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Ejercicios de-estructura-cristalina resueltos

Ciencia e ingenieria

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Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El radio atómico del níquel CCC es 1.243 Å. Calcular: a) el
parámetro de red y b) la densidad del níquel, si se sabe que la masa atómica
del níquel es de 58.71 g/mol.
Datos:
mol/átomos6.02x10AvogadrodeN.
teoría)(porátomos4daÁtomos/cel
g/mol58.71M
Å243.1a
23
0
Solución:
a) Parámetro de red. En la celda CCC los átomos se contactan entre
si a través de la diagonal de las caras del cubo, de forma que la relación
entre la longitud del lado de cubo a0 y el radio atómico r es:
)1(
2
r4
abienor4a2 00
Entonces, sustituyendo los datos en la relación anterior
cm3.5157x10a
2
)cm10x243.1(4
a
8-
0
8
0
b) Densidad. Para determinar la densidad del níquel, basta con
calcular el volumen de celda y sustituir su valor con los datos en la relación:
Avogadro)deerocelda)(númdevolumen(
atómica)da)(masaátomos/celdenúmero(
)2(
Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
2
Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados
son iguales, de manera que el volumen viene dado por:
3
0aceldadeVolumen
323-
38
cm4.3455x10celdadeVolumen
)10x5157.3(celdadeVolumen
Ahora bien, sustituyendo en (2)
3
23323
cm/g977.8
)mol/átomos10x02.6)(cm10x3455.4(
.71g/mol)átomos)(584(
2. La densidad del potasio, que tiene una estructura CC y un átomo
por punto de red es 0.855 g/cm3
. La masa atómica del potasio es 39.09
g/mol. Calcule:
a) el parámetro de red y
b) el radio atómico del potasio
Solución:
Datos:
mol/átomos10x6.02AvogadrodeN.
teoría)(porátomos2daÁtomos/cel
g/mol39.09atómicaMasa
g/cm855.0
23
3
a) Parámetro de red. Como el potasio tiene una estructura cúbica, su
3
0aceldadevolumen , el cual puede obtenerse a través de la relación:
Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
3
Avogadro)deerocelda)(númde(volumen
atómica)lda)(masa(átomos/ce
donde:
Avogadro)de(número
atómica)lda)(masa(átomos/ce
celdadeolumenv
Entonces, sustituyendo los valores:
322-
233
cm10x1.5189celdadevolumen
)átomos/mol10x)(6.02g/cm855.0(
g/mol).09átomos)(39(2
celdadeolumenv
y como
3
0aceldadevolumen , despejando se obtiene el parámetro de red
Å3355.5a
cm10x3355.5acm10x1.5189a
celdadevolumena
0
8-
0
3 322-
0
3
0
b) Radio atómico. Como en la celda CC los átomos se contactan
entre si a través de la diagonal del cubo, la relación entre la longitud de la
diagonal de cubo a0 y el radio atómico r es: r4a3 0 , por lo que el radio
atómico puede calcularse despejando dicha relación
Å2.3103ócm10x3103.2r
4
)cm10x3355.5(3
r
4
a3
r
8-
8-
0
3. Un metal con una estructura cúbica tiene una densidad de 1.892
g/cm3
, un peso atómico de 132.91 g/mol y un parámetro de red de 6.13 Å. Un
Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
4
átomo asociado a cada punto de la red. Determinar la estructura cristalina del
metal.
Solución:
Datos:
mol/átomos6.02x10AvogadrodeN.
Å13.6a
g/mol132.91atómicaMasa
g/cm1.892
23
0
3
Para determinar la estructura cristalina y en base a los datos obtenidos,
basta con calcular el número de átomos por celda.
