Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
Дискретные структуры
МФТИ, весна 2014
Александр Дайняк
www.dainiak.com
Одно обобщение деления многочленов
Утверждение.
Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 и 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥𝑖 — произвольные ненулевые многочлены.
То...
Пример
Пусть 𝑃 ≔ 𝑥1
5
𝑥2
8
𝑥4 + 𝑥1
2
+ 𝑥1 𝑥3 и 𝑃 ≔ 𝑥1
2
+ 3𝑥1. Тогда
𝑃 = 𝑥1
3
𝑥2
8
𝑥4 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 =
= 𝑥1
3...
Теорема Алона о нулях
Теорема.
Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 — произвольный полином,
и пусть 𝑥1
𝑡1
⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚
𝑡 𝑚
— моном старшей...
Доказательство теоремы Алона
Доказательство: индукция по deg 𝑃.
Если deg 𝑃 = 1, то 𝑃 — линейная форма:
𝑃 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 = 𝑐0 ...
Доказательство теоремы Алона
Пусть deg 𝑃 > 1, и для многочленов меньшей степени утверждение
теоремы выполнено.
Б.о.о. буде...
Доказательство теоремы Алона
𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅,
где 𝑄 ≢ 0 и deg 𝑥1
𝑅 < deg 𝑥1
(𝑥1 − 𝑠) = 1, т.е. 𝑅 не зависит от 𝑥1.
Если...
Доказательство теоремы Алона
𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅
Т.к. в 𝑃 один из мономов степени deg 𝑃 имеет вид 𝑥1
𝑡1
⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚
𝑡 𝑚
,
то ...
Аддитивная комбинаторика
Аддитивная комбинаторика изучает свойства подмножеств
натуральных чисел и абелевых групп при слож...
Теорема Коши—Давенпорта
Теорема (Cauchy, Davenport).
Если 𝐴, 𝐵 ⊆ ℤ 𝑝, где 𝑝 — простое число, то
𝐴 + 𝐵 ≥ min 𝑝, 𝐴 + 𝐵 − 1
Д...
Теорема Коши—Давенпорта
Пусть теперь 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝑝.
Допустим, что 𝐴 + 𝐵 < 𝐴 + 𝐵 − 1, и придём к противоречию.
По предположению...
Теорема Коши—Давенпорта
𝑃 𝑥, 𝑦 ≔
𝑐∈𝐶
𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 𝑥, 𝑦
Раскрыв скобки в определении 𝑃, видим, что
coef 𝑥 𝐴 −1 𝑦 𝐵 −1 𝑃 ...
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Вопрос: сколько плоскостей нужно, чтобы покрыть все, кроме
одной, вершины куба?
Теор...
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Куб 0,1 𝑛, не покрываем вершину 0,0, … , 0 .
𝑛 плоскостей достаточно — например, так...
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями, 𝑚 < 𝑛. Пусть их уравнения такие:
𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0...
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями:
𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0
⋮
𝒂 𝑚, 𝒙 − 𝑏 𝑚 = 0
По теореме Ал...
Регулярные подграфы в регулярных графах
Общая постановка многих задач в теории графов:
в данном графе с известными свойств...
Регулярные подграфы в регулярных графах
Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует
𝑘 − 1 -регулярный подграф?
Изве...
Регулярные подграфы в регулярных графах
Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует
𝑘′-регулярный подграф (𝑘′ < 𝑘)?...
Регулярные подграфы в регулярных графах
Теорема (Алон, Фридланд, Калаи).
Пусть 𝑝 — простое число. Пусть 𝐺 = 𝑉, 𝐸 — мультиг...
Доказательство теоремы А—Ф—К
• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1, и 1
𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2
Для каждого 𝑣 ∈ 𝑉 и 𝑒 ∈ 𝐸 положим
𝟙 𝑣,𝑒 ≔
1, если 𝑣 и ...
