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Distribución normal

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Distribución normal

  1. 1. 1 Sea Z una variable aleatoria que sigue una ley normal N(0, 1). Calcula: a) P(Z  -1,32) b) P(Z  -2,17) c) P(-2,03  Z  1,52) Solución: a) P(Z  -1,32) = P(Z  1,32) = 0,9066 b) P(Z  -2,17) = P(Z  2,17) = 1 - P(Z < 2,17) = 1 - 0,9850 = 0,015 c) P(-2,03  Z  1,52) = P(Z  1,52) - P(Z  -2,03) = P(Z  1,52) - [1 -P(Z < 2,03)] = 0,9357 - 1 + 0,9788 = 0.9145. 2 Los tornillos fabricados por una máquina se distribuyen según una ley normal con un peso medio de 83 gramos y una desviación típica de 4 gramos. Calcula cual es el porcentaje de tornillos con un peso inferior a 80 gramos. Solución: 2266,07734,01)75,0(1)75,0( 4 8380 4 83 )80(           ZPZP X PXP 3 Si X es una variable aleatoria que sigue una ley normal de media  = 45 y desviación típica  = 4, halla las siguientes probabilidades: a) P(X 40) b) P(40 X 46) c) P(X 50) Solución: a) 1056,08944,01)25,1(1)25,1( 4 4540 4 45 )40(           ZPZP X PXP b)             )25,025,1( 4 4546 4 45 4 4540 )4640( ZP X PXP 4931,01056,05987,0)25,1)25,0(  PZZP c) 1056,0)25,1(1)25,1( 4 4550 4 45 )50(           ZPZP X PXP 4 Se sabe que el coeficiente intelectual de los alumnos de una Facultad se distribuye según una N(105, 15). Se elige un alumno al aza. Calcula la probabilidad de que su coeficiente intelectual sea mayor que 130. Solución: 0475,09525,01)67,1(1)67,1( 15 105130 15 105 )130(           ZPZP X PXP 5 Las tallas de 800 recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 66 cm y una desviación típica de 5 cm. Calcula cuántos recién nacidos cabe esperar con tallas comprendidas entre 65 y 70 cm. Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa las tallas en cm de los recién nacidos. Sigue una ley normal N(66; 5). Para calcular el número de recién nacidos con tallas comprendidas entre 65 y 70 cm, hemos de hallar la probabilidad del suceso (65  X  70), por tanto:
  2. 2. 0,36740,579310,78810,2)(10,8)( 0,2)(0,8)(0,8)0,2( 5 6670 5 6665 70)(65            ZPZP ZPZPZPZPXP El número de recién nacidos con esas tallas es: 8000,3674 = 293. 6 Se sabe que el coeficiente intelectual de los alumnos de una Facultad se distribuye según una N(105, 15). Se elige un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que su coeficiente intelectual sea menor que 100. Solución: 3707,06293,01)33,0(1)33,0( 15 105100 15 105 )130(           ZPZP X PXP 7 Cierta variable aleatoria X, sigue una ley normal de media  = 60 y desviación típica  = 5. Determina el valor de a, para que se verifique: a) P(X a)=0,67 b) P(X >a) = 0,4990 c) P(- a < X  a) = 0,8665 Solución: Si X es la variable que sigue la ley N(60, 5), entonces su variable tipificada Z, sigue la ley N(0, 1) siendo: 5 60a zaxsi 5 60X Z     a) Si P(X a) = 0,67, buscamos en las tablas de la ley N(0, 1) un z tal que P(Zz) = 0,67  z = 0,44; por tanto: 62,2 5 60 0,44 5 60      a aa z b) Si P(X >a) = 0,4990, buscamos en las tablas de la ley N(0, 1) un z tal que P(Z>z) = 0,4990  1 - P(Zz ) = 0,4990  P(Z z) = 0,5010  z = 0,0025 60,0125 5 60 0,0025 5 60      a aa z c) Si P(-a < X  a) = 0,8665, buscamos en las tablas de la ley N(0, 1) un z tal que P(-z < Z  z) = 0,8665 P(Z z ) - P(Z-z) = 0,8665  P(Z z) - [1 - P(Z z)] = 0,8665  P(Zz) = 0,9333  z = 1,5 67,5a 5 60a 1,5 5 60a z      8 Los ingresos en una empresa tienen una distribución normal, con media de 35560 euros y desviación típica de 2530 euros. Justifica si es o no razonable esperar obtener un día unos ingresos superiores a 55000 euros. Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa los ingresos en euros de la empresa. Sigue una le normal N(35560; 2530). - Calculemos la probabilidad del suceso (X > 55000), se tiene:
