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Trigonometría trilce

trigonometria secundaria

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Trigonometría
TRILCE
9
Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - I
1
DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo.
En el triángulo adjunto, tenemos:
A B
C
a
b
c
a y c : catetos
b : hipotenusa
B : recto
A y C : s agudos
2
2
2
b
c
a 

A + C = 90º
A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico;
para  tenemos:
a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA)
Luego se definen :
b
a
H
CO
SenA 

b
c
H
CA
CosA 

c
a
CA
CO
TanA 

a
b
CO
H
CscA 

c
b
CA
H
SecA 

a
c
CO
CA
CotA 

Por ejemplo:
13
5
12

5
12
Cot
;
13
12
Cos
12
5
Tan
;
13
5
Sen








* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales
conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de
dicho triángulo. Dos de los más usados son :
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.
37º
53º
3
5
4
Trigonometría
10
A partir de estos se determinarán otros adicionales como:
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 +1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
No olvide además:
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
Cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
Tan
3
3
4
3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
3
3
Sec
3
3
2
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
3
2
* PROPIEDADES:
I. Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados del
triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:

A
Q
M
N
P B
C
Iguales
AC
BC
Sen
AN
MN
Sen
AQ
PQ
Sen















II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, que
existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estas
parejas son las siguientes:
1
Cot
Tan
1
Sec
Cos
1
Csc
Sen 








Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1  3x - 10º = x + 30º  x = 20º
III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudos
de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Esta
característica la vamos a indicar de la siguiente manera:
TRILCE
11
Si: son agudos; tales
que: + = 90º
entonces:
 
 
Sen = Cos
Tan = Cot
Sec = Csc
 
 
 
Por ejemplo:
Sen10º = Cos80º
Tan20º = Cot70º
Sec40º = Cos 50º
Cos24º = Sen 66º
Tan = Cot (90º )
Sen( + 10º) = Cos (8 )
 
 0º 
Si: son agudos; tales
que:
entonces:
 
 = 90º
Sen = Cos
Tan = Cot
Sec = Csc
 
 
 
Por ejemplo: hallar "x", si:
Sen (2x + 10º) = Cos3x
2x + 10º + 3x = 90º
5x = 80º x = 16º
Otro ejemplo; hallar "x" si:
Tan (2x + y) = Cot (x - y)
o
2x + y + x y = 90º

3x = 90º x = 30º
Trigonometría
12
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si "  " es la medida de un ángulo agudo y se cumple
que:
3
2
Tg 
 ; calcular: 


 Cot
12
Sen
13
T
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple
que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB
42
A
Sen
65
E 2


a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la
cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6.
Calcular la longitud del mayor cateto.
a) 20 u b) 30 u c) 40 u
d) 50 u e) 60 u
04. Del gráfico mostrado, calcular: "
Cot
.
Cot
" 



A
B
C
E
F
a
2a
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3/2
05. Del gráfico mostrado, calcular: "
Tgw
Tg
" 
 , si: ABCD
es un cuadrado.
A
B C
D
E

2a
3a
w
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
d) 0,4 e) 0,5
06. Del gráfico, calcular: "
Cot
"  , si: 4
,
2
Cot 

A
B C
D
E


a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Del gráfico, calcular: "
Tg
"  , si:
12
5
Tgw 
w

a) 0,5 b) 1 c) 1,5
d) 2 e) 2,5
08. Calcular:
3
Cos
3
6
Sen
6
4
Tg
4
E 





a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5
d) 8,5 e) 9,5
09. Calcular:
º
45
Sec
º
30
Tg
2
º
45
Cot
º.
60
Sec
º.
30
Cot
E
2
2
2


a) 2 b) 2,25 c) 2,5
d) 2,75 e) 3
10. Del gráfico, calcular: 
Cot

A
O B
E
F
37º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: "
Tg
" 
A
B
C
M 8
N
2

a)
5
3
b)
5
3
2
c)
7
3
d)
7
3
2
e)
7
3
3
TRILCE
13
12. Del gráfico mostrado, calcular: 
Tan
11
A
B C
D
E

F
45º
37º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Del gráfico mostrado, calcular: "
Cotw
" .
a
4a
45º
w
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
14. Del gráfico mostrado, calcular: "
Tg
"  , si: ABCD es un
cuadrado.
A
B C
D

E F
37º
a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7
d) 3/5 e) 3/8
15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo,
calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º).
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1
Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º)
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1
Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.
Calcular: Tgy
.
Tgx
).
3
y
x
(
Cot
).
2
y
x
(
Tg
E



a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden
3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho
triángulo mide "  ".
Halle el valor de: 1
Sen
17
W 2



a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5
d) 4,5 e) 5,5
22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :
3
2
SecB
SecA 
Calcular :
CtgB
3
CosA
13
E 



a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de sus
ángulos agudos es 0,96.
Si su hipotenusa mide 50 m.
Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 m
d) 52 m e) 412 m
24. Calcule el área de la región triangular ABC .
Donde: AC = 36m; si, además
26
CscC
17
CscA 


a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2
d) 18 m2 e) 360 m2
25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m.
Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4.
¿Cuánto mide el cateto menor?
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m
d) 56,33 m e) 55 m
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Trigonometría trilce

