UNIVERSIDAD DEL VALLE DE
MÉXICO
Matemáticas IV
Bachillerato Cuatrimestral
Otoño 2021.
Profesor: Marcos Gabriel Vázquez Aguirre.
marcos_vazquez@my.uvm.edu.mx

Temario:
1.- Relaciones y funciones.
2.- Funciones polinomiales.
3.- Funciones racionales.
4.- Funciones trascendentales.

•UNIDAD 1: Relaciones y funciones.

Antecedentes
Conjuntos: Es una colección o agrupamiento de objetos, elementos,
números que tienen una característica en común o que comparten
alguna propiedad. Se denotan por letras mayúsculas A, B, C, etc.
El conjunto de las vocales
El conjunto o colección de todos loa videojuegos que tengo
El conjunto de los números pares
El conjunto de los números impares
El conjunto de los integrantes de mi familia
El conjunto de todas las letras del alfabeto

Los conjuntos los podemos representar de dos formas principalmente:
Por extensión: Es cuando enlistamos o mostramos a los elementos del
conjunto.
A= { a, e, i , o, u }
D= { 1, 2, 3, 4, 5 }
B= { 2, 4, 6, 8, 10, … }
X= { a, b, c, d, e, f, …. , x, y, z }
F= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … }

Por comprensión: Es cuando decimos o evidenciamos la propiedad que
cumplen los elementos del conjunto.
A= { Son los elementos x tal que, x es una vocal }
D= { x : 0 < x < 6 }
B= { x / x es par }
X= { x tal que x es una letra del alfabeto }
F= { x : x es un número natural o número entero positivo }

Subconjunto: Un subconjunto A del conjunto B es un conjunto que
tiene menos elementos que B o que tiene los mismos elementos que B.
A ⊂ B
Los números pares son un subconjunto de los números enteros
positivos. A ⊂ B
A= { x: x es número par }, B= { x: x es número par positivo }
Las vocales son un subconjunto de las letras del alfabeto. A ⊂ B
A= { las letras vocales } , B= { letras del alfabeto }

Producto Cartesiano:
AxB= { (a,b) : a ∈ A y b ∈ B }
En otras palabras son todas las parejas ordenadas donde la primera
entrada es un elemento del conjunto A y la segunda entrada es un
elemento del conjunto B
Ojo, se van a combinar todos los elementos de los conjuntos.

Ideas Intuitivas del concepto de “Relaciones”
- Tomemos en cuenta los siguientes conjuntos con esta
correspondencia:
Otra manera de ver esta interacción de conjuntos es:
R= { (a,1), (b,1), (c,3), (c,4), (d,2), (e,5), (f,5), (f,6) }

Relación
Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos,
Una relación de A a B R: A→B es una correspondencia o vínculo que
existe entre dos conjuntos, a cada elemento del primer conjunto le
corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.
-Al conjunto A lo llamamos “dominio”.
-Al conjunto B lo llamamos “contradominio”.
-El “rango” o “imagen” son los valores del
contradominio en los cuales esta definida la
relación.

Ejemplos:

R= { (1,e), (2,e), (3,i), (3,o) } Rango: { e, i, o }

R= {(a,1), (b,3), (c,4), (d,4) } Rango: { 1, 3, 4 }

R= { (0,0), (1,1), (-1,-1), (2,2), (-2,-2), (3,3), (-3,-3), ……… }
Dominio: Todos los números reales (todo el eje X).
Rango: Todos los números reales (todo el eje Y).

R= { (0,0), (3,5), (6,10), (-3,-5), (6,10), (-5,-8), ……… }
Dominio: Todos los números reales (todo el eje X).
Rango: Todos los números reales (todo el eje Y).

Como nos hemos dado cuenta, una relación se puede expresar de
manera algebraica (describiendo el conjunto con sus elementos) y de
manera gráfica, así que a partir de ahora será valido representarlas de
cualquier manera, pero, en este curso le daremos un poco mas de
énfasis a la manera algebraica pues de ésta sacaremos el máximo
provecho en su análisis.

