UNA VISIÓN DE LA DIDÁCTICA DE LASMATEMÁTICAS DESDE FRANCIA.ALGUNOS CONCEPTOS Y MÉTODOSSeminario de formación de profesores...
unaempresadocente®IntroducciónLa educación matemática es una disciplina científica que desde hace algunas décadas seha ven...
autónoma con unas características conceptuales y metodológicas que la diferencian delo que se hace y cómo se hace en el re...
juego. Esa interacción es motivada por un agente didáctico que crea una situación deaprendizaje que es el espacio para la ...
contrato didáctico, problema, situación didáctica, situación a-didáctica, devolución,variable didáctica e institucionaliza...
Con algunos de sus compañeros discuta una de estas preguntas. Para dar su respuestause como referencia su experiencia de f...
Tal vez el predominio de visiones centradas en las matemáticas para la formación deprofesores influye de manera fuerte en ...
. La didáctica existe como un objeto al que hay que referirse para hablar de losfenómenos de la didáctica misma.. La didác...
ofrecer una metodología de investigación para la producción de conocimientoacerca del sistema didáctico a través de la for...
B.-----× 5 (3–2x)³ 10 × ----è 5øè 5øC.-3–2x ³ 2D.-3–2x (–3)³ 2 (–3)E.-–2x ³ –1æ 1öæ 1öF.-è –----×(–2x) £è –----×(–1)øø221G...
Análisis preliminaresArtigue (1995b, pp. 38-42) sugiere una serie de puntos que podrían considerarse dentrode un análisis ...
la solución de problemas. Esto requiere que el estudiante actúe, formule, pruebe,construya modelos, lenguajes, teorías y q...
contenido,. se formula la realización en sí,. se hace una previsión de la manera como el estudiante abordaría la realizaci...
estructura social de la clasesaberes iniciales de los estudiantesElementos conceptuales 2... continuación...Entre estos tr...
Variables numéricas. es necesario prever una rejilla que haga intervenir númerosgrandes (a>6 y b³ 11) para que los estudia...
Elementos conceptuales 3Dialéctica herramienta-objeto y juego de cuadrosEstos conceptos han sido desarrollados por Douady ...
acciones basadas en convicciones más que en conocimientos precisos. Este es el caso deel estado de los números complejos e...
Reflexiones finalesEvaluación aUna vez realizada esta breve inmersión por la didáctica francesa de las matemáticas,podemos...
(Ed.) (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para lainvestigación y la innovación en la enseñanz...
Handbook of research on mathematics education teaching and learning. New York:Macmillan, pp. 3-38.
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Una visión de la didáctica

730 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
730
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
4
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Una visión de la didáctica

  1. 1. UNA VISIÓN DE LA DIDÁCTICA DE LASMATEMÁTICAS DESDE FRANCIA.ALGUNOS CONCEPTOS Y MÉTODOSSeminario de formación de profesores sobre la didáctica delas matemáticas francesaPaola Ximena Valero DueñasCúcuta, mayo de 1997UNIVERSIDAD DE LOS ANDESAPARTADO AÉREO 4976BOGOTÁ - COLOMBIATELÉFONOS: 2 84 99 11 - 2 82 40 66 EXT. 2717FAX: 284-1890E-MAIL: PVALERO@ZEUS.UNIANDES.EDU.CO
  2. 2. unaempresadocente®IntroducciónLa educación matemática es una disciplina científica que desde hace algunas décadas seha venido desarrollando en diversas partes del mundo. Es la disciplina que estudia losfenómenos relacionados con el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, no sóloen el contexto del la relación entre profesor-estudiante-conocimiento matemático en elsalón de clase, sino también en contextos institucionales de la organización escolar, eincluso en contextos sociales más amplios como comunidades humanas. En estadisciplina convergen numerosas ciencias entre las cuales se encuentran las matemáticas,la pedagogía, la psicología, la antropología y muchas otras ciencias sociales que aportanelementos para explicar los fenómenos propios de la educación matemática (Kilpatrick,1991).Esta disciplina ha adquirido características particulares en las diversas regiones delmundo donde se ha desarrollado con más fuerza. Si miramos al mundo, podríamosubicar varios sitios centrales donde se realiza educación matemática con algunasparticularidades.U.S.A.BrasilAustraliaPaíses nórdicosReino UnidoFrancia IsraelFigura Nº 1. Ubicación de los centros importantes de la educación matemáticaLos Estados Unidos han desarrollado una cantidad importante de las teorías einvestigaciones sobresalientes de la disciplina. El enfoque de investigaciónpredominante es la investigación empírico analítica y experimental. En el Brasil se hadesarrollado la teoría de la etnomatemática que, al mezclar la teoría pedagógica dePaulo Freire y la visión socio-cultural de la antropología, se ha centrado en el estudio delos conocimientos técnicos y matemáticas de las comunidades “no occidentales”. EnAustralia se le ha dado gran énfasis a los problemas de la formación del profesorado y ala aplicación de metodologías cualitativas de investigación, en especial, lainvestigación-acción. En Israel se ha dado especial importancia al tema del pensamientonumérico y, tal vez, es uno de los centros de oriente con mayor fuerza internacional enla disciplina. En los Países Nórdicos (Suecia, Noruega, Finlandiay Dinamarca) hay una preocupación común por el estudio de los fenómenos de laeducación matemática desde una perspectiva social amplia donde se toman elementosde disciplinas como la ciencia política, la antropología y la sociolingüística, entre otras.En el Reino Unido también hay una tendencia a considerar fenómenos socialesvinculados con la educación matemática y a mirar muchas de las problemáticas desde laperspectiva de la reforma educativa y el cambio social. En Francia, tal vez con mayorfuerza que en las otras partes del mundo, se ha logrado construir una disciplina
  3. 3. autónoma con unas características conceptuales y metodológicas que la diferencian delo que se hace y cómo se hace en el resto del mundo.Algunas características fundamentales de la didáctica de las matemáticaPara comenzar, esta disciplina en Francia recibe el nombre de Didactique desMathématiques–Didáctica de las Matemáticas. La especificidad de la denominación, por oposición aotras como educación matemática o matemática educativa que incluyen el términoeducación, reside en la especificidad que esta visión otorga a la puesta en juego delconocimiento matemático en la relación de enseñanza entre el profesor y el estudiante.La visión de los franceses se ha venido difundiendo por el mundo y en especial hatenido gran influencia en la comunidad de investigadores españoles y mexicanos. EnColombia comienza a tener un cierto impacto ya que se comienzan a difundir en lenguaespañola algunos de los trabajos más relevantes de los investigadores principales deFrancia (ver Artigue, Douady, Moreno y Gómez, 1995; y próximamente Balacheff,1997).Si bien por lo general se escucha referirse a la didáctica de las matemáticas francesacomo a la “Escuela Francesa”, algunos de los investigadores mismos se oponen a que seconsidere a las diversas producciones científicas y prácticas como un bloque unificadode pensamiento.Empero, sí se puede hablar de una serie de rasgos comunes que comparte lacomunidad tanto de investigadores que producen el