  • 2. TRILCE 9 Capítulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO - I 1 DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo. En el triángulo adjunto, tenemos: A B C a b c a y c : catetos b : hipotenusa B : recto A y C : s agudos 2 2 2 b c a   A + C = 90º A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico; para  tenemos: a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA) Luego se definen : b a H CO SenA   b c H CA CosA   c a CA CO TanA   a b CO H CscA   c b CA H SecA   a c CO CA CotA   Por ejemplo: 13 5 12  5 12 Cot ; 13 12 Cos 12 5 Tan ; 13 5 Sen         * TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son : 45º 45º 1 1 2 30º 60º 1 2 3 Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º. 37º 53º 3 5 4
  • 3. Trigonometría 10 A partir de estos se determinarán otros adicionales como: 22º30' 67º30' 1 4 + 2 2 2 +1 15º 75º 6 - 2 4 6 + 2 18º30' 71º30' 1 10 3 26º30' 63º30' 1 5 2 8º 82º 1 7 16º 74º 7 25 24 5 2 No olvide además: 30º 37º 45º 53º 60º Sen 2 1 5 3 2 2 5 4 2 3 Cos 2 3 5 4 2 2 5 3 2 1 Tan 3 3 4 3 1 3 4 3 Cot 3 3 4 1 4 3 3 3 Sec 3 3 2 4 5 2 3 5 2 Csc 2 3 5 2 4 5 3 3 2 * PROPIEDADES: I. Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados del triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:  A Q M N P B C Iguales AC BC Sen AN MN Sen AQ PQ Sen                II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, que existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estas parejas son las siguientes: 1 Cot Tan 1 Sec Cos 1 Csc Sen          Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que : Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos : Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1  3x - 10º = x + 30º  x = 20º III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Esta característica la vamos a indicar de la siguiente manera:
  • 4. TRILCE 11 Si: son agudos; tales que: + = 90º entonces:     Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc       Por ejemplo: Sen10º = Cos80º Tan20º = Cot70º Sec40º = Cos 50º Cos24º = Sen 66º Tan = Cot (90º ) Sen( + 10º) = Cos (8 )    0º  Si: son agudos; tales que: entonces:    = 90º Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc       Por ejemplo: hallar "x", si: Sen (2x + 10º) = Cos3x 2x + 10º + 3x = 90º 5x = 80º x = 16º Otro ejemplo; hallar "x" si: Tan (2x + y) = Cot (x - y) o 2x + y + x y = 90º  3x = 90º x = 30º
  • 5. Trigonometría 12 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Si "  " es la medida de un ángulo agudo y se cumple que: 3 2 Tg   ; calcular:     Cot 12 Sen 13 T a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB 42 A Sen 65 E 2   a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6. Calcular la longitud del mayor cateto. a) 20 u b) 30 u c) 40 u d) 50 u e) 60 u 04. Del gráfico mostrado, calcular: " Cot . Cot "     A B C E F a 2a a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3/2 05. Del gráfico mostrado, calcular: " Tgw Tg "   , si: ABCD es un cuadrado. A B C D E  2a 3a w a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 06. Del gráfico, calcular: " Cot "  , si: 4 , 2 Cot   A B C D E   a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Del gráfico, calcular: " Tg "  , si: 12 5 Tgw  w  a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5 08. Calcular: 3 Cos 3 6 Sen 6 4 Tg 4 E       a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5 d) 8,5 e) 9,5 09. Calcular: º 45 Sec º 30 Tg 2 º 45 Cot º. 60 Sec º. 30 Cot E 2 2 2   a) 2 b) 2,25 c) 2,5 d) 2,75 e) 3 10. Del gráfico, calcular:  Cot  A O B E F 37º a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: " Tg "  A B C M 8 N 2  a) 5 3 b) 5 3 2 c) 7 3 d) 7 3 2 e) 7 3 3
  • 6. TRILCE 13 12. Del gráfico mostrado, calcular:  Tan 11 A B C D E  F 45º 37º a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Del gráfico mostrado, calcular: " Cotw " . a 4a 45º w a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 14. Del gráfico mostrado, calcular: " Tg "  , si: ABCD es un cuadrado. A B C D  E F 37º a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7 d) 3/5 e) 3/8 15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º). a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1 Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º) a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos. Calcular: Tgy . Tgx ). 3 y x ( Cot ). 2 y x ( Tg E    a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho triángulo mide "  ". Halle el valor de: 1 Sen 17 W 2    a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5 22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe : 3 2 SecB SecA  Calcular : CtgB 3 CosA 13 E     a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96. Si su hipotenusa mide 50 m. Hallar el perímetro de dicho triángulo. a) 112 m b) 224 m c) 96 m d) 52 m e) 412 m 24. Calcule el área de la región triangular ABC . Donde: AC = 36m; si, además 26 CscC 17 CscA    a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2 d) 18 m2 e) 360 m2 25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor? a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m d) 56,33 m e) 55 m
  • 7. Trigonometría 14 26. De la figura, hallar 2 ) 2 Tan (    m n 2 mn a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 0 27. Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el producto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22. a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m e) 7 m 28. Del gráfico, calcule :  Tan . Si: BN = 2AN A N B C 45º  M a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,75 29. Si en el gráfico : AB = BC. Calcule:  Tan A B C  53º M a) 9 2 b) 9 4 c) 3 2 d) 3 1 e) 5 2 30. Del gráfico, obtener  Tan M 37º A B O  a) 3 4 b) 4 3 c) 4 5 d) 3 2 e) 5 4 31. Si: 1 n Cos 2 n 2 Tan n 3 Csc f ) x (         Calcular: ) 2 ( f a) 0 2 b) 1 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 0 32. Si en el triángulo ABC, equilátero, M, N y P son puntos medios de AB, BC y AC, respectivamente. Además: NQ = 2QP Calcular:      Tan Tan 5 Tan 7 K P A C B M N Q    a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 14 33. Si: 2 x     y 1 ) Tanx ( 2 3 Sen    El valor de "q" es: x Ctg 1 x Tan 1 q 2 2    a) 2 b) 3 2 c) 3 d) 2 1 e) 3 1 34. Del gráfico, calcular:  Cot Si: ABCD: cuadrado. A B C D 37º  a) 6 b) 12 c) 9 d) 18 e) 14
  • 8. TRILCE 15 35. Si: Sen 3x . Cscy = 1 Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º) Determinar "y - x" a) 12º b) 18º c) 20º d) 24º e) 32º 36. Si: Tgx . Tgy = 1 Determinar:                         3 y x 2 Sec 3 y x Tan 2 y x Sen E a) 3 6 b) 6 6 c) 1 d) 3 5 e) 6 2 37. Calcular: E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º) a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 16 38. Calcule el valor de la expresión: º 80 Csc ... º 30 Csc º 20 Csc º 10 Csc º 80 Sec ... º 30 Sec º 20 Sec º 10 Sec W          a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 2 3  39. Hallar los ángulos agudos  y  tales que: ) º 90 ( Ctg ) º 35 3 ( Tan      º 15 2     a) 11º y 10º b) 15º y 13º c) 20º y 17º30' d) 35º y 25º e) 17º y 16º 40. Siendo: Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º - x + y) Calcule: K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x) a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 3 3 41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente con radios R y r. Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros. a) 2 ) r R ( Rr 4  b) 2 ) r R ( Rr 4  c) 2 ) r R ( Rr 2  d) 2 ) r R ( Rr 2  e) 2 ) r R ( Rr  42. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b. Hallar su área en términos de "m" si: 6 Sen 2 3 tSec t a 2      3 Cos 2 6 tCsc t b 2      2 2 m 4 Tan mt 2 t          a) 1 m2  b) 2 2 2 1 m          c) 2 2 2 1 m          d) 2 ) 1 m ( 2 2  e) 1 m2  43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple la siguiente condición: 0 ) 3 º 30 ( Ctg ) º 30 ( Tan       20m   x a) m 2 10 b) 10 m c) m 3 5 d) 5 m e) m 3 10 44. Una semicircunferencia de radio ) 3 1 (  cm. se divide en treinta arcos iguales. Calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal en centímetros. a) 4 1 b) 2 1 c) 1 d) 4 5 e) 2 45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajo un ángulo de 32' y si la distancia del observador a la superficie de Sol es 150 millones de kilómetros. Determinar el radio del Sol en millones de kilómetros sabiendo que: Sen16' = 0,00465
  • 9. Trigonometría 16 a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395 d) 2,629 e) 1,402 46. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de sus vértices de ángulos iguales se intersecan perpendicularmente. Entonces, el Coseno de uno de los ángulos iguales es: a) 3 1 b) 2 1 c) 2 3 d) 10 1 e) 3 2 1 47. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P" en direcciones que forman un ángulo "  " uno a 5 km/h y el otro a 12 km/h. Calcular el  Cos sabiendo que al cabo de 1 hora la distancia desde el punto "P" al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km. a) 8 5 b) 16 7 c) 80 3 d) 40 9 e) 25 13 48. En el trapecio ABCD : BC // AD. Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida del ángulo D A D̂ C  ; el valor de: K = CscD + CtgD ; es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 49. En un triángulo rectángulo ABC ) º 90 B̂ (  señale el equivalente de:                  1 2 A Cot TanA 1 2 A Tan TanA K a) A Sen2 b) A Cos2 c) A Tan2 d) A Cot2 e) A Sec2 50. Si:  3 es un ángulo agudo, tal que: 5 2 3 Cot   Calcule:     2 Cos 6 Csc 5 K a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 51. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros. Calcule: Tany Tanx Si: 2 EG 3 CE AC   A B C D E F M N x y G a) 66 35 b) 77 65 c) 72 55 d) 11 13 e) 7 5 52. Del gráfico, hallar:  Tan n m  A B C D E F p a) m n p n   b) p n m n   c) n m p m   d) p m n m   e) n p n p   53. Si: Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º) 2 ) y 4 º 100 ( Sen ) º 10 y 4 ( Cos ) y x ( Cos      Calcular: ) º 10 y x ( Cos y 3 Sec ) º 10 x ( Sec K 2 2      a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32 54. Del gráfico, calcular:     Tan 5 Cot 3 2 K Si: CD se dibuja con centro en "E"  60º  C B A D P Q E a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 10
  • 10. TRILCE 17 55. En el cuadrado ABCD; calcular:     Tan 9 Tan 3 K   B C A D E 8º a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 56. Sabiendo que: Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1) Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89º Calcule: 2 2 2 Csc ) º 5 y ( Tan ) º 5 x 2 ( Sec W      ) º 5 x y (   a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 57. En el cuadrado ABCD, calcular:     Cos 5 Cos 2 2 W Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD M A B C D F   N E a) 11 b) 13 c) 6 4 d) 19 e) 17 58. Sabiendo que:           y 2 2 x 3 Cos ) º 20 y x 2 ( Sen 1 y 3 4 x Tan y 3 2 x Tan                Calcule: y 3 Csc ) y x ( Csc W 2 2    a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 5 59. Del gráfico calcular: ) 1 Csc )( 1 Csc )( 1 Csc )( 1 Csc ( W          O1 O2 O3     a) 4 b) 9 c) 16 d) 81 e) 100 60. Del gráfico calcule:          Cos Cos ) 1 Sec )( 1 Sec ( W Siendo "A" centro del arco BD.   D T O A C B a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 2 3
  • 12. TRILCE 19 Capítulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO - II 2 * CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce. Criterio: conocido) .( T . R conocido Lado o desconocid Lado   Casos: 1.  A B C L     BC Tan L BC    AC L AC I) II) 2.  A B C L     AB Cot L AB    AC L AC I) II) 3.  A B C L     BC Sen L BC    L AB I) II)