De la formula de densidad, se tiene
(1)
atómicamasa
Avogadro)deerocelda)(númde(volumen
daátomos/cel
Avogadro)deerocelda)(númde(volumen
atómica)lda)(masa(átomos/ce
Cálculo de volumen de celda. Como el metal tienen una estructura
cúbica, el
3
0aceldadevolumen , entonces:
322-
3-8
cm10x2.3035celdadevolumen
)cm10x(6.13celdadevolumen
Una vez determinado el volumen de celda y con los datos obtenidos,
determinamos el tipo de estructura sustituyendo en la relación (1)
Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
5
átomos2átomos1.974celda/átomos
)g/mol(132.91
)mol/átomos10x(6.02)cm10x(2.3035)g/cm(1.892
daátomos/cel
atómicamasa
Avogadro)deerocelda)(númde(volumen
daátomos/cel
233·22-3
Finalmente, en base al resultado, se puede decir que el metal tiene una
estructura CC
4. El galio tiene una estructura ortorrómbica, con a0=0.45258 nm,
b0=0.45186 nm y c0=0.76570 nm. El radio atómico es 0.1218 nm. La
densidad es de 5.904 g/cm3
y la masa atómica es de 69.72 g/mol. Determine
a) el número de átomos en cada celda unitaria y
b) el factor de empaquetamiento de la celda unitaria
Solución:
Datos:
átomos/mol10x6.02AvogadrodeN.
g/mol69.72atómicaMasa
g/cm5.904
nm0.76570c
nm0.45186b
nm45258.0a
23
3
0
0
0
a) Número de átomos por celda. Se determinan despejándolos de la
relación de densidad
(1)
atómicamasa
Avogadro)deerocelda)(númde(volumen
daátomos/cel
Avogadro)deerocelda)(númde(volumen
atómica)lda)(masa(átomos/ce
Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
6
Cálculo del volumen de celda. Para determinar el volumen se
multiplican cada uno de los parámetros de red, es decir
322-
7-7-7-
000
cm10x1.5659celdadevolumen
)cm10x76570.0)(cm10x45186.0)(cm10x(0.45258celdadevolumen
cxbxaceldadevolumen
ahora, sustituyendo los valores en (1)
átomos8átomos7.98celda/átomos
g/mol69.72
)átomos/mol10x(6.02)cm10x(1.5659)g/cm(5.904
daátomos/cel
atómicamasa
Avogadro)deerocelda)(númde(volumen
daátomos/cel
23322-3
b) Factor de empaquetamiento. Se calcula por medio de la relación
(2)
celda)de(volumen
átomo)devolumen)(celda/átomos(
FE
Cálculo del volumen de átomo. Considerando a los átomos
como esferas rígidas, se obtiene a través de la expresión
324-
37-
3
cm10x7.5875átomodevolumen
)cm10x1219.0(
3
4
átomodevolumen
r
3
4
átomodevolumen
Ahora bien, sustituyendo los datos en la ecuación (2)
0.3876FE
)cm10x(1.5659
)cm10x7.5875)(8(
FE 322-
3-24

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Ejercicios de-estructura-cristalina resueltos

  • 1. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 1 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El radio atómico del níquel CCC es 1.243 Å. Calcular: a) el parámetro de red y b) la densidad del níquel, si se sabe que la masa atómica del níquel es de 58.71 g/mol. Datos: mol/átomos6.02x10AvogadrodeN. teoría)(porátomos4daÁtomos/cel g/mol58.71M Å243.1a 23 0 Solución: a) Parámetro de red. En la celda CCC los átomos se contactan entre si a través de la diagonal de las caras del cubo, de forma que la relación entre la longitud del lado de cubo a0 y el radio atómico r es: )1( 2 r4 abienor4a2 00 Entonces, sustituyendo los datos en la relación anterior cm3.5157x10a 2 )cm10x243.1(4 a 8- 0 8 0 b) Densidad. Para determinar la densidad del níquel, basta con calcular el volumen de celda y sustituir su valor con los datos en la relación: Avogadro)deerocelda)(númdevolumen( atómica)da)(masaátomos/celdenúmero( )2(