conocimiento, como de profesoresque se sirven de él en su ejercicio docente. Estos rasgos comunes son:La didáctica sistematiza las prácticas de la enseñanza de las matemáticas. Estadisciplina está asociada con la reacción posterior al fracaso de las MatemáticasModernas en los años 60.Por oposición a una visión de la enseñanza de las matemáticas como una actividadcentrada en la producción de innovaciones de enseñanza no necesariamente sustentadasni reflexivas.La didáctica comienza el establecimiento de conceptos y metodologías tanto paraproducir conocimiento acerca de los fenómenos como para dar un carácter metódico a laacción del profesor en el aula.Los fenómenos se conciben desde una perspectiva sistémica. Los fenómenos deenseñanza-aprendizaje de las matemáticas se llevan a cabo dentro de un sistemadidáctico que básicamente se compone de los elementos profesor, estudiante yconocimiento matemático, y de las relaciones entre estos. La teoría de juegos es otra delas herramientas que acompaña a la visión sistémica.La visión del aprendizaje se sustenta en la teoría epistemológica piagetiana. Existe unconsenso más o menos extendido entre los investigadores de la disciplina acerca de laconcepción sobre la naturaleza de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Estos se vencomo una interacción entre un sujeto y un medio, que permite al sujeto realizar una seriede acciones conducentes a la construcción de un conocimiento matemático puesto en
  4. 4. juego. Esa interacción es motivada por un agente didáctico que crea una situación deaprendizaje que es el espacio para la relación del sujeto y el medio.La construcción conceptual sobre el sistema didáctico es común. Como lo señalaArtigue (1994a, p. 11), hoy en día hay tres aproximaciones conceptuales a losfenómenos de la didáctica, aproximaciones no excluyentes, sino complementarias. Esasson:. La aproximación de G. Vergnaud que se basa en la dimensión cognitiva de losprocesos y que tiene por eje central el concepto de campos conceptuales..La aproximación de Y. Chevallard que ofrece una visión desde el tipo de conocimientomatemático y los saberes que están en juego en las relaciones deaprendizaje de las matemáticas. El concepto clave de esta visión es latransposi- ción didáctica, la transformación que sufre el conocimiento matemático “sabio”de los matemáticos puros para adquirir una forma de conocimiento matemáticoescolar, que es el que efectivamente usan profesores y alumnos en el contextode la escuela..La aproximación de G. Brousseau que modela con detalle los elementos quehacen parte del sistema didáctico, los fenómenos que se suceden en dicho sistema,los factores internos y externos que lo alimentan y las respuestas del sistemaa tales factores externos. El conceptos central aquí es el de situacióndidáctica, una conceptualización particular del sistema didáctico y su funcionamiento.La ingeniería didáctica es la metodología compartida. La ingeniería didáctica es unametodología que se utiliza como herramienta tanto del profesor para producirrealizaciones didácticas en clase, como del investigador para producir conocimientoacerca del sistema didáctico. Por contraste con otras metodologías experimentalesexternas, la ingeniería didáctica realiza una validación interna de sus resultados a travésdel contraste de una serie de supuestos a priori y lo observado sobre ellos a posteriori.El seminario Sería pretencioso imaginar que en tiempo limitado del seminario podríaabarcarse por completo, o incluso gran parte de lo que es la didáctica francesa de lasmatemáticas. Y no sólo algo similar sería casi imposible por el hecho de la cantidad,extensión y profundidad de las ideas básicas de esta disciplina, sino sobre todo por lacomplejidad que toda esa conceptualización implica. Comprender los conceptos de estavisión sobre la educación toma tiempo y requiere de un estudio juicioso y de unapráctica reflexiva que trate de iluminarse desde esa perspectiva. Esta comprensiónqueda en mano de cada uno de los participantes del seminario.El objetivo que, de manera más modesta, sí se puede pretender es el de realizar unapresentación de tres de los grupos de conceptos que en mi manera de ver tienen mayorutilidad en la formación del profesor, dado el carácter práctico que eventualmentepueden tener en el aula. Estas ideas son:. La ingeniería didáctica como metodología para tratar de comprender la complejidadde los fenómenos de aprendizaje de las matemáticas.. Los conceptos mínimos básicos de la teoría de las situaciones didácticas con elfin de introducirse en la racionalidad de la didáctica francesa. En especial interesaabordar conceptos como el sistema didáctico, sujeto, medio, agente didáctico,
  5. 5. contrato didáctico, problema, situación didáctica, situación a-didáctica, devolución,variable didáctica e institucionalización.. Los conceptos asociados con la dialéctica herramienta-objeto y el juego de cuadros.A través de la explotación a fondo y análisis detallado de una situación de enseñanza, sepondrán en juego estos diversos conceptos con el fin de darles una base de significadoque contribuya a que los profesores participantes puedan seguir trabajando en el tema.El papel de la didáctica en la formación de profesoresReflexión preliminarPrimer trabajo en grupoUna de los papeles más destacados de los investigadores franceses en didáctica de lasmatemáticas es su contribución a la formación de profesores, tanto en los nivelesiniciales de las licenciaturas, como en la formación permanente de profesionales y en laformación de postgrado.Cuando uno se pregunta acerca del papel de la didáctica en la formación de profesoressurge principalmente un interrogante: ¿qué aporta la didáctica como disciplina científicaa un profesor, que no es un investigador y que no pretende producir conocimiento de esetipo, sino que más bien es un ejecutor?Esta pregunta me surge de la idea –que a mi modo de ver es errada– acerca de lautilidad para la cualificación y desarrollo profesional de que un profesor “aprenda” losconceptos de la didáctica. Creo que es errada por varias razones: los conceptos no sonútiles por sí mismos sino en la medida en que se construyan dentro de la práctica;construir esos conceptos y darles significado requiere de procesos muy largos detrabajo, indagación y reflexión, y tal vez un seminario no es suficiente para lograr eseproceso.De aquí que me interese comenzar por tratar de ubicar de forma más realista laproblemática que gira en torno a involucrar a los profesores en la didáctica de lasmatemáticas como disciplina científica. Por otro lado, una de las grandespreocupaciones de diversos investigadores franceses también ha estado en tratar decomprender esta problemática con miras a proponer estrategias de formación deprofesores mucho más coherentes y eficaces.Para iniciar la reflexión al respecto, considere las siguientes preguntas:A.-¿Qué es más importante: la formación matemática o la formación didácticadel profesor de matemáticas?B.-¿Cuál es el aporte de la didáctica al profesor de matemáticas?C.-¿En qué consiste la profesionalización del profesor de matemáticas?D.-¿Cómo se debería hacer la inmersión de los profesores en la didáctica?E.-¿Cuáles pueden ser los obstáculos a una formación didáctica de los profesores dematemáticas?