  • 13. Trigonometría 20 * SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados. a b c A B C h 2 h b SABC   2 aSenC b SABC   Sabemos: pero: h = aSenC luego: SenC 2 ab SABC  SenB 2 ac SABC  SenA 2 bc SABC  Análogamente
  • 14. TRILCE 21 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:  K a)   Cos . Sen K2 b)   Cos . Sen ) 2 / K ( 2 c)   Cos . Sen ) 3 / K ( 2 d)   Cos . Sen ) 4 / K ( 2 e)   Cos . Sen ) 5 / K ( 2 02. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe que los ángulos congruentes miden "  " mientras que el lado desigual mide "L". Hallar uno de los lados congruentes. a)  Sec 2 L b)  Csc 2 L c)  Tg 2 L d)  Ctg 2 L e)  Cos 2 L 03. Obtener "x", en:  m a) mSen  b) mCos  c) mSec  d) mCsc  e) mTg  04. Obtener "x" A B O R  H x a) ) Sen 1 ( R   b) ) 1 Sec ( R   c) ) Cos 1 ( R   d) ) 1 Csc ( R   e) ) Tg 1 ( R   05. En la figura, halla "x". A B C m n   x a)    nCos mSen b)    nCos mCos c)    nSen mCos d)    nSec mSec e)    nSec mSen 06. Halla "x" en: A C B D x m  a)  Tg mSec b)  Csc mCos c)  Ctg mCos d)  Cos mSen e)  mTg 07. Halla "x": m   x a)   Cot . mSen b)   Tan . mSen c)   Sen . mSen d)   Cot . mCos e)   Tan . mCos 08. Hallar "x": B A D H C m x  a)  2 mSen b)  2 mCos c)  Cos mSen d)  Tg mSen e)  Csc mSec
  • 15. Trigonometría 22 09. Hallar "x", de la figura: x m  a)   Cos . mSen b)   Cos . Sen c)  mSen d)  mCos e)  mTg 10. Del gráfico, hallar: AC . B C A m n x y a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSeny c) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosy e) mSeny+nCosx 11. Del gráfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado. A B C D  x m a) ) Sen 1 ( m   b) ) Cos 1 ( m   c) ) Tg 1 ( m   d) ) Ctg 1 ( m   e) ) Ctg Tg ( m    12. Obtener "AB": A C B R O  a) ) Ctg Csc ( R    b) ) Ctg 1 ( R   c) ) Csc 1 ( R   d) ) Sen 1 ( R   e) 2R+1 13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB. A B O R  x a)  RSen b)  RCos c) ) Sen 1 ( R   d) ) Cos 1 ( R   e) ) Cos 2 1 ( R   14. Hallar "x". m  x  a)  Sen mSen b)  Cos mSen c)  Cos mCos d)  Sen mCos e)  Ctg mTg 15. Hallar la distancia mínima del punto "P" a la circunferencia: P 2 R a)  RCsc b) ) 1 Csc ( R   c) ) 1 Tg ( R   d) ) 1 Ctg ( R   e) ) 1 Csc ( R   16. Determine "x" en:  A C B D  m x a)   Cos . mSen b)   Sec . mSen c)   Ctg . mSen d)   Ctg . mCos e)   Tg . mCos
  • 16. TRILCE 23 17. Hallar "x". A B C D  a b x a)    aCos Sen b)    Cos bSen c)    aCos bSen d)    bCos aSen e)    bTg aSec 18. Determine el perímetro del triángulo ABC.  A B C m a) ) Cos Sen 1 ( m     b) ) Tg Sec 1 ( m     c) ) Ctg Csc 1 ( m     d) ) Csc Sec 1 ( m     e) ) Ctg Tg 1 ( m     19. Hallar: "x" en:  m x a)  Cos mCtg b)   Cos . mTg c)  Sen mTg d)  mTg e)  mSen 20. Del gráfico, hallar: "Ctgx".  x a)     Sen Cos Sec 2 b)     Sen Cos Sen c)     Sen Cos Sec d)     Cos Sen Csc e)     Sen Cos Sec 21. Del gráfico, determine "x".  m x a)   Sen m b)  Cos m c)   Sec m d)   Csc m e)   Tan m 22. Determinar CD .   A B C D m a)    Sen mTan b)    Cos mCtg c)    Cos mTan d)    Csc mTan e)    Sen mCtg 23. Del gráfico, hallar "x".  m 45° x a) 1 Tan m   b) 1 Ctg m   c)   Ctg 1 m d)   Tan 1 m e) ) Tan 1 ( m   24. Determine "x" en :   m x a)     Sen Sen m b)     Cos Sen m c)     Sec Sen m d)     Sec Cos m e)     Sen Cos m
  • 17. Trigonometría 24 25. Determine "x" en:  m x a)   2 Sec m b)   2 Cos m c)   2 Sen m d)   2 Csc m e)     Csc Sec m 26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x". A B C D x L  a)   2 Sen L b)   2 Cos L c) ) Cos Sen ( L     d)     Cos Sen L 2 e)     2 Cos Sen L 27. Del gráfico, hallar "x": m x   a) ) 1 Sec ( m 2    b) ) 1 Csc ( m 2    c) ) 1 Tan ( m 2    d) ) 1 Ctg ( m 2    e) ) Ctg Tan ( m 2 2     28. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.  n A B C D x a)  nSen b)  nCos c)  Csc nTan d)  nCsc e)  nCtg 29. Del gráfico, hallar: ED.  A B C D E m  a)  mCtg b)  mSec c)  2 mSec d)  2 mCtg e)  2 mTan 30. En el gráfico, hallar MP , en términos de "  " y "  "; "  " y "  ".   M N R P b a a)      Sec ) Cos b a ( b)      Csc ) Cos b a ( c)      Ctg ) Tan b a ( d)     Tan ) bSec a ( e)     Csc ) bSen a ( 31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx es igual a: a) 2TanC b) TanB + TanC c) 2TanB d) TanC + CtgC e) 2(TanC + TanB) 32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al área del triángulo ABC. El valor de  será:   A B C D a)       2 1 ArcTan b)       2 1 ArcCtg c)         2 1 ArcTan d)         2 1 ArcCtg e) 2 ArcTan
  • 18. TRILCE 25 33. En la región limitada por una circunferencia de radio R y dos tangentes a ésta; se quiere inscribir otra circunferencia (de radio menor que R). Si las tangentes se intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A qué distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse el centro de la circunferencia inscrita? a)         Sena 1 Sena 1 Sena R b)         Sena 1 Sena 1 Sena R c)   Sena 1 R Sena  d)   Sena 1 Sena R  e)   Sena 1 Sena R  34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, y,   O A B C OA = x AC = y a)     ySen xCos OB     yCos xSen BC b)     ySen xCos OB     xCos ySen BC c)     ySen xCos OB     yCos xSen BC d)     ySen xCos OB     xSen yCos BC e)     ySen xCos OB     yCos xSen BC 35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la circunferencia de centro O,   ARD ; AB // RS , AB=a. Hallar el radio de la circunferencia. O A B C D S R a)   Cos 2 a b)  Cos 2 a c)  Sen 2 a d)  aSen e)   Cos 2 1 a 36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego  Sen es: A B C D E F  a) 6 5 3  b) 6 5 3  c) 6 5 3   d) 6 5 3  e) 6 5 3  37. En la figura mostrada, son conocidos:  ,  y h. Entonces los valores de x e y son dados por: y h   x a)          Tan Tan Tan h y ; Tan Tan h x 2 2 b)          Tan Tan Tan h y ; Tan Tan h x c)          2 2 2 2 2 2 2 Tan Tan Tan h y ; Tan Tan h x d) 2 2 2 2 2 ) Tan Tan ( Tan h y ; ) Tan Tan ( h x          e)       Tan Tan h y ; Tan hTan x 2 38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si: AB = 3 y 16 27 AC       x y A B C a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29 d) 4,19 e) 3,19
  • 19. Trigonometría 26 39. De la figura hallar: nz CtgxTanyTa Tany 3 Tanz 6 F   y z k k x a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30 d) 3,00 e) 3,20 40. En un triángulo rectángulo BAC, se cumple que 4 2 CosBCosC  . Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que esta mide m 2 6 . a) m 2 b) m 3 c) 3 m d) m 5 e) m 7 41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 2 m 64 y tal que PC = BP'. Hallar: AM Si: AP = 6 m M P P' A B C D O 6m a) m 5 12 b) m 3 5 12 c) m 3 5 16 d) m 5 5 12 e) m 3 12 42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triángulo ABC, AD = BD y 3 Cos Sen 3     Hallar la tangente del ángulo DCG. G A B C D  a) 3 b) 3 2 c) 3 1 d) 2 3 e) 2 1 43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx Ctgy Si: AB = AD = 1 ; DC = 2 D A B C x y a) 2 1 b) 3 1 c) 2 d) 4 1 e) 1 44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra el globo respecto del lago? H Lago Imagen Globo  a)  2 HCos b)  2 HSen c)  2 HSec d)  2 HCsc e)  2 HCtg 45. En la figura: DC = 2AB = 2. Calcular el área del triángulo EFG. G A B E F C D  a)  Tan 18 1 b)  Ctg 45 2 c)  Tan 45 2 d) ) Ctg Tan ( 18 1    e) ) Ctg Tan ( 9 1    46. En un sector circular, cuyo ángulo central es  , está inscrito un cuadrado de lado L. El radio de la circunferencia correspondiente es: a) 2 1 2 5 2 Ctg 2 Ctg 2 L                      
  • 20. TRILCE 27 b) 2 1 2 5 2 Ctg 2 2 Ctg 2 L                       c) 2 1 2 5 2 Ctg 4 2 Ctg 2 L                       d)               2 2 Ctg 2 L e) 2 1 2 2 Ctg 2 L               47. Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el lado AC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectriz de longitud w relativa al vértice B. Hallar el área del triángulo ABC. a)         3 C A Cos 3 w b b)         2 C A Cos 2 w b c)         2 C A Cos 3 w b d)         3 C A Cos 2 w b e)         4 C A Cos 2 w b 48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos ABC y BCD miden 6 5 y 4 3 , respectivamente. Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangente a los tres segmentos de la poligonal si cumple que : m 8 3 Ctg 12 5 Ctg     y BC = n a) m n 2 b) m n c) m 2 n d) m n m n   e) nm 49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KH es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de lado 6. Hallar el radio R. R K N H T S  2 L a)          4 Ctg 3 2 b)          4 Tan 3 2 c)          3 Tan 3 2 d)          4 Tan 3 4 e)          3 Ctg 3 2 50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con uno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyo lado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DM divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio cuyas áreas están en la relación de 1 : 4. Calcule la tangente del ángulo MDC. M  A B C D a) 4 1 b) 5 2 c) 3 1 d) 4 3 e) 5 3 51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazan dos circunferencias, la primera de radio r que es tangente a todos los lados del polígono, y la segunda de radio R que pasa por todos sus vértices. El valor de la razón R r es : a) n Sen  b) n 2 Sen  c) n 2 Sen  d) n Sen 2 1  e) n Cos  52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden   2 2 , está inscrito en una circunferencia. Calcular la distancia del punto Q al punto medio del arco MN. a)  5 , 0 b)  1 c)  5 , 1 d)  2 e)  2 2
  • 21. Trigonometría 28 53. En la siguiente figura: A B C c r  O La relación 2 2 c r 4 es equivalente a: a)         2 Cos 1 2 b)     Cos 1 2 c)     Sen 1 2 d)         2 Cos 1 2 e) ) Sen - )(1 Cos - 1 ( 2   54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto medio del lado AB. Determine  Csc  A B C D Q a) 2 b) 4 5 c) 3 d) 4 e) 5 2 55. En la figura, hallar "x":  k x a)    Sen kSec5 b)    Tan kSec 6 c)    7 Sec kCtg d)    6 Cos kTan e)    Cos kSec5 56. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos OAP , PDC y CBO son iguales. Luego  Csc es: A B C D O P  a) 5 3 6  b) 3 5 6  c) 5 3 6  d) 5 3 6  e) 5 3 6  57. En la figura hallar el valor de "h" en función de  ,  y  . Si : c   ,   Â ,   B̂ h A B C D a)     Ctg Ctg b)     Tan Tan c)      Sen Sen Sen d)     Ctg Ctg e)     Sen Cos 58.En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el cateto BA forman un ángulo agudo  . Entonces,  Tg es: a) 2 TanA b) 2 CtgA c) 2TanC d) TanA + TgC e) 2(TanC + CtgA) 59. En la semicircunferencia mostrada, halle:    2 Sen 2 Sen K 1 3 A B C Q O   P a) 2 b) 3 c) 4 d) 4 1 e) 3 1
  • 22. TRILCE 29 60. Del gráfico, hallar  Tan Si: n PB m AP   M A O B P N a) ) n m 2 ( n m  b) ) n m 2 ( m n  c) ) m n 2 ( m n  d) m n 2 n m 2   e) n m 2 m n 2  
  • 24. TRILCE 31 ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de depresión. (ver gráficos). Línea Horizontal Línea Visual  h  : Ángulo de Elevación H  Línea Horizontal Línea Visual  : Ángulo de Depresión  Consideración: En el gráfico adjunto, " " es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note que deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja. Luego " " es el ángulo formado por las dos visuales.   ÁNGULOS HORIZONTALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica. Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto; respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones : Dirección Dirección Dirección A B C P Referencia Oeste (O) Este (E) Norte (N) Sur (S) 42º 40º 30º Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones. Por ejemplo: "A" se halla el E30ºN de "P" "B" se halla al O40ºN de "P" "C" se halla al S42ºO de "P" Capítulo ÁNGULOS VERTICALES ÁNGULOS HORIZONTALES 3
