. a B2 , además cuando A es igual a 32 entonces B es igual a 4. Hallar A cuando B sea igual a 3. 19. Se tiene dos magnitudes tales que: A3 es I.P. a B. Si cuando A = 8 entonces B = 6, halar A cuando B sea 4. 20. Si A es I. P a B3 , además cuando A es igual a 1/8 entonces es igual a 2. Hallar A cuando B sea igual a 3. PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El cuadrado de “A” varía proporcional-ente al cubo de “b”. Si “A” = 3 ; “B” = 4. Hallar “B” cuando A = 3 3 a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 5/3 02. Si "A" es directamente proporcional con B2 e inversamente proporcional a C , cuando A = 4, B = 8 y C = 16. hallar "A" cuando B = 12 y C = 36. a) 7 b) 8 c) 10 d) 9 e) 6 03. Si "A" varía en razón directa a "B" e inversamente al cuadrado de "C", cuando A = 10, entonces, B = 4 y C = 14. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 7. a) 200 b) 180 c) 160 d) 140 e) 156 04. Sabiendo que "A" es I.P. a B3 . Hallar "A" cuando B = 2, si A = 6, entonces B = 4. a) 48 b) 46 c) 50 d) 52 e)4 05.Se tiene que "A" es D.P. a "B", si A = 10, cuando B = 4. hallar "B". Cuando A = 8 a) 1 b) 2 c) 8 d) 4 e) 16 06. "A" es I.P. a "B", si A = 20, entonces B= 30. hallar "A" cuando B = 50 a) 10 b) 12 c) 8 d) 16 e) 20 07. Si "A" es D.P. con B2 e I.P. a C , cuando A = 4, B = 8 y C = 16. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 36. a) 6 b) 12 c) 2 d9 4 e) 10 08. Se sabe que "A" es D.P. a B e I.P. a 3 C . Además cuando A = 14. Entonces B = 64 y C = B. Hallar "A" cuando B = 4 y C = 2B a) 2 b) 7 c) 4 d) 5 e) 6 09. "A" varía en razón directa a "B" e inversa a C2 , si A = 10, cuando B = 4 y C = 14. Cuando B = 16 y C = 7, "A" es igual a: a) 210 b) 140 c) 160 d) 120 e) 180 10. Si "A" es D.P. a B2 , "B" es I.P. a C2 y "C" es D.P. a 1 D − , luego, que relación existe entre "A" y "D", aplicación A = 6, entonces d = 3. Hallar "D", si A = 150. 11. Sabiendo que "A" es I.P. a B2 y B es I.P. a C. Hallar a cuando 6C = , si cuando A = 28, C = 24. a) 8 b) 7 c) 4 d) 9 e) 12 12. Si: "A" es D.P. a (B + C) e I.P. a D2 , si cuando A = 2, B = 3 y D = 6, entonces C = 5. Hallar "C", cuando A = 9, B = 10 y D = 4. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 13.Sabiendo que "A" es I.P. a "B" y "B" es I.P. a "C", hallar "A" cuando C= 3 , si A = 27 y C = 3. a) 1 b) 4 c) 3 d) 9 e) 3 14. Sabiendo que "A" es I. P. a B2 y "C" es D.P. a "B". hallar "A" cuando C = 8, si A = 96 y C = 4. a) 2 b) 3 c) 4 d) 9 e) 6 15. Si A2 y B son I.P. y cuando A = 20, "A" es a "B" como 10 es a 9. ¿Qué valor toma "A" cuando B = 72?. a) 16 b) 17 c) 15 d) 18 e) 20 TAREA DOMICILIARIA 01. A es D.P. con B2 e I.P. a C , cuando A = 4; B = 8 y C = 16. hallar A cuando B = 12 y C = 36. a) 4 b) 8 c) 9 d) 12 e) 6 02. A es D.P. con B e I.P. con C, cuando C es igual a 2 3 , A y B son iguales. ¿Cuál es el valor de B cuando A es igual a 1 y C es igual a 12? a) 8 b) 6 c) 4 d) 12 e) 9 03. A varía proporcionalmente a B y al cuadrado de c e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4, entonces D es 2. ¿Cuánto valdrá B cuando: A = 2D y D = 4C? a) 40 b) 80 c) 160 d) 120 e) N.A. 04. X varía en razón directa a Y e inversamente al cuadrado de Z. Cuando X = 10, entonces Y = 4 y Z = 4. Hallar X cuado Y = 16 y Z = 7 a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120 05. Si A es D.P. a B y C es I.P. con D y E. Cuando A = 2B, D = 4, C = 2, entonces: E = 3. Calcular E cuando A = 72, D = 6, B = 2 y C = 3E2 . a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 9 06. El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo de B cuando A = 3 y B = 4. Hallar el valor de B cuando 3 3 A = S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