  6. 6. Con algunos de sus compañeros discuta una de estas preguntas. Para dar su respuestause como referencia su experiencia de formación y la bibliografía que estudió, enespecial el artículo“Lugar de la didáctica de las matemáticas en la formación de profesores” de M. Artigue.Esta respuesta servirá de base para una discusión plenaria posterior.Asuntos centrales de la problemáticaLa formación de profesores de matemáticas ha seguido muchos de los debates sugeridospor las preguntas anteriores1. Vale la pena considerar algunos de ellos.1. Las siguientes ideas se basan en la presentación de Butlen (1992).Matemáticas vs. didáctica de las matemáticasA lo largo de la historia reciente, ha habido diferentes etapas en lo que se privilegia enla formación de los profesores de matemáticas. Se han dado en Francia en los institutosde formación inicial de profesores las siguientes:. Formación centrada en las matemáticas con un leve acompañamiento de técnicaspedagógicas generales.. Formación “pedagogista” que si bien sigue enfatizando las matemáticas, presentamodelos de enseñanza a forma de ejemplos a seguir. Se presentan realizacionesperfectas que deben tratar de imitarse y se postulan “axiomas” quedebe saber el militante pedagogista.. Formación metamatemática donde se hace una reflexión acerca de las matemáticascomo medio para fortalecer el conocimiento matemático de los profesores,pero sobre todo para modificar sus concepciones acerca de ellas.. Formación didáctica que integra en la práctica docente del profesor las nocionesque ha producido la didáctica como disciplina científica.Lo que es interesante mirar en cada una de estas etapas son las visiones, más o menosexplícitas de los formadores, acerca de lo que es ser profesor de matemáticas y de lo queimplica formar uno. Los últimos desarrollos muestran que comienza a haber unaconsideración de la enseñanza de las matemáticas como una profesión con unacomunidad profesional que la sustenta como práctica social.Profesionalización de los profesores¿Qué es lo propio del profesor de matemáticas como representante de una comunidadprofesional? ¿Qué conocimientos y comportamientos lo caracterizan? La posición deque el profesor es la persona que se ocupa de la labor de enseñar matemáticas a unosestudiantes en entornos escolares determinados (primaria, secundaria, ciclo básicouniversitario2) se diferencia de aquella que ve al profesor como un matemático. Si bien el profesordebe conocer las matemáticas, en su ejercicio profesional el no hace las matemáticas“eruditas” de los matemáticos sino que construye las matemáticas transpuestas delentorno escolar.Además no interactúa con problemas matemáticos puros, sino que interactúa conestudiantes en proceso de aprendizaje. Este hecho hace que los objetos de la profesióndel profesor sean distintos a los objetos de la profesión del matemático.