  • 2. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 2 Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por: 3 0aceldadeVolumen 323- 38 cm4.3455x10celdadeVolumen )10x5157.3(celdadeVolumen Ahora bien, sustituyendo en (2) 3 23323 cm/g977.8 )mol/átomos10x02.6)(cm10x3455.4( .71g/mol)átomos)(584( 2. La densidad del potasio, que tiene una estructura CC y un átomo por punto de red es 0.855 g/cm3 . La masa atómica del potasio es 39.09 g/mol. Calcule: a) el parámetro de red y b) el radio atómico del potasio Solución: Datos: mol/átomos10x6.02AvogadrodeN. teoría)(porátomos2daÁtomos/cel g/mol39.09atómicaMasa g/cm855.0 23 3 a) Parámetro de red. Como el potasio tiene una estructura cúbica, su 3 0aceldadevolumen , el cual puede obtenerse a través de la relación:
  • 3. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 3 Avogadro)deerocelda)(númde(volumen atómica)lda)(masa(átomos/ce donde: Avogadro)de(número atómica)lda)(masa(átomos/ce celdadeolumenv Entonces, sustituyendo los valores: 322- 233 cm10x1.5189celdadevolumen )átomos/mol10x)(6.02g/cm855.0( g/mol).09átomos)(39(2 celdadeolumenv y como 3 0aceldadevolumen , despejando se obtiene el parámetro de red Å3355.5a cm10x3355.5acm10x1.5189a celdadevolumena 0 8- 0 3 322- 0 3 0 b) Radio atómico. Como en la celda CC los átomos se contactan entre si a través de la diagonal del cubo, la relación entre la longitud de la diagonal de cubo a0 y el radio atómico r es: r4a3 0 , por lo que el radio atómico puede calcularse despejando dicha relación Å2.3103ócm10x3103.2r 4 )cm10x3355.5(3 r 4 a3 r 8- 8- 0 3. Un metal con una estructura cúbica tiene una densidad de 1.892 g/cm3 , un peso atómico de 132.91 g/mol y un parámetro de red de 6.13 Å. Un
  • 4. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 4 átomo asociado a cada punto de la red. Determinar la estructura cristalina del metal. Solución: Datos: mol/átomos6.02x10AvogadrodeN. Å13.6a g/mol132.91atómicaMasa g/cm1.892 23 0 3 Para determinar la estructura cristalina y en base a los datos obtenidos, basta con calcular el número de átomos por celda. De la formula de densidad, se tiene (1) atómicamasa Avogadro)deerocelda)(númde(volumen daátomos/cel Avogadro)deerocelda)(númde(volumen atómica)lda)(masa(átomos/ce Cálculo de volumen de celda. Como el metal tienen una estructura cúbica, el 3 0aceldadevolumen , entonces: 322- 3-8 cm10x2.3035celdadevolumen )cm10x(6.13celdadevolumen Una vez determinado el volumen de celda y con los datos obtenidos, determinamos el tipo de estructura sustituyendo en la relación (1)
  • 5. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 5 átomos2átomos1.974celda/átomos )g/mol(132.91 )mol/átomos10x(6.02)cm10x(2.3035)g/cm(1.892 daátomos/cel atómicamasa Avogadro)deerocelda)(númde(volumen daátomos/cel 233·22-3 Finalmente, en base al resultado, se puede decir que el metal tiene una estructura CC 4. El galio tiene una estructura ortorrómbica, con a0=0.45258 nm, b0=0.45186 nm y c0=0.76570 nm. El radio atómico es 0.1218 nm. La densidad es de 5.904 g/cm3 y la masa atómica es de 69.72 g/mol. Determine a) el número de átomos en cada celda unitaria y b) el factor de empaquetamiento de la celda unitaria Solución: Datos: átomos/mol10x6.02AvogadrodeN. g/mol69.72atómicaMasa g/cm5.904 nm0.76570c nm0.45186b nm45258.0a 23 3 0 0 0 a) Número de átomos por celda. Se determinan despejándolos de la relación de densidad (1) atómicamasa Avogadro)deerocelda)(númde(volumen daátomos/cel Avogadro)deerocelda)(númde(volumen atómica)lda)(masa(átomos/ce
