Pat1 พ.ย. 57

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ PAT 1 วันเสาร์ที 22 พฤศจิกายน 25571
ตอนที 1 : แบบปรนัย 4 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบทีถูกต้องทีสุด
จํานวน 30 ข้อ (ข้อ 1 – 30) ข้อละ 6 คะแนน
1. กําหนดให้ p, q และ r แทนประพจน์ใดๆ
ให้ S(p, q, r) แทนประพจน์ทีประกอบด้วยประพจน์ p, q และ r
และค่าความจริงของปะพจน์ S(p, q, r) แสดงดังตารางต่อไปนี
p q r ค่าความจริงของ S(p, q, r)
T T T T
T T F T
T F T F
T F F F
F T T T
F T F T
F F T T
F F F T
ประพจน์ S(p,q,r) สมมูลกับประพจน์ข้อใดต่อไปนี
1. (q p) (q r) 2. (q p) (p ~ r)
3. (p ~q) (q r) 4. (p ~ q) (p ~ r)
2. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ {x R 0 x 1}
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ประพจน์ 2 2
x y x y y x มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ประพจน์ x y x y 1 xy มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

3. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมโดยมีความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C
เท่ากับ a หน่วย b หน่วย และ c หน่วย ตามลําดับ สมมุติว่ามุม A มีขนาดเป็นสามเท่าของมุม B
และ a = 2b
(ก) ABC เป็นรูปสามเหลียมมุมฉาก
(ข) ถ้า a = kc แล้ว k สอดคล้องกับ 3 2
3x 9x x 3 0
4. ให้ a และ b เป็นจํานวนเต็มบวก
นิยาม aRb หมายถึง a หารด้วย b ลงตัว
(ก) ถ้า xRy และ yRz แล้ว xR(y + z) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก x, y และ z
(ข) ถ้า wRx และ yRz แล้ว (wy)R(xz) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก w, x, y และ z

5. กําหนดให้ a และ b เป็นจํานวนจริงบวกทีมากกว่า 1 และสอดคล้องกับ
a b ablog 4 log 4 9log 2
ค่ามากสุดของ
2
5
a b
a
log (ab ) log ( )
b
เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 13.5 2. 11.5
3. 9 4. 7
6.
sin25 sin 85 sin 35
sin75
ตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. tan15 2. sin15 sin 75
3. cos20 cos 40 cos80 4. sec420

7. ให้ a และ b เป็นจํานวนจริง
และกําหนดให้ f(x) = ax +
b
x
เมือ x ≠ 0
โดยที y = f(x) เป็นเส้นโค้งทีสัมผัสกับเส้นตรง y = 1 ทีจุด (1, 1)
(ก) f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที x = – 1
(ข) 2 2
x 1
lim(fof)(x) f(2a 2b )
8. ให้ S = {1, 2, 3, ..., 15 } และให้ A เป็นสับเซตของ S โดยมีจํานวนสมาชิกของเซต A เท่ากับ 4
ความน่าจะเป็นทีจะได้เซต A โดยทีสมาชิกในเซต A จัดเรียงเป็นลําดับเลขคณิต ซึงมีผลต่างร่วมเป็น
จํานวนเต็มบวก เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1.
3
455
2.
4
455
3.
1
91
4.
2
91

9. กําหนดให้ z เป็นจํานวนเชิงซ้อน ทีสอดคล้องกับสมการ z 2z 3z 3 45i
เมือ |z| แทนค่าสัมบูรณ์(absolute value) ของ z และ z แทนสังยุค(conjugate) ของ z
ค่าของ 2
z เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 95 2. 225
3. 245 4. 375
10. กําหนดให้ 2 2
y 2x 8x 6 0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา
ให้เส้นตรง y = 2 ตัดกับเส้นกํากับของไฮเพอร์โบลาทีจุด A และจุด B เมือจุด B อยู่ทางขวามือ
ของจุด A และเส้นตรง y = 2 ตัดกับกราฟไฮเพอร์โบลาทีจุด P และจุด Q เมือจุด Q อยู่ทาง
ขวามือของจุด P สมการของวงรีทีมีจุดยอดอยู่ทีจุด P และจุด Q โฟกัสของวงรีอยู่ทีจุด A และจุด B
มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. 2 2
2x y 8x 4 2y 4 0 2. 2 2
2x y 8x 2 2y 8 0
3. 2 2
x 2y 4x 4 2y 6 0 4. 2 2
x 2y 4x 4 2y 6 0