  7. 7. Tal vez el predominio de visiones centradas en las matemáticas para la formación deprofesores influye de manera fuerte en que no sea fácil ubicar en qué consiste laprofesionalización propia del profesor de matemáticas.El papel de la didáctica en la interacción formador-formadosLa didáctica como disciplina científica está presente en la interacción entre la persona opersonas a cargo de la formación y las personas en proceso de formación, de distintasmaneras:. Es el telón de fondo de la formación general ya que permite una racionalizaciónde las prácticas de enseñanza generales y las particulariza con relación alas matemáticas. Provee una relación con la psicología, la epistemología y lasteorías de la comunicación. Ofrece explicaciones generales parciales.. Para el formador es la referencia epistemológica que permite presentar lasestrategias y herramientas didácticas a las personas en formación.2. Aquí no me refiero al profesor de estudiantes de matemáticas puras, sino de los otrosestudiantes para quienes las matemáticas son una herramienta en su formación dentro deotra disciplina).. Para la persona en formación provee las herramientas para comprender mejorla complejidad de la clase y, por lo tanto, racionalizar sus decisiones y accionesen el aula.. Y para la relación misma de formación suministra una justificación para la formacióny unos objetivos. Además provee los contenidos de la formación.Esta influencia de la didáctica se podría ilustrar así:ContextoBase epistemológica, psicológica y comunicativa general a la enseñanza de lasmatemáticasFormadorSustento epis-temológicoFormadoFormaciónJustificación, objetivosy contenidosRacionali-zación de su prácticaFigura Nº 2. Influencia de la didáctica en la formación de profesoresAlternativas de inmersión en la didácticaExisten también diversas posiciones sobre los contenidos de la didáctica en la formacióndel profesor:
  8. 8. . La didáctica existe como un objeto al que hay que referirse para hablar de losfenómenos de la didáctica misma.. La didáctica proporciona herramientas que hay que presentar, y luego se lesencontrará utilidad.. La didáctica proporciona herramientas que hay que presentar, pero hay que tratarlascuando sea necesario y estudiarlas de forma sistemática.. La didáctica existe en el campo de la investigación. Sólo vale la pena utilizarla sihay la seguridad de que va a aportar algo concreto o bien al formador o a lapersona en formación.¿Cuál es la posición más adecuada para tomar?Como conclusión parcialCon todo lo anterior es claro que establecer un contacto entre un profesor en formacióny un profesor formador no es un asunto de transmisión de conocimiento teórico sobre ladidáctica. Es necesario poder ubicar el papel que puede jugar el conocimiento didácticoen la práctica docente del profesor de matemáticas.Por toda esta serie de razones, a continuación trataremos de integrar de una maneracrítica en este seminario, una pequeña porción de la dimensión conceptual,metodológica y práctica de la didáctica de las matemáticas francesas.Métodos, conceptos y prácticasEvaluación a prioriUsted tuvo un material bibliográfico que debió preparar para la participación en esteseminario. De las lecturas “Ingeniería didáctica” de M. Artigue, “La ingeniería didácticay la evolución de su relación con el conocimiento” de R. Douady ó “Utilidad e interésde la didáctica para un profesor –parte 1 y 2–” de G. Brousseau, seleccione un conceptoque usted crea haber comprendido y explíquelo en máximo una página.Preliminares Como se había mencionado anteriormente, en este seminario se abordaránalgunos conceptos centrales de la didáctica de las matemáticas y se tratarán de poner enjuego a través del análisis y construcción de una ingeniería didáctica. Por convenienciapara la mayoría de los asistentes se tratará un tema de enseñanza de los últimos gradosde secundaria.El propósito de la ingeniería didácticaLa realización didácticaLa ingeniería didáctica guarda dos propósitos esenciales:. brindar una herramienta de trabajo a los profesores para la elaboración de realizacionesdidácticas sustentadas y reflexivas –en oposición a una prácticadocente que innova de manera compulsiva–;.
  9. 9. ofrecer una metodología de investigación para la producción de conocimientoacerca del sistema didáctico a través de la formulación, aplicación y evaluacióndel efecto de realizaciones didácticas en el sistema didáctico.Por los motivos discutidos en al sección anterior interesa considerar con mayor detalleel primer propósito.Como herramienta para el profesor, la ingeniería didáctica ofrece la posibilidad dediseñar, aplicar y evaluar realizaciones didácticas. Este proceso metódico sin duda sediferencia de la práctica desprevenida del profesor porque exige:. desarrollar una consciencia de la complejidad de la enseñanza, del aprendizajey del conocimiento matemático que se pone en juego en la clase;. tratar de generar una comprensión profunda de las características del comportamientodel profesor, de los estudiantes y de la tarea matemática que generala interacción entre los dos;. tratar de tener un control que permita posteriormente evaluar los procesos deaprendizaje, con herramientas más profundas que el típico “sí entendí” de losestudiantes.En este sentido, la ingeniería didáctica ofrece la oportunidad de intervenir en un sistemadidáctico a través de una realización didáctica –una secuencia de enseñanza planificaday diseñada por el profesor con base en una reflexión anterior.IIIIAnálisis preliminaresIIAnálisis a priori y concepciónRealización didácticaSistema didácticoPP EECMCMIIAnálisis a posteriori y evaluaciónExperimenciónFigura Nº 3. El proceso de la ingeniería didácticaUn ejemplo de realización didácticaCon el propósito de comenzar a trabajar la secuencia de la ingeniería didáctica y losconceptos propios del sistema didáctico, consideremos el siguiente problema que unprofeso rpropuso a sus estudiantes. Busque un compañero para resolver el problema.Desigualdad linealA continuación se presenta un proceso de solución de la desigualdad 5 (3–2x)³ 10 :A.-5 (3–2x)³ 10æ 1öæ 1ö
  10. 10. B.-----× 5 (3–2x)³ 10 × ----è 5øè 5øC.-3–2x ³ 2D.-3–2x (–3)³ 2 (–3)E.-–2x ³ –1æ 1öæ 1öF.-è –----×(–2x) £è –----×(–1)øø221G.-x £ –----2Con base en este proceso:. Represente gráficamente las situaciones de los pasos A, C, E y G..A partir de lo hecho en el punto anterior, explique el enunciado: “la propiedadde orden en la adición y la propiedad de orden en la multiplicación mantienenla desigualdad”.. Explique el concepto de desigualdad y de desigualdades equivalentes.Los pasos de la ingeniería didáctica en detalleA continuación vamos a tratar de reconstruir el proceso de la ingeniería didáctica quesubyace a este problema. El trabajo consiste en, con base en la experiencia de haberresuelto el problema, discutir los diversos aspectos que el profesor tuvo que considerarpara diseñar esta pequeña realización didáctica.Una base anteriorComo ya se mencionó, algo que es común en los realizadores de ingenierías es la baseepistemológica de la que parten y en la que sustentan todo su trabajo. La visiónconstructivista del aprendizaje, y lo que ella implica en la enseñanza, predomina. Comobases se podría hablar de la visión de las matemáticas (¿qué son?), del aprendizaje(¿cómo se aprende?) y de la enseñanza (¿cómo se enseña?). A manera de ejemplo sobreesta serie de sustentos ver Douady (1995, pp. 63-65).