  • 6. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 6 Cálculo del volumen de celda. Para determinar el volumen se multiplican cada uno de los parámetros de red, es decir 322- 7-7-7- 000 cm10x1.5659celdadevolumen )cm10x76570.0)(cm10x45186.0)(cm10x(0.45258celdadevolumen cxbxaceldadevolumen ahora, sustituyendo los valores en (1) átomos8átomos7.98celda/átomos g/mol69.72 )átomos/mol10x(6.02)cm10x(1.5659)g/cm(5.904 daátomos/cel atómicamasa Avogadro)deerocelda)(númde(volumen daátomos/cel 23322-3 b) Factor de empaquetamiento. Se calcula por medio de la relación (2) celda)de(volumen átomo)devolumen)(celda/átomos( FE Cálculo del volumen de átomo. Considerando a los átomos como esferas rígidas, se obtiene a través de la expresión 324- 37- 3 cm10x7.5875átomodevolumen )cm10x1219.0( 3 4 átomodevolumen r 3 4 átomodevolumen Ahora bien, sustituyendo los datos en la ecuación (2) 0.3876FE )cm10x(1.5659 )cm10x7.5875)(8( FE 322- 3-24
  • 7. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 7 5. Una de las formas del manganeso tiene un radio atómico de 1.12 Å, un parámetro de red de 8.931 Å, y un factor de empaquetamiento de 0.479. ¿Cuántos átomos hay en la celda unitaria? Datos: 0.479FE cm10x8.931Å8.931a cm10x1.12Å1.12r 8- 0 -8 Solución: En base a los datos suministrados, el número de átomos por celda unitaria se puede obtener mediante un simple despeje de la expresión: (1) átomodevolumen celda)deen(FE)(volum aátomo/celd celdadevolumen átomo)devolumen)(celda/átomos( FE Para ello, se determinan el volumen de átomos y el volumen de celda Cálculo del volumen de átomo: Considerando a los átomos como esferas sólidas 324- 38- 3 cm10x5.8849átomodevolumen )cm10x1.12( 3 4 átomodevolumen r 3 4 átomodevolumen Cálculo del volumen de celda: 322- 38- 3 0 cm10x7.1236celdadevolumen )cm10x(8.931celdadevolumen aceldadevolumen
  • 8. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 8 Sustituyendo en (1) átomos58daátomos/cel 57.98aátomo/celd cm10x5.8849 )cm10x1236(0.479)(7. aátomo/celd 324- 3-22 Determine los índices de Miller correspondientes a las direcciones de la celda cúbica que aparece en la figura Solución: Dirección A 1) Se determinan coordenadas iniciales (1,0,0) y coordenadas finales (0,0,1) 2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: 10,1,-)0,0,1()1,0,0( 3) No hay fracciones por simplificar o enteros por reducir 4) ]101[ z y x z y x 1/2 3/4 A B C
  • 9. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 9 Dirección B 1) Se determinan coordenadas iniciales (1/2,1,0) y coordenadas finales (1,0,1) 2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: 11,-1/2,-)0,1,2/1()1,0,1( 3) Se simplifican fracciones: 22,-,1)1,1,21(2 4) ]221[ Dirección C 1) Se determinan coordenadas iniciales (0,3/4,1) y coordenadas finales (1,0,0) 2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: 4,-13-1,)1,43,0()0,0,1( 3) Se simplifican fracciones: 4-3,-4,)1-,43,1(4 4) ]434[ 6. Determine los índices para los planos de la celda unitaria cúbica que aparece en la figura z y x z y x 1/3 B A
  • 10. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 10 Solución: Plano A 1) Se deberá mover el origen, ya que el plano pasa a través de 0, 0,0. Se mueve también el origen un parámetro de red en la dirección “y” (ver figura). Entonces 1z-1,y,1x 2) Se determinan los recíprocos de las intersecciones: 1 z 1 ;1 y 1 1; x 1 3) No hay fracciones que simplificar 4) 1)11( Plano B 1) Se determinan las intersecciones: z3,1y,x 2) Se determinan los recíprocos de las intersecciones: 0 z 1 ;3 y 1 0; x 1 3) No hay fracciones que simplificar 4) 0)30( y Z Y X