  • 25. Trigonometría 32 Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones. Por ejemplo: "A" se halla el E30ºN de "P" . "B" se halla al O40ºN de "P" . "C" se halla al S42ºO de "P" . 30º 66º 24º 10º Q N P E O S S R    R" " de N E66º al Está R" " de E N24º al Está P    R" " de al Está R" " de N O30º al Está Q    R" " de al Está R" " de E S10º al Está S Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejes principales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y usted concluye los restantes por analogía. E E E E O O O O S S S S N N N N     NE 4 1 N NNE N 4 1 NE NE E 4 1 NE ENE NE 4 1 E En cualquiera de los casos : ' 15 º 11   ó rad 16   
  • 26. TRILCE 33 SITUACIONES COMBINADAS Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales (uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir, ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación: "Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación "  ". Si luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería "  ". Ahora, note la representación gráfica:   60º N60ºE
  • 27. Trigonometría 34 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificio con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m, determinar la altura de edificio. a) 3 m b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura del poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla la persona? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 32 03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 24 b) 36 c) 32 d) 42 e) 48 04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A qué distancia del poste se encuentra el punto de observación? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos de elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte alta y baja un poste con ángulos de elevación y depresión 60º y 30º respectivamente. Determine la altura del poste. a) 15 m b) 24 c) 30 d) 36 e) 48 07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "  " (Tg  =1/4). ¿A qué distancia de la torre se halla el punto de observación, si la altura de la torre es 7 m? a) 14 b) 28 c) 56 d) 21 e) N.A. 08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de elevación es "  ". Calcular: "Tg  ". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de elevación para su parte más alta es "  ". Calcular: "Ctg  ". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 10. Una hormiga observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Calcular la altura del árbol. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20 11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo alto de un poste con ángulos de elevación 53º y          5 2 Tg . Si el poste se encuentra entre los dos puntos. Determine su altura. a) 12 m b) 16 c) 18 d) 9 e) 11 12. Se observa un poste con ángulo de elevación "  " nos acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la altura de poste es "2 L". Determinar: Tg  . a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 1/2 e) 3/2 13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa un automóvil con ángulo con ángulo de depresión "  "         3 1 Tg . Luego se observa una señal más cerca del edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la distancia entre la señal y el automóvil. a) 12 m b) 18 c) 24 d) 36 e) 10 14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º, y desde otro punto ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el primer punto y el poste, el ángulo de elevación es "  ". Calcular: "Tg  ". a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16 15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación "  " (Tg  =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de elevación es "  ".
  • 28. TRILCE 35 Calcular: "Ctg  ". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 16. Desde las partes superiores del primero, segundo y tercer piso de un edificio se observa lo alto de otro edificio con ángulos de elevación  ,  ,  , respectiva- mente. Si: Tg  -Tg  = 0,1 y Tg  =2,7. ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio? a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuánto mide cada piso del edificio, si el punto observado se halla a 24 m del mismo? a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 3,5 e) 4 18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 m de altura, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Señale la distancia de un punto a la base del edificio. a) 20 b) 21 c) 35 d) 32 e) 49 19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 m de altura se observa que el ángulo de depresión de un bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el barco. a) 48 b) 48 3 c) 12 d) 24 e) 6 3 20. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 45º, el mismo punto es observado desde la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m. a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación "  " ) 6 1 Tan (   ; y si nos acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º. ¿Cuál es la altura del poste? a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m 22. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad de 4 m/min; y en un primer momento, observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torre mide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo de elevación tiene como tangente 8? a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 min d) 1h 18 min e) 58 min 23. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulo de elevación  , y su padre observa sus pies con un ángulo de depresión ) º 90 (   . Obtener la relación entre sus alturas. a)   2 Tan 1 b)   2 Tan 1 c)   2 Cot 1 d)   2 Cot 1 e) 1 Tan2   24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con ángulos de elevación "  " y "  ", respectivamente ) Tan 4 Tan 3 (    . La altura del acantilado es de 212,31 m. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 141,54 m b) 28,308 m c) 159,2325 m d) 70,77 m e) 35,385 m 25. Subiendo por un camino inclinado, de ángulo "  " respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "  2 "; verificándose que la torre mide 3 m y la visual 7 m. ¿Cuál es el valor de "  Tan "? a) 7 3 b 7 6 c) 14 3 d) 7 4 e) 7 2 26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de una torre de 24 m de altura, se ve su parte más alta con ángulo de elevación de 45º y 37º respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación? a) 32 m b) 36 m c) 56 m d) 48 m e) 40 m 27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste, se divisa su parte más alta con ángulos de elevación "  " y "   º 90 ", respectivamente. Si la distancia entre los puntos de observación es el doble de la altura del poste, calcular:     Cot Tan P a) 3 b) 3 2 c) 6 d) 6 2 e) 2 3
  • 29. Trigonometría 36 28. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente. a) 72 m b) m 3 73 c) 71 m d) 73 m e) m 3 72 29. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de la parte más alta de un campanario es 45º. Desde la parte superior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo de elevación es de 30º. ¿Cuál es la altura del campanario? a) 2 3 9 b) 2 1 2 7  c) 1 3 3 5  d) 1 3 3 9  e) 1 3 3 9  30. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, la misma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo  con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay un hombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m de altura, el hombre la observa con un ángulo  respecto a la horizontal. ¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometa para que sea observada por el hombre con un ángulo  2 ? Considere : 3 1 Tg   a) 23 637 b) 17 1285 c) 13 1080 d) 19 1561 e) 13 637 31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un determinado instante, el faro es observado por el tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de 12  . Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar, , encontrando esta vez un ángulo de 6  . Encuentre la altura del faro (desprecie la altura del tripulante que hizo la observación) a) 10 m b) 15 m c) 12 m d) 14 m e) 18 m 32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvil con un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28 m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular la velocidad del automovil. a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s d) 12 m/s e) 4 m/s 33. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180 km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierra con un ángulo de depresión de 30º. Dos minutos después, estando sobre la señal, el piloto observa a una distancia de 1000 metros un aerostato con un ángulo de elevación de 60º. ¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante? a) km 3 2 b) km 3 5 , 2 c) km 3 3 d) km 3 5 , 3 e) km 3 4 34. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en el mismo sentido. En la primera observación desde el barco se ve al avión adelante con un ángulo de elevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar. En la segunda observación se le ve con un ángulo de 37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco. Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión en la segunda posición observa la boya. a) 12 17 b) 11 15 c) 17 11 d) 4 3 e) 7 5 35. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo. Desde uno de ellos se observa el extremo superior de un poste con un ángulo de elevación  y desde otro punto se observa el punto medio del poste con un ángulo de elevación  . Si la suma de las distancias del poste a cada uno de los puntos es d, calcular la altura del poste. a)    dTan 2 dTan b)    Ctg Ctg 2 d 2 c)    dCtg dCtg 2 d)    Tan Tan 2 d 2 e) ) Tan 2 Tan ( d    36. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P" en direcciones que forman un ángulo "  " uno a 5 km/h y el otro a 12 km/h. Calcular el  Cos sabiendo que al cabo de una hora la distancia desde el punto "P" al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km. a) 8 5 b) 16 7 c) 80 3 d) 40 9 e) 25 13
  • 30. TRILCE 37 37. Un niño de estatura "h" está parado sobre la banca y observa los ojos de su padre; de estatura "H", con un ángulo de elevación "  " y sus pies con un ángulo de depresión "  ". Si el padre divisa los pies de su hijo con un ángulo de depresión "  ". Hallar: h H a)       Tan Tan Tan Tan b)       Tan Tan Tan Tan c)       Tan Tan Tan Tan d)       Tan Tan Tan Tan e)       Tan Tan Tan Tan 38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de 9, se ve un momento de menor altura, con un ángulo de elevación "x", su parte más alta y un ángulo de depresión "y" su base. Si desde lo alto del edificio, la tangente del ángulo de depresión con la que se ve la base del monumento, es sextuplo de la tangente del ángulo con que se ve la parte más alta. Calcular: E= 4Coty· Tanx a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 6 39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra, a un mismo lado, con ángulos de depresión  , 45º y   º 90 ) º 45 (   . Si el punto intermedio dista del más alejado, el doble del más cercano, calcular:     2 Cot Tan 6 N a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 40. Un poste, una persona y una torre están ubicados del modo que se mencionan y sus alturas están en la proporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa lo alto de la persona con un ángulo de depresión "  "; mientras que la persona divisa lo alto de la torre con un ángulo de elevación  , desde lo alto de la torre se ve la base del poste con un ángulo de depresión "  ". Si se verifica que:      nCot mCot Cot Calcular: K = m + 2n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos en la superficie horizontal A, B y C, perfectamente alineados; desde los cuales se ve "Q" con ángulos de elevación  ,  y  respectivamente. Si BP es bisectriz del ángulo C P̂ A que mide 60º, calcular:      Tan Tan Tan J a) 2 b) 3 2 c) 3 d) 3 e) 3 3 42. Desde la parte más alta de un árbol de 5 metros de altura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros de altura con ángulos de depresión  y ) º 90 (   , si estos están al Este y al Sur del árbol más alto, respectivamente. Calcular: "  Tan ", si además desde la parte más alta del árbol más pequeño, se observa la parte más alta del árbol de 4 metros con un ángulo de elevación de ) º 90 (   a) 4 2 1 b) 2 1 c) 4 2 d) 2 e) 2 2 43. Un barco se encuentra al Sur de un helicóptero, el barco permanece inmóvil; pero el helicóptero avanza cierta distancia hacia el Este. Desde el barco se observa al helicóptero en la segunda posición con un ángulo de elevación "  ". Si el ángulo de elevación en la primera posición es de 45º y el helicóptero avanzó 2km, calcular "  ", si además el helicóptero se encuentra a una altura de km 2 . a) 2 1 ArcTan b) 3 1 ArcTan c) 4 3 ArcTan d) 30º e) 45º 44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del triángulo ABC), desde los cuales se ve lo alto del poste con ángulos de elevación  ,  y  respectivamente. Si : y C Q̂ B x B Q̂ A    Señale el equivalente de:        2 2 Cot Cot Cosy Cot Cosx Cot J a)  Tan b)  Tan 2 c)  Cot 2 d)  Cot 2 1 e)  Tan 2 1 45. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a m 2 18 de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio en la dirección E37ºS. Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio, si Lucio se encuentra al Este de Luciano.