  11. 11. Análisis preliminaresArtigue (1995b, pp. 38-42) sugiere una serie de puntos que podrían considerarse dentrode un análisis preliminar. Básicamente resalta la consideración de:. el saber matemático en juego,. las características de la cognición de los estudiantes con respecto a ese sabermatemático,. las características de la enseñanza en relación con la influencia que la manerausual de hacerla tiene en la comprensión del estudiante de ese tema.Para dar cuenta de ello, se podrían formular las siguientes preguntas:. ¿Cuál es el objetivo de la realización?. ¿Cuáles son las características de los conocimientos, desde el punto de vistamatemático, de los objetos involucrados en la realización?. En qué consiste el problema que se observa comúnmente en el desempeño delos estudiantes frente al tema matemático de la realización? ¿Cuáles son los errores quese observan en los estudiantes?. ¿Cuáles son las razones, asociadas con la manera de enseñanza tradicional, deque se cometan esos errores?Elementos conceptuales 1La transposición didácticaLa comunidad de los matemáticos, como producto de su actividad, ha constituido uncuerpo de saberes que se caracteriza por sus formulaciones, en esencia axiomáticas. Sinembargo, la presentación de esos saberes en el salón de clase deja a un lado gran partede su proceso de construcción y de sus características. El conocimiento matemático dela clase no es el mismo que el saber de los matemáticos. El segundo es el resultado deuna transformación que se sucede sobre el primero, y que se llama transposicióndidáctica. Según Brousseau (1986, pp. 36), esta se refiere a la operación que“para volverlas más fáciles, aisla algunas nociones y sus propiedades del tejido deactividades donde se han originado, tomado significado, encontrado motivación y tenidoun uso”.Elementos conceptuales 1El trabajo del matemático, del estudiante y del profesor frente a la transposicióndidácticaEl matemático. El matemático produce conocimientos que depura, descontextualiza,despersonaliza y destemporaliza lo más posible. Una vez en ese estado, comunica losresultados de su investigación. Quien recibe la comunicación debe comprender dichosresultados de manera que él mismo pueda reconstruir el camino de creación y puedacomprenderlos para utilizarlos. Esos receptores entonces, transforman los resultados, losreformulan, aplican y generalizansegún sus necesidades. Y muchas veces los destruyen por encontrarlos inútiles oinsuficientes, o porque losincorporan a otros más amplios o porque simplemente los olvidan. Así que dentro delgrupo científico de matemáticos mismos se inicia la transposición.El estudiante. La actividad del estudiante es comparable con la del matemático en tantosaber matemáticas implica conocer las definiciones, teoremas y reglas para aplicarlos en
  12. 12. la solución de problemas. Esto requiere que el estudiante actúe, formule, pruebe,construya modelos, lenguajes, teorías y que las intercambie con otros que hacen parte desu cultura.El profesor. El profesor, entonces, debe proponer a los estudiantes situaciones en las quelos conocimientos aparezcan como una forma de solucionar problemas. Por esto, eltrabajo del profesor es contrario al del matemático. El profesor debe recontextualizar yrepersonalizar los conocimientos para que ellos puedan tener sentido para el estudiante.Así que el profesor debe simular una micro-sociedad científica para que losconocimientos tengan un espacio de surgimiento.Pero como interesa que los estudiantes se acerquen al saber matemático, entonces ellosdeben redescontextualizar y redespersonalizar el conocimiento que han podido adquirir.Situación a-didáctica, didáctica y contrato didácticoLa enseñanza y el aprendizaje se realizan por medio de la interacción entre profesor yestudiante; y el conocimiento se presenta en el juego de proposición de un problema yde formulación de una solución al mismo. Una situación didáctica es aquella interaccionque se da entre el profesor y el estudiante por motivo de la actividad de la resoluciónde un problema. Y una situación a-didáctica es aquella situación donde no hay laintencionalidad directa de enseñar, sino de donde el estudiante se enfrenta a unproblema para que se generen procesos cognitivos.El contrato didáctico es la regla del juego y la estrategia de la situación didáctica. Es elmedio que posee el profesor para poner en escena esa situación. El conocimiento seexpresa en la ejecución de dichas reglas y estrategias. El contrato didáctico, que difieredel contrato pedagógico general acerca del funcionamiento de la clase, establece cómoes el funcionamiento del conocimiento matemático en la clase. Establece lo que elestudiante debe saber y poder hacer en la resolución de un problema. El contrato es algoque existe de hecho y que se va construyendo en la interacción del salón de clase. Comohecho propio de la interacción, su modificación no depende de la voluntad expresa delprofesor para cambiarlo o modificarlo.El contrato didáctico es una herramienta conceptual para investigar la relación en lassituaciones didácticas, pero no es como tal un objeto fácilmente observable nidistinguible.Formula problemasProduce solucionesEnseñanzaAprendizajePPPEEESituación didácticaPROBLEMAAbordajeSituación a-didácticaAnálisis a prioriBásicamente en la etapa del análisis a priori suceden cuatro cosas:. se determinan las variables macro-didácticas y micro-didácticas,. se determinan las selecciones para la formulación de la realización en cuanto al
  13. 13. contenido,. se formula la realización en sí,. se hace una previsión de la manera como el estudiante abordaría la realización.Para llegar a tener esta visión nos podríamos preguntar cosas similares a las quepropone Artigue (1995b, p. 46).Elementos conceptuales 2El contrato didáctico y la devoluciónEl hecho de que el estudiante acepte y juegue bajo las reglas de juego y estrategiasintroducidas por el profesor a través de los problemas que propone al estudiantedepende, de manera directa, de que el profesor acepte la responsabilidadsobre los resultados y asegure los medios indispensables para que el estudiante realiceuna adquisición efectiva de los conocimientos. Y esto a su vez implica que el estudianteacepte la responsabilidad del problema que tiene para resolver. En esta relación,entonces, se produce la devolución. La devolución denomina a la serie de acciones queel profesor realiza para traspasar al alumno la responsabilidad de aprender, es decir, deasumir las reglas del juego, tomar decisiones, hacer anticipaciones y verificar susconclusiones. Hay entonces tres momentos de devolución:Devolución de la regla de juego. El profesor se debe asegurar que el enunciado delproblema pueda ser entendido por los estudiantes, es decir, que los conocimientos delalumno sean suficientes para interpretar las condiciones e informaciones de la situación.La situación debe apoyarse en modelos que tengan significado para el estudiante.Devolución del problema. El profesor debe plantear un verdadero problema, es decir,una situación que el alumno no pueda resolver sólo con los conocimientos que posee.De lo contrario habría propuesto un ejercicio de aplicación o de consolidación deconocimientos.Devolución de la decisión. El profesor debe asegurarse de que el alumno pueda elegirentre diversas posibilidades y ser capaz de considerar que existe una relación causa-efecto entre las decisiones que toma y los resultados que obtiene. El estudiante debehacerse responsable de las decisiones que toma.El sistema didácticoLas relaciones de las que se ha hablado se dan en el sistema didáctico. Este básicamentese compone de: un agente didáctico (humano –profesor– o artificial –un computador)s un sujeto (el estudiante en su dimensión cognitiva)s un medio (el espacio a través del cual se ponen en marcha los procesos cognitivos delsujeto)ADADADProfdevolución de una situación a-didáctica institucionalización en situación didácticaacciónSSSMMMretro-accióntiempo didácticoobjeto de enseñanzasaberes de referencia