  • 11. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 11 7. Un vector dirección pasa a través de cubo unidad (o celda unitaria) desde la posición ) 4 10,, 4 1( a la )1, 4 3, 4 1( . ¿Cuáles son los índices de dirección? Solución: Se sigue el mismo procedimiento que el presentado en el ejercicio 5 1) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: 4 3, 4 30, 4 10,, 4 11, 4 3, 4 1 2) Se simplifican fracciones: 33,0, 4 3, 4 3,04 3) [0 3 3] 8. Dibuje los vectores dirección en celdas unitarias para las siguientes direcciones cúbicas: a) ]111[ ; b) ]121[ y c) ]011[ Solución: Para ]111[ : Las coordenadas de posición para la dirección son (1,- 1,-1). Para su representación tendrá que llevarse el origen del vector dirección al vértice inferior izquierdo de la parte trasera del cubo. z y x z y x Nuevo origen O
  • 12. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 12 z y x z y x 1/2 1/2 Para la dirección ]121[ : Las coordenadas posición para la dirección, se obtienen dividiendo los índices de dirección por 2 de modo que puedan estar dentro de la celda unitaria. Son, por tanto 2 1-1,, 2 1 Para la dirección ]011[ : La coordenadas posición para la dirección, son (1,-1,0). El origen del vector dirección tiene que llevarse al vértice inferior izquierda de la parte trasera del cubo. 9. Determine los índices de Miller del plano cristalino cúbico que cortan las siguientes coordenadas de posición: (0,0, 2 1 ); (1,0,0); ( 2 1 , 4 1 ,0) Solución: Primero, se localiza como A, B y C las tres coordenadas de posición tal como se indica en la figura z y x z y x Nuevo origen O
  • 13. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 13 A continuación, se unen B y C y se prolonga BC hasta D, y se unen A y B. Por último, se unen A y D hasta completar el plano ABD. El origen para este plano en el cubo puede ser elegido en E, que da las intersecciones axiales con el plano ABD en 21z,21y,1x . Los recíprocos de estas intersecciones axiales son: 1, 2, 2. No hay fracciones que eliminar y finalmente, los índices de Miller para el plano dado: (12 2) 10. El hierro puro experimenta un cambio polimórfico de CC a CCC calentándolo al pasar los 912 ºC. Calcular el cambio de volumen asociado con el cambio de estructura de CC a CCC si a 912 ºC la celda unitaria CC tiene un parámetro de red de 0.293 nm y la celda unitaria CCC 0.363 nm. Datos: (teoría)átomos2daÁtomos/cel nm0.293a CCPara 0 (teoría)átomos4/celdaÁtomos nm0.363a CCCPara 0 XX Z Y Z Y A D C B
  • 14. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 14 Solución: El cambio volumétrico durante la transformación puede calcularse a partir de datos cristalográficos. El volumen por átomo para la red cristalina del hierro CC antes de transformarse es: 3 CC 3 3 0 CC nm0251.0V 2 )nm0.293( Vcc 2 a V El volumen por átomo para la red cristalina CCC que tiene cuatro átomos por celda unitaria es 3 CC 3 3 0 CCC nm01196.0V 4 )nm0.363( Vccc 4 a V El cambio porcentual en volumen durante la transformación CC a CCC, viene dado por: 4.9%- V V 100%x nm0.01258 nm0.01258nm0.01196 V V 100%x cióntransformaladeantesV. cióntransformaladeantesV.-cióntransformaladedespués.V V CC 3 33 CC Esto indica que el hierro se contrae al calentarse 4.9% 11. Un cristal único de un metal CCC está orientado de tal forma que la dirección [001] es paralela a un esfuerzo aplicado de 5000 psi. Calcular el