Ejercicios:
De los siguientes pares de conjuntos y la relación establecida,
determina el dominio, rango y describir la relación en forma algebraica
o gráfica dependiendo del caso:

1.-

2.- R= { (a,1), (a,2), (b,3), (c,3), (d,4) }

3.- R= { (primero, enero), (segundo, febrero), (tercero, marzo),
(cuarto, abril), (quinto, mayo), (sexto, junio) }

R= { (1,a), (2,a), (3,a), (3,b), (4,d), (5,d), (5,e), (6,f), (7,f), (8,h), (9,h), (10,j) }
Rango: { a, b, d, e, f, h, j }

5.- Describe e ilustra las relaciones que existen entre los conjuntos
A= { a } y B= { 1, 2, 3 } R: A→B
𝑅𝑅1= { (a,1) }

𝑅𝑅2= { (a,2) }
𝑅𝑅3= { (a,3) }

𝑅𝑅4= { (a,1), (a,2) }
𝑅𝑅5= { (a,1), (a,3) }

𝑅𝑅6= { (a,2), (a,3) }
𝑅𝑅7= { (a,1), (a,2), (a,3) }

Funciones

• Tomemos en cuenta la siguiente tabla y la gráfica asociada:

• Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos,
Una función f de A en B f: A→B es una relación tal que a cada
elemento de A le corresponde uno y sólo uno de los elementos de B.
f= { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25) }
Dominio: { 1, 2, 3, 4, 5 }
Rango: { 1, 4, 9, 16, 25 }

• Esta NO es una función:
Ya que en el Dominio al 3 le corresponden dos valores distintos

• En las funciones generalmente ya hay una regla de correspondencia
mas específica a diferencia de las relaciones en general; así que será
mas fácil de distinguir cuando una es una función o no y con ello le
sacaremos mas provecho a la información.

Dominio (A) Contradominio (B)
Rango
a → f(a)
( a, f(a) )

• Diferencias entre funciones y relaciones:
1. Básicamente solo es una y es que en las funciones a cada elemento
del dominio le corresponde uno y solo un elemento del
contradominio.
2. En las relaciones ese aspecto no tiene importancia.
Función NO función

AxB ⊂ R: A→B ⊂ f:A→B

• Si tenemos una función descrita con los conjuntos de esta manera:
No es función Si es función
Solo bastará ver si dos o mas flechitas del conjunto A llegan a un mismo
elemento en B para afirmar que NO es una función.

• Criterio de la Recta Vertical
Éste criterio nos ayudará a saber si una relación es función o no.
Si al trazar rectas verticales en el plano cartesiano y si estas tocan en
un solo punto, entonces, se trata de una función, pero si las rectas
tocan en mas de un punto, no es una función.

• Dominio y Rango
Dominio: Es el alcance de la función sobre el eje de las X.
*Son todos los valores sobre el eje X de donde inicia la función*
Rango: es el alcance de la función sobre el eje Y.
*Son todos los valores en el eje Y a donde llega la función*

El dominio es todo el eje X, es decir todos los números reales ℝ

El Rango es todo el eje Y, ósea, todos los números reales ℝ
Entonces la función esta definida en f:ℝ→ℝ

El Dominio queda determinado por todo el eje X, ósea en los números
reales ℝ

El Rango queda determinado en todo el eje Y, es decir en los números reales ℝ
Por lo tanto la función queda determinada en f:ℝ→ℝ

El Dominio es todo el eje X, es decir todos los números reales ℝ

El Rango queda establecido en……..

Operaciones entre funciones
Sean f, g funciones, entonces definimos :
(f+g)(x)= f(x)+g(x)
(f*g)(x)= f(x)*g(x)
Composición de funciones (g◦f)(x)= g(f(x))

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
• Algebraicas
- Polinomiales
f(x)=c f(x)=mx+c f(x)=𝑎𝑎𝑎𝑎2
+ bx + c …..
- Racionales o Cociente
f(x)=
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
𝑄𝑄(𝑥𝑥)
con Q(x) ≠ 0
- Radicales
f(x)=𝑛𝑛
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
• Trascendentes
- Trigonométricas
f(x)= sen(x) f(x)=cos(x) f(x)=tan(x)
- Exponenciales
f(x)= 𝑒𝑒𝑥𝑥 f(x)= 2𝑥𝑥
- Logarítmicas
f(x)= In(x) f(x)=log(x)

• Continuas
Son aquellas en donde su gráfica NO tienen ningún punto aislado,
saltos o interrupciones; también podemos decir que están hechas en
un sólo trazo
• Discontinuas
Son aquellas en donde las gráficas presentan algún punto aislado,
saltos o interrupciones, es decir, que no están hechas de un sólo trazo.

• Uno a Uno o Inyectiva
Es cuando cada elemento del Rango proviene de un solo elemento del
Dominio.
• Sobre o Suprayectiva
Es cuando cada elemento del Contradominio proviene por lo menos de
algún elemento del Dominio, ósea, deben coincidir el Contradominio
con el Rango.
• Biyectiva
Una función es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.