  14. 14. estructura social de la clasesaberes iniciales de los estudiantesElementos conceptuales 2... continuación...Entre estos tres se suceden una serie de relaciones. En primer lugar, el agente didácticohace una devolución al sujeto para colocarlo en una situación a-didáctica. La intenciónde esta relación es producir un desequilibrio en el subsistema sujeto-medio, de tal formaque el sujeto pueda re-equilibrarlo. El sujeto interactúa con su medio a través de larealización de acciones cognitivas. El resultado de la acción del sujeto y de la retro-acción del medio es el conocimiento, una vez se ha desequilibrado y vuelto a equilibrarel sistema. La interacción entre sujeto y medio tiene una serie de restricciones queimpone la estructura social de la clase, los saberes iniciales de los estudiantes, el tiempode desarrollo didáctico, el objeto de enseñanza mismo y los saberes de referencia. Entercer lugar, el subsistema sujeto-medio produce una respuesta frente a la situación a-didáctica a la que se enfrentó. Esa respuesta es retomada por el profesor quien, en unasituación didáctica cuya intención es reafirmar al sujeto si los conocimientos queprodujo en su interacción con el medio son aceptables, institucionaliza losconocimientos en juego dentro del sistema (Brousseau, 1986; Balacheff, 1995).Variables didácticasUna variable didáctica es un parámetro que impone una restricción al conocimientomatemático puesto en juego dentro de un problema. A este parámetro se le da un valordeterminado en el problema con base en la estimación que el profesor hace de lasconsecuencias eventuales de éste en el proceso de aprendizaje del estudiante. Podríahaber variables didácticas de diversos tipos (Douady et Robert, 1991):s El lugar de un problema dentro del proceso de aprendizaje: hay que tener en cuenta,con relación al contrato didáctico, el lugar dentro de la secuencia de enseñanza-aprendizaje donde se presenta un ejercicio o un problema. Se trata entonces de saberescoger lo apropiado en el momento apropiados El carácter abierto o cerrado de un problema: entre más se cierre un problema, más losestudiantes corren el riesgo de “hacer cualquier cosa”. Pero si se abre el problema, suactividad puede ser más propicia a un aprendizaje porque se da la posibilidad deexplorar y actuar.s La selección de los parámetros matemáticos: en un conocimiento matemático existenparámetros que el profesor debe manejar ya que la variación en esos puede implicaractividades cognitivas diferentes para los estudiantes.Ejemplo . A continuación se presenta una realización que pretende introducir la nociónde la escritura multiplicativa de un número entero natural para dar sentido a dichaescritura y reforzar la noción de número natural. La actividad consiste en generar unasituación comunicativa entre los alumnos. Se divide la clase en cuatro grupos de 4personas, dos de los cuales actuarán como emisores de un mensaje y dos comoreceptores. El grupo emisor posee una rejilla rectangular, dibujada en un papel, cuyasdimensiones pueden ser 7 y 12 ó 9 y 14. El grupo receptor posee una serie derejillas, entre las cuales se encuentra la que tiene el grupo emisor. El enunciado de laactividad es el siguiente:El grupo emisor debe enviar un mensaje al grupo receptor que le permita encontrar de lamanera más rápida y fácil posible la rejilla correspondiente. Este mensaje debe ser cortoy debe designar el número de celdas de la rejilla.Las variables de la situación son las siguientes:
  15. 15. Variables numéricas. es necesario prever una rejilla que haga intervenir númerosgrandes (a>6 y b³ 11) para que los estudiantes se encuentren en una situación en que:s las técnicas primitivas de conteo (uno a uno o por paquetes) sea difícil, s la escritura ax b se haga cómoda por ser más rápida y económica para describir espacialmente elnúmero de elementos de la colección,s la percepción global para encontrar el número de celdas sea difícil.ExperimentaciónEn la etapa de experimentación de la ingeniería didáctica se pone a prueba con losestudiantes la realización didáctica diseñada por el profesor-ingeniero. Estaexperimentación consiste no sólo en que el profesor ejecute en su clase la secuencias,sino en que también logre realizar algún tipo de observación acerca de lo que sucedecon los estudiantes cuando se enfrentan al problema. Con la experimentación interesarecoger, en la medida de lo posible, información que sirva posteriormente para evaluarla pertinencia y utilidad de la realización en relación con el aprendizaje de losestudiantes. Por esto, el profesor debería tratar de pensar en cómo podría recolectar unmínimo de información. La manera que se privilegia para esto es la observación delfuncionamiento del sistema didáctico.Esto se refiere a poder observar:. La actuación del profesor: cómo estableció y manejó el contrato didáctico,cómo realizó la devolución del problema, cómo hizo la institucionalización.. La actuación del estudiante: cómo se involucró en el juego didáctico, cómoreaccionó frente a las variables didácticas, cómo manejó la dialéctica herramienta-objeto y el juego de cuadros.. El funcionamiento del problema mismo: cómo su formulación permitió (o no)la devolución, en realidad sí era un problema o no.El profesor podría observar estos asuntos a través de video-grabaciones, audio-grabaciones, observación directa del trabajo de los estudiantes, observación de uncolega externo a la clase, entrevistas con los estudiantes, etc.Análisis a posteriori y evaluaciónCon base en la información obtenida en la etapa anterior, el profesor puede contrastar loque sucedió en la aplicación de la realización didáctica con las previsiones que habíarealizado en el análisis a priori. Por medio de este contraste puede determinar:. si la comprensión que tenía del funcionamiento del sistema didáctico era adecuaday ajustada a la realidad,. si la realización que diseñó efectivamente permitió que el estudiante se involucraraen un juego de producción de conocimiento,. si el conocimiento alcanzado por sus estudiantes es apropiado o si necesita seguirgenerando más realizaciones para generar muchos más desequilibrios y re-equilibraciones en las estructuras cognitivas de los estudiantes de tal manera quealcancen un conocimiento adecuado. La utilidad más práctica de esta etapa para elprofesor radica en la posibilidad de evaluar críticamente su trabajo y poder reformularlopara que se adecúe a las necesidades de aprendizaje de los estudiantes.