  • 15. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 15 z y x z y x [110] [111] esfuerzo cortante resultante que actúa sobre el plano de deslizamiento (111) en las direcciones de deslizamiento [110] y [011]. Solución: Para (111)/ [110]: Se aplica un esfuerzo normal en la dirección [001] de la celda unitaria. Esto produce un ángulo de 90º (por inspección) con la dirección de deslizamiento [110] y un ángulo con la normal al plano (111) (dirección [111] por ser celda cúbica). En la gráfica se muestra lo planteado anteriormente Cálculo de : Aplicando identidades geométricas º76.54 3 1 cosAr a3 a Cos 0 0 02a 0a 03a [111] [110]
  • 16. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 16 Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación cos.cos y sustituyendo los valores obtenidos 0 )º76.54)(cosº90(cospsi5000 Para (111)/ [011]: Se aplica un esfuerzo normal en la dirección [001] de la celda unitaria. Esto produce un ángulo con la dirección de deslizamiento [011] y un ángulo con la normal al plano (111) (dirección [111] por ser celda cúbica). En la gráfica se muestra lo planteado anteriormente Cálculo de : Aplicando identidades geométricas º45 )1cos(Ar a a Cos 0 0 z y x z y x [011] [111] 0a 0a 02a [011]
  • 17. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 17 Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación cos.cos y sustituyendo los valores obtenidos psi2040 )º76.54)(cosº45(cospsi5000 12. Determinar la distancia entre los planos adyacentes (121) en el cobre, el cual tiene un parámetro de red de 3.615Å. Solución: Sustituyendo los valores dados en la ecuación general Å476.1d 121 Å615.3 d lkh a d )121( 222 121 222 0 )l,k,h( 13. El litio CC tiene un parámetro de red de 3.5089 x 10-8 cm y contiene una vacancia por cada 200 celdas unitarias. Calcule: a) el número de vacancias por centímetro cúbico b) la densidad del litio Datos: mol/átomos10x6.02Avogadrode. tabla)(Porg/mol6.94atómicaMasa 200 1 Vacancias cm10x5089.3a 23 -8 0 Solución:
  • 18. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 18 a) Vacancias por centímetro cúbico: Para determinarlas, se emplea la siguiente relación: (1) celdadeVolumen vacanciasdeNúmero cm Vacancias 3 Cálculo del volumen de celda 323- 38- 3 0 cm10x4.32029celdadevolumen cm)10x(3.5089celdadevolumen aceldadevolumen Sustituyendo 320 3 323-3 cm/Vacancias10x157.1 cm Vacancias cm10x4.32029 200 1 cm Vacancias b) Densidad del litio. Se obtiene aplicando la relación de densidad. Cálculo del número de átomos por celda. Considerando que la celda presenta defectos, es necesario obtener el número de átomos (átomos calculados), mediante la definición de vacancias y asumiendo que la celda en condiciones normales presenta 2 átomos átomos1.995calculadosÁtomos 200 1 -2calculadosÁtomos Vacancias-normalesscondicioneenÁtomoscalculadosÁtomos calculadosÁtomos-normalesscondicioneenÁtomosVacancias Ahora sustituyendo en la relación de densidad
  • 19. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 19 3 23323- g/cm5323.0 )mol/átomos10x02.6)(cm10x(4.32029 94g/mol)átomos)(6.(1.995 Avogadro)deerocelda)(númde(volumen atómica)lda)(masa(átomos/ce 14. Una aleación de niobio se produce al introducir átomos sustitucionales de tungsteno en la estructura CC; finalmente se produce una aleación con un parámetro de red de 0.32554 nm y una densidad de 11.95 g/mol. Calcular la fracción de átomos de tungsteno dentro de la aleación. Datos: g/mol92.91niobiodelatómicaMasa g/mol11.95 cm10x0.32554nm0.32554a -7 0 Solución: Para determinar la fracción de átomos de tungsteno dentro de la aleación, se debe obtener primeramente el número de átomos por celda unitaria de la aleación, el cual se calcula a partir de la relación de densidad. (1) niobiodelatómicamasa Avogadro)deerocelda)(númde(volumen celda/átomos Avogadro)deerocelda)(númde(volumen atómica)lda)(masa(átomos/ce Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por: 323- 37- 3 0 cm10x3.44995celdadevolumen cm)10x(0.32554celdadevolumen aceldadevolumen Una vez determinado el volumen de celda, se sustituye en (1)
