Matrices elementales, matriz inversa, matriz singular, calcular matriz inversa. MATRICES ELEMENTALES-INVERSA Martha C. Moreno

1. Matrices Elementales
MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Martha C. Moreno
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

2. Matrices Elementales
MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Martha C. Moreno
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

3. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

4. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

5. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

6. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene E1 =
1 0
0 3
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

7. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene E1 =
1 0
0 3
es
una matriz elemental.
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

8. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene E1 =
1 0
0 3
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on F1 ↔ F2, se obtiene
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9. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene E1 =
1 0
0 3
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
0 1
1 0
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10. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene E1 =
1 0
0 3
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
0 1
1 0
es una matriz elemental.
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11. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene E1 =
1 0
0 3
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
0 1
1 0
es una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on 2F1 + F2, se obtiene
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12. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene E1 =
1 0
0 3
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
0 1
1 0
es una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on 2F1 + F2, se obtiene
E3 =
1 0
2 1
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13. Matrices Elementales
Definici´on
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener a
partir de la matriz identidad In al efectuar una sola operaci´on
elemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
1 0
0 1
Al aplicar a I2 la operaci´on 3F2, se obtiene E1 =
1 0
0 3
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
0 1
1 0
es una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operaci´on 2F1 + F2, se obtiene
E3 =
1 0
2 1
es una matriz elemental.
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14. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
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15. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

16. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

17. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

18. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

19. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
2 3
12 15
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

20. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
2 3
12 15
E2A =
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

21. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
2 3
12 15
E2A =
0 1
1 0
2 3
4 5
=
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

22. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
2 3
12 15
E2A =
0 1
1 0
2 3
4 5
=
4 5
2 3
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

23. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
2 3
12 15
E2A =
0 1
1 0
2 3
4 5
=
4 5
2 3
E3A =
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

24. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
2 3
12 15
E2A =
0 1
1 0
2 3
4 5
=
4 5
2 3
E3A =
1 0
2 1
2 3
4 5
=
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

25. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
2 3
12 15
E2A =
0 1
1 0
2 3
4 5
=
4 5
2 3
E3A =
1 0
2 1
2 3
4 5
=
2 3
8 11
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

26. Matrices Elementales
Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
2 3
4 5
Efectuemos las operaciones:
E1A =
1 0
0 3
2 3
4 5
=
2 3
12 15
E2A =
0 1
1 0
2 3
4 5
=
4 5
2 3
E3A =
1 0
2 1
2 3
4 5
=
2 3
8 11
¿Qu´e observa de especial?
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27. Matrices Elementales
Teorema
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

28. Matrices Elementales
Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elemental
E, el efecto es el mismo que hacer la operaci´on elemental que se
aplico a la matriz I para obtener la matriz E.
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29. Matrices Elementales
Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elemental
E, el efecto es el mismo que hacer la operaci´on elemental que se
aplico a la matriz I para obtener la matriz E.
Consideremos de nuevo E1 =
1 0
0 3
Si queremos obtener de nuevo I2 ¿Por cu´al matriz debemos
multiplicar E1?
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30. Matrices Elementales
Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elemental
E, el efecto es el mismo que hacer la operaci´on elemental que se
aplico a la matriz I para obtener la matriz E.
Consideremos de nuevo E1 =
1 0
0 3
Si queremos obtener de nuevo I2 ¿Por cu´al matriz debemos
multiplicar E1?
1 0
0 1
3
1 0
0 3
=
1 0
0 1
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31. Matrices Elementales
Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elemental
E, el efecto es el mismo que hacer la operaci´on elemental que se
aplico a la matriz I para obtener la matriz E.
Consideremos de nuevo E1 =
1 0
0 3
Si queremos obtener de nuevo I2 ¿Por cu´al matriz debemos
multiplicar E1?
1 0
0 1
3
1 0
0 3
=
1 0
0 1
Y tambi´en:
1 0
0 3
1 0
0 1
3
=
1 0
0 1
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32. Matrices Elementales
Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elemental
E, el efecto es el mismo que hacer la operaci´on elemental que se
aplico a la matriz I para obtener la matriz E.
Consideremos de nuevo E1 =
1 0
0 3
Si queremos obtener de nuevo I2 ¿Por cu´al matriz debemos
multiplicar E1?
1 0
0 1
3
1 0
0 3
=
1 0
0 1
Y tambi´en:
1 0
0 3
1 0
0 1
3
=
1 0
0 1
luego E−1
1 =
1 0
0 1
3
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33. Matrices Elementales
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

34. Matrices Elementales
¿E2 =
0 1
1 0
es no singular?
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35. Matrices Elementales
¿E2 =
0 1
1 0
es no singular?
¿E3 =
1 0
2 1
es no singular?
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36. Matrices Elementales
¿E2 =
0 1
1 0
es no singular?
¿E3 =
1 0
2 1
es no singular?
Teorema
Toda matriz elemental es no singular y su inversa es tambi´en una
matriz elemental.
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37. Matrices Elementales
Teorema
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38. Matrices Elementales
Teorema
Si An×n son equivalentes las siguientes proposiciones:
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39. Matrices Elementales
Teorema
Si An×n son equivalentes las siguientes proposiciones:
A es no singular.
AX = 0 s´olo tiene soluci´on trivial.
La forma escalonada reducida de A es In
A se puede expresar como producto de matrices elementales.
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40. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
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41. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
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42. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
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43. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
ABX = AO
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44. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
ABX = AO → X = O,
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45. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
ABX = AO → X = O, luego B es no singular,
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA

46. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
ABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe una
matriz M talque MB = BM = I,
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47. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
ABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe una
matriz M talque MB = BM = I,por la unicidad de la inversa y la
hipotesis M = A por lo que BA = I.
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48. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
ABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe una
matriz M talque MB = BM = I,por la unicidad de la inversa y la
hipotesis M = A por lo que BA = I.
Nota
Si A y B no son cuadradas el corolario es falso:
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49. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
ABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe una
matriz M talque MB = BM = I,por la unicidad de la inversa y la
hipotesis M = A por lo que BA = I.
Nota
Si A y B no son cuadradas el corolario es falso:
AB =
1 2 1
1 1 1


−1 1
1 −1
0 1

 = I2
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50. Matrices Elementales
Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I, entonces BA = I.
En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 y
B = A−1 .
Demostraci´on
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
ABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe una
matriz M talque MB = BM = I,por la unicidad de la inversa y la
hipotesis M = A por lo que BA = I.
Nota
Si A y B no son cuadradas el corolario es falso:
AB =
1 2 1
1 1 1


−1 1
1 −1
0 1

 = I2
Pero BA = I3
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51. Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
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52. Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
[A | I] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
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53. Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
[A | I] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
Ejercicio
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54. Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
[A | I] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
Ejercicio
Encontrar la inversa de la matriz (si existe).
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55. Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
[A | I] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
Ejercicio
Encontrar la inversa de la matriz (si existe).
1


2 6 6
2 7 6
2 7 7


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56. Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
[A | I] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
Ejercicio
Encontrar la inversa de la matriz (si existe).
1


2 6 6
2 7 6
2 7 7


2


−1 3 −4
2 4 1
−4 2 −9


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57. Matrices Elementales
Ejercicio
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58. Matrices Elementales
Ejercicio
Encontrar una matriz X de tama˜no apropiado tal que:




2 1 0
2 −1 3
0 1 1

 X


t
+


−3 1 −1
−3 −1 2
3 1 −2

 =


1 0 2
1 −1 3
−2 1 0


t
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