  16. 16. Elementos conceptuales 3Dialéctica herramienta-objeto y juego de cuadrosEstos conceptos han sido desarrollados por Douady (1986). Surgieron de la observaciónde la labor de creación de saberes que hace del matemático y de la aplicación de lascaracterísticas de dicha labor a lo que sucede con el conocimiento en los procesos deenseñanza y aprendizaje.La dialéctica herramienta-objeto hace referencia al movimiento continuo que existe enlos objetos matemáticos dentro de los procesos de producción del conocimiento. Elmatemático se enfrenta a problemas, se hace preguntas, hace conjeturas sobre él yformula soluciones. En esta serie de acciones el investigador involucra susconocimientos matemáticos, muchos de los cuales están institucionalizados y soncompartidos y reconocidos por la comunidad de matemáticos.El matemático, entonces moviliza objetos en la solución del problema. A algunos deellos les confiere el estatus de herramienta cuando se les utiliza con un propósitoespecífico en la solución de un problema y cuando dependen de la aplicación personalque les da el matemático en la resolución de su problema. Todo el proceso, que puededurar años, también implica que se trate de abordar el problema desde diferentes puntosde vista y a que se tienda a establecer relaciones con problemas diferentes ubicados endominios diferentes. Así que los matemáticos tienden un tejido de relaciones entrediferentes conceptos de un mismo cuadro o entre conceptos de cuadros distintos. Esecambio de cuadros conduce a nuevas formulaciones de los conocimientos anteriores. Deesta manera los matemáticos crean nociones y métodos que responden a sus necesidadesdel momento.Ejemplo: los números complejos. Estos números nacieron dentro del contexto de laresolución de ecuaciones polinómicas de tercer grado, en una época en que sólo seconocían los números negativos y positivos. El problema que se presentó fue elsiguiente: ¿cómo explicar que, para resolver una ecuación con coeficientes reales quetengan tres raices reales, uno tenga que calcular raices cuadradas de números negativos?¿Qué significado dar a estas raices que no pueden ser números ya que el cuadrado de unnúmero positivo o negativo es positivo? Durante un tiempo, los algoritmos de cálculosobre estas raices cuya legitimidad dependía de la validez de los resultados permitieronmanejar tales ecuaciones. esto sucedió en el siglo XVI. Tocó esperar hasta finales delsiglo XVIII e incluso hasta inicios del XIX con los trabajos de Gauss y, más tarde, deCauchy para que los números complejos se construyeran matemáticamente yadquirieran un estatus de objeto (Douady, 1987).En este ejemplo es claro que para la construcción de un nuevo objeto, se partió deobjetos anteriores que se movilizaron en el contexto de un problema y actuaron ahícomo herramientas. Posteriormente se realizó un proceso de formulación ydescontextualización de la herramienta con respecto al problema hasta que se alcanzóun nivel de formulación adecuada para la comunidad de matemáticos. El resultadoentonces el la creación de un nuevo objeto. Para la comunidad de matemáticos, en estoconsiste la dialéctica objeto-herramienta-objeto.Entonces un objeto es un concepto cultural que tiene su lugar en el edificio de lossaberes matemáticos, en un momento dado, y cuya existencia es reconocida por lacomunidad de matemáticos. Tiene una definición matemática y es independiente de sususos. Una herramienta es un objeto que se pone en uso dentro del contexto de unproblema, depende de las formulaciones de quien la utilice y del momento en que seutilice. Una herramienta puede ser implícita si corresponde a un concepto en curso deelaboración que se manifiesta por medio de afirmaciones no justificadas o de
  17. 17. acciones basadas en convicciones más que en conocimientos precisos. Este es el caso deel estado de los números complejos en el siglo XVI. Pero una herramienta tambiénpuede ser explícita si corresponde a la puesta en uso intencional de un objeto en laresolución de un problema.Este concepto de dialéctica es importante en la didáctica de las matemáticas porquepermite:s caracterizar el uso de que las nociones y métodos matemáticos hacen los estudiantes;s diseñar problemas en los que el estudiante parta de objetos que ya ha construido, paraconstruir nuevos objetos a través de utilizar los anteriores como herramientas;s determinar el estado del conocimiento matemático de un estudiantes para hacerloevolucionar.Elementos conceptuales 3...continuación...Por otro lado, la labor del matemático también implica abordar la solución de problemasdesde diversos puntos de vista. Esto permite que se pueda transportar un problema deuna rama de las matemáticas a otra, con el fin de comprender mejor en qué consiste elproblema y darle una solución. Así, por ejemplo, las raices cuadradas de númerosnegativos que no podían tener significado en el cuadro numérico, tuvieron el derecho aexistir cuando se les transfirió al cuadro geométrico – con el plano de Argand y deGauss.Un cuadro se refiere al conjunto de:s objetos de una de las ramas de las matemáticas,relaciones entre esos objetos,s formulaciones diversas de los objetos y relacioness imágenes mentales asociadas con los objetos y representacionesEl juego de cuadros es el medio para obtener formulaciones diferentes de un problemaque, sin ser completamente equivalentes, permiten un nuevo acceso a las dificultadesencontradas en la puesta en obra de las herramientas y técnicas que requería la primeraformulación. La utilidad de este juego consiste en poder dar pasos que organicen planesde resolución y demostración. Las traducciones de un cuadro a otro conducen aresultados desconocidos, técnicas nuevas, creación de objetos matemáticos nuevos, enresumen, al enriquecimiento del cuadro de origen y de los cuadros auxiliaresde trabajo.Las imágenes mentales tienen un papel en este juego ya que un cuadro y el juego entrevarios está muy asociado a la persona que los utiliza. De ahí que se puedan discriminarcuatro dimensiones de un cuadro:s La dimensión temporal: hay una dinámica al interior de las matemáticas mismas quehace que con el tiempo los conceptos y sus relaciones vayan cambiando.s La dimensión matemática: hace que un cuadro esté constituido por los objetos de unmismo dominio de las matemáticas, pero con distintos grados de complejidad,relacionesy formulaciones, en los que interviene códigos simbólicos variados.s La dimensión socio-cultural: considera la intervención del contexto socio-culturaldonde se comunican entre personas los cuadros y su utilización. Así que un cuadrodepende de cómo sea la concepción que de él van armando las personas miembros de ungrupo, como por ejemplo de una clase.s La dimensión individual: involucra las particularidades que las experiencias vividaspor una persona puedan aportar a su visión de un cuadro.