Доказательство теоремы А—Ф—К
• 1
𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2
𝑃 ≔
𝑣∈𝑉
1 −
𝑒∈𝐸
𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒
𝑝−1
𝑄
−
𝑒∈𝐸
1 − 𝑥 𝑒
Из условия, 2 ⋅ 𝐸 = 𝑣∈𝑉 ...
Доказательство теоремы А—Ф—К
𝑃 ≔
𝑣∈𝑉
1 −
𝑒∈𝐸
𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒
𝑝−1
−
𝑒∈𝐸
1 − 𝑥 𝑒
deg 𝑃 = 𝐸 и coef 𝑒∈𝐸 𝑥 𝑒
𝑃 = −1 𝐸 +1
≠ 0.
Значит,...
Доказательство теоремы А—Ф—К
• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1
• 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒
𝑝−1
− 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒
Нашли 𝜶 ∈ 0,1 𝐸
, т. ч. 𝑃 𝜶 ≠ 0,...
Доказательство теоремы А—Ф—К
По набору 𝜶 построили непустой остовный подграф 𝐺′.
В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины равн...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Теорема Алона о нулях и её применения

1.007 visualizaciones

Publicado el

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Теорема Алона о нулях и её применения

  1. 1. Дискретные структуры МФТИ, весна 2014 Александр Дайняк www.dainiak.com
  2. 2. Одно обобщение деления многочленов Утверждение. Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 и 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥𝑖 — произвольные ненулевые многочлены. Тогда существуют 𝑄, 𝑅 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 , такие, что 𝑃 = 𝑃 ⋅ 𝑄 + 𝑅, и deg 𝑥 𝑖 𝑅 < deg 𝑥 𝑖 𝑃. Доказательство: во всех мономах 𝑃, куда 𝑥𝑖 входит в степени больше deg 𝑥 𝑖 𝑅, заменяем эту степень, выразив её через 𝑃. По сути, это «деление столбиком», в котором мы рассматриваем 𝑃 как многочлен от 𝑥𝑖 с коэффициентами из 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥 𝑚 .
  3. 3. Пример Пусть 𝑃 ≔ 𝑥1 5 𝑥2 8 𝑥4 + 𝑥1 2 + 𝑥1 𝑥3 и 𝑃 ≔ 𝑥1 2 + 3𝑥1. Тогда 𝑃 = 𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = 𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 4 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = 𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 2 𝑥2 8 𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = 𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 2 𝑥2 8 𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 + 9𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = … ⋅ 𝑃 + 9𝑥1 𝑥2 8 𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = … ⋅ 𝑃 − 27𝑥1 2 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = … ⋅ 𝑃 − 27𝑥2 8 𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = … 𝑄 ⋅ 𝑃 + 81𝑥1 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 𝑅
  4. 4. Теорема Алона о нулях Теорема. Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 — произвольный полином, и пусть 𝑥1 𝑡1 ⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚 𝑡 𝑚 — моном старшей степени, то есть 𝑖 𝑡𝑖 = deg 𝑃. Пусть 𝑆1, … , 𝑆 𝑚 ⊆ 𝔽 — произвольные множества, такие, что 𝑆𝑖 ≥ 𝑡𝑖 + 1 для всех 𝑖. Тогда найдутся такие 𝑠1 ∈ 𝑆1, … , 𝑠 𝑚 ∈ 𝑆 𝑚, что 𝑃 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0
  5. 5. Доказательство теоремы Алона Доказательство: индукция по deg 𝑃. Если deg 𝑃 = 1, то 𝑃 — линейная форма: 𝑃 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 = 𝑐0 + 𝑖 𝑐𝑖 𝑥𝑖 Если, например, 𝑐1 ≠ 0, то 𝑆1 ≥ 2 и, как бы ни были фиксированы 𝑥2 ← 𝑠2, … , 𝑥 𝑚 ← 𝑠 𝑚, уравнение 𝑃 𝑥1, 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 = 0 имеет не более одного корня. Значит, найдётся 𝑠1 ∈ 𝑆1, для которого 𝑃 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0.