11. ให้ C เป็นวงกลมมีสมการ 2 2
x y Dx Ey F 0
มีจุดศูนย์กลางอยู่ในควอดรันต์(quadrant) ที 1 และวงกลม C สัมผัสแกน y
ให้ P เป็นพาราโบลามีสมการ 2
Dx y Ey F
ผ่านจุด (–4, –1) และระยะระหว่างจุดยอดกับโพกัสเท่ากับ 1 หน่วย
(ก) 2 2 2
D E F 133
(ข) เส้นตรง 4x + 3y – 7 = 0 สัมผัสกับวงกลม C
12. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียม
โดยทีด้าน AB ยาว 5 หน่วย ด้าน BC ยาว 12 หน่วย และมุม ˆABC เท่ากับ 60
ถ้าเวกเตอร์ u AB เวกเตอร์ v BC และเวกเตอร์ w CA
แล้ว (2u v) w เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 64 2. 109
3. 114 4. 124

13. ให้ A เป็นเอกภพสัมพัทธ์ทีทําให้ประพจน์
2x 2x x 3 0 และ x 2 3 มีค่าความจริงเป็นจริง
และให้ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 2 1
6x 5x 1 0
1. A B 2. A – B มีสมาชิก 2 ตัว
3. (A – B) (B – A) = (–6, 1) 4. (–6, 0) (B – A)
14. ถ้า x และ y เป็นจํานวนจริงบวกและสอดคล้องกับสมการ
2 1 1
2 2
2log (x 2y) log x log y 0
แล้ว
2
x
1
y
1. 2 2. 5
3. 10 4. 17

15. ให้ a, b, c, d และ x เป็นจํานวนเต็มบวกใดๆ
(ก) ถ้า a c
b d
แล้ว a x c x
b d
(ข)
a a x
b b x
16. กําหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันซึงมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจํานวนจริง
โดยทัง f และ g เป็นฟังก์ชันทีสามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ
2
(fog)(x) x 5 สําหรับทุก x ทีอยู่ในโดเมนของ fog
และ 2
g(x)dx x 4x C เมือ C เป็นค่าคงตัว
ถ้า L เป็นเส้นตรงทีสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ณ x = 0
แล้วเส้นตรง L ตังฉากกับเส้นตรงทีมีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. x + y – 3 = 0 2. 2x + y – 7 = 0
3. 3x + y – 5 = 0 4. 5x + y – 2 = 0

17. กําหนดให้ 1L เป็นเส้นตรงผ่านจุด (–2, –4) มีความชันเป็นจํานวนเต็มบวก
และตัดแกน X และแกน Y ทีจุด A และจุด B ตามลําดับ
โดยผลบวกของระยะตัดแกน X และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 3 หน่วย
ให้ 2L เป็นเส้นตรงทีขนานกับเส้นตรง 1L และผ่านจุด (0, –13)
ถ้า C เป็นจุดบนเส้นตรง 2L โดยที CA = CB แล้วพืนทีของรูปสามเหลียม ABC
1. 8.5 ตารางหน่วย 2. 7.5 ตารางหน่วย
3. 6.5 ตารางหน่วย 4. 5.5 ตารางหน่วย
18. กําหนดให้ฟังก์ชันจุดประสงค์ 1P 5x 2y และ 2P 4x 3y
โดยมีอสมการข้อจํากัดดังนี
2x + 3y ≥ 6 ,3x – y ≤ 15, –x + y ≤ 4 , 2x + 5y ≤ 27, x ≥ 0 และ y ≥ 0
ให้ ค่ามากทีสุดของ 1P และ 2P เท่ากับ 1M และ 2M ตามลําดับ
และค่าน้อยทีสุดของ 1P และ 2P เท่ากับ 1N และ 2N ตามลําดับ
(ก) 1M มีค่ามากกว่า 2M
(ข) 1N มีค่าน้อยกว่า 2N

