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Probabilidad

  1. 1. 1 Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma de sus caras sea un número primo. Solución: Sean A = " Las caras suman 2", B = "las caras suman 3", C = "las cars suman 5", D = "las caras suman 7" y F = "las caras suman 11" P( A  B  C  D  F ) P(la suma es un número primo) = = 1 2 4 6 2 15 5 P ( A)  P(B)  P (C )  P (D)  P (F )        36 36 36 36 36 36 12 2 Un bingo tiene 90 bolas numeradas del 1 al 90. Calcula la probabilidad de que al sacar una bola sea múltiplo de 6 o de 10. Solución: Sea A = "múltiplo de 6", B = "múltiplo de 10". 15 9 3 21 7 P A  B   P( A)  P (B )  P( A  B )      90 90 90 90 30 3 Se tira una moneda cuatro veces. Calcula la probabilidad de que sagan dos caras y dos cruces. Solución: 2,2 PR4 6 3   . VR2,4 16 8 P(2 caras y 2 cruces) = 4 Una urna contiene 100 bolas numeradas de la 00 a la 99. Calcula la probabilidad de que las dos cifras de la bola que se saque sean impares. Solución: VR5,2 25 1 P (Las dos cifrasimpares)    VR10,2 100 4 5 Un bingo tiene bolas numeradas del 1 al 100. Calcula la probabilidad de sacar una bola que lleve la cifra 9. Solución: 10 10 1 19 P(9)  P(9 x)  P(x 9)  P(99)     . 100 100 100 100 6 Elegida una ficha de dominó al azar, calcula la probabilidad de que la suma de sus puntos sea múltiplo de 3. Solución: Los casos favorables son 0-0, 0-3, 0-6, 1-2, 1-5, 2-4, 3-3, 3-6, 4-5, 6-6. 10 5  . 28 14 P(múltiplo de 3) = 7 Sea “p” la probabilidad de que un automovilista pierda el carnet durante un año. Consideramos un grupo de 5 automovilistas. Calcula la probabilidad de que ninguno pierda el carnet.
  2. 2. Solución: 1- p5 . 8 Sobre el blanco de una diana con forma de cuadrado de 1 metro de lado se dibuja un círculo de 60 centímetros de diámetro. Se lanza una dardo que da sobre el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que haya caído sobre el círculo? Solución: área círculo 900 P (Círculo/blanco)   área cuadrado 10000 9 Tres personas han nacido en el mes de abril. Calcula la probabilidad de que al menos dos de ellas hayan nacido en el mismo día. Solución: La probabilidad de que al menos 2 hayan nacido el mismo día es la probabilidad de que 2 hayan nacido el mismo día más la probabilidad de que las tres hayan nacido el mismo día. 1 1 1 P(las tres nacen el mismo día)  1   30 30 900 1 29 87 P (dos nacen el mismo día)  1  3  30 30 900 1 87 88 22 P(al menos dos nacen el mismo día)     900 900 900 225 10 En una ciudad, el 55% tiene sintonizador de TDT, el 30% tiene antena parabólica y el 20% tiene TDT y parabólica. Elegida una persona al azar, calcula la probabilidad de que no tenga ni TDT ni parabólica. Solución: Sean los sucesos A = "tener TDT" y B = "tener parabólica"   P ( A  B )  P A  B  1  P A  B   1  55  30  20 100  35 100 . 11 Se lanza una moneda 4 veces. Calcula la probabilidad de que salgan más caras que cruces. Solución: 4 1 5 P(más cruces que caras)  P(3 cruces)  P( 4 cruces)   . 24 16 12 Se lanza un dado seis veces. Calcula la probabilidad de que salgan seis números diferentes. Solución: P6 6·5·4·3·2· 1 5 P (6 números diferentes  )  6  . VR6,6 6 324 13 En una empresa hay 160 trabajadores, de los cuales 10 hablan inglés, francés y alemán; 28 inglés y francés; 25 inglés y alemán; 22 francés y alemán; 60 francés; 57 alemán y 68 inglés. Calcula cuántos trabajadores: a) Hablan solo un idioma.
  3. 3. b) No hablan ninguno de los tres idiomas. Solución: a) Solo hablan francés y alemán: 22 - 10 = 12. Solo hablan francés e inglés: 28 - 10 = 18. Solo hablan inglés y alemán: . 25 - 10 = 15. Solo hablan francés 60 - 18 - 12 - 10 = 20. Solo hablan alemán: 57 - 12 - 15 - 10 = 20. Solo hablan inglés: 68 - 18 - 15 - 10 = 25. Hablan sólo un idioma 25 + 20 + 20 = 65 trabajadores. b) 160 - (20 + 18 + 25 + 12 + 10 + 15 + 20) = 160 - 120 = 40 trabajadores no hablan ninguno. 14 Una encuesta entre 500 estudiantes refleja que 329 estudian Álgebra, 186 Física, 295 Estadística, 83 Álgebra y Física, 217 Álgebra y Estadística y 63 Física y Estadística. Calcula cuántos estudiantes estudian: a) Las tres materias. b) Solo Álgebra. Solución: Es un problema de frecuencias de sucesos, equivalente a un problema de cardinales de conjuntos. a) AEF = Todos + AE + AF + EF - A - E - F = 500 + 217 + 83 + 63 - 329 - 295 - 186 = 53. b) Solo A = A + AEF - AE - AF = 329 + 53 - 217 - 83 = 82. 15 Un estudiante no ha estudiado uno de cada dos temas, mientras otro no ha estudiado uno de cada 5. Calcula la probabilidad de que al menos uno suspenda. Solución: Sea el suceso A = "suspenden los dos", la probabilidad a calcular es la del contrario de A: 14 3 P ( A )  1  P ( A)  1  ·  25 5 16 Un club está formado por 100 matrimonios. Se eligen dos cargos directivos al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Ambos sean hombres. b) Sean hombre y mujer. c) Sea un matrimonio. Solución: V 100·99 99 a) 100,2   . V200,2 200·199 398 100·100 100 b) 2·  . 200·199 199 1 1 c) 1·  . 199 199 17 En una clase hay 10 chicos y 20 chicas. Salen dos alumnos a la pizarra. Calcula la probabilidad de que salga al menos una chica. Solución: 10·9 3 26 P (al menos una chica)  1  P (ningunachica)  1 -  1  . 30·29 29 29 18 Tomamos la parte numérica de una matrícula de un coche. Calcula la probabilidad de que: a) Todas las cifras sean diferentes.
