Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
Дискретные структуры
МФТИ, весна 2014
Александр Дайняк
www.dainiak.com
Формальные степенные ряды
Формальный степенной ряд — это запись вида
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
Числа 𝑎0, 𝑎1, … н...
Операции над рядами
Обозначим
𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘
+ ⋯
• Сумма ...
Операции над рядами
Обозначим
𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘
+ ⋯
• Произв...
Операции над рядами
Обозначим
𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘
+ ⋯
Пусть 𝑏0...
Операции над рядами
Производная ряда
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
— это ряд
𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
с к...
Производящие функции
Производящая функция числовой последовательности 𝑎0, 𝑎1, … — это
сумма ряда
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎...
Производящие функции
Основное правило применения производящих функций:
Любая функция может быть производящей функцией не б...
Радиус сходимости
Для применимости метода нужно проверять, что ряды сходятся в
окрестности нуля.
Радиус сходимости ряда ∑𝑎...
Рациональные производящие функции
Утверждение.
Если последовательность 𝑎 𝑘 удовлетворяет л.р.с. с п.к.,
то производящая фу...
Доказательство утверждения
Пусть п-ть 𝑎 𝑘 удовлетворяет соотношению 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘+𝑟 + ⋯ + 𝑐0 𝑎 𝑘 = 0, или, что то же самое,
𝑐 𝑟 ...
Применение производящих функций
Пусть надо вычислить сумму
𝑘=0
𝑛
𝑘2
𝑛
𝑘
1
2 𝑘
Заметим, что она равняется 𝑔 1 2 , где 𝑔 𝑥 —...
Применение производящих функций
Имеем 𝑔 𝑥 = ∑ 𝑘=0
∞
𝑘2 𝑛
𝑘
𝑥 𝑘
Пусть 𝑓 𝑥 ≔ ∑ 𝑘=0
∞ 𝑛
𝑘
𝑥 𝑘
= 1 + 𝑥 𝑛
.
Заметим, что 𝑔 𝑥 = ...
Обобщённая формула бинома
«Обычная» формула бинома для 𝑛 ∈ ℕ:
1 + 𝑥 𝑛 = 1 +
𝑛
1
𝑥 +
𝑛
2
𝑥2 + ⋯ +
𝑛
𝑛
𝑥 𝑛
Обобщённая формул...
Обобщённая формула бинома
1 + 𝑥 𝛼
= 1 + 𝛼
1
𝑥 + 𝛼
2
𝑥2
+ ⋯, где 𝛼
𝑘
=
𝛼 𝛼−1 𝛼−2 ⋅…⋅ 𝛼− 𝑘−1
𝑘!
Пример применения:
1 + 𝑥 1/2...
Обобщённая формула бинома
Ещё немного преобразуем:
1 + 𝑥 1/2 = 1 + 𝑥
𝑘=0
∞
−1 𝑘
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 1
𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1
𝑥 𝑘
=...
Числа Каталана
Одно из многочисленных определений:
Число Каталана 𝑎 𝑛 — это количество правильных скобочных
последовательн...
Числа Каталана: рекуррентное соотношение
Рекуррентное соотношение для чисел Каталана:
𝑎 𝑛+1 =
𝑘=0
𝑛
𝑎 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘
Обоснование:...
Числа Каталана: производящая функция
Рассмотрим производящую функцию для последовательности
чисел Каталана:
𝐴 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 ...
Числа Каталана: производящая функция
Итак,
𝐴 𝑥
2
= 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥2 + 𝑎4 𝑥3 + ⋯
Отсюда
𝑎0 + 𝑥 𝐴 𝑥
2
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 +...
Числа Каталана: производящая функция
Уравнение для производящей функции:
𝑥 𝐴 𝑥
2
− 𝐴 𝑥 + 1 = 0
Отсюда
𝐴 𝑥 =
1 ± 1 − 4𝑥
2𝑥
...
Числа Каталана: вывод формулы
𝐴 𝑥 =
1 ± 1 + (−4𝑥) 1 2
2𝑥
где по формуле обобщённого бинома
1 + (−4𝑥) 1 2
=
= 1 +
1
2
−4𝑥 +...
Числа Каталана: вывод формулы
Подставим в выражение для 𝐴 𝑥 ряд для 1 + (−4𝑥) 1 2
:
𝐴 𝑥 =
1 − 1 + (−4𝑥) ∑ 𝑘=0
∞ 2𝑘−1 !
𝑘−1...
Числа Каталана
Итак,
𝑎 𝑘 =
2𝑘
𝑘
𝑘 + 1
Асимптотика:
𝑎 𝑘 ∼
4 𝑘
𝜋 ⋅ 𝑘3 2
Теорема Эйлера
Обозначим 𝑝чёт(𝑁) и 𝑝неч 𝑁 количества разбиений 𝑁
соответственно на чётное и нечётное число различных слага...
Производящая функция для числа
неупорядоченных разбиений
Утверждение.
Если 𝑝 𝑁 — количество неупорядоченных разбиений числ...
Производящая функция для числа
неупорядоченных разбиений
Т.к. 1 − 𝑡 −1 = 1 + 𝑡 + 𝑡2 + ⋯, то
𝑘=1
∞
1 − 𝑥 𝑘 −1
=
𝑖1
𝑥 𝑖1
𝑖2
...
Производящая функция для числа
неупорядоченных разбиений
𝑘=1
∞
1 − 𝑥 𝑘 −1
=
𝑛=0
∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
где 𝑎 𝑛 — количество наборов 𝑖1,...
Вывод рекуррентного соотношения
для числа неупорядоченных разбиений
Итак,
𝑘=1
∞
1
1 − 𝑥 𝑘
=
𝑛=0
∞
𝑝 𝑛 𝑥 𝑛
Отсюда
𝑛=0
∞
𝑝 𝑛...
Вывод рекуррентного соотношения
для числа неупорядоченных разбиений
𝑛=0
∞
𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅
𝑘=1
∞
1 − 𝑥 𝑘 = 1
Разложим в ряд произ...
Вывод рекуррентного соотношения
для числа неупорядоченных разбиений
𝑛=0
∞
𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅
𝑚=0
∞
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 = 1
где
𝑏 𝑚 =
−1 𝑘, если...
Вывод рекуррентного соотношения
для числа неупорядоченных разбиений
𝑗=0
∞
𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 ⋅ 1 +
𝑘=1
∞
−1 𝑘 𝑥 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑥 3𝑘2+𝑘 2 =...
Рекуррентное соотношение для числа
неупорядоченных разбиений
Теорема.
Для любого 𝑚 > 0 выполнено равенство
𝑝 𝑚 =
𝑘>0
−1 𝑘+...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Пусть 𝑓1, 𝑓2, … — последовательность всех простых
нормногочленов над ℤ 𝑝, в по...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Любой нормногочлен 𝑓 представляется единственным образом
в виде
𝑓 = 𝑓𝑖1
𝛼 𝑖1
⋅...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Утверждение.
Выполнено равенство
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑖=1
∞
1
1 − 𝑡 𝑑 𝑖
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Доказательство:
Т.к. 1 − 𝑡 𝑑 𝑖
−1
= 1 + 𝑡 𝑑 𝑖 + 𝑡2𝑑 𝑖 + 𝑡3𝑑 𝑖 + ⋯, то
𝑖=1
∞
1 ...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑖=1
∞
1
1 − 𝑡 𝑑 𝑖
Пусть 𝑀 𝑘 — количество простых нормногочленов сте...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑘=1
∞
1
1 − 𝑡 𝑘
𝑀 𝑘
Прологарифмируем обе части:
ln
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑘=1
∞...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
ln
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑘=1
∞
𝑀 𝑘 ln
1
1 − 𝑡 𝑘
Если разложить ln 1 − 𝑥 −1
в ряд, получит...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
𝑗=1
∞
𝑝𝑡 𝑗
𝑗
=
𝑘=1
∞
𝑀 𝑘
𝑗=1
∞
𝑡 𝑘𝑗
𝑗
Коэффициенты при 𝑡 𝑛
для каждого 𝑛 должн...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
𝑝 𝑛 =
𝑘|𝑛
𝑘𝑀 𝑘
Применяя обращение Мёбиуса, получаем следующую теорему.
Теорема...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Следствие 1.
При каждом 𝑝 и при каждом 𝑛 ≥ 2 существует хотя бы один
неприводи...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Производящие функции

