Ángulos en la circunferencia :)

1. Calculo
Ángulos en la circunferencia
1) Del gráfico,calcule 𝑚∢𝐵𝐴𝑃,siendo
T y P puntosde tangenciaTB = 4 y
r =5
Resolución:ComoP y T son puntosde
tangencia,entonces:OP ⊥ PA yOT ⊥ TA,
ademásOT = OP= r =5 (DATO)
En el ⊿POH (NOTABLE)
𝒎∢𝑶𝑷𝑯 = 𝟓𝟑°
𝒎∢𝑩𝑷𝑨 = 𝟑𝟕°
2) si O es el centrodel cuadradoABCD y
PA=AD=8
ComoABCD escuadrado el ladodel
cuadrado es8, AH=HD=4. Como O escentro
OH=4. Luego 𝒎∢𝑶𝑷𝑯 =
𝟑𝟕
𝟐
BC se ubicael
puntoP, tal que AP BC, luegose traza PH
perpendicularaAC enH.
3) Segúnel graficoAB=1 BC=CD=2
ademásB, C y T son puntosde
tangencia.Calcule x
f
Sea 𝑚∢𝐴𝑇𝐶 = 𝛼 ⇒ 𝑚𝑇𝐶̂ = 2𝛼 como T yC
son puntosde tangencia
PA=3x 8=3x X=8/3
4) Del graficoP y T son puntosde
tangencia,ademásR=3r. Calcule
m𝑷𝑻̂

2. Del gráfico,como TA=R=3r AO=2R. Luego
𝑚∢𝑇𝑂𝑃 = 120° → 𝑚𝑇𝐶̂ = 120°
5) Del grafico,calcule ladiferencia
entre lasmedidasdel mayorymenor
𝑨𝑩̂
𝐵𝐶𝐸 = 2𝑥 ⇒ ∢𝐵𝐴𝐸 = 𝑥̂ como ABCD esun
paraleleogramo⇒ ∢ 𝑐 = 𝑥̂ Luego⊿ 𝐵𝐶𝐷̂ es
equilaterox=60°

3. Área sombreada
1) Halle el áreade laregiónsombreada
si el lado del cuadradoes20m
𝐿2
2
−
𝐿2
4
=
𝐿2
4
=
202
4
= 100 𝑚2
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑟2
𝐴𝑅𝑆 = 𝑎2
+ 𝑏2
𝐴𝑅𝑆 = 𝑟2
= 42
𝐴𝑅𝑆 = 16𝑚2
2) Calcule el areade la region
sombreada
𝐴𝐵 = 2√2
𝐴𝑅𝑆 =
𝜋
4
𝐷2
𝐴𝑅𝑆 =
𝜋
4
(2√2)2
= 2𝜋
3) Halle el área de la región
sombreada, si MN=2u
22 = 2𝑅)(2𝑟)
𝐴𝑅𝑆 =
1
2
[ 𝜋(𝑅 + 𝑟)2 − 𝜋𝑅2 − 𝜋𝑟2]
=
𝜋
2
[(𝑅 + 𝑟)2 − 𝑅2 − 𝑟2] = 𝜋𝑅𝑟 = 𝜋(1)𝜋
4) La figuramuestrauncuadrado de
ladoL. Hallar el áreade la región
sombreada,si My N son puntos
medios
𝑆 =
𝐿2
2
−
𝐿2
8
− 2 = (
𝐿2
12
)
𝑆 =
5
24
𝐿2

4. 5) Si ABCD esun rectángulode área
36 𝑐𝑚2
. Calcule el área de la
región sombreada
𝐴 + 𝐵 = 3𝑆
𝐴 + 𝐵 = (2𝑆 + 𝑆 + 2𝑆 + 4𝑆 = 36
𝑆 = 3
= 𝐴 + 𝐵 + 4𝑆 = 75 = 7(3) = 21𝑚2