  3. 3. 07,68)(17,68)( 2530 3556055000 55000)(         ZPZPZPXP Por tanto lo razonable es pensar que no exista ningún día en el que los ingresos superen 55000 euros. 9 Sea Z una variable aleatoria que sigue una ley normal N(0, 1). Calcula: a) P(Z  1,32) b) P(Z  2,17) c) P(1,52  Z 2,03) Solución: a) P(Z  1,32) = 1 - P(Z < 1,32) = 1 - 0,9066 = 0,0934 b) P(Z  2,17) = 0,9850 c) P(1,52  Z 2,03) = p(Z 2,03) - p(Z  1,52) = 0,9788 - 0,9357 = 0,0431. 10 Se sabe que el coeficiente intelectual de los alumnos de una Facultad se distribuye según una N(105, 15). Se elige un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que su coeficiente intelectual esté comprendido entre 90 y 100. Solución:             )133,0()33,01( 15 105100 15 105 15 10590 )10090( zPZP X PXP 212,06293,08413,0)33,0)1(  PZZP 11 Si X es una variable aleatoria que sigue una ley normal de media  = 10 y desviación típica  = 4, halla las siguientes probabilidades: a) P(X < 12) b) P(12 X 17) c) P(X 7) Solución: Si X es la variable que sigue la ley N(10, 4), entonces su variable tipificada Z, sigue la le N(0, 1) siendo: 4 10X Z   b) 6915,0)5,0( 4 1012 4 10 )12(           ZP X PXP b)             )75,15,0( 4 1017 4 10 4 1012 )1712( ZP X PXP 2684,06915,09599,0)5,0)75,1(  PZZP c) 7734,0)75,0()75,0( 4 107 4 10 )12(           ZPZP X PXP 12 La compañía aérea “Avión” sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con un retraso medio de 10 minutos y desviación típica de 5 minutos. Calcula: a) Probabilidad de que un vuelo no tenga retraso. b) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 10 minutos de retraso. c) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 20 minutos de retraso.
  4. 4. Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa el retraso en minutos de la compañía aérea. Sigue la ley normal N(10; 5) a) Se trata de calcular la probabilidad del suceso (X  0), se tiene: 0,02280,977212)(12)( 5 100 0)(         ZPZPZPXP b) Se trata de calcular la probabilidad del suceso (X  10), se tiene: 0,50)( 5 1010 10)(         ZPZPXP c) Se trata de calcular la probabilidad del suceso (X  20), se tiene: 0,97722)( 5 1020 20)(         ZPZPXP 13 Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución N(65; 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos: De baja cultura general; de cultura general aceptable y de excelente cultura general, de modo que haya en el primero un 20% de población, en el segundo un 65% y en el tercero un 15%. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo a otro? Solución: Sea X la variable que expresa las puntuaciones obtenidas por los individuos en el test. Sigue la ley N(65; 18). Supongamos para mayor sencillez que se trata de una distribución normal N(0; 1). Luego, tras tipicar la variable, concretaremos al caso de la variable X. - Se trata de hallar dos valores Z1 y Z2 tales que verifiquen: P(Z  Z1) = 0,2 = P(Z  -Z1)  1 - P(Z  -Z1) = 0,2  P(Z  -Z1) = 0,8  -Z1 = 0,84  Z1 = -0,84 P(Z  Z2) = 0,15  1 - P(Z  Z2) = 0,15  P(Z  Z2) = 0,85  Z2 = 1,04 - Los valores que se corresponden con la variable X son X1 y X2 tales que: 83,7265Z18X 18 65X Z49,88;65Z18X 18 65X Z 22 2 211 1 1      Resumiendo: Baja cultura (menos de 50 puntos); Cultura aceptable (entre 50 y 83 puntos) y Cultura excelente (más de 83 puntos) 14 El tiempo necesario para terminar un determinado examen sigue una ley normal de media 60 minutos y desviación típica 10 minutos, se pide: a) ¿Cuánto debe durar el examen para que el 95% de las personas lo terminen? b) ¿Qué porcentaje de personas lo terminarán antes de 75 minutos? Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa el tiempo necesario para terminar el examen, la cual sigue una ley N(60;
