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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PUEBLA
Carrera:
Ingeniería en Mecatrónica
Materia:
Matemáticas para Ingeniería
Cuatrimestre: 7 “E”
Profesor (a):
Alma Delia Ocotitla Muñoz
Nombre:
Cortes Maldonado Luis Antonio
Ramírez Soto María Helena
Tlaxca Arenas Héctor
Fecha de Entrega:
2017
Ecuaciones Cuadráticas
Forma canónica y discriminante.
∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0
7𝑥2 − 5𝑥 + 8 = 0
15𝑥2 + 3𝑥 = 0
4𝑥2 − 20 = 0
𝑥2 + 16 = 0
Ecuaciones Cuadráticas Incompletas.
En las ecuaciones del ejemplo anterior, se tiene:
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜.
7𝑥2 − 5𝑥 + 8 = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜.
15𝑥2 + 3𝑥 = 0𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑐 = 0.
4𝑥2 − 20 = 0𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑏 = 0.
𝑥2 + 16 = 0𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 ∗ 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑏 = 0
Una ecuación cuadrática o de segundo grado con coeficientes reales es una
ecuación que, simplificada al máximo, se obtiene la forma canónica 𝒂𝒙𝟐 +
𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒂 = 𝟎, 𝒚 𝒂, 𝒃, 𝒄𝑰𝑹. Además se define el número real ∆,
llamado discriminante, tal que
Ecuaciones Cuadráticas Incompletas son ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 =
𝟎 que carecen del término lineal, de coeficiente b, o de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 =
𝟎 que carecen del término independiente c.
Ecuaciones Cuadráticas
Raíz o solución de una ecuación cuadrática.
Ecuaciones Cuadráticas
Conjunto Solución.
1 Cuando una ecuación cuadrática tiene soluciones reales 𝑥1 𝑦 𝑥2 se escribe 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2}.2
Cuando una ecuación cuadrática no tiene soluciones reales se escribe S = Ø, o bien S = { }.
Ecuaciones Cuadráticas
y su resolución. El estudio del Discriminante.
1 ∆ < 0 ⇒ 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝐼𝑅, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑆 = { }.
2 ∆ = 0 ⇒ 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙.
3 ∆ > 0 ⇒ 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.
Raíz o solución de una ecuación cuadrática. Un número real r es una raíz o una
solución de la ecuación cuadrática
El Conjunto Solución de una ecuación cuadrática, es el conjunto que contiene
las raíces que satisfacen la ecuación. Se denota con S.
Resolver una ecuación cuadrática significa, hallar todas las raíces (soluciones o
ceros) de la ecuación cuadrática. Se pueden presentar tres situaciones que
dependen del valor del ∆:
Ecuaciones Cuadráticas
Métodos de Resolución.
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. A continuación se ejemplifican los
más comunes.
Ecuaciones Cuadráticas
Métodos de Resolución.
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. A continuación se ejemplifican los
más comunes.
a) Factorización. Se utiliza cuando una ecuación completa o incompleta se puede factorizar en dos
binomios o un monomio y un binomio, de manera simple.
b) Completando el cuadrado de un trinomio. Se utiliza el algoritmo de completar cuadrados para
expresar un trinomio x2 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑐𝑜𝑚𝑜 (𝑥ℎ)2 k. Se puede aplicar tanto a trinomios
mónicos como a no mónicos, así como a los casos donde c = 0.
c) Fórmula General. Se hace uso de la fórmula
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥1,2 = 2ª
Ecuaciones Cuadráticas
1. Factorización.
Encontrar el conjunto solución de la ecuación 𝑥2 + 2𝑥 − 63 = 0.
Como es un trinomio mónico, no Cuadrado Perfecto, se puede factorizar mediante Inspección. En
este caso, las soluciones serán siempre dos números reales diferentes.
