incomplete LU-Decomposition ( by Abdelhamid Barzali )

1. Iterativer Löser
ILU-Zerlegung
Abdelhamid Barzali
Prof. Dr. Thomas Huckle
18.06.07

2. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
ILU-Zerlegung
Einführung
warum? - was? - wie?

3. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• Lösen des Gleichungssystems A*X=Y
Als Computerprogramm umgesetzt .
• Lineare Probleme der Technik lassen sich, sofern
sie nicht über- oder unterbestimmt sind auf die
Lösung eines linearen Gleichungssystems
zurückführen.
Ziel :
warum? - was? - wie?

4. warum? - was? - wie?
Es bieten sich viele Lösungsverfahren an (ZB) :
- Gauss-Alghoritmus
- QR-Zerlegung (varianten)
- Cholesky-Zerlegung
- LU-Zerlegung
…

5. warum? - was? - wie?
Die Methoden zur Lösung von linearen
Gleichungssystemen unterteilt man in zwei
klassen :
• direkte Verfahren : Cholesky-
Zerlegung,Gauss- Verfahren,LU &-
QR-Zerlegung
• iterative Verfahren : Gauß-
Seidel- und Jacobi-Verfahren,ILU..

6. LU-Zerlegung „Dreieckszerlegung “
Dies ist eine Zerlegung der regulären
Matrix A in das Produkt einer linken
unteren Dreiecksmatrix L (links)und einer
rechten oberen Dreiecksmatrix U (rechts).
Das folgende Beispiel zeigt dies:
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
warum? - was? - wie?

7. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
warum? - was? - wie?
wie

8. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
warum? - was? - wie?

9. ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
warum? - was? - wie?

10. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• A*X=Y => A=U*L => Vorwärtseinsetzen : L*Y= b
=> Rückwärtseinsetzen : R*X=Y
• Die Anzahl arithmetischer Operationen für die LU-
Zerlegung ist bei einer n *n-Matrix ca. 2/3*(n^3)
• Was ist eine dünnbesetzte Matrix ?
• Was passiert bei der Berechnung von LU bezüglich
dünnbesetzten Matrizen ?

11. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• Bei der Berechnung einer normalen LU-Zerlegung einer
dünnbesetzten Matrix :
- man kann die Besetzungsstruktur in der Regel nicht
ausnutzen
- Es wird daher sehr viel mehr Speicherplatz benötigt
als für die ursprüngliche Matrix .
- die Anzahl der notwendigen Rechenoperationen ist
nicht geringer als die für eine vollbesetzte Matrix.

12. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
Beispiel : A*X=Y A

13. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
Beispiel : A*X=Y U

14. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
ILU-Zerlegung:
auch Unvollständige LU-
Zerlegung ?

15. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
ILU-Zerlegung „Unvollständige LU-Zerlegung“
bezeichnet man in der numerischen Mathematik
die fehlerbehaftete Zerlegung einer n*n-Matrix A
in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und
einer oberen Dreiecksmatrix U
bei der von den Zerlegungsmatrizen L und U nur
die Einträge einer vorgegebenen
Besetzungsstruktur berechnet werden. Wie ?

16. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• Beispiel : A*X=Y A

17. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• Beispiel : A*X=Y U ( incomplet )

18. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• Beispiel : A*X=Y
U ( incomplet ) U (bei LU)

19. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• Präkonditionierer „Vorkonditionerer “
• bezogen auf ein lineares Gleichungssystem A*x=b
bedeutet Präkonditioniereung die Umwandlung in ein
äqualentes LGS C*y=d,sodass letzteres numerisch
einfacher zu lösen ist .
man hauptsächlich iterative
• warum das denn ?

20. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• Die ILU-Zerlegung wird erfolgreich als
Vorkonditionerer zur Beschleunigung der
iterativen Lösung großer dünnbesetzter
linearer Gleichungssysteme Ax = b mittels
Krylow-Unterraum-Verfahren eingesetzt.
• Krylow-Unterraum-Verfahren ?

21. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
Anwendung
Für die Anwendung als Vorkonditionierer
wird das Gleichungssystem Ax = b formal
mit (LU)^( 1) multipliziert,
Wendet man darauf Krylow-Unterraum-
Verfahren an, so konvergieren diese
besser, da die Matrix ((LU)^( 1))* A näher
an der Einheitsmatrix als A ist

22. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
For k = 1,...,n 1, do
For i = k + 1,...,n and if , do
mik: = mik / mkk
For j = k + 1,...,n and if ,do
mij: = mij mikmkj

23. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
• Die Kosten von ILU-Zerlegung im
Vergleich zum Verfahren Gauß-
Seidel..
• Bezüglich mehreren mit der selben
Matrix zu lösenden Systemen .

24. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
Geschichte & Varianten
- ILU(p) Weit verbreitet sind die ILU(p)-Zerlegungen, die
erstmals von Watts 1981 bei der Simulation eines Ölreservoirs
betrachtet wurden .
- Die ILUT haben den Nachteil, dass die Nichtnulleinträge
nicht aufgrund von Approximationseigenschaften gewählt
werden und somit Rechenzeit für Fast-Nulleinträge vergeudet
werden kann. (1994 von Yousef Saad vorgeschlagenen )
- ...es gibt auch weitere

25. Literatur
• Andreas Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2.
Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2005 .
• Gerard Meurant: Computer Solution of Large Linear Systems,
Elsevier, 1999
• Yousef Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems,
2nd edition, SIAM Society for Industrial & Applied
Mathematics 2003,
• A survey of preconditioned iterative methods
• Wikipedia + Vorlesung ( Nummerische Mathematik )

26. motivation definition vision diskussion
Problemstellung Beschreibung Wirkung
ILU-Iterativ 2007 - Prof. Dr. Thomas Huckle
Danke !
fürs Zuhören
:)