1. Probabilidad y Estadı́stica
por
Ibáñez Sandoval Araceli, De La Cruz Oliva Allan Takeshi
Escuela Superior de Ingenierı́a, Mecánica y Eléctrica-Zacatenco
Unidad Profesional, Adolfo López Mateos
Col. Zacatenco, C.P. 07738, México, D. F.
Junio de 2018
2. Bibliografı́a
Jay L. Devore,
Probabilidad y
Estadı́stica para
ingenieria y ciencias,
Ed. Cengage Learning
Walpole, et al.,
Probabilidad y
Estadı́stica para
ingenieria y ciencias,
Ed. Pearson.
Murray R. Spiegel, et
al., Probabilidad y
estadı́stica, Ed. Mc
Graw Hill.
William
Navidi,Estadı́stica para
ingenieros y cientı́ficos,
Ed. Mc Graw Hill.
4. Contenido
1.1 Definición de conjuntos
1.2 Conjunto universal, conjunto vacı́o, igualdad de
conjuntos, subconjuntos.
1.3 Operaciones de Conjuntos
1.4 Conjuntos finitos y contables
1.5 Conjunto potencia, particiones.
5. Conjuntos
Definición de Conjunto
El concepto de conjunto lo podemos definir como una colección de
objetos.
Ejemplo. Un conjunto de números, animales, teléfonos, mochilas,
libros, etc.
6. La definición dada por el matemático
Georg Cantor (1845-1918):
“Se entiende por conjunto a la agrupación
en un todo de objetos bien diferenciados de
nuestra intuición o nuestra mente”.
Notación
Usualmente los conjuntos se representan con letras mayúscula: A, B, C,
etc. Cada objeto que forma parte de un conjunto recibe el nombre de
elemento. Estos elementos tienen caracter individual, cualidades que
nos permiten diferenciarlos y cada uno de ellos es único. Cada elemen-
to se acostumbra representarlos por letras minúsculas: a, b, c, d, etc.
Ejemplo. Sea A un conjunto con elementos a, b, c, d y e:
A = {a, b, c, d, e}
esta notación recibe el nombre de notación por extensión.
7. Para decir que un elemento pertenece al conjunto A, escribimos:
a ∈ A =
a en A
a pertenece a A
a es un elemento de A
y
a /
∈ A = a no pertenece a A
Ejemplo. 1. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5},
donde 3 ∈ A y 8 /
∈ A
Ejemplo. 2. Sea B = { , ?, 4, , ∞},
donde ♣ /
∈ B y ∈ B
Ejemplo. 2. Sea D = [1, 2),
donde 0 /
∈ D y 3/2 ∈ D
8. Si todos los elementos x de un conjunto A satisfacen alguna
propiedad que puede ser expresada por una proposición p(x), se
emplea la siguiente notación:
A = {x ∈ U : p(x)}
lo cual se lee como: “A es el conjunto de elementos x que pertenecen
a U que cumplen la propiedad p(x)”. El sı́mbolo : se lee “que
cumplen con la propiedad” ó “tales que”, en ocasiones se sustituye
por:
: −→ |
Ejemplo.
Sea A = {1, 2, 3, 4} puede definirse como:
A = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 4}
9. Sea B = {2, 4, 6, 8, 10} se define como:
B = {2n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 5}
Sea C = {3, 5, 7, 9} se define como:
C = {2n + 1 ∈ N | 1 ≤ n ≤ 4}
D = [1, 2) se define como:
D = {x ∈ R | 1 ≤ x 2}
Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos A y B se dicen iguales si cons-
tan de los mismos elementos. Es decir, si y sólo si todo elemento de A
esta también contenido en B y todo elemento de B está contenido en
A. Simbólicamente:
A = B ⇐⇒ x ∈ A y x ∈ B
10. Ejemplo. Sean A = {a, b, c} y B = {c, b, a},
Los conjuntos A y B tienen los mismos elementos, no importa el
orden. Por lo tanto A = B.