  4. 4. b) Sólo dos cifras sean iguales. c) Tenga dos pares de cifras iguales. d) Tenga tres cifras iguales. e) Todas las cifras iguales. Solución: 10  9  8  7 63 4  10 125 a) 10  C 9, 2  P42 54 4  10 125 b) C10, 2  P42, 2 27 4  10 1000 c) 10  9  P43 9  10 4 250 d) 10 1 4  10 1000 e) 19 Se toman dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidade que las dos sean del mismo número o del mismo palo. Solución: 4 3 10 9 120  360 480 4 10    4     40 39 40 39 1560 1560 13 20 A, B y C son tres candidatos de un partido político que se presentan a cargos diferentes. Una muestra entre 200 votantes revela que 28 van a votar a A y B; 98 a A o B, pero no a C; 42 a B, pero no a A ni a C; 122 a B o C, pero no a A; 64 a C, pero no A ni a B y 14 a A y C, pero no a B. Calcula cuántos votantes van a tener: a) Los tres candidatos por separado. b) Los tres candidatos exclusivamente. c) Los tres candidatos en común. Solución: Construimos un diagrama de Venn con los datos del problema: A  B  C  200 A  B  28 ( A  B )  C  98 B  A  C  42 (B  C )  A  122 C  A  B  64 A  C  B  14 t  B  C  A  122  64  42  16
  5. 5. Con las incógnitas que faltan por hallar formamos un sistema de ecuaciones: y  z  28 y  z  28 x  36    42  x  y  98  x  y  56  y  20 x  y  z  16  42  14  64  200  x  y  z  64  z  8  a) Al candidato A votarán 36 + 20 + 8 + 14 = 78 personas. Al candidato B votarán 42 + 20 + 8 + 16 = 86 personas. Al candidato C votarán 14 + 64 + 8 + 16 = 102 personas. b) Solo a A votarán 36 personas. Solo a B votarán 42 personas. Solo a C votarán 64 personas. c) A los tres votarán 8 personas. 21 Dos novios se citan de 6 a 7 con la condición de no esperarse más de 15 minutos. Si llegan al azar, calcular la probabilidad de que se encuentren. Solución: Hay que formar una cuadrícula con el intervalo [6, 7] tanto en abscisas como en ordenadas. Si el novio está en la posición x, la chica debe estar por debajo de la posición x - 15 o por encima de la posición x + 15 para que no se encuentren. Por lo tanto la zona donde no se encontrarán son dos triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden 45 m. La probabilidad de encuentro será 3600  45 2 1575 7    . 3600 3600 16 p 22 A una reunión del Vaticano asisten 25 personas, de las cuales 20 son arzobispos, 12 son cardenales, 17 son italianos, 8 son arzobispos y cardenales, 12 son arzobispos italianos y 11 son cardenales italianos. Calcula: a) Cuántos italianos son cardenales y arzobispos a la vez. b) Cuántos italianos son arzobispos o cardenales, pero no ambos a la vez. Solución: f ( A)  20, f (C)  12, f (I )  17, f(A C)  8, f ( A  I )  12, f (C  I )  11 Es un problema de frecuencias, y f ( A  B  C )  25. a) f( A  C  I )  f ( A  C)  f (I ) - f (A  C)  I   8  17  f ( A  I )  (C  I )   25  f ( A  I )  f (C  I )  f ( A  C  I )  25  f ( A)  f (I )  f ( A  I )  f (C)  f (I )  f (C  I )  25  50  - 20 - 17 + 12 - 12 - 17 + 11 = 7.        f I  A C  I  A C  f I  A C  f I  A C  f I  A  A C C     b) f I  A  f I  A  C   f I  C   f I  A  C   12  7  11 7  9 23 Por dos calles perpendiculares de 10 metros de anchura circulan dos ciclistas con la misma velocidad constante. Sus trayectorias son paralelas a las aceras respectivas y se presentan en el cruce en el mismo instante. Considerando que las dos bicicletas tienen dos metros de largo y anchura despreciable, calcular la probabilidad de que se choquen.
  6. 6. Solución: Consideramos una cuadrícula de 10 x 10. Si el primer ciclista está en la posición x, el segundo debe estar por debajo de la posición x - 2 o por encima de la posición x + 2 para que no se choquen. Por lo tanto la zona donde no se chocarán son dos triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden 8 m. La probabilidad de choque será 100  32  32 36 9 p   100 100 25

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