  6. 6. Доказательство теоремы Алона Пусть deg 𝑃 > 1, и для многочленов меньшей степени утверждение теоремы выполнено. Б.о.о. будем считать, что 𝑡1 > 0. Зафиксируем произвольное 𝑠 ∈ 𝑆1 и поделим с остатком 𝑃 на 𝑥1 − 𝑠 : 𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅, где 𝑄 ≢ 0 и deg 𝑥1 𝑅 < deg 𝑥1 𝑥1 − 𝑠 = 1, то есть 𝑅 не зависит от 𝑥1.
  7. 7. Доказательство теоремы Алона 𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅, где 𝑄 ≢ 0 и deg 𝑥1 𝑅 < deg 𝑥1 (𝑥1 − 𝑠) = 1, т.е. 𝑅 не зависит от 𝑥1. Если найдётся набор 𝑠2 ∈ 𝑆2, … , 𝑠 𝑚 ∈ 𝑆 𝑚, такой, что 𝑅 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0, то 𝑃 𝑠, 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0, что и требовалось. Остаётся разобрать случай, когда ∀𝑠2 ∈ 𝑆2, … , ∀𝑠 𝑚 ∈ 𝑆 𝑚 𝑅 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 = 0.
  8. 8. Доказательство теоремы Алона 𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅 Т.к. в 𝑃 один из мономов степени deg 𝑃 имеет вид 𝑥1 𝑡1 ⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚 𝑡 𝑚 , то в 𝑄 один из мономов степени deg 𝑄 имеет вид 𝑥1 𝑡1−1 ⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚 𝑡 𝑚 . По предположению индукции, найдутся такие 𝑠1 ∈ 𝑆1 ∖ 𝑠 , 𝑠2 ∈ 𝑆2, … , 𝑠 𝑚 ∈ 𝑆 𝑚, для которых 𝑄 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0. Для таких 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 получаем 𝑃 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 = 𝑠1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0
  9. 9. Аддитивная комбинаторика Аддитивная комбинаторика изучает свойства подмножеств натуральных чисел и абелевых групп при сложении. Пусть 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐺, где 𝐺 — абелева группа. Обозначим 𝐴 + 𝐵 ≔ 𝑎 + 𝑏 ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 Вопрос: как можно оценить 𝐴 + 𝐵 , если известны 𝐴 и 𝐵 ? Пример простой оценки сверху: 𝐴 + 𝐵 ≤ min 𝐺 , 𝐴 ⋅ 𝐵
  10. 10. Теорема Коши—Давенпорта Теорема (Cauchy, Davenport). Если 𝐴, 𝐵 ⊆ ℤ 𝑝, где 𝑝 — простое число, то 𝐴 + 𝐵 ≥ min 𝑝, 𝐴 + 𝐵 − 1 Доказательство: Сначала рассмотрим лёгкий случай 𝐴 + 𝐵 > 𝑝. Для любого 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 имеем 𝐴 + 𝑐 − 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 > 𝑝 а значит 𝐴 ∩ 𝑐 − 𝐵 ≠ ∅, и найдутся 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵, такие, что 𝑎 = 𝑐 − 𝑏. Отсюда 𝑐 ∈ 𝐴 + 𝐵. Т.к. 𝑐 брался произвольным, получаем 𝐴 + 𝐵 = ℤ 𝑝.
  11. 11. Теорема Коши—Давенпорта Пусть теперь 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝑝. Допустим, что 𝐴 + 𝐵 < 𝐴 + 𝐵 − 1, и придём к противоречию. По предположению, найдётся 𝐶 ⊂ ℤ 𝑝, такое, что 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 − 2 и 𝐴 + 𝐵 ⊆ 𝐶. Рассмотрим многочлен 𝑃 𝑥, 𝑦 ≔ 𝑐∈𝐶 𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 𝑥, 𝑦 Заметим, что 𝑃 𝑥, 𝑦 = 0 для любых 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵.