Subconjunto: Un conjunto A se dice que es subconjunto de B, si
cada elemento de A es también elemento de B, es decir:
x ∈ A =⇒ x ∈ B
y se escribe como:
A ⊆ B ó B ⊇ A
Teorema. Todo conjunto A es subconjunto de sı́ mismo
Dados dos conjuntos A ⊆ B cabe la posibilidad de que se cumpla
A = B.
11. Usando los llamados “Diagrama de Venn”, este lo podemos
representar como:
A ⊆ B
Si B tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto A,
pero si todo elemento de A es elemento de B, entonces decimos que
A es un subconjunto propio de B, el cual se representa por: A ⊂ B.
Conjunto Universal: Es el conjunto de todas las cosas sobre las que
estamos tratando. Este conjuto es representado por la letra mayúscula
U.
Ejemplo. Si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto
de los números enteros. Si hablamos de ciudades, U es el conjunto de
todas las ciudades.
12. Conjunto Vacı́o: Es el conjunto que no tiene elementos y se
representa por:
φ = {}, ∀x tales que x /
∈ φ
.
Observemos que el conjunto vacı́o es subconjunto propio de cualquier
conjunto.
φ ⊂ A, en particular φ ⊂ U
Propiedades:
A ⊂ B no implica que B ⊂ A
φ ⊂ A
A ⊂ U
A ⊂ A
A ⊂ B, B ⊂ C =⇒ A ⊂ C
A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
13. Operaciones de conjuntos
Unión: Definimos la unión de dos conjuntos A y B como:
A ∪ B = x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
Propiedades:
A ∪ A = A
A ∪ B = B ∪ A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B
φ ∪ U = U
A ∪ φ = A
A ⊂ B =⇒ A ∪ B = B
14. Ejemplo:
Sean A = {1, 2, 4}, B = {a, b, c} y C = {+, 4, 2}, encuentre:
A ∪ B, B ∪ C, A ∪ C, A ∪ B ∪ C, A ∪ A.
Solución.
A ∪ B = {1, 2, 4, a, b, c}
B ∪ C = {a, b, c, +, 4, 2}
A ∪ C = {1, 2, 3, +, 4, 2}
A ∪ B ∪ C = {1, 2, 4, a, b, c, +, 4, 2}
A ∪ A = A = {1, 2, 4}
15. Intersección:
Definimos la intersección de dos conjuntos como:
A ∩ B = x ∈ (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B
Propiedades:
A ∩ A = A
A ∩ B = B ∩ A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ⊂ B =⇒ A ∩ B = A
A ∩ φ = φ
A ∩ U = A
A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B =⇒ A ∩ B ⊂ A ∪ B
16. Ejemplo:
Sean A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26},
encuentre: A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C, A ∩ A.
Solución.
A ∩ B = {4, 6}
B ∩ C = {10}
A ∩ C = φ
A ∩ A = A = {2, 4, 6}
17. Complemento:
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos
que pertenecen a U pero no pertenecen a A. Este se representa por
Ac = A0 = Ā: Ā = Ac
= {x|x /
∈ A}
Propiedades:
φc = U
Uc = φ
¯
Ā = A
A ∪ Ac = U
A ∩ Ac = φ
A ⊂ B =⇒ Ā ⊃ B̄
18. Diferencia:
Definimos la diferencia de dos conjuntos A y B como:
A − B = {x|x ∈ A y x /
∈ B}
Propiedades:
A − B = A ∩ Bc
A − B 6= B − A
A − B ⊂ A
A∪B = (A−B)∪(A∩B)∪(B−A) = (A∩B̄)∪(A∩B)∪(B∩Ā)
19. Ejemplo. Sean A = {0, 1, 2, 3} y B = {2, 3}, entonces:
A − B = {0, 1}
Conjuntos disjuntos: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Si A y
B son tales que: A ∩ B = φ entonces se dice que son conjuntos
disjuntos
20. Álgebra de conjuntos:
1 A ∪ A = A, A ∩ A = A
leyes asociativas
2 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
leyes conmutativas)
3 A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
leyes distributivas
4 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
leyes de identidad
5 A ∪ φ = A, A ∩ U = A, A ∪ U = U, A ∩ φ = φ
ley de involución
6 (Ac)c = A
leyes de complemento
7 A ∪ Ac = U, A ∩ Ac = φ, Uc = φ, φc = U
leyes de Morgan
8 (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
21. Conjuntos finitos y contables:
Conjuntos finitos:Un conjunto S es finito si S es vacı́o o si S
consiste de m elementos exactamente donde m es un entero positivo;
de otra forma S es infinito.