  5. 5. 10) a) Sea X = x el tiempo necesario para que el 95% de las personas terminen el examen y Z = z su valor tipificado, se tiene; 76,45 10 60- 1,6451,6450,95)(  x x zzZP Es decir algo más de 76 minutos b) Se trata de determinar la probabilidad del suceso (X < 75), se tiene: 0,93321,5)( 10 6075 75)(         ZPZPXP Es decir, aproximadamente el 93% de las personas terminarán el examen antes de 75 minutos. 15 Las precipitaciones anuales en una región son, en media, de 2000 ml/m 2 , con una desviación típica de 300 ml/m 2 . Calcula suponiendo distribución normal, la probabilidad de que en un año determinado las precipitaciones no superen los 1200 ml/m 2 . Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa las precipitaciones anuales de la región. La variable X sigue una ley normal N(2000, 300). La probabilidad que piden es: 0,00380,996212,67)(12,67)( 300 20001200 1200)(         ZPZPZPXP Por tanto la probabilidad es, aproximadamente, igual al 0,4 por 100. 16 En un examen realizado a un gran número de estudiantes, se comprobó que las calificaciones obtenidas correspondían razonablemente a una distribución normal con calificación media de 6 y desviación típica de 1. Elegido al azar un estudiante, calcula cuál es la probabilidad de que su calificación esté comprendida entre 6,7 y 7,1. Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa las calificaciones. Sigue una ley normal N(6; 1). Se trata de hallar la probabilidad del suceso (6,7  X  7,1); se tiene: 0,10630,75800,86430,7)p(Z1,1)(1,1)(0,7 1 67,1 1 66,7 7,1)(6,7           ZPZPZPXP 17 La duración media de un lavajillas es de 15 años con una desviación típica igual a 0,5 años. Si la vida útil del electrodoméstico se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al comprar un lavavajillas éste dure más de 16 años. Solución: Se trata de una distribución normal de parámetros  = 15 y  = 0,5, es decir N(15; 0,5). Sea X la variable aleatoria continua que expresa el número de años de duración. Nos piden la probabilidad del suceso (X > 16). Para ello tipificamos la variable X: 0,02280,977212)(12)(16)(2 0,5 1516 0,5 15      ZPZPXP X Z
  6. 6. 18 Sea X una variable aleatoria que mide la estatura de los individuos de una población y que se distribuye según una ley normal de media 1,74 y desviación estándar “”. a) Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una estatura inferior o igual a la media. b) Si la desviación estándar es de 0,05, calcula la probabilidad de que la estatura de un individuo, elegido al azar, esté comprendida entre 1,64 y 1,84. c) Si sabemos que los individuos tienen una estatura superior a 1,64, ¿cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una estatura inferior a 1,84? Solución: a) P(X  1,74) = 0,5 b)           2)(022)2( 0,05 1,741,84 0,05 1,741,64 1,84)(1,64 ZPZPZPXP =   9544,0)5,09772,0(2)0(_)2(2  ZPZP c)   0,9767 0,9772 0,9544 1,64)( 1,84)(1,64 1,64)/(1,84)(     XP XP XXP 19 Considérese la siguiente tabla de frecuencias agrupadas: a) Dibuja el correspondiente histograma y calcula la media y la desviación típica. b) Calcula la probabilidad de que una variable normal de media y desviación típica iguales a las obtenidas en el apartado anterior, sea mayor que 12,5. Solución: a) Histograma de frecuencias y cálculo de los parámetros: 3,33910,88 25 3238 σ10,88; 25 272 μ 2  b) Sea X la variable aleatoria que sigue la ley N(10,88; 3,34). Tipificamos la variable X: 0,31210,687910,49)(10,49)( 3,34 10,8812,5 12,5)(         ZPZPZPXP 20 El peso de las truchas de una piscifactoría sigue una ley normal de media 200 gr y desviación típica 50 gr. Se extrae una trucha al azar y se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que su peso no exceda de los 175 gramos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que su peso exceda de los 230 gramos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que su peso esté comprendido entre 225 y 275gramos?
