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Propiedades funciones

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1   Dada la siguiente tabla:
                                               x     2    1       0    2     3
            ...
f (0)  02  3  0  1  1
    f ( 1)  ( 1)2  3  ( 1)  1  1  3  1  3
       f ( 4)  42  3  4  1  16  12...
Y




                    O              X




    Esta función es decreciente, a medida que crece la variable independien...
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  1. 1. 1 Dada la siguiente tabla: x 2 1 0 2 3 f(x) 4 3 2 0 1 Representa la gráfica de la función f(x), indicando el dominio y recorrido de la misma. Solución: f ( x )  x  2, por tanto: Domf ( x )  R y Re cf ( x )  R. 2 Representa la función f(x) = x y estudia si es creciente o decreciente. Solución: Y O X Es una función creciente, a medida que crece la variable independiente crece también la variable dependiente. 3 Halla los valores que toma la función f ( x )  x 2  3 x  1 para x  0, x  1 y x  4. Solución:
  2. 2. f (0)  02  3  0  1  1 f ( 1)  ( 1)2  3  ( 1)  1  1  3  1  3 f ( 4)  42  3  4  1  16  12  1  27 4 Dada la función f que asocia a cada número entero su triple menos dos: a) Escribe la expresión que nos proporciona f. b) Calcula la imagen para x = 0, 1, 3. Solución: a) f ( x )  3 x  2 b) f (0)  2, f ( 1)  5, f (3)  7 5 Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica el periodo: a) b) Solución: a) No es periódica, pero es simétrica respecto al eje de abcisas. b) Es una función periódica de periodo 3. 6 El coste del recibo del teléfono depende de los minutos hablados y una cuota fija de 12 euros. Cada minuto hablado cuesta 4,4 euros. ¿Cuál es la función que nos da el coste de dicho recibo? Solución: Si llamamos x al número de minutos hablados, el coste del recibo será una función que dependerá de x: f ( x)  4.4x  12 euros 7 Representa la función f(x) = x + 1 y di si es creciente o decreciente. Solución:
  3. 3. Y O X Esta función es decreciente, a medida que crece la variable independiente, disminuye la variable dependiente. También podríamos decir que para cualquier intervalo de la variable independiente la tasa de variación de esta función es siempre negativa. 8 Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica el periodo: a) b) Solución: Ninguna de las dos es periódica. 9 x Dada la siguiente función f ( x )  1 2 : a) Calcula f(2), f(1), f(0). b) Determina el dominio de esta función. Solución: 2 1 3 a) f (2)   1  2, f (1)   1  , f (0)  1 2 2 2 x b) Para todo valor de x  R,  R, y si le sumo 1, sigue siendo real; por tanto, Dom f ( x )  R 2 10 Dada la siguiente gráfica, ¿Podría decirse que f(x) es simétrica?, ¿Es par o impar? ¿Es periódica?
  4. 4. Y O X Solución: Es una función simétrica con respecto de la recta x = 2, pero no es par ni impar, para ello tendría que ser simétrica respecto del eje de ordenadas o del origen de coordenadas respectivamente. No es una función periódica. 11 Termina la representación de cada una de las siguientes funciones, para que tengan las simetría que se indica: a) Par Impar c) Ni par, ni par Y Y Y O X O X O X Solución: Y Y Y O X O X O X 12 Dadas la siguiente representación de una función razona si es par o impar.