19. กําหนดให้ 3 2
f(x) 4x bx cx d เมือ b, c และ d เป็นจํานวนจริง
โดยที
2
2
64
f(x)dx
3
ถ้า g(x) เป็นพหุนามซึง g (x) f(x) และ g (1) g (0) g(0) 0
แล้ว g (x) g (x) g(x) ตรงกับสมการในข้อใดต่อไปนี
1. 4 3 2
x 4x 12x 6x 0 2. 4 3 2
x 8x 12x 6x 0
3. 4 3 2
3x 16x 48x 24x 0 4. 4 3 2
3x 8x 48x 24x 0
20. กําหนดให้ n{a } เป็นลําดับของจํานวนจริง
โดยที 1
1
a
6
และ n n 1 n
1
a a
3
สําหรับ n = 2, 3, 4, ...
(ก) n
n
lim a 0
(ข) อนุกรม 1 2 3a a a ... เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 0.75

21. กําหนดให้ a, b, c และ d เป็นจํานวนจริงบวก โดยที ab = 24 และ cd = 8
(ก) ถ้า d > b แล้ว b d
a c
(c 1) (a 1)
(ข) ถ้า a c แล้ว b d
(0.01) (0.05)
22. นิยาม จํานวนสามหลักลด คือ จํานวน ABC โดยที A, B, C {0,1,...,9} และ A > B > C
จํานวนวิธีสร้างจํานวนสามหลักลด ทีมีค่ามากกว่า 500 มีจํานวนทังหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 119 2. 117
3. 114 4. 110

23. ให้ S เป็นเซตของข้อมูลชุดหนึงประกอบด้วยจํานวนเต็ม n จํานวนทีแตกต่างกัน
ค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลใน S เท่ากับ 22
ถ้านําค่าตําสุดของข้อมูลออกจาก S จะได้ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 24
ถ้านําค่าสูงสุดของข้อมูลออกจาก S จะได้ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 15
แต่ถ้านําทังค่าตําสุดและค่าสูงสุดออกจาก S จะได้ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 16
(ก) พิสัยของข้อมูลเท่ากับ 96
(ข) n = 9
24. กําหนดให้เส้นตรง L เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y ทีกําหนด ในตารางต่อไปนี
โดยที x เป็นตัวแปรอิสระ
x 1 2 3 4 5
y 9 11 b 17 19
และให้ (3, b) เป็นจุดบนเส้นตรง L เมือ b เป็นจํานวนจริง
(ก) b = 13
(ข) ถ้าค่าของ x เพิมขึน 0.5 แล้วค่าของ y จะเพิมขึน 1.3

25. กําหนดให้ 1 2 nx ,x ,...,x เป็นจํานวนจริงบวก
ข้อมูลชุดที 1 คือ 1 2 nx , x , ..., x และ
ข้อมูลชุดที 2 คือ 1 2 n2x 1, 2x 1 ,..., 2x 1
(ก) สัมประสิทธิของการแปรผันของข้อมูลชุดที 1 มากกว่า สัมประสิทธิของการแปรผันของ
ข้อมูลชุดที 2
(ข) สัมประสิทธิพิสัยของข้อมูลชุดที 1 น้อยกว่า สัมประสิทธิพิสัยของข้อมูลชุดที 2
26. กําหนดให้ A เป็น 2 3 เมทริกซ์ B เป็น 3 2 เมทริกซ์ และ C เป็น 2 2 เมทริกซ์
โดยที 1 6
ABC
1 14
(ก) det(AB) – det(BA) = 0
(ข) ถ้า 1 2
C
1 2
แล้ว 5 7
CAB
6 10

