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  1. 1. 1 Calcula con la definición de logaritmo 64 a) log4 b) log0,2 625  0,3 c) log1/3 Solución: 3 2 a) b) -4 c) 1 2 Indica la desigualdad adecuada que ordena los siguientes logaritmos a) log2 0,5 log2 0,25 b) log3 5 log3 6 c) log0,1 2 log0,1 3 Solución: a) > b) < c) < 3 Toma logaritmos en los dos miembros de las siguientes expresiones y desarróllalos: a5  b y y  x2  z  t5 c4 a) b) Solución: log(y)  log(x2  z t 5 )  log(x2 )  log(z) log(t5 )  2 log(x) log(z) 5 log(t) a)  a5  b1/ 2  log(y)  log  c4      log a5  b1/ 2  log(c4 )  5 log(a) 1 log(b) 4 log(c) 2   b) 4 Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos: 4 log3 81 log3 (1/243) log9 3 log 3 27 a) b) c) d) Solución: log3 81  log3 3 4  4 log3 3  4  1  4 a) log3 (1/ 243)  log3 (1/ 35 )  log3 35  5  log3 3  5 b) 1 1 log9 3  log9 9  log9 91/ 2   log9 9  2 2 c)
  2. 2. log 4 27  x  3 x  4 27  3 x/ 2  3 3 / 4  x 3  x 2 4 3 2 3 d) Si es tendremos: 5 Calcula con la definición de logaritmo a) log0,1 100 b) log2 256 c) log 0,0000000001 Solución: a) -2 b) 8 c) -10 6 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones: log(A)  log(x)  log(y)  log(z) log(B)  2log(x)  3log(y)  5log(z) a) b) log(C)  2log(x)  log(y)  3 log(D)  1  log(x)  3log(z) c) d) Solución:  x y  log(A)  log(x)  log(y)  log(z)  log  x y  z  A z a) , igualando se tiene:  x 2  z5  x2  z5 log(B)  2 log(x)  3 log(y)  5 log(z)  log  B  y3    y3 b) , igualando se tiene:  1000  x 2  log(C)  2 log(x)  log(y)  3  log  1000  x 2  y  C   y c) , igualando se tiene:  10  z 3  log(D)  1  log(x)  3 log(z)  log  10  z 3  x  D   x d) , igualando se tiene: 7 Sabiendo que log 5 = 0,7 y que log 2 = 0,3, calcula a) log 32 5 2 b) log 2 c) log 5 16 d) log Solución: a) 5 log 2 = 5 · 0,3 = 1,5 b) log 5 - log 2 = 0,7 - 0,3 = 0,4
  3. 3. log2 0,3   0,15 2 2 c) 4 log2 4·0,3   0,6 5 2 d) 8 Calcula el menor número entero ,x, que verifica que: (2,31)x  6 Solución: Tomando logaritmos en la expresión: log6 xlog2,31  log6  x   2,14  x  3 log2,31 9 Tomando como log 2 = 0, 3, halla el valor de la expresión: (0,8)2  200 A 32 sin usar la calculadora. Solución: Tomando logaritmos decimales en la expresión, 2  8  5 logA  log   log(2 100)  log 32  2(3 log2  1)  log2  2  log2  1,35  A  101,35  22,4  10  2 10 Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones: logA  logB  0 a) ¿Qué relación existe entre los números A y B si se verifica ? logB  logA  5 b) ¿Qué relación existe entre los números A y B si se verifica ? c) ¿Qué relación existe entre los logaritmos decimales de 2,5 y de 2.500? Solución: logA logB  0 log(AB)  log1  AB  1 a) De se deduce: es decir A y B son inversos multiplicativos. logB  logA 5 logB  logA log100000 logB  log100000  B  100000A A b) De se deduce: 2.500  2,5  1.000  log(2.500) log(2,5 1.000)  3  log2,5 c) Como 11 Escribe como un único logaritmo las siguientes expresiones: log3 a  5log3 a 2 2log5 a  5log5 a 3log6 a  2log6 a  4log6 3 a a) b) c)
  4. 4. Solución:   log3a 5 log3a2  log3a log3a10  log3 a a10  log3a11 a) a2 2 log5a 5 log5 a  log5a 2  log5 a5  log5 5/2  log5a 1/ 2 a b) 3 a3  a 3 log6a 2 log6 a  4 log6 3 a  log6a3  log6 a 2  log6 a 4  log6  log6a8 / 3 a4 / 3 c) 12 Si a un número N lo multiplicamos por 64, su logaritmo en una determinada base x, aumenta en 3 unidades. Averigua el valor de x. ¿Se puede hallar el valor de N? Solución: logx 64N  logx 64  logxN  logxN 3  logx 64  3  x  4 No hay datos en el problema para hallar el valor de N. 13 Calcula: S(n)  log2  log4  log8    log2n log2  0'301 1. El valor de la suma , sabiendo que , y el valor que se obtiene cuando n = 50. S(n)  loga a  loga a 2  loga a 3    loga a n 2. Determina ahora el valor de la suma . Solución: S(n)  log2  log2 2  log23    log2n  log2  2 log2  3 log2    nlog2  a) n(1  n) S(n)  (1  2  3    n) log2   0,301 2 sacando factor común se tiene la siguiente igualdad 50  51 S(50)   0,301  383,775 2 Cuando n=50, tendremos el siguiente valor: S(n)  loga a 2 loga a 3 loga a   nloga a b) Análogamente al caso anterior, tendremos: teniendo en cuenta el n(n 1) S(n)  1  2  3    n  loga a  1 2 valor tendremos para esta suma el valor: 14 Calcula la parte entera de los siguientes logaritmos (no utilizar la calculadora) a) log 26 b) log 5.27 c) log 512 Solución: a) 1 b) 0 c) 2 15 Resuelve razonadamente las siguientes cuestiones:
  5. 5. log x  x 2  1   log x  x 2  1   0         a) ¿Es cierta la igualdad ? logx  loga  log(x  a) b) Despeja x en la igualdad: Solución:    2 log x  x 2  1  log x  x 2  1   log x  x 2  1   x  x 2  1  logx 2   x 2  1                         a)   2  x 2  1  x 2  1   log x x 2  1  log x  x 2  1  log x 2  x 2  1  0           como tendremos: log(xa)  log(x a)  xa  x a  xa x  a  x(a 1)  a b) Agrupando logaritmos tendremos: , de esta última igualdad obtenemos x: a x siendo a  1 y a  0 a 1 Nota: Si a=0 será x=0 y log(x) no está definido; si a=1, tampoco está definido el número x 16 log2  0,301y log5  0,699 Sabiendo que , calcula: log2,5 log0,2 log0,5 log25 log4 a) b) c) d) e) Solución: 5 log2,5  log  log5  log2  0,699  0301  0,398 2 a) 1 log0,2  log  log1  log5  0  0,699  0,699 5 b) 1 log0,5  log  log1  log2  0  0,301  0,301 2 c) log25  log5 2  2 log5  2  0,699  1,398 d) log4  log2 2  2 log2  2  0,301 0,602 e) 17 Halla el valor de x, sabiendo que: logx 4  logx 16  6 Solución: logx (4  16)  6  x 6  64  26  x  2 18 Si a un número N lo multiplicamos por 9, su logaritmo en una determinada base x, disminuye en 2 unidades. Averigua el valor de x. ¿Se puede hallar el valor de N?
  6. 6. Solución: 1 logx 9 N  logx 9  logxN  logxN 2  logx 9  2  x  3 No hay datos en el problema para hallar el valor de N. 19 Sean a y b dos números reales. Prueba cada una de las igualdades siguientes: a b log(a 2  b 2 )  log(ab)  log   b a loga b  logb a  1 a) b) Solución: a) Para probar la primera igualdad pasaremos todos los logaritmos a la misma base, por ejemplo, a base “a”, para ello sea: 1 x  logb a  b x  a  loga b x  loga a  x loga b  1  x  loga b 1 loga b logb a  loga b x  loga b 1 loga b de modo que: , que prueba el enunciado. b) Para probar la segunda igualdad, desarrollamos y operamos el segundo miembro de la misma: a b  a2  b2     log ab a  b    2 2 log(ab) log    log(ab) log   log a 2  b 2 b a  ab   ab      . 20 Si disminuimos en 2 unidades el logaritmo en base 3 de un número x, ¿qué transformación sufre x? Solución: x log3 x 2  log3 x  log3 9  log3 9 El número se divide por 9. 21 Conociendo el valor de log5 2 = 0,43 y de log 2 = 0,3, calcula el valor aproximado de log800 8 a) log5 64 2 b) Solución: 3 log2  2 3·0,3  2   0,3625 8 8 a) 13 13 log5 2 2  ·0,43  2,795 2 b)
  7. 7. 22 Simplifica al máximo 4 2 a) 3 log3 18 - log3 54 4 b) log8 a - log8 8ª Solución: a) 12 (log3 2 + 2) - 2(log32 + 3) = 10 log32 + 18 b) 4 log8 a - a 23 Simplifica al máximo 5  1   e 4 a) 3 ln e - ln 1 3 3 8 -2 e2 b) 5 ln e - ln e + 5 ln Solución: a) 12 - (-5) = 17  2  10     3 3 b) 40 - = 44 24 Llamamos orden de magnitud de un número al exponente de su expresión en notación científica, es decir, a la cantidad de cifras enteras que tiene en la base decimal menos 1. De manera análoga se puede hacer en cualquier base. Calcula el orden de magnitud de los siguientes números en una base 3. a) 243 b) 1000 Solución: a) Parte entera de log3243 = 5 3  log3 b) Parte entera de log31000 = Parte entera de 6 25 Si aumentamos en 3 unidades el logaritmo en base 2 de un número x, ¿qué transformación sufre x? Solución: 3  log2 x  log2 8  log2 x  log2 (8 x) El número se multiplica por 8. 26 Llamamos orden de magnitud de un número al exponente de su expresión en notación científica, es decir, a la cantidad de cifras enteras que tiene en la base decimal menos 1. De manera análoga se puede hacer en cualquier base. Calcula el orden de magnitud de los siguientes números en una base 2. a) 15000 b) 4596 Solución:
  8. 8. log15000  log2 a) Parte entera de log215000 = Parte entera de 13 log4596  log2 b) Parte entera de log24596 = Parte entera de 12

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