  • 8. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria a) 3 1 1 b) 3 2 1 c) 3/4 d) 2 e) 22 07. El cuadrado de "X" varía proporcional-mente al cubo de "Y". Si "X" = 4, "Y" = 2. hallar "Y" cuando X = 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. Si "A" es D.P. con B2 e I.P. a C1/2 , cuando A = 1; B = 2 y C = 64. hallar "A" cuando B = 1 y C = 4 a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1 e) 8 09. Si "A" es D.P. con "B" e I.P. a C2 . Cuando A = 4, entonces B =2 y C = 2. Hallar "A" cuando B = 3 y C = 1/2. a) 10 b) 96 c) 48 d) 4/3 e) 8/3 10. Sabiendo que "A" es I.P. a B3 . Hallar A cuando B = 3; Si A = 3 y B = 2 a) 8/9 b) 7/4 c) 3/8 d) 9/8 e) N.A. 1. REGLA DE TRES SIMPLE Es un método en el cual intervienen dos magnitudes proporcionales, que tiene como objetivo hallar un cuarto valor, dado tres valores correspondientes a estas dos magnitudes. Clases 1.1. Directa: (Cuando intervienen dos magnitudes directamente propor-cionales). Esquema: D.P. A B # huevos Costo (S/.) a1 ................... b1 a2 ................... b2 a1, b1, a2 son datos, mientras que x es la incógnita. Por teoría de magnitudes proporcio-nales se cumple que: 1 2 1 2 2 1 1 a a bx a a b a ⋅=⇒= Ejemplo: Sofía compra 40 huevos por S/ 15. ¿Cuánto le costará 72 huevos? # huevos Costo (S/.) 40 72 15 X  40 72 15X ⋅= X = S/ 27 1.2. Inversa: (Cuando intervienen dos magnitudes inversamente proporcio-nales). I.P. A B # huevos # días a1 ........................... b1 a2 ........................... x Por teoría de magnitudes proporcionales, se cumple que: 2 1 1211 a a .bxx.ab.a =⇒= a1, b 1 = a2 son datos, mientras que x es la incógnita. Ejemplo: Cien obreros emplean 45 días para hacer una obra. ¿Cuántos días emplean 225 obreros para hacer la misma obra? # de obreros # días 10 ....................... 45 225 ....................... x  25 100 45x ⋅= ∴ x = 20 días 2. REGLA DE TRES COMPUESTA Se llama así cuando intervienen más de dos magnitudes proporcionales # obreros # días # h/d obra eficiencia dificultad A I.P. D.P. I.P D.P. ba a x c c d d e e f f 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 B C D E F Usando el método de las fracciones, hallaremos el valor de “x” . Previo al cálculo. Se debe establecer la relación de proporcionalidad entre la incógnita “x” (# días) y las demás magnitudes. Por ejemplo la magnitud “A” (# S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” REGLA DE
  • 9. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria obreros) y la magnitud “B” (# días) son I.P. ya que a MÁS obreros trabajando se emplearán MENOS días, de igual modo se hará con las magnitudes restantes. Entonces: 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 f f . e e . d d . c c . a a .bX = Ejemplo: Con 18 obreros se puede hacer una obra en 42 días. ¿En cuántos días 15 obreros harán una obra cuya dificultad es el quíntuple de la anterior? Solución: Colocaremos en dos filas los datos correspondientes a cada una de estas magnitudes, es decir: # obreros # días dificultad 18 15 42 x 1 5 1 5 . 15 18 .42x = x = 252 días PROBLEMAS RESUELTOS 01.Si caminando durante 15 minutos se avanza 1500 metros. ¿Cuánto se avanzaría en 20 minutos?. Solución: 15 min .............. 1500 m 20 “ ................... x 2000x; 15 20x1500 x == 02.Si 424 personas consumen 36 bolsas de fideos. ¿Cuántas personas podrán alimentarse con 9 bolsas? Solución: 424 .............. 36 bol x ................... 9 “ personas106 36 9x424 x == 03.Si viajando a 60km por hora se demora 3 horas en un viaje. ¿Cuánto se demoraría viajando a 90 km por hora? Solución: Como se trata de una regla de tres simple inversa se consideran los siguientes pasos: 60 km/h .............. 3 horas 90 km/h ................... x 90 180 x; 90 60x3 x == x = 20 días 04.Si 12 obreros demoran 15 días para levantar una muralla. ¿Cuánto hubieran demorado si solo hubiera trabajado 9 obreros? Solución: 12 obreros .............. 15 días 9 obreros ................... x 20 9 12x15 x == x = 20 días 05.Si un viaje ha demorado 21 horas a un promedio de 80 km por hora. ¿A qué velocidad habría que ir para demorar solamente 14 horas? Solución: 12 hs .............. 