  • 31. Trigonometría 38 a) 41 m b) 40 m c) 24 m d) 18 m e) 42 m 46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C" en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente. Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a una distancia de 173 km. ¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"? a) 100 km b) 200 km c) 150 km d) 273 km e) 300 km 47. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones N20ºE y S80ºO? a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºO d) N40ºO e) N50ºO 48. Calcular el menor ángulo que forman la bisectriz de SO y S 4 1 SO con la bisectriz de SE y S 4 1 SE a) 50º b) 78º45' c) 77º d) 67º30' e) 90º 49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con ángulos de elevación "  " y "  " respectivamente ) Tan 4 Tan 3 (    . La altura del acantilado es de 212,31 m. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 141,54 m b) 28,308 m c) 159,2325 m d) 70,77 m e) 35,385 m 50. Una persona camina 2 5 (aprox.) al norte de su casa, luego 13 m en la dirección E S , si ahora se encuentra en la dirección NE de su casa. Hallar:  Csc a) 5 13 b) 17 2 13 c) 13 17 d) 13 2 10 e) 17 13 51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte de una torre, se observa la parte más alta de ésta con ángulos de elevación  y  , respectivamente; y desde el punto medio de AB, el ángulo de elevación es "  ". Calcular:    Cot Tan a) 2 3 b) 1 c) 3 d) 2 e) 3 2 52. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevación que tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerda mide "a" metros. El ángulo de elevación del globo que sostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerda mide 2 a metros. ¿Cuál es la distancia que hay entre los globos? a) ) 2 1 (  a metros b) ) 2 2 (  a metros c) 5 a 2 a metros d) 5 a a metros e) a ) 5 2 (  metros 53. "Moshé" divisa los ojos de su padre con un ángulo de elevación "  " y sus pies con un ángulo de depresión "  "; mientras que su padre divisa los pies de "Moshé" con un ángulo de depresión "  ". Sabiendo que las estaturas de "Moshé" y su padre son "h" y "H" respectivamente, señale el equivalente de: H h h H J   a)    2 Cot Cot Cot b)    Cot Cot Cot2 c)    Cot Cot Cot d)    Cot Cot Cot e)    Tan Tan Tan 54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste, con un ángulo de elevación de 10º. Nos acercamos una distancia " 1 d " y el ángulo de elevación es de 40º; y si nos desplazamos una distancia " 2 d " hasta ubicarnos al otro lado del poste, el ángulo de elevación es de 20º. Calcular: 2 1 d d (Sug. Cos10º = 0,9848) a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321 d) 0,957 e) 0,352 55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ángulo "  " notando que sus visuales son iguales. Se acerca una distancia igual a las dos terceras partes de la distancia que inicialmente lo separaba del poste y divisa a éste. ahora bajo un ángulo "  ". Calcular "n" en la igualdad. 2 Sen 2 nSen Sen Sen 2 2      a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
  • 32. TRILCE 39 56. Una persona camina, por un camino inclinado que forma un ángulo "x" con la horizontal y observa la parte superior de una torre con un ángulo de inclinación "2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces la altura de la torre, observa nuevamente su parte superior con un ángulo de elevación de "3x". Calcular: E = Cscx - 15 a) 10 b) 20 c) 12 d) 15 e) 25 57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados en lados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un punto de la torre con un ángulo de elevación "  "; notándose que la distancia de dicho punto observado a lo alto de la torre es igual a la visual trazada para dicha observación; mientras que, desde "B", se divisa un punto ubicado 1 m, más abajo que al anterior con un ángulo de elevación "  " . Notándose que la visual trazada es igual a la distancia del nuevo punto observado a lo alto de la torre, hallar la altura de la torre. a)        Tan Tan ) 1 Tan )( 1 Tan ( b)        Sen Sen ) 1 Sen )( 1 Sen ( c)        Sen Sen ) Sen 1 )( Sen 1 ( d)        Cos Cos ) 1 Cos )( 1 Cos ( e)        Tan Tan ) 1 Tan )( 1 Tan ( 58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, C y D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso) con ángulos de elevación  ,  ,  y  respectiva- mente. Si: º 10 D Q̂ C C Q̂ B B Q̂ A    y 173648 , 0 º 10 Sen  . Calcular:            Tan Tan Tan Tan Tan Tan Tan Tan J a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124 d) 2,5783 e) 2,8794 59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30ºS de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación 53º. De esta ubicación nos desplazamos al S30ºE hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaríamos su parte más alta con un ángulo de elevación "  ". Calcular:  Tan a) 3 1 b) 3 2 c) 4 3 d) 2 3 e) 4 1 60.Un reflector situado al ras del suelo ilumina un monumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos el reflector 2 m más cerca del monumento, éste se ve bajo un ángulo de 45º. ¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es su distancia (x) al segundo lugar de iluminación? a) 3 3 3 2 x ; 3 3 3 2 y     b) 3 3 3 2 x ; 3 3 3 2 y     c) 3 3 3 2 x ; 3 3 3 2 y     d) 3 3 3 2 x ; 3 3 3 2 y     e) 3 3 x ; 3 3 y    
  • 34. TRILCE 41 Capítulo SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR 4 SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650). Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto "O" y divide al plano en cuatro semiplanos denominados cuadrantes. * La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas. * La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas. * El punto "O" se denomina origen de coordenadas. Cuadrante II Cuadrante I Cuadrante III Cuadrante IV y x O (0;0) y 1 x1 y2 x 2 Q( ;y ) x 2 2 P( ;y ) x 1 1 Distancia entre dos puntos del plano cartesiano Sean ) y ; x ( P 1 1 1 y ) y ; x ( P 2 2 2 dos puntos del plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre los puntos 1 P y 2 P está dada por: 2 1 2 2 1 2 ) y y ( ) x x ( d     d P ( ;y ) x 1 1 1 P ( ;y ) x 2 2 2 y 2 y 1 x 1 x 2 x y * Radio Vector Es la distancia del origen de coordenadas a un punto cualquiera del plano cartesiano. Si: ) y ; x ( P 0 0 es un punto del plano cartesiano el radio vector se calcula así: 2 0 2 0 y x r   y0 x y x 0 r P( ;y ) x 0 0
  • 35. Trigonometría 42 División de un segmento en una razón dada: Sea ) y ; x ( P 0 0 0 un punto cualquiera sobre un segmento de extremos ) y ; x ( P 1 1 1 y ) y ; x ( P 2 2 2 tal que: ) razón ( b a P P P P 2 0 0 1  Las coordenadas de 0 P son: b a by ay y b a bx ax x 1 2 0 1 2 0       Punto Medio de un Segmento Las coordenadas del punto medio M del segmento de extremos ) y ; x ( P 1 1 1 y ) y ; x ( P 2 2 2 se calcula así: y 2 x x x 0 2 1 0    2 y y 2 1  Coordenadas del baricentro de un triángulo: En el triángulo cuyos vértices son ) y ; x ( A 1 1 ; ) y ; x ( B 2 2 y ) y ; x ( C 3 3 , las coordenadas del baricentro están dadas por:             3 y y y ; 3 x x x G 3 2 1 3 2 1 G: baricentro x y a b P ( ;y ) x 0 0 0 P ( ;y ) x 1 1 1 P ( ;y ) x 2 2 2 x y M( ;y ) x 0 0 P ( ;y ) 1 1 1 x P ( ;y ) 2 2 2 x x y G A( ;y ) x1 1 B( ;y ) x 2 2 C( ;y ) x 3 3 Área de una región triangular: Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se indica. x y A( ;y ) x 1 1 B( ;y ) x 2 2 C( ;y ) x 3 3 S A y x y x y x y x y x y x y x B y x y x y x 1 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 1 2 3 1 2                 Luego : 2 B A S  
  • 36. TRILCE 43 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Determine el radio vector de (2,-3). a) 5 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19 02. Determinar el radio vector de ) 7 , 2 (  a) 3 b) 10 c) 3 d) 4 e) 5 03. Determinar el radio vector del punto medio del segmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9). a) 5 b) 2 5 c) 5 2 d) 10 e) 15 04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b". a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 05. Del gráfico, calcular: "d". d (3,5) (5,2) (-11,1) a) 37 b) 41 c) 53 d) 61 e) 82 06. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y (-1,-5), determine su perímetro. a) 60 b) 40 c) 20 d) 12 3 e) 15 2 07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasa por (2,-5), determinar su diámetro. a) 13 b) 15 c) 26 d) 30 e) 35 08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: a b E   a) 2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 5 09. Determine el producto de las coordenadas del punto del segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5). a) 6 b) -6 c) 12 d) -12 e) 15 10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se forma un triángulo ABC. Determine la longitud de la mediana AM , (M en BC ). a) 47 b) 51 c) 53 d) 57 e) 61 11. Determine las coordenadas del baricentro de un triángulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9) y C(7,1). a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5) d) (5,3) e) (-3,5) 12. En el gráfico, hallar "x+y": A(-2;3) B(10;6) K 2K P a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3) d) (-1,2) e) (-2,4) 13. Según el gráfico, halle "p": 2S 3S A(1;9) B(-2;5) C(8;10) a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5) d) (3,7) e) (4,6) 14. Los vértices de un triángulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7). Determine su área. a) 36 2  b) 18 2  c) 24 2  d) 16 2  e) 9 2  15. Los vértices de un triángulo son A(1;2), B(3;6) y C(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al lado AB . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