  5. 5. Solución: Esta función es una recta, que no es simétrica con respecto del origen de coordenadas ni con respecto del eje de ordenadas, luego no es ni par ni impar. Por ejemplo f(1) = 3, f(  1) = 0, así que f ( 1)  f (1) y f ( 1)  f (1), por lo tanto como existe al menos un valor del dominio de esta función para el que la función no es ni par ni impar, ésta tampoco lo es en general. 13 A la vista de la siguiente función, di los intervalos en los que es creciente y en los que es decreciente. Y O X Solución: Esta función es creciente si x   5, 4  1, 2 y es decreciente si x   3, 1 3, 5 . Para el resto de los valores de la variable independiente la función es constante. 14 Una empresa de mensajería cobra por cada paquete entregado una cantidad que depende del peso del mismo. Si por cada kilogramo cobra 16 euros, ¿cuál es la función que nos da el precio del envío de un paquete? Solución: El precio del envío dependerá del peso del paquete. Llamamos x al peso de cada paquete. La función será: f(x) = 16x € 15 Queremos construir un cilindro de 1 m de radio. Expresa la superficie de cartulina que necesitamos en función de la altura del cilindro. Solución:
  6. 6. Si el radio es 1m y la altura h. La superficie que necesitamos es la suma de los dos círculos y el rectángulo de altura h y base 2 : f (h)  2h  2  2h  1 . 16 La función que hace corresponder a cada número entero él mismo, si éste es positivo y sin embargo le asocia su opuesto si este es negativo, ¿es par o impar?. Representa dicha función. Solución: Y O X El dominio de esta función son todos los números enteros, y para todos ellos f ( x )  f (  x ), con lo cual esta función es par o simétrica respecto del eje de ordenadas. 2 17 Halla el valor o valores que debe tomar x para que la función f(x) = x + 4x + 3 valga 15. Solución: x2 f ( x )  15  x2  4x  3  15  x2  4x  12  0   x  6 18 1 Dada la función g( x )  expresa cuál es su dominio e intenta esbozar su gráfica. x Solución:
  7. 7. El dominio de esta función son todos los números reales, salvo los que hagan cero el denominador. Así: Dom f ( x)  R  0 . 19 Escribe la función que nos da el área de cualquier rectángulo de altura 3 cm en función de la base. Solución: 3 cm. x A  x   3x cm. . 20 Al coger un taxi hay que pagar 2 € por la bajada de bandera y 0,12 € por kilómetro recorrido. a) Encuentra la fórmula que relaciona el precio a pagar con el número de kilómetros recorridos. b) ¿Cuántos kilómetros se pueden recorrer con 8 €? Solución: a) Sea x el número de kilómetros recorridos. f ( x)  2  0,12x 6 b) f ( x )  8  2  0,12x  8  x   50 km 0,12 21 Representa la función f(x) = x2, estudia dónde es creciente, decreciente y si tiene máximos y mínimos absolutos. Solución:
  8. 8. Y O X Esta función es creciente si x   , 0  y decreciente si x   0,   por tanto, tiene un máximo absoluto en x  0. 2 22 ¿Puede la función y = x + 4 tomar valores negativos? Solución: No. Esta función siempre toma valores mayores o iguales que 4, ya que al elevar un número al cuadrado es mayor o igual que cero. 23 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la siguiente función, así como sus posibles máximos y mínimos. Y O X Solución: La función es decreciente si x   , 0  y es decreciente si x   0,   , pero no está definida para x  0, así que no tiene mínimo absoluto. 24 A la vista de la siguiente función di dónde es creciente y decreciente, así como sus máximos y mínimos relativos y absolutos. Y O X
  9. 9. Solución: La función es creciente si x  ( 5, 4)  ( 2, 0)  (2, 3) y es decreciente si x  ( 4, 2)  (0, 2)  (3, 5). La función tiene dos máximos relativos en x  4 y x  0, mínimo relativo en x  2, un máximo absoluto en x=3 y un mínimo absoluto en x  2. 25 Halla los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: a) f ( x )  3x  6 b) f (x)  x 2  4x  5 Solución: a) Puntos de corte con el eje OX: y  3 x  6   x  2 y0  Punto: A(2, 0) Puntos de corte con el eje OY: y  3 x  6 y 6 x0  Punto B(0, 6) b) Puntos de corte con el eje OX:  y  x 2  4 x  5  x 1   x  4x  5  0   2 y0   x  5 Puntos A(1, 0) y B(5,0) Puntos de corte con el eje OY: y  x 2  4 x  5    y  5 x0   Punto C(0, 5) 26 Sabiendo que determinada función f(x) es impar, y que f(2) = 4, ¿cuánto vale la imagen de x = 2 mediante f(x). Y si la función fuese par, ¿quién sería f(2)?. Solución: Si la función f(x) es impar, f(x) = f(x), por lo tanto, f(2) = f(2) = 4. Si la función fuese par, entonces f(x) = f(x), por tanto, f(2) = f(2) = 4. 27 ¿Cuál será la función que expresa el volumen de un cilindro, de altura 10 cm, en función de su radio? Solución:
  10. 10. V  r   r 2h  10r 2 cm2 28 Halla los puntos de corte con los ejes para las siguientes funciones: a) f (x)  4x  2 b) f (x)  x 2  2x  1 Solución: a) Puntos de corte con el eje OX: y  4x  2 1  x  y0  2 1 Punto: A( , 0) 2 Puntos de corte con el eje OY: y  4x  2   y  2 x0  Punto: B(0, 2) b) Puntos de corte con el eje OX:  y  x 2  2x  1   x  2x  1  0  x  1 2 y0   Punto: A(1, 0) Puntos de corte con el eje OY: y  x 2  2x  1   y 1 x0   Punto B(0, 1) 29 Representa aproximadamente la gráfica de f(x) = x2 3, sabiendo que su dominio es R. Solución:
  11. 11. Y X 30 ¿Cuándo una recta es a la vez par e impar? ¿Es periódica? Solución: Una recta es par e impar a la vez si es la recta horizontal que coincide con el eje de abscisas: y = 0. Entonces es una función periódica de periodo cero. 31 Si f ( x )  x  1, indica si x  1, x  2, y x  4 pertenecen a su dominio y en el caso de que así sea cuál sería su imagen mediante f(x). Solución: Si x  1 f ( x )  1  1  0  0  R. Por tanto, x  1 pertenece al dominio, y su imagen es 0. , Si x  2, f ( x )  2  1  1  R. Por tanto, x  2 no pertenece al dominio. Si x  4, f ( x )  4  1  5  R. Por tanto, x  4 pertenece al dominio, y su imagen es 5. 32 Representa la siguiente función y estudia si es par o impar:  3 si x  0   f (x )  0 si x  0  3 si x  0  Solución:
  12. 12. Esta función es impar: f ( x )  f (  x ), x  Dom f ( x ). La imagen para cualquier x  0 es 3, y para cualquier opuesto, es decir, para cualquier x  0, su imagen mediante la función es a su vez opuesta. Es una función simétrica con respecto del origen de coordenadas. 33 Un vendedor de periódicos obtiene una ganancia de 0,5 euros por la venta de una determinada revista de Economía, pero ha de pagar al mes al repartidor 7 euros. ¿Cuál será la función que nos daría el beneficio del vendedor al cabo de un mes? Solución: El beneficio del vendedor al cabo de un mes dependerá del número de ejemplares que venda de la revista en cuestión. Si llamamos x al número de ejemplares vendidos, entonces: f ( x )  0,5x  7 euros 34 Halla el valor o valores de x para el que las funciones, f y g, son iguales: f(x) = x + 1, g(x) = x 3x + 5 2 Solución: f ( x)  g( x)  x  1  x 2  3x  5  0  x 2  4x  4  x  2 35 Sea f(x), la función que asocia a cada número racional su duplo más uno. ¿Es esta función creciente? ¿Alcanza su máximo para algún punto de su dominio? Solución: La función es f(x) = 2x + 1, que es una función creciente, pero no alcanza su máximo, porque para cualquier número racional siempre podemos encontrar uno mayor de manera que su imagen también sea mayor que la imagen del anterior. 36 Representa la siguiente función y estudia si es par o impar:  x  2 si x  0  f (x)   x  2 si x  0  Solución: Es una función par, para cualquier valor del dominio, es decir, para todos los reales: f(x) = f(x). En su representación vemos que la imagen de cualquier valor real es la misma que la imagen de su opuesto. 37 Representa la siguiente función, estudia si es impar, y si no es así, ¿cuál sería la función más parecida a
  13. 13. ella, pero impar? x  si x  3 f (x)   4  si x  3 Solución: Y O X En esta función, f ( x )  f ( x ), x  R  3 ,así que no es impar ya que el dominio de esta función son todos los reales y debería cumplirse lo anterior para todo el dominio. La función impar más parecida a esta es f(x) = x. 38 El cociente y el resto de una división entera son iguales a 2. Expresa el dividendo en función del divisor. Solución: En cualquier división: Dividendo = divisor x cociente + resto. (D = d · c + r). La función será: Dd  2d  2 39 Representa la siguiente función y estudia su simetría. ¿Es par o impar?  x  2 si x  2  f (x )   x  2  si x  2 Solución: Y O X
  14. 14. Esta función es simétrica respecto de la recta x = 2, pero no es par ni impar, ya que la simetría no es con respecto al eje de ordenadas ni al origen de coordenadas. 40 La función “parte decimal de x”, Dec(x), es una función que hace corresponder a cada número real no entero, el número decimal que se consigue al poner la parte entera como cero. Representa esta función y estudia si es periódica. Solución: Es una función periódica de periodo 1. 41 Representa la siguiente función y estudia dónde es creciente y decreciente.  x  1  si x  1 f x    x  si x  1 Solución: Y O X Es una función decreciente si x   , 1 y es creciente si x  1  . , 42 Representa f ( x )  x y explica qué tipo de simetría tiene esta función. Solución:
  15. 15. Esta función está definida de la siguiente forma:  x si x  0  f ( x)   x si x  0  La imagen de cualquier número real coincide con él mismo si éste es positivo o cero; pero si el número es negativo su imagen coincide con su opuesto. De esta forma, podemos decir que f(x) = f(x),con lo cual, esta función es par. 43 El diámetro de una circunferencia mide 12 cm. Expresa el perímetro del rectángulo inscrito en la misma en función de la medida x de la base. Solución: 12 h x El diámetro de esta circunferencia es a su vez la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene como catetos la base y la altura de nuestro rectángulo. Por el teorema de Pitágoras, la altura del rectángulo viene dada por: h  122  x2 Entonces el perímetro en función de x será: f ( x)  2 122  x2  2x  2 122  x2  x      . 44 Representa la función f(x) = 2x 3, teniendo en cuenta que su dominio es Z. Solución:

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