80 km/h 14 hs ................... x 120 14 21x80 x == x = 120 días PRÁCTICA DE CLASE 01. Si un lápiz cuesta S/. 65. ¿Cuánto cuestan 15 lápices? 02. Si una docena de clavos cuesta S/. 144. ¿Cuánto cuesta medio ciento? 03. Si 6 personas consumen 3 kg de arroz. ¿Cuántos kgs consumirán 24 personas? 04.Si a 16 km por hora se recorre 32 km. ¿Cuántos km se recorrerá en el mismo tiempo, a 12 km por hora? 05.Si 12 personas demoran 36 días en hacer una obra. ¿Cuántos días demorarían 18 personas en la misma obra? 06. A 64 km por hora un viaje se ha demorado 6 horas. ¿Cuánto se hubiera demorado si la velocidad hubiese sido de 72 km por hora? 07. Un estanque de 600 litros se ha vaciado en 12 minutos . ¿Cuánto tiempo hubiese demorado si sólo tuviera 450 litros? 08. 42 personas de un campamento tienen provisiones para 30 días; si se retirasen 6 personas. ¿Para cuántos días alcanzaría las provisiones? 09. Si un móvil que viaja a velocidad constante en 6 hrs recorre 600 km . ¿Qué distancia recorrerá al cabo de 8 hrs? 10.Si 20 obreros realizan un trabajo en 30 días. ¿Cuántos días demorarán 40 obreros en realizar el mismo trabajo? 11. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les junta cierto número de obreros de otro grupo de modo que en 15 días terminan la obra. ¿Cuántos obreros eran en el segundo grupo?. 12. Si 20 obreros son contratados para realizar un trabajo de 800 m2 en 10 días, y al cabo del cuarto día les comunica que en realidad la obra era de 1000m2 , y que deben acabar un día antes de lo establecido. ¿Cuántos obreros deberán ser contratados? 13.Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que incrementar para que la obra se termine en 8 días? a) 15 b) 12 c) 10 d) 8 e) 14 14. 12 obreros pueden hacer un trabajo en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra? a) 15 días b) 30 días c) 80 días d) 5 días e) N.A 15.Una guarnición de 2200 hombres, tiene provisiones para 62 días, al terminar el día 23 se retiran 250 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición? a) 40 días b) 44 días c) 80 días d) 50 días e) N.A 16.8 obreros pueden haber una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso se entregará la obra? a) 10 b) 14 c) 9 d) 12 e) 20 17. Un propietario tiene 649 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos deben vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración? a) 100 b) 200 c) 300 d) 180 e) 120 18. Un caballo atado con una soga de 3 m de largo demoran 5 días en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga fuera de 6 m. ¿Cuántos días tardará en comer todo el pasto a su alcance? 19. En al construcción de un puente trabajaron 15 albañiles durante 12 días, e hicieron las 3/4 partes de la obra; después se retiraron 7 de ellos. En cuántos días concluyeron las restantes la obra? 20. Una obra lo pueden hacer 28 hombres en cierto tiempo . ¿Cuántos obreros se necesitarán aumentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo 2/7 del anterior trabajando la mitad de horas diarias? S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
  • 10. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h? a) 10 b) 50 c) 56 d) 60 e) N.A 02. A y B recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la razón 15/21. La velocidad de A es de 56 Km/h. ¿Cuál es la velocidad de B? a) 10 km/h b) 20 km/h c) 30 km/h d) 40 km/h e) 80 km/h 03. Dos ruedas cuyos diámetros son 1,5m y 2,4 m están movidas por una correa. Cuando la menor da 220 revoluciones. ¿Cuántas revoluciones da la mayor? a) 137,5 rev b) 140 rev c) 180 rev d) 175 rev e) N.A 04. Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4 cm de arista, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12 cm de arista habrá construido? a) 1/ 2 b) 1/ 3 c) 1/ 8 d) 2/ 3 e) 4/ 5 05. Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de rápido que Franklin. Si entre los tres pueden terminar una tarea de Aritmética en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán la misma tarea? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 80 06. Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15m?. a) 10 b) 9 c) 8 d) 12 e) 15 07. Para pavimentar 180 metros de pista; 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuánto días se necesitarán para pavimentar 120m de la misma pista con 4 obreros menos? a) 18 b) 20 c) 40 d) 60 e) N.A 08. Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias durante 20 días hacen 60 sillas. ¿Cuántos días necesitarán 40 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas? a) 10 b) 20 c) 18 d) 15 e) 23 09. Si 180 hombres en 6 días, trabajando 10 horas cada día, pueden hacer una zanja de 200m de largo, 3m de ancho y 2m de profundidad. ¿En cuántos días, de 8 horas, harían 100 hombres una zanja de 400 metros de largo; 4m de ancho y 3 metros de profundidad? a) 100 b) 54 c) 58 d) 61 e) 24 10. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días. ¿Cuántos días tardarían 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 10 11. Por 8 días de trabajo, 12 obreros han cobrado S/.640. ¿Cuánto ganarán por 16 días, 15 obreros con los mismos jornales? a) 1600 b) 1800 c) 1520 d) 1810 e) 1740 12. 20 obreros, en 14 días de 8 horas; han realizado un trabajo de 120m de largo. ¿Cuántos días de 7 horas emplearán 24 obreros para hacer 90m del mismo trabajo? a) 11 b) 10 c) 80 d) 30 e) 18 13. Por trabajar 8 horas diarias durante 20 días un peón ha ganado S/.120. ¿Cuántas horas diarias habrá trabajado en la misma obra si por 30 días le han pagado S/.225? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20 14. Si con 120 Kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 días. ¿Cuántos kg de pasto se necesitarán para alimentar a 9 caballos en tres días? a) 16 kg b) 160 kg c) 162 kg d) 140 kg e) N.a. 15. Si 8 secretarias tardan 3 horas para digitar 72 páginas. ¿Cuánto tardarán 6 secretarias para digitar 90 páginas? a) 6 horas b) 5 horas c) 1,6 horas d) 2 horas e) N.a. TAREA DOMICILIARIA 01. Si 5 sillas cuestan S/. 180. ¿Cuánto costarán 8 sillas? a) 280 b) 288 c) 200 d) 250 e) 283 02. Si 20 chocolates cuestan S/. 60. ¿Cuánto costarán 6 chocolates? a) 15 b) 16 c) 18 d) 13 e) 20 03. Si 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En cuántos días terminarán la misma obra 12 obreros? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) N.a. 04. Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros tardan 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la misma obra? a) 30 b) 25 c) 33 d) 28 e) 27 05. Si 25 pollos cuestan S/. 112,50. ¿Cuánto costarán 14 pollos? a) S/. 63 b) S/. 62 c) S/. 50 d) S/. 44 e) S/. 53 06. Si tres metros de polystel cuesta S/. 120. ¿Cuánto se pagará por 5,5 metros del mismo polystel? a) 200 b) 220 c) 185 d) 230 e) 195 07. Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días? a) 11 obreros b) 14 obreros c) 15 obreros d) 13 obreros e) 12 obreros 08. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. ¿Cuántos tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h? a) 10h b) 11h c) 12h d) 13h e) 14h 09. Un albañil ha construido un muro en 16 días. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer el muro. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día? a) 6h b) 12 h c) 10 h d) 8 h e) 16 h 10. Un grupo de estudiantes tienen víveres para un viaje de 48 días. Si se retiran el 25% de los estudiantes. ¿para cuántos días más alcanzaron los víveres? a) 120 b) 24 c) 16 d) 15 e) 64 SOLUCIONARIO Nº EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03 04 01. C C D C 02. D D E D 03. C B C A S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
  • 11. 21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do. Año Secundaria 04. E B A B 05. B A D D 06. C D B C 07. E D A A 08. B E B D 09. C E C B 10. D A E C 11. A D B A 12. A D C B 13. B B C A 14. C C E C 15. C B B B GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”