  • 20. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 20 átomos2.671daátomos/cel g/mol92.91 )átomos/mol10x)(6.02cm10x(3.44995)g/mol95.11( celda/átomos 233-23 Una vez conseguidos el número de átomos por celda unitaria de la aleación, se emplea la definición de átomos sustitucionales para determinar así, el número de átomos de tungsteno introducido en la aleación (2)tungstenodeátomosnormalesscondicioneenátomosnalessustitucioátomos Es importante destacar, que los átomos sustitucionales representa el número de átomos por celda en la aleación y los átomos en condiciones normales son el número de átomos por red cristalina en una celda CC (2 átomos). De ahí que el número de átomos por celda de tungsteno se calcula a través de un simple despeje de la expresión (2) átomos0.671tungstenodeátomos átomos2-átomos2.671tungstenodeátomos normalesscondicioneenátomos-nalessustitucioátomostungstenodeátomos Cálculo de la fracción de átomos de tungsteno: Se miden por medio de la relación siguiente 0.335átomosdeFracción átomos2 átomos0.671 átomosdeFracción normalesscondicioneenátomos tungstenodeátomos átomosdeFracción
  • 21. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 21 15. El platino CCC tiene una densidad de 21.45 g/cm3 y un parámetro de red de 3.9231 Å. En promedio ¿qué porcentaje de los puntos de red contiene vacantes? (asúmase un átomo por punto de red) Datos: (teoría)4reddePuntos mol/átomos10x6.02AvogadrodeN. (tabla)g/mol195.09atómicaMasa cm10x3.9232Å3.9232a g/cm21.45 23 8- 0 3 Solución: Para saber el número de vacancias, es necesario determinar el número de átomos por celda, el cual se determina despejándolo de la expresión de densidad (1) atómicamasa Avogadro)deerocelda)(númde(volumen celda/átomos Avogadro)deerocelda)(númde(volumen atómica)lda)(masa(átomos/ce Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por: 323- 38- 3 0 cm10x6.0379celdadevolumen cm)10x(3.9231celdadevolumen aceldadevolumen Sustituyendo en (1) átomos3.9964529daátomos/cel g/mol195.09 )átomos/mol10x)(6.02cm10x)(6.0379g/cm45.21( celda/átomos 233-233
  • 22. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 22 Como puede observarse, de haber 4 átomos/celda sería un cristal perfecto de platino; de aquí la diferencia se debe a la presencia de vacantes. Para obtener el número de vacantes se aplica la definición 0.0035471Vacancias 3.9964529-4Vacancias calculadosÁtomos-normalesscondicioneenÁtomosVacancias Cálculo del porcentaje de vacantes por puntos de red: Se obtienen a través de: 0.000886 reddePtos Vacantes 4 0035471.0 reddePtos Vacantes 16. Determinar el ángulo de un borde de grano de ángulo pequeño en el cobre CCC cuando las dislocaciones están separadas 1000 Å. El parámetro de red del cobre es de 3.615 Å. Datos: (Teoría)[110]compactaDirección Å1000D Å615.3a0 Solución: Los granos se encuentran inclinados un vector de Burgers en cada dirección cada 1000 Å. El vector de Burgers en el cobre CCC es [110], de manera que la longitud del vector de Burgers es de d110 (distancia interplanar)
  • 23. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 23 b D b D Cálculo de la longitud del vector de Burgers: Se determina mediante la relación Å2.557d 011 Å615.3 d lkh a d 110 222 110 222 0 )l,k,h( Cálculo del ángulo : Aplicando identidades trigonométricas 0.293º 002557.0 2 Sen Å1000 Å557.2 2 Sen D b 2 Sen