𝑥2 + 2𝑥 − 63 = 0
⇒ (𝑥 − 7)(𝑥 + 9) = 0 𝑥 − 7 = 0 ∧ 𝑥 + 9 = 0 𝑥1 = 7 ∧ 𝑥2 = −9
∴ 𝑆 = {−9, 7}
Ecuaciones Cuadráticas
2. Completando el cuadrado.
Resolver la ecuación:
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎
Se toma el coeficiente p = 8, se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, para obtener el término que
se suma y se resta en la expresión. En este caso 8 2=16
Luego se completa el cuadrado y se despeja la variable x, así
(𝑥2 + 8𝑥) − 10 = 0
(𝑥2 + 8𝑥 + 16) − 10 − 16 = 0
(𝑥 + 4)2 − 26 = 0
(𝑥 + 4)2 = 26 𝑥 + 4 = ±√26 𝑥 = −4 ± √26
∴ 𝑆 = {−4 − √26, −4 + √26}
Ecuaciones Cuadráticas
Fórmula General.
Se hace uso de la conocida fórmula
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥1,2 = 2𝑎
Donde se encuentra implícito el Discriminante y es útil para resolver cualquier Ecuación Cuadrática
completa o incompleta.
Resolver la ecuación:
𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎
Se identifican los valores
𝑎 = 1, 𝑏 = 0 10 𝑦 𝑐 = 24.
Luego calcula el discriminante
100 + 96 = 196,
(que es un cuadrado perfecto). Luego se sustituyen los coeficientes y ∆ en la fórmula general.
Ecuaciones Cuadráticas y su resolución.
Al resolver una ecuación cuadrática completa o incompleta, se puede escoger el método que más
convenga según sea el caso. Además:
1 Es recomendable reducir la ecuación a su forma canónica
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 y escoger luego el método de resolución.
2 Calcule primero el discriminante, para cerciorarse que la ecuación tenga solución.
3 Las ecuaciones incompletas con b = 0 o c = 0 son fácilmente resolubles mediante factorización.
4 Es conveniente dejar el término principal positivo

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  • 1. FUNCIONES CUADRATICAS UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PUEBLA Carrera: Ingeniería en Mecatrónica Materia: Matemáticas para Ingeniería Cuatrimestre: 7 “E” Profesor (a): Alma Delia Ocotitla Muñoz Nombre: Cortes Maldonado Luis Antonio Ramírez Soto María Helena Tlaxca Arenas Héctor Fecha de Entrega: 2017
  • 2. Ecuaciones Cuadráticas Forma canónica y discriminante. ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Ejemplos de ecuaciones cuadráticas: 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 7𝑥2 − 5𝑥 + 8 = 0 15𝑥2 + 3𝑥 = 0 4𝑥2 − 20 = 0 𝑥2 + 16 = 0 Ecuaciones Cuadráticas Incompletas. En las ecuaciones del ejemplo anterior, se tiene: 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜. 7𝑥2 − 5𝑥 + 8 = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜. 15𝑥2 + 3𝑥 = 0𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑐 = 0. 4𝑥2 − 20 = 0𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑏 = 0. 𝑥2 + 16 = 0𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 ∗ 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑏 = 0 Una ecuación cuadrática o de segundo grado con coeficientes reales es una ecuación que, simplificada al máximo, se obtiene la forma canónica 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒂 = 𝟎, 𝒚 𝒂, 𝒃, 𝒄𝑰𝑹. Además se define el número real ∆, llamado discriminante, tal que Ecuaciones Cuadráticas Incompletas son ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 que carecen del término lineal, de coeficiente b, o de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 que carecen del término independiente c.