Ejemplo. Sean A = {1, 2, 3, 5}, D = {a, c, h, i, j, e},
E = {2, 4, 6, ...} e I = [0, 1]. ¿Que conjuntos son finitos o infinitos?
Solución. A y D son conjuntos finitos ya que el conjunto A tiene 4
elementos y el conjunto D tiene 6 elementos. Los conjuntos E e I son
conjuntos infinitos.
Conjuntos contables:Un conjunto S es contable si S es finito o si los
elementos de S pueden ser ordenados en forma de sucesión, en cuyo
caso se dice queS es contablemente infinito. Un conjunto es
incontable si este no es contable.
Ejemplo. En el caso de E e I: E es contablemente infinito y el
conjunto I es incontable.
22. Conteo de elementos en conjuntos finitos:
La notación n(S) representará el número de elementos en un conjunto
S.
Ejemplo. En los ejemplos anteriores: n(A) = 4, n(D) = 6. Para el
caso del conjunto vacio se tiene: n(φ) = 0.
Lema:Supongamos que A y B son conjuntos finitos disjuntos.
Entonces A ∪ B es finito, y:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
Corolario 1: Sean A y B conjuntos finitos. Entonces:
n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
es decir, el número de elementos en A pero no en B (A − B) es el
número de elementos en A menos el número de elementos en ambos
A y B.
23. Dado cualquier conjunto A, se observa que el conjunto universal U es
la unión disyuntiva de A y Ac, por lo tanto el lema anterior nos da
como resultado:
Corolario 2:Supongamos que A es un subconjunto del conjunto
universal U finito. Entonces:
n(Ac
) = n(U) − n(A)
Teorema: Supongamos que A y B son conjuntos finitos. Entonces
A ∩ B y A ∪ B son finitos y:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
El último elemento surge debido a que sus elementos son contados
dos veces. Para el caso de tres conjuntos:
24. Corolario 3:Supongamos que A, B y C son conjuntos finitos.
Entonces A ∪ B ∪ C es finito y:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B)
−n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Ejemplo. Dado n(U) = 20, n(A) = 12, n(B) = 9, y
n(A ∩ B) = 4, encuentre:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 12 + 9 − 4 = 17
n(Ac) = n(U) − n(A) = 20 − 12 = 8
n(Bc) = n(U) − n(B) = 20 − 9 = 11
n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B) = 12 − 4 = 8
25. Ejemplo. Entre 120 estudiantes de primer semestre en una
universidad, 40 toman matemáticas, 50 toman inglés y 15 toman
ambas materias matemáticas e inglés. Encuentre:
No toman matemáticas:
n(Mc) = n(U) − n(M) = 120 − 40 = 80
Toman matemáticas o inglés:
n(M ∪ I) = n(M) + n(I) − n(M ∩ I) = 40 + 50 − 15 = 75
Toman matemáticas pero no inglés:
n(M − I) = n(M) − n(M ∩ I) = 40 − 15 = 25
Toman inglés pero no toman matemáticas:
n(I − M) = n(I) − n(I ∩ M) = 50 − 15 = 35
26. Usando el Diagrama de Venn para resolver este problema:
Conjunto producto: Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El
conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B se
llama el producto o producto cartesiano de A y B. Una representación
corta de este producto es:
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
Para el caso de: A × A se escribe como A2.
27. Ejemplo. Sean A = {1, 2} yB = {a, b, c}. Encuentre A × B, B × A
y A × A.
Solución.