27. คะแนนสอบของนักเรียน 160 คน มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน
มีนักเรียนเพียง 4 คนทีสอบได้คะแนนมากกว่า 84.5 คะแนน นักเรียนทีสอบได้ 55 คะแนนจะอยู่
ตําแหน่งเปอร์เซนไทล์เท่ากับข้อใดต่อไปนี
เมือกําหนดพืนทีใต้เส้นโค้งปกติ ระหว่าง 0 ถึง z ดังตารางต่อไปนี
Z 0.3 0.4 0.5 1.0 1.1 1.96 2.0
พืนที 0.1179 0.1554 0.1915 0.3413 0.3643 0.4750 0.4773
1. 19.15 2. 15.54
3. 34.46 4. 30.85
28. ข้อมูลชุดหนึงมี 5 จํานวนทีแตกต่างกัน โดยทีค่าเฉลียของควอร์ไทล์ทีหนึง และควอร์ไทล์ทีสาม
เท่ากับมัธยฐาน ถ้าส่วนเบียงเบนเฉลียเท่ากับ 2.8 และมัธยฐานเท่ากับ 15 แล้วส่วนเบียงเบนควอไทล์
1. 3.5 2. 5.25
3. 7.5 4. 11.25

29. ถ้า
4 4
sin x co s x 1
5 7 12
สําหรับบาง x > 0
แล้วค่าของ
2 2
sin (2x) cos (2x)
5 7
ตรงกับข้อใดต่อไปนี
1.
1
144
2.
25
126
3.
2
9
4.
1
6
30. กําหนดให้ A, B, C และ D เป็นจํานวนจริงบวก ทีสอดคล้องกับ
B = C + D , D = A + C – B และ A = 2C – B
1. D < A < C < B 2. A < D < C < B
3. D < C < A < B 4. C < A < D < B

ตอนที 2: แบบอัตนัย ระบายคําตอบทีเป็นตัวเลข
จํานวน 15 ข้อ (ข้อ 31 45) ข้อละ 8 คะแนน
31. ให้ S แทนคอมพลีเมนต์ของเซต S และ n(S) แทนจํานวนสมาชิกของเซต S
ให้ A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U
โดยที A C , A B , B A , B C และ C B
ถ้า n(U) = 20 , n(A ) 12 , n(B ) 9 , n(C ) 15 , n((A B) (B A)) 11
และ n((B C) (C B)) 12 แล้ว n((A B) (C B)) เท่ากับเท่าใด
32. ให้ o o o o o
A cos15 cos87 cos159 cos231 cos303
และ 15 4B sin arctan( ) arccos( )
8 5
ถ้า A + B =
a
b
เมือ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 1 แล้วค่าของ a + b เท่ากับเท่าใด

33. ให้ 1z และ 2z เป็นจํานวนเชิงซ้อน โดยที 1 2
z 2 , 3z และ 1 2
1z z
แล้วค่าของ 1 2z z เท่ากับเท่าใด เมือ z แทนค่าสัมบูรณ์ของ z
34. ให้ a และ b เป็นจํานวนจริง โดยที a > 0 และ b > 1
ถ้า a
ab b และ 3a
b ab แล้ว 20a + 14b เท่ากับเท่าใด

35. ให้ a เป็นจํานวนจริงบวก และให้ n{b } เป็นลําดับของจํานวนจริง
โดยที nb (a n 1)(a n) สําหรับ n = 1, 2, 3, ...
ถ้า a สอดคล้องกับ
n 1 2 2 3 n n 1
a 1 a 2 a n 1
...lim
b b b b b b 312
แล้วค่าของ 2
a 57 เท่ากับเท่าใด
36. ถ้า x และ y เป็นจํานวนจริงทีสอดคล้องกับ
t
y 3x 1 10 x 0
2
7 7 y1 y2 x y
แล้วค่าของ x + y เท่ากับเท่าใด

