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Métodos de resolución de ecuaciones

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  1. 1. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO MÉTODO GENERAL EJEMPLO 1) QUITAMOS PARÉNTESIS ( si los 1 2x 3( x + ) = −3 hay) 2 3 3 2x 3x += −3 2 3 2) QUITAMOS DENOMINADORES (si 3x 3 2 x 3 + = − los hay) 1 2 3 1 18 x 9 4 x 18 + = − 6 6 6 6 3) LLEVAMOS A UN LADO TODOS 18x+9=4x-18 LOS TÉRMINOS EN X Y AL OTRO 18x-4x=-18-9 LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES 14x=-27 4) DESPEJAMOS X: EL COEFICIENTE 27 DE X PASA AL OTRO LADO x= − 14 DIVIDIENDO. 2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO MÉTODOS EJEMPLO ECUACIÓN COMPLETA: x2 +3x-10=0 2 ax + bx + c=0 APLICAMOS LA EXPRESIÓN − 3 ± 32 − 4.1.(− 10) − 3 ± 9 + 40 − 3 ± 49 − 3 ± 7 x= = = = 2 2 2 2 x1=-5 x2=2 ECUACION INCOMPLETA SIN 2x2+3x=0 TÉRMINO INDEPENDIENTE ax2+bx=0 x(2x+3)=0 Sacamos factor común de x e igualamos x1=0 a cero los dos factores x(ax+b)=0 2x+3=0 x2=-3/2 x=0 ax+b=0 ECUACIONES INCOMPLETAS SIN 10x2-250=0 TÉRMINO EN X x2=250/10=25 ax2+c=0 x = ± 25 = ±5 Despejamos x2 y obtenemos la raíces positiva y negativa del valor obtenido
  2. 2. 3. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS MÉTODO EJEMPLO ECUACIONES BICUADRADAS x 4 + x 2 -2=0 4 2 ax + bx + c=0 t2+t-2=0 2 4 2 Hacemos cambio de variable: x =t; x =t Resolviendo la ecuación de segundo grado Resolvemos la ecuación de segundo grado obtenemos así obtenida t1=1 t2=-2 Obtenemos el valor de x sacando la raíz x= ± 1 = ±1 ; x1=1 x2=-1 positiva y negativa de cada uno de los valores de t obtenidos x= ± − 2 ∉ R No tiene solución para este valor de t. OTRAS ECUACIONES DE GRADO x3 + 4x 2 + x − 6 = 0 SUPERIOR A 2 Las posibles raíces enteras del polinomio son ± 1;±2;±3 y ± 6 Igualamos a cero y factorizamos el 1 4 1 -6 polinomio obtenido por el método de 1 1 5 6 . Ruffini para obtener las raíces 1 5 6 0 (soluciones) de la ecuación -2 -2 -6 1 3 0 -3 -3 1 0 Por lo que las soluciones son: x1=1; x2=-2 y x3=-3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Se recomienda, salvo excepciones utilizar el método de reducción MÉTODO EJEMPLO REDUCCIÓN 2x+3y= 16 Escogemos la incógnita que queremos 3x –2y=11 eliminar. Multiplicamos respectivamente cada 2(2x+3y=16)……….4x+6y= 32 ecuación por el coeficiente de la incógnita 3(3x -2y= 11)…….....9x-6y= 33 en la otra ecuación, jugando con los 13x = 65 ; signos para que en ambas ecuaciones éstos sean contrarios. x=65/13= 5 Sumamos ambas ecuaciones obteniendo una única ecuación de primer grado que 2.5 + 3y=16; 10+ 3y=16; 3y=16-10; resolvemos. 3y =6; y=6/3=2 Elegimos una de las ecuaciones iniciales x= 5; y=2 para averiguar el valor de la otra incógnita IGUALACIÓN 5x+y=8……………y=8-5x Despejamos aquella incógnita que 2x-y=-1……………y=2x+1 queremos eliminar en ambas ecuaciones; igualamos y despejamos. 8-5x=2x+1 8-1=2x+5x; 7=7x; x=1 y=8-5x; y=8-5; y=3
  3. 3. SUSTITUCIÓN x + y=8 ……………..x=8-y Despejamos la incógnita a eliminar en una 2x+3y=20…………2(8-y) + 3y=20 de las dos ecuaciones y sustituimos la expresión algebraica obtenida en la otra. 16-2y+3y=20; -2y+3y=20-16 y=4 x=8-y x=8-4 x=4 OTROS SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMA EJEMPLO SISTEMAS DE DOS ECUACIONES DE x2 + y2 = 26 SEGUNDO GRADO x2 -2y2 = 23 Se resuelven por reducción 2(x2 + y2 = 26)…………2x2+2y2=52 1(x2 -2y2 = 23)……… x2 -2y2 = 23 3x2 =75 x2=77/3 x2=25 x= ± 5 5 + y = 26 ; 25 + y = 26; y2=26-25; 2 2 2 y2=1; y= ± 1 SISTEMAS DE UNA ECUACIÓN DE x + y= 3…………… x=3-y PRIMER GRADO Y UNA DE x2 + y2=5 ………………(3-y)2+y2=5 SEGUNDO GRADO 9-6y+y2+y2=5 Se resuelven por sustitución despejando 2y2-6y +4=0 siempre la incógnita en la ecuación de y2-3y+2=0 primer grado y sustituyendo en la Resolviendo la ecuación de segundo grado segunda. queda: y1=2 e y2=1 Conviene recordar el desarrollo de las Por lo que al ser x=3-y igualdades notables. x1=1 x2=2 IMPORTANTE: Una vez hemos resuelto una ecuación o sistema, por cualquier método, debemos comprobar los resultados sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación original RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO ALGEBRAICO MÉTODO EJEMPLO Consiste en expresar las Las edades de dos hermanos suman 30 años. condiciones del problema Dentro de seis años el pequeño tendrá la edad que mediante una ecuación o tiene ahora el mayor ¿Cuántos años tiene cada uno? sistema. Para ello elegimos la x……….Edad del menor incógnita adecuada y y………..Edad del mayor. utilizamos el lenguaje algebraico para obtener una Los dos suman 30 años: x+y=30 ecuación y resolverla. Dentro de seis años el pequeño tendrá la edad que ahora tiene el mayor: x+6=y Nos queda un sistema que podemos resolver por sustitución: x+x+6=30; 2x=30-6; 2x=24; x=24/2=12 y=12+6=18 x=12 años y=18 años.
  4. 4. EJERCICIOS Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas 1. x+3=2x-5 2x − 1 x 2. = −1 4 3 3. 3(x-2)=4x-5(x+8) 1 x+3 4. 5(x+ )= 2 2 5. 3x2=2(11x+8) 6. x2-2x=0 7. 5x2-720=0 8. x3+x2-4x-4=0 9. x4-2x2+1=0 10. x+5y=15 2x+y=12 11. x2-y2=3 3x2+2y2=14 12. 4x2= y2 +11 2x-y=1 Resuelve los siguientes problemas 1. Una finca de 10000m2 mide el cuádruple de largo que de ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones? 2. En un concurso se destina al segundo premio la tercera parte que al primero y al tercer premio la quinta parte de la suma de los dos anteriores. Si se disponen de 3000 euros para repartir ¿Cuánto corresponde a cada categoría? 3. En un triángulo isósceles, la base mide 2 cm menos que la altura y la superficie es de 60cm2. Calcula sus dimensiones. 4. La suma de dos números es 16 y la diferencia entre sus cuadrados es 64. Averigua el valor de dichos números.

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