  18. 18. Reflexiones finalesEvaluación aUna vez realizada esta breve inmersión por la didáctica francesa de las matemáticas,podemos tratar de hacer una evaluación a posteriori del conocimiento didáctico que seha puesto en juego en el seminario. Para esto, retome el concepto sobre el cual ustedelaboró un discurso al inicio del seminario. Y nuevamente escriba lo que usted ahoracomprende sobre ese concepto. Recuerde: no utilice más de una página.Valoración de la evaluaciónAhora, reúnase con un compañero y realice el siguiente trabajo. Cada pareja debecomparar las evaluaciones que cada uno de los dos integrantes realizó. Es decir, enpareja evaluarán la primera página y la segunda que escribieron. Lean cuidadosamenteel primer papel de uno de los participantes y el segundo, y traten de establecer:. ¿Hubo mayor en la precisión del concepto presentado?. ¿Hubo mayor claridad en la construcción de la explicación sobre el concepto?. Describan brevemente en qué consistió la mejoría en los dos puntos anteriores.Sigan el mismo proceso para los dos papeles del otro compañero.Una esperanzaMás que esperar una comprensión al dedillo de las diferentes nociones del seminario, síesperaría que después del trabajo que se ha realizado queden claros al menos lossiguientes puntos:. La didáctica tiene un papel en la formación profesional del profesor de matemáticas.Es importante no como un conocimiento más que se posee, sino comouna herramienta que permite comprender la complejidad de los objetos de la profesión.. Por esta razón, la didáctica de las matemáticas se constituye en una herramientapara el ejercicio de una práctica consciente, reflexiva y dispuesta a latransformación en pro del aprendizaje de las matemáticas.. La visión y los conceptos construidos por los investigadores franceses no sonfáciles de comprender. Su comprensión requiere de un estudio teórico y de unaesfuerzo por llevar dicha teoría a la práctica. “Aprender” la didáctica es tandifícil como puede ser aprender matemáticas para un estudiante.. La didáctica de las matemáticas desde la perspectiva francesa, en oposición aotras formas de ver los fenómenos de la educación matemática resaltan elpapel de las matemáticas y las tienen como eje central. Por esto, no hace unainvitación a mejorar los conocimientos pedagógicos generales del profesor,sino que establece casi el deber de que el profesor profundice en su conocimientomatemático en conexión estrecha con la problemática de la construcciónde los conocimientos en la escuela.Referencias bibliográficas y literatura recomendadaArtigue, M. (1995a). El lugar de la didáctica en la formación de profesores. En P.Gómez
  19. 19. (Ed.) (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para lainvestigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.México: una empresadocente - GEI, pp. 7-24.Artigue, M. (1995b). Ingeniería didáctica. En P. Gómez (Ed.) (1995). Ingenieríadidáctica en educación matemática. Un esquema para la investigación y la innovaciónen la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México: una empresa docente -GEI, pp. 33-60.Balacheff, N. (1995). Conception, propriété du système sujet/milieu. Grenoble:LaboratoireLeibniz (diserttación no publicada).Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. EnRecherches en didactique des mathématiques, 7(2), pp. 33-115.Brousseau, G. (1989a). Utilidad e interés de la didáctica para un profesor. Parte 1. EnRevista SUMA, 4, pp. 5-12.Brousseau, G. (1990). Utilidad e interés de la didáctica para un profesor. Parte 2. EnRevista SUMA, 5, pp. 5-12.Butlen, D. (1992). Quelle didactique des mathématiques en formation des maîtres:quelques questions posées par des expériences d’enseignement en formation initiales etcontinue d’instituteurs, de professeurs de collèges et des lycées. Paris: IREM -Université Paris VII.Douady, R. (1986). Jeux des cadres et dialectique outil-objet. En Recherches endidactique des mathématiques, 7(2), pp. 5-31.Douady, R. (1988). Des apports de la didactique des mathématiques à l’enseignement.En Repères, 6.Douady, R. (1995). La ingeniería didáctica y la evolución de su relación con elconocimiento. En P. Gómez (Ed.) (1995). Ingeniería didáctica en educaciónmatemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas.México: una empresa docente - GEI, pp. 61-96.Douady, R. et Robert, A. (1991). Exemples de differents strategies de formation. Paris:IREM -Université Paris VII.Gómez, P. (Ed.) (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquemapara la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de lasmatemáticas. México: una empresa docente - GEI.Kilpatrick, J. (1992). A history of research in mathematics education. En Grows, D.(Ed.).
  20. 20. Handbook of research on mathematics education teaching and learning. New York:Macmillan, pp. 3-38.

×