37. กําหนดให้ U {1,2,3,4,5}
ให้ S เป็นเซตของคู่อันดับ (A, B) ทังหมด โดยทีจํานวนสมาชิกของเซต A B เท่ากับ 2
เมือ A และ B เป็นสับเซตของ U
จํานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับเท่าใด
38. ให้ n{a } เป็นลําดับเลขคณิต โดยที 1a 2 และ 1 2 3a a a ...
สมมุติว่า 2 4 8a ,a ,a เรียงกันเป็นลําดับเรขาคณิต
จงหาค่าของ n ทีทําให้
3 3 3
1 2 n
3 3 3
1 2 n
(a 1) (a 1) ... (a 1) 391
450a a ... a

39. ให้ S แทนเซตคําตอบของสมการ 2
3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x
ถ้าผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต S เท่ากับ a
b
เมือ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 1
แล้ว a + b เท่ากับเท่าใด
40. กําหนดให้ 8 cos(2 ) 8 sec(2 ) 65 เมือ o
0 90
ค่าของ 5
160 sin( )sin( )
2 2
เท่ากับเท่าใด

41. ให้ f เป็นฟังก์ชันซึงมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจํานวนจริง
โดยที 2
f(2x 1) 4x 10x a เมือ a เป็นจํานวนจริง และ f(0) = 12
ค่าของ
4
1
f(x)dx เท่ากับเท่าใด
42. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง
ให้ f : R R เป็นฟังก์ชันหนึงต่อหนึง และ g : R R เป็นฟังก์ชัน
โดยที g(x) = 2f(x) + 5 สําหรับทุกจํานวนจริง x
ถ้า a เป็นจํานวนจริงที 1 1
(fog )(1 a) (gof )(1 a) แล้วค่าของ 2
a เท่ากับเท่าใด

43. ให้ A แทนเซตคําตอบของสมการ x x 3 x 3 x 3
(4 2 6) (2 4) (4 2)
ผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต A เท่ากับเท่าใด
44. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง
ให้ f : R R , g : R R และ s : R R เป็นฟังก์ชัน โดยที
f(x) = x + 1 สําหรับทุก x R
2
g(f(x)) x 2x 1 สําหรับทุก x R
และ
2 2
h 0
(g(x h)) (g(x))
s(x) lim
h
สําหรับทุก x R
ค่าของ (sg)(1) เท่ากับเท่าใด

45. ให้ A = {0, 1, 2, ... }
กําหนดให้ a(n,m) A สําหรับทุก n, m A โดยที
(ก) a(n, 0) = n + 1 สําหรับทุก n A
(ข) a(0, m) = a(1, m – 1) สําหรับทุก m A – {0}
(ค) a(n + 1, m + 1) = a( a(n, m + 1), m) สําหรับทุก n, m A
ถ้า x A และ a(x, 2) = 2557 แล้วค่าของ x เท่ากับเท่าใด

เฉลยคําตอบ
ตอนที 1
1. 3 2. 3 3. 2 4. 3 5. 2 6. 2 7. 1 8. 4 9. 2 10. 3
11. 1 12. 4 13. 2 14. 4 15. 4 16. 3 17 1 18. 1 19. 4 20. 2
21. 3 22. 4 23. 4 24. 3 25. 2 26. 4 27. 3 28. 1 29. 2 30. 1
ตอนที 2
31. 7 32. 169 33. 3 34. 66 35. 201
36. 3 37. 270 38. 14 39. 11 40. 55
41. 34.5 42. 36 43. 3.5 44. 4 45. 1277

Pat1 พ.ย. 57

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Pat1 พ.ย. 57

Similar to Pat1 พ.ย. 57 (20)

More from รวมข้อสอบ gat pat 9 วิชา

More from รวมข้อสอบ gat pat 9 วิชา (20)

Pat1 พ.ย. 57