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
Observemos como A × B 6= B × A. El producto cartesiano trata con
pares ordenados, de manera que el orden en el cual se consideran los
conjuntos es importante.
28. Ejemplo. Sean A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}. Encuentre A × B.
Solución.
A×B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
Estos resultados los podemos obtener con ayuda de un diagrama de
árbol:
29. o mediante coordenadas:
B×A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}
El número de elementos para cada uno de estos productos cartesianos
es:
n(A × B) = 9 y n(B × A) = 9
30. Aunque estos productos cartesianos tienen el mismo número de
elementos, los conjuntos son diferentes. Por ejemplo en A × B se
tiene (2, 4) pero en B × A no se tiene. Por lo tanto el producto
cartesiano no es conmutativo.
Propiedades:
A × B 6= B × A
n(A × B) = n(A)n(B) (conjuntos finitos)
Ejemplo. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es finito?
A = {estaciones del año} R= n(A) = 4, finito
B = {enteros positivos menores de 1} R= n(B) = 0, B = φ,
finito
C = {enteros impares} R= infinito
D = {gatos que viven en México} R= finito
31. Conjunto potencia:Para un conjunto dado S, se puede considerar el
conjunto de todos los subconjuntos de S. Este conjunto se denomina
el conjunto potencia de S y se representa por P(S). Si S es finito
entonces P(S) también lo es.
El número de elementos de P(S) es:
n(P(S)) = 2n(S)
Observemos que S y el conjunto vacı́o φ pertenecen a P(S) puesto
que son subconjuntos de S.
Ejemplo. Sea S = φ
P(S) = {φ}
y n(P(S)) = 20 = 1 elemento.
33. Particiones: Sea S un conjunto no vacı́o. Una partición de S es una
subdivisión de S en subconjuntos que no se sobreponen ni son vacı́os.
Precisamente, una partición de S es una colección {Ai} de
subconjuntos no vacı́os de S tales que:
1 Cada a en S pertenece a una Ai.
2 Los conjuntos de {Ai} son mutuamente excluyentes, es decir:
Ai 6= Aj ⇒ Ai ∩ Aj = φ
Para el caso de un conjunto con cinco subconjuntos A1, A2, A3, A4 y
A5.
34. Ejemplo. Consideremos las siguientes colecciones de subconjuntos
de S = {1, 2, ....., 8, 9}
1 [{1, 3, 5}, {2, 6}, {4, 8, 9}]
2 [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}]
3 [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}]
¿Cuál de estas colecciones de subconjuntos es una partición de S?
Solución. 1: no es una partición de S puesto que 7 en S no pertenece a
ninguno de los subconjuntos. 2: tampoco es una partición de S porque
{1, 3, 5} y {5, 7, 9} no son disjuntos. 3: si es una partición de S.
35. Ejercicios:
Supongamos que el conjunto universal consta de:
U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. Si A = {b, c, d}, B = {c, d, e} y
C = {e, f, g}, encontrar:
1 Ac
∩ B
2 Ac
∪ B
3 (Ac
∩ B)c
4 (A ∩ (B ∩ C)c
)c
5 [A ∩ (B ∪ C)]c
Solución.
1.
Ac
∩B = B∩Ac
= B−A = {e}
36. 2.
Ac
∪ B = {a, c, d, e, f, g, h, i, j}
3.
(Ac ∩ B)c = (Ac)c ∪ Bc = A ∪ Bc
= {a, b, c, d, f, g, h, i, j}
37. También podemos resolver este ejercicio de la siguiente manera:
Ac
= {a, e, f, g, h, i, j}, B = {c, d, e}
Entonces la intersección de estos dos conjuntos es:
Ac
∩ B = {e}
donde se puede obtener su complemento:
(Ac
∩ B)c
= {a, b, c, d, f, g, h, i, j}
4.
[A ∩ (B ∩ C)] = [A ∩ (B ∪ C)] = A ∪ (B ∪ C)
= A ∪ (B ∩ C) = A ∪ (B ∩ C)
Entonces:
A = {a, e, f, g, h, i, j},