  • 37. Trigonometría 44 16. Determine en el eje "x" un punto que tenga una distancia de 5 unidades del punto (2,4). a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0) d) (6,0) e) a y c 17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5), C(-2,3). Halle el punto D. a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3) d) (-2,2) e) (-5,1) 18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vértices de un triángulo: a) Isósceles. b) Equilátero. c) Rectángulo. d) Rectángulo Isósceles. e) Oblicuángulo. 19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distancia hasta el punto B(-8,13) sea igual a 17. a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2) d) (2,8) e) (0,-28) 20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) y B(-6,5). Hallar el valor de "a". a) 6 b) -6 c) 0 d) 1 e) -1 21. Se tienen dos vértices opuestos de un cuadrado (-5,8) y (1,2); determinar su centro de gravedad. a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5) d) (-1,5) e) (1,3) 22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar su área si pasa por el origen de coordenadas (usar: ) 7 22 (   . a) 2 2  b) 3 2  c) 44 2  d) 66 2  e) 81 2  23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos medios de AC y BC respectivamente, determine el radio vector del punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3). a) 7 b) 10 c) 2 3 d) 3 2 e) 15 24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular: x y E   . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distancia al origen es igual a 13u; sabiendo además que su ordenadas tiene 7u más que su abcisa. (Dar la suma de coordenadas). a) 17 b) 16 c) -17 d) a y b e) a y c 26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendo A(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) se prolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar las coordenadas de C. a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7) d) (14,-11) e) (-14,11) 28. Si un vértice de un triángulo ABC, es A=(1,3) y el baricentro del triángulo es G=(3,1). ¿Cuál es la suma de coordenadas del punto medio "M" opuesto al vértice "A"? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 29. Dados dos vértices consecutivos de un cuadrado A(3 ; 7) y B(1 ; 4), calcule su área. a) 2 127 b) 2 137 c) 2 147 d) 2 81 e) 2 100 30. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el eje de abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3) a)       0 ; 3 7 b       0 ; 3 8 c)       0 ; 3 4 d)       0 ; 2 11 e)       0 ; 4 11 31. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; 1), B(1 ; 5) y C(1 ; 3). Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC. a) 5 b) 7 c) 3 2 d) 13 e) 15 32. Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7). Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D" opuesto a B. a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12
  • 38. TRILCE 45 33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hasta qué punto "C" será necesario prolongarlo para que 5 BC 6 AC  ? (Señale la suma de coordenadas de "C") a) 35 b) 38 c) 42 d) 23 e) 27 34. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentro es G(1 ; 3). Hallar la suma de coordenadas del punto medio de BC. a)  3 b)  5 c)  7 d) 5 e) 7 35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas del punto M. Si: ABCD es un paralelogramo. y x M N B C(4 ; 9) D(6 ; 1) A( 8 ; 5)  a)       8 ; 2 11 b) ( 6 ; 5) c)       5 ; 2 9 d) ( 6 ; 4) e) ( 5 ; 7) 36. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1;9), B(6 ; 8) y C(2 ; 4), calcule la superficie del triángulo. a) 2 35 b) 2 28 c) 2 14 d) 2 24 e) 2 40 37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del ángulo CAB. a) 10 3 b) 10 10 c) 5 5 d) 5 2 e) 2 2 38. Del gráfico, halle : 1 2 S S  . (10 ; 1) (5 ; 8) (6 ; 2)  ( 3 ; 1)   S2 S1 a) 2 10 b) 2 5 , 10  c) 2 6  d) 2 5 , 11  e) 2 12 39. Los puntos P(-4;0); ) 3 3 ; 5 ( Q , R(x;0) son los vértices de un triángulo rectángulo recto en Q, la suma de los valores que indican el perímetro y el área del triángulo es: a) 24 3 18  b) 3 18 18  c) 3 24 18  d) 3 12 12  e) 6 6 12  40. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos (-2;8) y (-2;-4). Uno de los términos de la base menor tiene por coordenadas (3;-2). La distancia o longitud de la base menor es: a) 8 b) 6 c) 9 d) 12 e) 10 41. Un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntos coordenados : A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0) PROPOSICIÓN 1: Si sólo los valores de las abscisas se multiplican por 2 entonces este cuadrilátero es semejante al original. PROPOSICIÓN 2: Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplican por un mismo número, entonces este cuadrilátero es semejante al original. PROPOSICIÓN 3: Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y las ordenadas por 3 entonces el área de este nuevo cuadrilátero es 5 veces mayor que el original. a) FVV b) FFV c) VFF d) FFF e) VVF
  • 39. Trigonometría 46 42. Los vértices de un cuadrado son A(0 ; -3); ) b ; b ( B 2 1 , C(3;4), ) d ; d ( D 2 1 . Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos B, P , D, Q donde ) b ; d ( P 2 1 y ) d ; b ( Q 2 1 . a) 58 b) 29 c) 25 d) 21 e) 19,5 43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son 8) ; 3 6 ( . Hallar la distancia del baricentro de la región triangular MON al punto R. y x M 30º O N R a) 21 2 b) 21 c) 21 4 d) 21 e) 42 2 44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vértices de un triángulo. Calcular las coordenadas del circuncentro del triángulo. a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1) d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1) 45. Sean los puntos del plano cartesiano: A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0). Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma de las longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lo menor posible y dar como respuesta el valor de 12ab. a) 961 b) 828 c) 780 d) 1020 e) 605 46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CP al segmento AB, entonces las coordenadas de P son : a)                    7 6 2 - 2 ; 7 6 9 1 b)                     85 59 2 2 ; 85 59 9 1 c)                    85 59 2 - 2 ; 85 59 9 1 d)                     13 6 2 2 ; 13 6 9 1 e)                     13 6 2 2 ; 13 6 9 1 47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectángulo ABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el área de la región rectangular es 2 u 80 , determinar la suma de las abscisas de los vértices C y D. a) 25 b) 5 126 c) 26 d) 5 127 e) 5 128 48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices opuestos de un cuadrado, entonces el área del cuadrado es: a) No se puede determinar. b) 50 c) 4 d) 16 e) 8 49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), ) C ; C ( C 2 1 son los vértices de un triángulo equilátero. Si C está en el segundo cuadrante, entonces ) C C ( 3 2 1  vale: a) - 9 b) - 8 c) - 6 d) - 5 e) 3 2 50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto medio de BC , la distancia de M al segmento AC es: a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 2 4 e) 6 51. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas de C es: x y A(1;2) B(4;2) C(x;y) O a) 4 b) 10 c) 8 d) 6 e) 9
  • 40. TRILCE 47 52. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A(0 ; 0) y B(3 ; 0). Determinar la ordenada del vértice opuesto       y ; 2 1 C de tal manera que la medida del ángulo CAB es igual al doble de la medida del ángulo CBA. a) 15 b) 2 15 c) 4 15 d) 6 15 e) 8 15 53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vértices de un rectángulo. Si: P(x;y) cumple que   6 DP ,   7 CP y   5 BP , entonces el valor de AP es: a)  5 b)  3 2 c)  3 d)  4 e)  2 3 54. En el gráfico: BD = 3AD y EC = 2BE. Calcule: 1 3 2 h h h W   x y A(1;1) C(8;2) B(5;5) h3 h1 h2 E D a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 3 2 55. Del gráfico, calcule "x" si "  " es máximo. . x y (1;1) (3;3) P(x;0)  a) 2 b) 2 2 c) 3 d) 3 2 e) 6 56. A partir del gráfico, calcule:      2 2 2 Sen Sen Sen W    B(3;9) C(5;7) A(1;3) a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 2 e) 2 3 57. Del gráfico, halle la suma de coordenadas del punto "P". Si : 5 DC 3 BD  S 7S A(2;0) C(7;5) B(3;9) D P a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 7 58. De todos los puntos del plano cuya suma de distancia a los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Señale la suma de coordenadas de aquel punto de ordenada máxima. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 59. Señale las coordenadas del vértice C, del triángulo ABC, si las coordenadas de los vértices del triángulo formado al unir los puntos medios de sus lados son: ) 0 ; 1 ( AM  , ) 3 ; 2 ( BM  y ) 7 ; 6 ( CM C A B x y BM AM CM a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5) d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)
  • 41. Trigonometría 48 60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: 2 1 S S  x y S1 S2 A(-5;-5) B(2;-1) C(x;y) D(-3;2) a) 2 4 41  b) 2 2 41  c) 2 2 21  d) 2 4 21  e) 2 41
  • 43. TRILCE 51 Capítulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL 5 Definiciones Previas: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante. Lado Final Lado Inicial Vértice  (+) x y Del gráfico : *  : es un ángulo en posición normal * 0 ; IIC     Lado Final Lado Inicial Vértice (-) x y  *  : es un ángulo en posición normal * 0 ; IIIC     Definición de las Razones Trigonométricas: Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto ) y ; x ( P 0 0 perteneciente a su lado final. x y P( ) x ;y o o r x o y o  ' Se define: o o o o x y Tan r x Cos r y Sen       o o o o y r Csc x r Sec y x Cot       * 2 o 2 o y x r   * '  : se denomina ángulo de referencia
  • 44. Trigonometría 52 Signo de las R.T. en los cuadrantes Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto. Cosecante y Seno (+) Cotangente y Tangente (+) positivas son Todas (+) Secante y Coseno (+) Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales  radianes  (grados) Sen  Cos  Tan  Cot  Sec  Csc    2 0 0 0 1 0 N. D. 1 N. D. 2  90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1  180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D. 2 3 270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1 Nota: N.D. no definido Ángulos Coterminales: Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. Ejemplo:  Vértice Lado inicial Lado final i) ii) P( ; ) x x o o x y Se tiene que : *  y  : son coterminales *  y  : son coterminales (están en P . N.) Propiedades: Si  y  son coterminales se cumple que: I. II.   - = 360ºn ; n Z R.T. (  ) = R.T.( )
  • 45. TRILCE 53 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Del siguiente gráfico, calcular:     Cot 12 Sen 10 E x y  (1;-3) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 02. Por el punto ) 5 ; 2 ( P  pasa el lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es "  ". Calcular: Cos  . a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/3 e) -3/2 03. Si: 3 2 Sen    y   IIIC. Calcular: ) Sec Tan ( 5 E     a) -1 b) -2 c) -3 d) 2 e) 3 04. Indicar el signo de cada expresión: I. Sen200ºTan240º II. Cos120ºTan100º III. Sen150ºCos340º a) +, +, + b) , ,  c) , +, + d) +, ,  e) +, , + 05. ¿A qué cuadrante pertenece "  ", si: 0 Tan   y 0 Cos   . a) IC b) II c) IIIC d) IV e) IC y IIC 06. De la figura, calcular: " Tan "  x y  17 (1-x;2x) a) 1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 07. Calcular: 270 abCsc 2 180 Cos ) b a ( º 360 Sec ) b a ( E 2 2     a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 08. Si: IVC x  y 0 6 Sen 4 | Cscx |    Calcular: E = Senx + 3 Cosx a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2 09. Si: 3 , 0 Cos    y IIC   Calcular:     Sec Tan E 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x. Calcular: ) 2 ( f  a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 11.Una raíz de la ecuación: 0 3 x 2 x2    es un valor de "Tan  ", si: IIIC   . Calcular: ) Cos Sen ( 10 E     a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x. Calcular: ) 2 ( f  a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 13. Si:  y  son medidas de ángulos coterminales y se cumple que: Tan  <0 y |Cos  |=-Cos  . ¿A qué cuadrante pertenece " "? a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) IC y IIC
