1.
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
MATEMATICA II
INTEGRAL DEFINIDA
JORGE MENDOZA
INTEGRAL DEFINIDA
RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA)

2.
1.-INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo
una función continua , es decir, nuestro objetivo es calcular el área encerrada
entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua:
Definición: Sea f una función continua en [a,b] tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo.
El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la
llamaremos integral definida de f(x) entre a y b y se designa por f x dx
a
b
( )∫ .
Hay que hacer notar que el resultado de f x dx
a
b
( )∫ no depende de la variable x
ya que se trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un
área. Así f x dx
a
b
( )∫ = f t dt
a
b
( )∫ .
2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. f x dx
a
a
( )∫ = 0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no
existe un recinto del que podamos calcular un
área.
2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b], entonces
f x dx
a
b
( )∫ > 0 y si f(x) < 0 y continua en [a,b],
entonces f x dx
a
b
( )∫ < 0.
3. Si a < b < c y f es continua en [a,c], entonces :
f x dx
a
b
( )∫ + f x dx
b
c
( )∫ = f x dx
a
c
( )∫
Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el
área bajo una función que cambia de signo en el
intervalo dónde lo estamos calculando, así en el
siguiente ejemplo si calculamos directamente
f x dx( )
2
9
∫ obtendremos 5-3+1 = 3 u2
lo cuál es falso ya
que el área correspondiente a la parte negativa también

3.
se debe sumar y no restar. Para evitar esto debemos calcular la integral en
cada uno de los intervalos de forma que la función sea siempre positiva o
siempre negativa y cambiar de signo a la que le corresponde la parte negativa:
Área = f x dx( )
2
5
∫ - f x dx( )
5
8
∫ f x dx( )
8
9
∫ = 5+3+1=9 u2
.
4. f x dx
a
b
( )∫ + g x dx
a
b
( )∫ = ( ( ) ( ))f x g x dx
a
b
+∫
5. K· f x dx
a
b
( )∫ = K f x dx
a
b
• ( )∫ Para K un número real cualquiera.
6. Si para cada x ∈ [a,b] se cumple que f(x) ≤ g(x), entonces f x dx
a
b
( )∫ ≤
g x dx
a
b
( )∫ .
7. Si f es una función continua en [a,b], entonces existe c ∈ [a,b] tal que:
f x dx
a
b
( )∫ = f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral)
3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA
Función área: Dada una función f continua en [a,b] podemos calcular f t dt
a
x
( )∫
para cualquier x ∈ [a,b] (corresponderá al área comprendida entre a y x). Por
tanto podemos considerar la función F(x) = f t dt
a
x
( )∫ , que asigna a cada x ∈
[a,b] el valor del área bajo f(x) entre a y el punto x.
Teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en
[a,b], entonces F(x) = f t dt
a
x
( )∫ con x ∈ [a,b], es derivable y además F´(x) =
f(x).
Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a,b] y G(x) es una
primitiva suya, entonces : f x dx
a
b
( )∫ = G(b) -G(a)
EJEMPLO
Queremos calcular ( )x x dx2
1
3
+∫ :
1. Calculamos una primitiva de f(x) : ( )x x dx2
+∫ = x x3 2
3 2
+ = G(x)
2. Calculo G(1) = 5/6 y G(3) = 27/2

4.
3. Calculo: ( )x x dx2
1
3
+∫ = x x3 2
3 2
+ ]x
x
=
=
1
3
= 27/2 -5/6 = 76/6 =38/3 u2
4. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES
A) CÁLCULO DEL ÁREA ENCERRADA BAJO UNA FUNCIÓN ENTRE
DOS PUNTOS:
EJEMPLO : Nos piden calcular el área comprendida entre f(x)= x3
-9x , los
puntos de abcisa x=-2, x=3 y el eje X.
Para ello calcularemos: ( )x x dx3
2
3
9−
−
∫ Si aplicamos directamente la regla de
Barrow obtendremos un resultado erróneo ya que no hemos comprobado si
existen tramos negativos de la función en el intervalo (-2, 3) .
Para calcular el área pedida seguiremos los siguientes pasos:
1. Resolvemos la ecuación x3
-9x = 0 para calcular dónde corta al eje X. El
resultado son los puntos -3, 0 y 3.
2. Seleccionamos las raíces afectadas en nuestro problema, que son las que
pertenezcan al intervalo [-2,3] : en nuestro caso 0 y 3.
3. Descomponemos Área = | ( )x x dx3
2
0
9−
−
∫ | +| ( )x x dx3
0
3
9−∫ |
4. Calculamos una primitiva de x3
- 9x : G(x) = x4
/4-9x2
/2.
5. Calculamos cada una de las integrales definidas ( )x x dx3
2
0
9−
−
∫ = 0 -(4- 18) =14
u2
y ( )x x dx3
0
3
9−∫ = 81/4 - 81/2 -0 = -81/4 y ya podemos concluir que el área
buscada es 14 + 81/4 = 137/4 u2
B) ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS
El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área de f menos el área de
g entre los puntos de corte de f y g.

5.
En el dibujo tenemos f(x) = -x2
+6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de
corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2
+5x -4 y calculamos el
área comprendida entre 1, 4 bajo f-g:
Resolvemos -x2
+5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la
integral definida .
Calculamos
  ]− + − =
−
+ − =
−
+ − −
−
+ − =∫ x x dx
x x
x u2
3 2
1
4 2
1
4
5 5
3
5
2
5
64
3
40 20
1
3
5
2
5
3
2
) ( )
B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b], se hace girar alrededor del eje
X y se engendra un cuerpo de revolución:
El volumen del cuerpo será igual a Π f x dx
a
b
2
( )∫

6.
En el dibujo tenemos f(x) = -x2
+6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de
corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2
+5x -4 y calculamos el
área comprendida entre 1, 4 bajo f-g:
Resolvemos -x2
+5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la
integral definida .
Calculamos
  ]− + − =
−
+ − =
−
+ − −
−
+ − =∫ x x dx
x x
x u2
3 2
1
4 2
1
4
5 5
3
5
2
5
64
3
40 20
1
3
5
2
5
3
2
) ( )
B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b], se hace girar alrededor del eje
X y se engendra un cuerpo de revolución:
El volumen del cuerpo será igual a Π f x dx
a
b
2
( )∫