5. Distancia entre dos puntos
1) Calcular la distancia entre los
puntos A(7,5) y B(4,1)
𝒅 = √(𝟒 − 𝟕) 𝟐 + (𝟏 − 𝟓) 𝟐
𝒅 = √(−𝟑) 𝟐 + (−𝟒) 𝟐
𝒅 = √𝟗+ 𝟏𝟔
𝒅 = √𝟐𝟓 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
2) Hallat la distanciaal oringende la
recta r=3x - 4y – 25 = 0
𝒅( 𝑶, 𝒓) =
|−𝟐𝟓|
√𝟑 𝟐 + (−𝟒) 𝟐
=
𝟐𝟓
𝟓
= 𝟓
𝒅(𝒓, 𝒔) = 𝒅(𝑷, 𝒔)
3) Calculala distanciadel puntoP(2,-1)
a la recta r de ecuación3x+4y=0
𝒅(𝑷, 𝒓) =
| 𝟑. 𝟐 + 𝟒.(−𝟏)|
√ 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
𝟐
𝟓
𝒅(𝑶,𝒓) =
| 𝑪|
√ 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐
4) Hallarla distanciaentre
r=3x - 4y+4=0 y s=9x-12- 4=0
3
−4
=
9
−12
/ −36 = −36
𝟑. 𝟎 − 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎 / 𝒚 = 𝟏
𝑃(0,1) 𝜖 𝑟
𝒅( 𝑷, 𝒔) =
| 𝟗. 𝟎 − 𝟏𝟐. 𝟏 − 𝟒|
√ 𝟗 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟐
=
𝟏𝟔
𝟏𝟓
Hallar la distanciaentre r=3x-
4y+4=0 y s=9x-12 y-4=0
5) Hallar la distancia entre las
rectas
𝑟 = 𝑥 = 2 − 3𝑘
Y=1+k
𝑟 = 𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
𝒅( 𝑹, 𝒔) =
| 𝟏𝟖 + 𝟓|
√ 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐
=
𝟏𝟑
√ 𝟏𝟎
𝑺 =
𝒙 + 𝟑
−𝟑
=
𝒚 + 𝟓
𝟏
𝑺 = 𝒙 + 𝟑𝒚+ 𝟏𝟖 = 𝟎

6. Punto medio
1) Calcular las coordenadas del
punto P que es encuentra entre A
y B, si se sabe
que A=(1,2) y B=(9, 7)
El punto medio está ubicado en
P= (5,4.5)
Punto A: X1 = 1, Y1 = 2
Punto B: X2 = 9, Y2 = 7
Remplazando estos datos tenemos:
𝒑 = (
𝟏 + 𝟗
𝟐
,
𝟐 + 𝟕
𝟐
)
𝒑 = (
𝟏𝟎
𝟐
,
𝟗
𝟐
)
𝒑 = ( 𝟓, 𝟒. 𝟓)
2) Calcula la distancia que hay entre
los puntos A(8,10) y B(-2,-14)
Distancia
(A, B) = √(−2 − 8)2 + √(−14 − 10)2
(A, B) = √102 + 242
(A,B) = √100 + 576
(A,B) = √676 = 26
3) Halla la distancia entre los puntos
P(6, -2) y Q(0, 6)
(P,Q) = √(0,6)2 + (6−, (−2))2
(P,Q) = √62 + 82
(P,Q) = √36 + 64 = √100 = 10
4) Representa los puntos A(3, 1),
B(–5, 3), C(1, 2), D(–1, –2),
E(–2, –3),F(5, 0) y halla las
coordenadas del punto medio de
los segmentos , y 𝐴𝐵̅̅̅̅, 𝐶𝐷̅̅̅̅ 𝑦 𝐸𝐹̅̅̅̅
𝑀𝐴𝐵 = (
3 − 5
2
,
1 + 3
2
) = (−1, 2)
𝑀 𝐶𝐷 = (
1 − 1
2
,
2 − 2
2
) = (0,0)
𝑀 𝐸𝐹 = (
−2 + 5
2
,
−3 + 0
2
) = (
3
2
,
−3
2
)
5) Si los puntos (–6, 2), (–2, 6) y (2, 2) son
vértices de un cuadrado, ¿cuál
Es el cuarto vértice?
𝑃(−2,2)

7. Pendiente
1) Halla la ecuación de las rectas
que pasan por los puntos que
se indican y represéntalas:
 (2, 3) y (7, 0)
 (–2, 5) y por el origen de
coordenadas
 (–3, 2) y (3, 2)
 (0, 4) y (4, 0)
a) 𝑚 =
0−3
7−2
= −
3
5
→ 𝑦 = −
3
5
( 𝑥 − 7)
b) 𝑚 =
−5
2
= −
3
5
→ 𝑦 = −
5
2
𝑥
c) 𝑚 =
2−2
3+3
= 0 → 𝑦 = 2
d) 𝑚 =
0−4
4−0
= −1 → 𝑦 = −𝑥 + 4
2) Halla la pendiente de cada una de
las rectas dibujadas
𝑓(𝑥) → 1
𝑔( 𝑥) → −
1
2
ℎ( 𝑥) → −3
3) Halla gráficamente la pendiente de
las rectas que pasan por los
siguientes puntos
 (2, 4) y (-1, -2)
 (-3, 5) y (3, -1)
 (-3, 5) y (2, 1)
 (3, 2) y (5, 2)