  • 46. Trigonometría 54 14. Calcular:     Tan Sen 25 E , a partir de la figura mostrada: x y   (24;7) (-4;-8) a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 15. Por el punto ) 7 ; 2 ( P   pasa por el final de un ángulo en posición normal cuya medida es "  ". Calcular:  Csc 7 . a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 16. Calcular: 1 Cosx Senx E    a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2 17. Si: IV   , determine el signo de:        Cos Sen ) Cos 1 ( Tan E a) + b) - c) + ó - d) - y + e) Todas son correctas 18. Con ayuda del gráfico mostrado, calcular: ) 2 ( Sen 3 ) ( Sen ) 6 ( Cos 3 E              a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 19. De la figura, calcule: "Tan  " x y  37º a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7 d) -6/7 e) -7/4 20. Del gráfico, calcule: " Tan "  . x y (2;-3)  a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 21. De acuerdo al gráfico calcular:     Cos Cos 5 K y x (-24;7) (-4;-3)   a) 2 b)  3 c)  4 d) 2 e) 4 22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo canónino "  ". Calcular:     Cot Csc R a) 0,4 b)  0,4 c) 0,6 d)  0,6 e)  0,3 23. Simplificar: 2 bCos 2 3 aSen Cos ) b a ( 2 Sen ) b a ( L 2 5 2 3 2                a) 2a b)  2a c) 4a d)  4a e)  4b 24. Señale los signos de: º 260 Tan º 300 Tan º 140 Cos º 140 Sen M   y º 348 Sen º 248 Cos º 116 Tan º 217 Cos º 160 Tan R    a) () No se puede precisar. b) (+) ; (+) c) (+) ; () d) () ; () e) () ; (+)
  • 47. TRILCE 55 25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda en: I. Si: 0 Cos 0 Sen      , entonces IV   . II. Si: 0 Sec 0 Tan      , entonces IIIC   . III. Si: 0 Cot 0 Csc      , entonces IIC   . a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) FVV 26. Sabiendo que: 0 Sen   0 Sec Tan    ¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico  ? a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) No se puede precisar. 27. Señale el cuadrante al que pertenece "  " si:      Tan Cos a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) No se puede precisar 28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en: I. Si: 180º ; º 90   , entonces IIC   . II. Si: IIC   , entonces 180º ; º 90   . III. Si: IIIC   , es positivo y menor que una vuelta, entonces 270º ; º 180   . a) VVF b) VFV c) VFF d) FVV e) VVV 29. Sabiendo que: 3 2 Tan    IIC   Calcular:     Cos Sen Q a) 13 1 b) 13 13  c) 13 5  d) 13 13 5 e) 13 3 30. Si el lado final de un ángulo canónico "  " pasa por los puntos P(m+n; n) y Q(n;mn), Calcular:     2 2 Tan Cot K a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 31. Sabiendo que "  " es un ángulo positivo menor que una vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de: 5 3 Tan 3 2 Cos 2 Sen Q            a) (+) b) () c) (+) o () d) (+) y () e) No se puede precisar. 32. Del gráfico, calcular : 1 Tan 3 E    y x 53º  a) 0 b) 1 c)  1 d) 2 e)  2 33. Tomando 236 , 2 5  y sabiendo que: Ctgx = - 0,5 y que IVC x  . ¿Cuál es el valor de Cscx? a)  2,236 b) 2,236 c)  0,4472 d) 1,118 e)  1,118 34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienen el mismo signo son: a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3º d) 2º y 4º e) 1º y 4º 35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida entre 2820º y 3100º. ¿Cuál es la medida del mayor? a) 2540º b) 2760º c) 2820º d) 2420º e) 3000º 36. Siendo: 130 1 70 1 28 1 4 1 Sen 5 4          Cos Cos Calcular:     Cos 3 Sen 2 K a) 1 b)  1 c) 2 d)  2 e)  3 37. El valor numérico de la expresión: Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º es: a)  4 b) 12 c) 6 d) 16 e) 8
  • 48. Trigonometría 56 38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el orden F. G. H. º 338 Ctg º 215 Csc º 210 Sen º 138 Tan º 285 Sec F 3 3 2  2 3 2 3 º 336 Tan º 195 Csc º 116 Cos º 115 Ctg º 260 Sen G  3 3 º 298 Sec º 135 Tg º 128 Csc º 340 Ctg º 195 Sen H  a)  , + ,  b)  ,  , + c)  ,  ,  d) + ,  ,  e) + , + , + 39. Si:         2 Cos ) 2 ( Sen 1 ) 3 ( Cos ) ( f 2 Calcular: 1 3 f 3 f                  a) 2 b) 2 3 2  c) 5 d) 3 2 3  e) 2 3 3 2  40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes (I, II, III, IV). S = Ctgx + Senx - Cscx I II III IV a) + + + + b) +  + + c) +  +  d)  +  + e) + +   41. Determinar el signo de: Q QCtg QSec Sen 4 5 3 a)  ; si Q pertenece al IC. b) + ; si Q pertenece al IIC. c) + ; si Q pertenece al IIIC. d) + ; si Q pertenece al IVC. e)  ; si Q pertenece al IIC. 42. Dado: 2 2 2 2 q p q p Cosx     ; p > q > 0 Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante. a) 2 2 p q pq 2   b) 2 2 p q pq 2  c) 2 2 p q pq 2   d) 2 2 p q pq 2  e) 2 2 2 2 p q p q   43. Sabiendo que: 4 1 CosQ  270º < Q < 360º Calcular el valor de la expresión: CtgQ 1 CscQ SecQ   a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50 d) 4,00 e) 4,50 44. Si  es un ángulo del tercer cuadrante, tal que: 8 Ctg 1 2    Calcular: 3 ) Sec 8 (  a) 63 83 b) 63 83  c) 63 83 d) 63 3 83  e) 63 63 86  45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrante y es tal que:    2 x 0 . Entonces, hallar el signo de las siguientes expresiones trigonométricas. I.                   4 x sec Co 2 x Sen 4 x Tan II.                   5 x Cos 4 x 3 Sec 3 x Cot III.                   4 x 3 Sec 3 x 2 Tan 3 x Sen a) (+) (+) (+) b) () () () c) (+) (+) () d) () () () e) () () (+) 46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, en el orden dado: 3 25 Cos 3 52 Sen   ; 3 22 Cot 5 32 Sen   ; 10 73 Cot 3 205 Sen          a) (+) (+) () b) () (+) () c) () (+) (+) d) () () (+) e) (+) () (+)
  • 49. TRILCE 57 47. Si  es un ángulo en el primero cuadrante y 25 , 0 Sen   . ¿Cuál es el valor de    2 Ctg Csc ? a) 15 b) 19 21 c) 15 19 d) 21 19 e) 19 48. Si 5 , 1 Tg   , siendo  un ángulo en el III cuadrante, el valor de la expresión: ) Csc Sec ( 13 1 M     es : a) 6 1  b) 6 1  c) 6 1 d) 6 5  e) 6 1 49. Calcular el Coseno del ángulo  del segundo cuadrante, tal que 5 3 Sen   . a) 5 4 b) 5 3 c) 3 2  d) 5 4  e) 3 1  50. Si 3 1 Tan    y  está en el segundo cuadrante. Hallar :      Ctg 2 ) Sen 5 Cos ( 3 K a) 10 b) 10 10  c) 10 10 d) 5 10 2 e) 5 10 2  51. En la figura adjunta, hallar:       Tan Cos 15 Sen 5 V 24 - 7 0  x y a) 35 141 b) 7 29 c) 35 99 d) 7 39 e) 4 1 52. Indicar la alternativa correcta para el signo de las siguientes expresiones: I. Sen(361º)  Cos(455º) II.                4 3 Cos 4 3 Sen III. ) º 315 ( Sec 4 5 Tan         a) + ;  ; + b) + ; + ;  c)  ;  ; + d) + ;  ;  e) + ; + ; + 53. Sea  un ángulo del tercer cuadrante. Indicar la alternativa correcta al simplificar:              Cos Sen 1 1 E 2 a)   2 Sen 2 b)   2 Sen c)   2 Cos 1 d)  2 Sen e)  2 Cos 54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo que x es un ángulo del segundo cuadrante? a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6 c) Cosx =  0,7 d) Cosx = 0,9 e) Cosx =  0,8 55. Si "  " y "  " son ángulos cuadrantales, positivos y menores que una vuelta, tales que:    Cos Cot Calcule:        Cos 2 Sen 2 Sen Cos K a) 2 2  b) 1 2  c) 1 2  d) 2 2  e) 1 56. Si  y  son ángulos positivos, que no son agudos; 0 Cos   ; 0 Tan   ; ) º 360 (     Sean: a = ) ( Sen     b =   2 Sen c =  2 Sen Entonces, son positivas. a) a y b. b) a y c. c) a , b y c. d) a. e) b y c.
  • 50. Trigonometría 58 57. Si: 3 2 b a Tanx        Calcular el valor de: IC x ; aCosx b bSenx a E    a) 3 3 1 3 1 3 1 3 1 a b b a              b) a b b a  c) 2 1 2 2 2 2 a b b a          d) 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 a b b a              e) 3 1 3 3 3 3 a b b a          58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo  del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en el segundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercer cuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; pero inferior a  2 a) 2 4      b) 2 3      c) 2 12 5      d) 2 8 3      e) Faltan datos 59. Si: IIC   y      Cos 3 4 2 ) Sen ( Sen Calcular:    Sen Tg a) 143 12 11  b) 143 12 13 c) 143 12 13  d) 143 12 9 e) 143 12 11 60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplo de 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a la suma del ángulo menor más el triple del mayor de los ángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos, si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º. a) 1280º b) 2160º c) 3200º d) 3210º e) 3230º
  • 52. TRILCE 61 Capítulo REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 6 OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es: * Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea; reconociendo previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar. * Simplificar correctamente expresiones del tipo: Z n ; 2 n . T . R           * Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medidas es 180º ó 360º CASOS I. Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "  " se descompone como la suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar : ) .( T . R Co 220 90 R ) .( T . R 360 180 R ) ( RT                                Donde el signo ) ( que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original "  " Por ejemplo; calculemos: * 2 3 º 30 Cos ) 30 º 90 ( Sen º 120 Sen ) (           * 2 1 º 60 Cos ) º 60 º 180 ( Cos º 120 Cos ) (            * 3 º 30 Cot ) º 30 º 270 ( Tan º 240 Tan ) (           * 2 º 30 Csc ) º 30 º 360 ( Csc º 330 Csc ) (            *   ) ( Sen º 170 Sen      *   ) ( Cos º 200 Cos      *   ) ( Tan º 260 Tan      *   ) ( Sen º 320 Sen      II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera: R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º    q Residuo
  • 53. Trigonometría 62 Por ejemplo, calculemos: * 2 3 º 60 Sen º 2580 Sen   * Tan 3285º = Tan45º = 1 2580º 360º 2520º 7 60º 3285º 360º 3240º 9 45º * Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2   1200º 360º 1080º 3 120º        ( )  * Sen 3180º = Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera: * 133 4 132 33 1 127 6 126 21 1 1 2 1 Sen 2 Sen133     2 1 3 1 Cos 3 127 Cos     * Es decir, si fuese: 2b a ; b a . T . R         Se divide: a 2b q r este residuo reemplaza al numerador "a" * 1315 8 51 164 35 3 1345 3 1345 Sen  * 4 3 Tan 4 1315 Tan    III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera: Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx Por ejemplo, calculemos: * 2 2 º 45 Sen ) º 45 ( Sen      * 2 1 º 60 Cos ) º 60 ( Cos    * 3 ) º 30 Cot ( ) º 30 º 90 ( Tan º 120 Tan ) º 120 ( Tan ) (                * Cos (- 200º) = IV. Ángulos relacionados: 1.             Tany Tanx Cosy Cosx Seny Senx 180º y x : Si 2.
  • 54. TRILCE 63             Tany Tanx Cosy Cosx Seny Senx 360º y x : Si Por ejemplo, calculemos: 7 6 Cos 7 5 Cos 7 4 Cos 7 3 Cos 7 2 Cos 7 Cos C             En esta expresión note que: 7 6 Cos 7 Cos 7 6 7           7 5 Cos 7 2 Cos 7 5 7 2           7 4 Cos 7 3 Cos 7 4 7 3           Luego: 7 6 Cos 7 5 Cos 7 4 Cos 7 4 Cos 7 5 Cos 7 6 Cos C              Reduciendo, quedaría C = 0