  7. 7. Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa el peso en gramos de las truchas. Sigue una ley normal N(200; 50) a) 0,30850,691510,5)(10,5)( 50 200175 175)(         ZPZPZPXP . b) 0,27430,725710,6)(10,6)( 50 200230 230)(         ZPZPZPXP . c)           0,5)(1,5)(1,5)(0,5 50 200275 50 200225 275)(225 ZPZPZPZPXP = 0,24170,69150,9332  21 Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal de media 100 y desviación típica 15. Determina el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población? En una población de 2500 individuos, ¿cuántos se espera que tengan un coeficiente superior a 125? Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa la puntuación del test, la cual sigue una ley normal N(100; 15) - Se trata de hallar la probabilidad del suceso (95  X  110), por tanto:   0,37790,62931-0,7486 0,33)(10,67)(0,67)0,33( 15 100110 15 10095 110)(95            ZPZPZPZPXP Así que aproximadamente un 38% tiene un coeficiente de inteligencia entre 95 y 110. - Sea (-z,z) el intervalo tipificado que contiene al 50% de la población, se tiene:   0,6750,75)(0,250,5)p(0,500)(Z)(20,50)z(  zzZPzZPzZPzZP Destipificando la variable, se tienen para X los siguientes valores: 110X 15 100X 0,67590;X 15 100X 0,675 2 2 1 1      Se trata pues del intervalo (89.875; 110,1125) - Se trata de hallar la probabilidad del suceso (X > 125), se tiene: 0,04750,952511,67)(11,67)( 15 100125 125)(         ZPZPZPXP Por tanto el número de individuos con coeficiente mayor que 125 es: 25000,0475 = 118 individuos. 22 Aplicando un test a un grupo de 300 personas, se ha obtenido una distribución normal, para las calificaciones, de media 50 y desviación típica 5. Se pide: a) Calcula las puntuaciones que delimitan el 30% central de la distribución. b) Calcula el número de personas que obtienen en el test más de 56 puntos o menos de 47. Solución: La variable aleatoria X que expresa la puntuación de una persona sigue una ley normal N(50; 5).
  8. 8. a) Sea (-k,k) el intervalo que distribuye el 30% central de las puntuaciones, siendo k un valor tipificado de X. 0,390,65)p(Z0,150)()(0,30)(020,30)(  kkZPkZPkZPkZkP Destipificando la variable se tiene el siguiente valor: 48,05X 5 50X 0,39-y51,95X 5 50X 0,39 5 50X Z 2 2 1 1        Por tanto el intervalo buscado es (48,05;51,95) b) Sea B el suceso obtener más de 56 puntos o menos de 47, B es el suceso contrario del suceso (47X 56).   0,61060,725710,88490,6)(11,2)( 0,6)(1,2)(1,2)0,6( 5 5056 5 5047 56)(47            ZPZP ZPZPZPZPXP Por tanto P(B) = 1 - 0,6106 = 0,3894 es la probabilidad de encontrar una persona con más de 56 puntos o menos de 47 Por lo que el número de personas con esas puntuaciones es: 3000,3894 = 116 personas. 23 El peso de los adultos de una población numerosa se distribuye normalmente con media de 65 kg y desviación típica de 3 kg. Se eligen dos individuos al azar. Calculando las correspondientes probabilidades, justifica qué es más probable: a) Que cada uno de los dos individuos tenga un peso comprendido entre 63,5 y 66,5 kg. b) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 62 y 68 kg, y el otro tenga un peso no comprendido entre 62 y 68 kg. Solución: Sea X la variable aleatoria que expresa el peso en kg de un adulto. Sigue una ley normal N(65; 3). a) Se trata de hallar la probabilidad del suceso compuesto A = (63,5  X  66,5)  (63,5  X  66,5), por tanto:               0,14670,50,6915200,520,50,5 3 6566,5 3 6563,5 66,5)(63,566,5)(63,566,5)(63,5)( 222 2 2                  ZPZPZP ZPXPXPXPAP b) Se trata de hallar la probabilidad del suceso intersección de B = (62  X  68) y su contrario B c por tanto:           4333031740682602 6826050841302012 11 3 6568 3 6562 686212 ,,,BBP ,,-,))-P(ZP(Z )ZP(- - Z - P)XP(; P(B)P(B)P(B)BBP c c          Luego es más probable el caso b. 24 El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con una media de 500 kg y desviación típica de 45 kg. Si la ganadería tiene 2000 toros, se pide: a) ¿Cuántos pesarán más de 540 kg? b) ¿Cuántos pesarán menos de 480 kg? c) ¿Cuántos pesarán entre 490 y 510 kg?
  9. 9. Solución: Si X es la variable aleatoria que expresa el peso de los toros, sigue una ley normal N(500; 45). a) Se trata de hallar la probabilidad del suceso (X > 540), por tanto: 0,18670,813310,89)(10,89)( 45 500540 540)(         ZPZPZPXP Por lo tanto el número de toros con esos pesos es: 20000,1867 = 373 toros. b) Se trata de hallar la probabilidad del suceso (X  480), por tanto: 0,330,6710,44)(10,44)( 45 500480 480)(         ZPZPZPXP Por lo tanto el número de toros con esos pesos es: 20000,33 = 660 toros. c) Se trata de hallar la probabilidad del suceso (490  X  510), por tanto:     0,17420,50,587120)(0,22)(2 0,22)0,22( 45 500510 45 500490 510)(490            ZPZP ZPZPXP Por lo tanto el número de toros con esos pesos es: 20000,1742 = 348 toros.

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