  12. 12. Теорема Коши—Давенпорта 𝑃 𝑥, 𝑦 ≔ 𝑐∈𝐶 𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 𝑥, 𝑦 Раскрыв скобки в определении 𝑃, видим, что coef 𝑥 𝐴 −1 𝑦 𝐵 −1 𝑃 = 𝐴 + 𝐵 −2 ! 𝐴 −1 ! 𝐵 −1 ! mod 𝑝 ≠ 0 то есть моном 𝑥 𝐴 −1 𝑦 𝐵 −1 реально входит в многочлен. По теореме Алона, найдутся 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵, такие, что 𝑃 𝑎, 𝑏 ≠ 0. Но такого не может быть по определению 𝑃.
  13. 13. Покрытие вершин куба гиперплоскостями Вопрос: сколько плоскостей нужно, чтобы покрыть все, кроме одной, вершины куба? Теорема (Алон, Фюреди). Наименьшее число плоскостей, достаточное, чтобы покрыть все, кроме одной, вершины куба в ℝ 𝑛, равно 𝑛. Доказательство: Б.о.о. будем считать, что у нас куб 0,1 𝑛, и что вершина, которую мы не покрываем 0,0, … , 0 .
  14. 14. Покрытие вершин куба гиперплоскостями Куб 0,1 𝑛, не покрываем вершину 0,0, … , 0 . 𝑛 плоскостей достаточно — например, такие: • 𝑥1 − 1 = 0 • 𝑥2 − 1 = 0 • … • 𝑥 𝑛 − 1 = 0 Сложная часть — доказать, что меньшим числом плоскостей не обойтись. Докажем это от противного…
  15. 15. Покрытие вершин куба гиперплоскостями Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями, 𝑚 < 𝑛. Пусть их уравнения такие: 𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0 ⋮ 𝒂 𝑚, 𝒙 − 𝑏 𝑚 = 0 При этом 𝑏1, … , 𝑏 𝑚 ≠ 0, т.к. ни одна из плоскостей не должна покрывать точку 0,0, … , 0 . Рассмотрим многочлен: 𝑃 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 ≔ 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 − 𝒂𝑗, 𝒙 − 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1 𝑛 1 − 𝑥𝑖 Имеем deg 𝑃 = 𝑛, и coef 𝑥1⋅𝑥2⋅…⋅𝑥 𝑛 𝑃 = −1 𝑛+1 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ≠ 0. По теореме Алона, найдутся 𝛼1 ∈ 0,1 , … , 𝛼 𝑛 ∈ 0,1 , для которых 𝑃 𝛼1, … , 𝛼 𝑛 ≠ 0.
  16. 16. Покрытие вершин куба гиперплоскостями Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями: 𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0 ⋮ 𝒂 𝑚, 𝒙 − 𝑏 𝑚 = 0 По теореме Алона, найдётся точка из 0,1 𝑛, на которой многочлен 𝑃 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 ≔ 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 − 𝒂𝑗, 𝒙 − 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1 𝑛 1 − 𝑥𝑖 не равен нулю. Но это невозможно: • 𝑃 0, … , 0 = 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 − 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1 𝑛 1 = 0 • Для любой точки 𝛼1, … , 𝛼 𝑛 ∈ 0,1 𝑛 ∖ 0, … , 0 имеем 𝑃 𝛼1, … , 𝛼 𝑛 = 𝑗=1 𝑚 0 − 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 0 = 0
  17. 17. Регулярные подграфы в регулярных графах Общая постановка многих задач в теории графов: в данном графе с известными свойствами выделить подграф с требуемыми свойствами. Например: • В заданном графе найти максимальную клику • В заданном несвязном графе найти компоненту связности с максимальным числом вершин. • …
  18. 18. Регулярные подграфы в регулярных графах Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует 𝑘 − 1 -регулярный подграф? Известно следующее: • Это так для 𝑘 ≤ 3 — простое упражнение. • Это так для 𝑘 = 4 — и это трудная теорема (В.А. Ташкинов ’1984) • Это в общем случае не верно для 𝑘 ≥ 6
  19. 19. Регулярные подграфы в регулярных графах Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует 𝑘′-регулярный подграф (𝑘′ < 𝑘)? Известно, например, что для любых нечётных 𝑘 и 𝑘′ ответ на вопрос положительный. Если ослабить условие «строгой» регулярности и рассматривать «почти регулярные» графы (у которых степени вершин близки, но необязательно равны) — тоже можно доказать кое-что интересное…
  20. 20. Регулярные подграфы в регулярных графах Теорема (Алон, Фридланд, Калаи). Пусть 𝑝 — простое число. Пусть 𝐺 = 𝑉, 𝐸 — мультиграф (без петель), удовлетворяющий условиям • Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1, • 1 𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2. Тогда в 𝐺 есть 𝑝-регулярный подграф.