  • 55. Trigonometría 64 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Señale el valor de: Sen120º a) 1/2 b) -1/2 c) 2 3 d) 2 3  e) 2 2 02. Hallar: Cos330º a) 1/2 b) -1/2 c) 2 3 d) 2 3  e) 2 2 03. Calcule: E = Tg150º.Sen315º a) 4 6 b) 4 6  c) 6 6 d) 6 6  e) 4 2  04. Hallar el valor de: Sen1680º a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 2 3  05. Determinar el valor de: Cos1200º a) 1 b) 0 c) 1/2 d) -1/2 e) 2 3 06. Hallar: ) º 45 ( Tg ) º 60 ( Cos E    a) 1/2 b) -1/2 c) 0 d) 1 e) 2 07. Hallar: E = Sen(-30º)+Tg(-53º) a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6 d) 0 e) 1 08. Señale el equivalente de: Cos(180º+x) a) Cosx b) -Cosx c) Senx d) -Senx e) -Secx 09. Determinar el equivalente de: Sen(360º-x) a) -Senx b) Senx c) Cosx d) -Cosx e) Cscx 10. Determina el equivalente de: 2 ]. 32 ] Sen  a) 1 b) -1 c) 0 d) 1/2 e) -1/2 11. Hallar el valor de: Cos1741  a) 1 b) -1 c) 0 d) 1/2 e) -1/2 12. Hallar: 3 . 17 Tg  a) 1 b) -1 c) 3 d)  3 e) 3 3  13. Del gráfico, calcule: Tg  A C B M 45º  a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3/4 14. Del gráfico, hallar: Tg  A C B 37º D  a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7 15. Hallar el equivalente de: ) º 90 x ( Cos ) º 180 x ( Sen M    a) 1 b) -1 c) Tgx d) Ctgx e) -Tgx
  • 56. TRILCE 65 16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ; x es agudo Calcular: M = Sec(-x) + Csc(-x) a) 2 5 b) 2 5  c) 6 13 d) 6 13  e) 5 5  17. Reducir: ) x º 180 ( Cot ) x º 360 ( Sec ) x º 180 ( Cos ) x º 270 ( Csc ) x º 180 ( Tan ) x º 90 ( Sen A        a) 1 b) 1 c) x Tan2 d) x Cot2 e) x Tan2  18. Simplificar: ) ( Tan 2 3 Sec ) 2 ( Cot ) ( Sen C                    a)  2 Tan b)   2 Tan c)  2 Ctg d)   2 Ctg e) 1 19. Simplificar:                      x 2 3 Cos ) x ( Tan x 2 3 Tan ) x ( Sen C a) Cotx b) x Cot2 c) x Cot2  d) - Cotx e) x Cot3 20. Si : 2 A 0    Evaluar:                      A 2 3 Tan ) A ( Cos A 2 Sen F ) A ( Csc ) A 2 ( Ctg A 2 Sec                a) 2 SenA b)  2SenA c) 2CscA d)  2CscA e)  2SecA 21. Calcular: º 240 Tan 3 1 º 315 Tan 4 1 º 120 Sec 2 M     a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2 22. Calcular: º 300 Cos º 210 Cos º 150 Tan º 240 Sen º 135 Sen C    a) 3 6 b) 3 6  c) 3 6 2 d) 3 6 2  e) 3 2  23. Calcular: 1 º 4920 Cos 2 ) 1 º 3383 Sen 2 )( 1 º 3000 Sec 2 ( U     a) 2 1 b) 2 1  c) 4 1 d) 4 1  e) 4 3  24. Marque Ud. la afirmación correcta: a)  Sen ( 750º) =  0,5 b) 3 5 , 0 ) º 1110 ( Cos     c) 3 3 ) º 1830 ( Tan    d) 3 ) º 3270 ( Ctg     e) + Sen2534º = Cos14º 25. Hallar el valor numérico de: º 225 Ctg º 330 Tan º 780 Tan º 780 Sen º 330 Tan º 225 Sen F 2 2 2 2 2 2      a) 12 31 b) 20 33 c) 44 1 d) 20 33  e) 12 31  26. Simplificar las expresiones: ) ( Sen ) º 360 ( Sen ) º 180 ( Cos ) ( Cos a                    Sen ) º 90 ( Cos ) ( Cos ) º 90 ( Sen b a) a = 0 y b =  2 b) a =  1 y b =  2 c) a =  2 y b = 2 d) a = 0 y b = 0 e) a =  1 y b = 2 27. Si: x + y = 180º  y + z = 270º Calcule el valor de: Ctgz Tany Seny Senx J  
  • 57. Trigonometría 66 a) 1 b) 0 c) - 3 d) 2 e) - 5 28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ;    y x Hallar: Ctgx a) 1 2   b) 2 1 c) 2 1 2   d) 2 2 1 e) 1 2   29. Simplificar la expresión: ) º 360 ( Tan ) º 450 ( Sen ) º 540 ( Cos ) º 2160 ( Tan ) º 90 ( Cos ) º 180 ( Sen E              Sabiendo que : 2 Sec2   Entonces E es igual a : a) 2 b) 1 c)  1 d)  2 e) 0 30. El valor de la expresión:                                         2 Csc ) ( Sec ) 2 ( Ctg 6 Tan ) ( Cos 2 3 Sen E Cuando : 6    es: a) 1 b)  1 c) 0 d) 2 e)  2 31. Calcular el valor de: Cos10º+Cos30º+Cos50º+.... +Cos170º a) 2 1 b) 0 c) 2 3 d) 1 e) 4 3 32. Calcular:                    términos 20 30 29 Cos ... 30 3 Cos 30 2 Cos 30 Cos T          a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) - 2 33. El valor de la siguiente expresión:                              12 7 Cos 12 Sen 12 Cos 12 7 Sen Es igual a: a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) - 2 34. Simplificar: ) 9 ( Ctg ) 7 ( Csc ) 5 ( Cos 2 9 Sec 2 7 Sen 2 5 Tan K                                      a) 0 b)  1 c) 1 d)  2 e) 2 35. En un triángulo ABC se cumple: Sen (B + C) = CosC Dicho triángulo es : a) Escaleno b) Rectángulo c) Isósceles d) Acutángulo e) Equilátero 36. En un triángulo ABC, se cumple que: Cos (A + B) = CosC Entonces el valor de A + B es : a) 4  b) 3  c) 3 2 d) 6  e) 2  37. Calcular: B Sen A Cos 2 2  Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios. a)  1 b) 2 1  c) 0 d) 2 1 e) 1 38. Si A y B son ángulos complementarios, al simplificar: ) B 3 A 4 ( Tan ) B A 2 ( Cos ) B 3 A 2 ( Tan ) B 2 A ( Sen E      Se obtiene: a) 3 b) 2 c) 2  d) 1  e) 1 39. En un triángulo ABC, cuales de las siguientes proposiciones se cumplen: I. SenA = Sen(B+C) II. CosA = Cos(B+C) III. SenB = -Sen(A+2B+C) a) VVV b) VFV c) VFF d) FVF e) FFF 40. Si : 2 c b a     y Sen(a + b) = - Senc ¿Cuál de los siguientes resultados es verdadero? a) 0 4 c 4 2 Cos         
  • 58. TRILCE 67 b) 0 4 c 4 Cos           c) 0 2 c 4 Cos          d) 0 4 c 4 Cos          e) 0 ) c 4 ( Cos    41. Calcule el valor de: 4 175 Sec 4 37 Tan R     a) 2 1  b) 2 2 c) 2  d)  2 e) 2 1 42. El valor que asume la expresión:                                        6 Csc ) ( Sec 2 3 Ctg ) ( Tan ) 2 ( Cos 2 Sen Cuando : 3    es: a) 13 1 3 3  b) 13 3 3 1 c) 3 1 3 3  d) 3 1 3 3  e) 3 3 3 1 43. Sabiendo que: 1 2 77 Cos 2 55 Sen m                    Calcular:     Ctg Tan E en términos de m. a) 2 m b) 2 m  c) 2m d)  m e) m 44. Si : º 1035 º 360 ) k 1 (     , Z k  El valor de : ) º 5 , 22 ( Sen   será: a) 2 3 2  b) 2 3 2  c) 2 2 2   d) 2 2 2  e) 2 2 2  45. Qué relación existe entre a y b sabiendo que: 0 4 b 2 a 3 6 Ctg 8 b 3 a 2 Tan                   a) 2 1 b) 3 1 c) 4 1 d) 5 1 e) 6 1 46. Si : SenA  2CosA = 0 Entonces el valor de: ) A º 180 ( Cos ) A º 180 ( Csc ) A º 360 ( Sen ) A º 270 ( Ctg ) A º 180 ( Sec ) A º 90 ( Tan E        es: a)  5 b) 5 c) 4 5 d) 4 5  e)  4 47. Hallar  sabiendo que está en el tercer cuadrante, es positivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltas y: 11 Sen Cos     a) 22 75 b) 22 73 c) 22 71 d) 22 69 e) 22 67 48. Si  es la medida de un ángulo agudo tal que:    Sen º 1996 Cos Calcular el valor de:     15 Sen 15 Csc E a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 49. Sabiendo que: Z k ; 2 k Tan M              Z n ; (-1) n Csc N n            Calcular: MN N M E 2 2   a)  Sen Tan b)    Sen Tan c)  Cos Ctg d)    Cos Ctg e) 1 
  • 59. Trigonometría 68 50. Del gráfico. x a b y Determinar: Cosb Cosa 6 b a Cos 6 Senb Sena 3 b a Sen 3 K                    a) 2 1  b) 3 1  c) 4 1  d) 2 1 e) 3 1 51. Sabiendo que:       56 2 n n Cotx 2 ) x ) 1 ( ! n ( Tan Donde: IC x  Calcule: W = Secx . Tanx a) 3 2 b) 6 c) 2 3 d) 6 2 e) 6 6 52. Si : ABCD: cuadrado Calcule:     Tan Tan W 26º30' P B C A D   N M a) 2 b) 1 c) - 2 d)  1 e) 2 3  53. Del gráfico calcule: 55 Cot 3 W    Si: OA = OB A B O 2 3 4  a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 54. Del gráfico, hallar "  Cot " en función de "  ". Si: AB = BC   B C A x y a) 1 Tan   b) 1 Tan   c) 1 Tan    d) 1 Cot    e) 1 Cot   55. Del gráfico, calcule:  Cos  r R a) R 2 r b) R 2 r  c) r 2 R d) r 2 R  e) r 4 R  56. En un triángulo ABC, se sabe que: SenC ) C B ( Cos 2 ) B A ( Sen     Calcular: C 4 Sen B 4 Sen A 4 Sen 1 A 2 Cos C 2 Cos B 2 Cos 1 W        a) 1 b) 2 c) 4 d)  1 e) 2 1
  • 60. TRILCE 69 57. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo "  " que cumple:     Cos 7 2 Sen Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas. a) 14 97 b) 14 101 c) 14 103 d) 14 95 e) 14 99 58. De acuerdo al gráfico, calcule:                                    6 Tan 4 3 Cos 3 2 Sen K     y x a) 12 6 b) 12 3 c) 12 6  d) 12 3  e) 6 6  59. Reduzca:                            2 79 Cos 5 ) 82 ( Sen 4 2 57 Cot 3 ) 57 ( Tan 2 G a)  Sec 9 5 b)   Sec 9 1 c)  Sec 5 d)  Csc e)   Csc 9 2 60. Señale el signo de cada una de las expresiones: 11 12 Tan 1 7 36 Cos 7 20 Sen R       8 21 Cot 7 27 Csc 8 25 Sen H       5 9 Sec 9 44 Csc G     a) (+) ; () ; () b) (+) ; () ; (+) c) (+) ; (+) ; (+) d) () ; () ; (+) e) () ; (+) ; (+)
  • 62. TRILCE 71 Capítulo CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 7 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA DEFINICIÓN Es aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen del sistema cartesiano; y con radio igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto, destacaremos los siguientes elementos: A (1; 0) : origen de arcos B (0; 1) : origen de complementos de arcos A' (-1; 0) : origen de suplementos de arcos B' (0; -1) : anónimo El punto A(1;0) se denomina origen de arcos, ya que a partir de él se van a dibujar arcos orientados, con un signo asociado, tan igual que en el caso de los ángulos trigonométricos; por ejemplo, en el gráfico:  : es un arco positivo (sentido antihorario)  : es un arco negativo (sentido horario) Ahora bien, los puntos "M" y "N" se denominan extremos de arco; y dichos arcos se denominarán arcos en posición nomal. Si observamos en la siguiente C.T., notaremos que entre el arco y el ángulo central correspondiente, se cumple que numéricamente son iguales; lo cual permitirá establecer una relación entre los números reales y el ángulo central correspondiente, en radianes. En el sector circular AOM; por longitud de un arco: AOM = rad  , esto es: AOM (en rad) = AM (numéricamente) Debido a esta relación, a cada arco le corresponde un ángulo central del mismo valor, pero expresado en radianes. y B x A A' B' R=1 C.T. 1 x + y =1 2 2 O y x M B A' A   B' N 1 O   y x C.T. A' O 1 A M N 1 rad rad B B'
  • 63. Trigonometría 72 Así mismo, podemos establecer: R.T. (  rad) = R.T. (  ) ; R   Con lo cual queda claro que las Razones Trigonométricas (R.T.) de un número real, son calculables al asociarles un ángulo cuya medida está expresada en radianes, numéricamente igual considerado. Es decir; por ejemplo: Sen 2 = Sen 2 rad Tan 3 = Tan 3 rad Cos (-1) = Cos (-1 rad) LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Son segmentos dirigidos (de medida positiva o negativa) que van a representar el valor numérico de una Razón Trigonométrica de un cierto número (expresado graficamente como un arco); así como también permitirán analizar las variaciones de estas R.T., así como su comportamiento. Para comenzar con el análisis, se recomienda tener en cuenta las siguientes observaciones para la ubicación de arcos. a) Para arcos representados por números enteros: x y O C.T. 1,57= 2 3,14= 2 =6,28  O 4,71= 3 2  1 y x 1 2 3 4 5 6 b) Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' ( Z  n ) 2 n 2 ) 1 n 2 ( 2 ) 3 n 4 ( : ' B 2 ) 1 n 4 ( : B n ) 1 n 2 ( : ' A n 2 : A                               I. Línea Seno.- Representación: Variación :  2 0      2 2 3      2 2 3 Sen  0  1 1  0 0  -1 -1  0 Esto es: 1 Sen 1     ; R         1 : mínimo 1 : máximo Sen y x A; 0; 2 ; 4 ; ...   B': A' ..., 3 3 2   2  2 ; ; ; .... B:  2  2  2 ; ; ; .... y x M N A' A B B' -1 1 C.T. (+) (-) (-) Sen (+) Sen  
  • 64. TRILCE 73 II. Línea Coseno- Representación: Variación :  2 0      2 2 3      2 2 3 Cos 1  0 0  -1 -1  0 0  1 Esto es: 1 Cos 1     ; R         1 : mínimo 1 : máximo Cos Observación: Si consideramos el extremo de un arco cualquiera, notaremos que por ser un punto del plano cartesiano, tiene sus propias componentes: Por ejemplo, para "M" se nota que: abscisa = Cos ordenada = Sen  Luego: M = (Cos ; Sen ) De manera similar, las componentes de N son (Cos ; Sen ) III. Línea Tangente.- Representación: Variación :  2 0      2 2 3      2 2 3 Tan  0     0 0     0 Esto es:  < Tan  <  No hay máximo, ni mínimo (-) Cos (+) Cos   x y M N B' B A A' C.T. 1 -1 (-) (+)   y x M N A' A B' B Cos Cos Sen Sen Sen Cos C.T. T P A' C.T. B' N   B y x (+) (-) A Tan  Tan  M O Consideración: La L.T. tangente no está definida para arcos cuyo extremo esté en B ó B'; lo cual significa que la R.T. tangente no se define para todo arco de la forma: Z n ; 2 ) 1 n 2 (   