  • 3. Ecuaciones Cuadráticas Raíz o solución de una ecuación cuadrática. Ecuaciones Cuadráticas Conjunto Solución. 1 Cuando una ecuación cuadrática tiene soluciones reales 𝑥1 𝑦 𝑥2 se escribe 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2}.2 Cuando una ecuación cuadrática no tiene soluciones reales se escribe S = Ø, o bien S = { }. Ecuaciones Cuadráticas y su resolución. El estudio del Discriminante. 1 ∆ < 0 ⇒ 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝐼𝑅, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑆 = { }. 2 ∆ = 0 ⇒ 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙. 3 ∆ > 0 ⇒ 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠. Raíz o solución de una ecuación cuadrática. Un número real r es una raíz o una solución de la ecuación cuadrática El Conjunto Solución de una ecuación cuadrática, es el conjunto que contiene las raíces que satisfacen la ecuación. Se denota con S. Resolver una ecuación cuadrática significa, hallar todas las raíces (soluciones o ceros) de la ecuación cuadrática. Se pueden presentar tres situaciones que dependen del valor del ∆:
  • 4. Ecuaciones Cuadráticas Métodos de Resolución. Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. A continuación se ejemplifican los más comunes. Ecuaciones Cuadráticas Métodos de Resolución. Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. A continuación se ejemplifican los más comunes. a) Factorización. Se utiliza cuando una ecuación completa o incompleta se puede factorizar en dos binomios o un monomio y un binomio, de manera simple. b) Completando el cuadrado de un trinomio. Se utiliza el algoritmo de completar cuadrados para expresar un trinomio x2 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑐𝑜𝑚𝑜 (𝑥ℎ)2 k. Se puede aplicar tanto a trinomios mónicos como a no mónicos, así como a los casos donde c = 0. c) Fórmula General. Se hace uso de la fórmula −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥1,2 = 2ª Ecuaciones Cuadráticas 1. Factorización. Encontrar el conjunto solución de la ecuación 𝑥2 + 2𝑥 − 63 = 0. Como es un trinomio mónico, no Cuadrado Perfecto, se puede factorizar mediante Inspección. En este caso, las soluciones serán siempre dos números reales diferentes. 𝑥2 + 2𝑥 − 63 = 0 ⇒ (𝑥 − 7)(𝑥 + 9) = 0 𝑥 − 7 = 0 ∧ 𝑥 + 9 = 0 𝑥1 = 7 ∧ 𝑥2 = −9 ∴ 𝑆 = {−9, 7} Ecuaciones Cuadráticas 2. Completando el cuadrado.
  • 5. Resolver la ecuación: 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 Se toma el coeficiente p = 8, se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, para obtener el término que se suma y se resta en la expresión. En este caso 8 2=16 Luego se completa el cuadrado y se despeja la variable x, así (𝑥2 + 8𝑥) − 10 = 0 (𝑥2 + 8𝑥 + 16) − 10 − 16 = 0 (𝑥 + 4)2 − 26 = 0 (𝑥 + 4)2 = 26 𝑥 + 4 = ±√26 𝑥 = −4 ± √26 ∴ 𝑆 = {−4 − √26, −4 + √26} Ecuaciones Cuadráticas Fórmula General. Se hace uso de la conocida fórmula −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥1,2 = 2𝑎 Donde se encuentra implícito el Discriminante y es útil para resolver cualquier Ecuación Cuadrática completa o incompleta. Resolver la ecuación: 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎
  • 6. Se identifican los valores 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 10 𝑦 𝑐 = 24. Luego calcula el discriminante 100 + 96 = 196, (que es un cuadrado perfecto). Luego se sustituyen los coeficientes y ∆ en la fórmula general. Ecuaciones Cuadráticas y su resolución. Al resolver una ecuación cuadrática completa o incompleta, se puede escoger el método que más convenga según sea el caso. Además: 1 Es recomendable reducir la ecuación a su forma canónica 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 y escoger luego el método de resolución. 2 Calcule primero el discriminante, para cerciorarse que la ecuación tenga solución. 3 Las ecuaciones incompletas con b = 0 o c = 0 son fácilmente resolubles mediante factorización. 4 Es conveniente dejar el término principal positivo