  21. 21. Доказательство теоремы А—Ф—К • Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1, и 1 𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2 Для каждого 𝑣 ∈ 𝑉 и 𝑒 ∈ 𝐸 положим 𝟙 𝑣,𝑒 ≔ 1, если 𝑣 и 𝑒 инцидентны 0, иначе Каждому 𝑒 ∈ 𝐸 сопоставим переменную 𝑥 𝑒. Рассмотрим многочлен от переменных 𝑥 𝑒 𝑒∈𝐸 с коэффициентами в ℤ 𝑝: 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒 𝑝−1 − 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒
  22. 22. Доказательство теоремы А—Ф—К • 1 𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒 𝑝−1 𝑄 − 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒 Из условия, 2 ⋅ 𝐸 = 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2 ⋅ 𝑉 , отсюда deg 𝑄 ≤ 𝑝 − 1 ⋅ 𝑉 < 𝐸 . Следовательно, deg 𝑃 = 𝐸 . При этом, coef 𝑒∈𝐸 𝑥 𝑒 𝑃 = −1 𝐸 +1 ≠ 0.
  23. 23. Доказательство теоремы А—Ф—К 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒 𝑝−1 − 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒 deg 𝑃 = 𝐸 и coef 𝑒∈𝐸 𝑥 𝑒 𝑃 = −1 𝐸 +1 ≠ 0. Значит, по теореме Алона, найдётся набор значений 𝜶 = 𝛼 𝑒 𝑒∈𝐸 ∈ 0,1 𝐸 , такой, что 𝑃 𝜶 ≠ 0. При этом для любого 𝑣 ∈ 𝑉 имеем 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝛼 𝑒 = 𝑝 0, иначе, по м. т. Ферма, получилось бы 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝛼 𝑒 𝑝−1 = 𝑝 1 ⇒ 𝑃 𝜶 = 0 (в ℤ 𝑝).
  24. 24. Доказательство теоремы А—Ф—К • Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1 • 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒 𝑝−1 − 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒 Нашли 𝜶 ∈ 0,1 𝐸 , т. ч. 𝑃 𝜶 ≠ 0, и ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝛼 𝑒 = 𝑝 0 Кроме того, видно, что 𝜶 ≠ 𝟎. Взяв те рёбра 𝐺, для которых 𝛼 𝑒 = 1, и все вершины 𝐺, получим непустой остовный подграф 𝐺′. В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины 𝑣 равна 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝛼 𝑒 = 𝑝 0, а значит, эта степень равна нулю либо 𝑝.
  25. 25. Доказательство теоремы А—Ф—К По набору 𝜶 построили непустой остовный подграф 𝐺′. В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины равна нулю или 𝑝. Выбросив из 𝐺′ вершины нулевой степени, получим искомый 𝑝-регулярный подграф.

×