566 visualizaciones

Publicado el

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Производящие функции

  1. 1. Дискретные структуры МФТИ, весна 2014 Александр Дайняк www.dainiak.com
  2. 2. Формальные степенные ряды Формальный степенной ряд — это запись вида 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ Числа 𝑎0, 𝑎1, … называются коэффициентами ряда.
  3. 3. Операции над рядами Обозначим 𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ 𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ • Сумма рядов 𝐴 и 𝐵 — это ряд 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ с коэффициентами 𝑐 𝑘 = 𝑎 𝑘 + 𝑏 𝑘 • Разность рядов 𝐴 и 𝐵 — это ряд с коэффициентами 𝑐 𝑘 = 𝑎 𝑘 − 𝑏 𝑘
  4. 4. Операции над рядами Обозначим 𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ 𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ • Произведение рядов 𝐴 и 𝐵 — это ряд 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ с коэффициентами 𝑐 𝑘 = 𝑖=0 𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑘−𝑖
  5. 5. Операции над рядами Обозначим 𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ 𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ Пусть 𝑏0 ≠ 0. • Частное рядов 𝐴 и 𝐵 — это ряд 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ коэффициенты которого определяются последовательно из соотношений: 𝑐0 ≔ 𝑎0 𝑏0 , 𝑐1 ≔ 𝑎1−𝑏1 𝑐0 𝑏0 , 𝑐2 ≔ 𝑎2−𝑏2 𝑐0−𝑏1 𝑐1 𝑏0 , …
  6. 6. Операции над рядами Производная ряда 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ — это ряд 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ с коэффициентами 𝑐 𝑘 ≔ 𝑘 + 1 𝑎 𝑘+1
  7. 7. Производящие функции Производящая функция числовой последовательности 𝑎0, 𝑎1, … — это сумма ряда 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ (при условии, что в окрестности нуля ряд сходится) Например, производящая функция последовательности 𝑛 0 , 𝑛 1 , 𝑛 2 … — это ряд 𝑛 0 + 𝑛 1 𝑥 + 𝑛 2 𝑥2 + ⋯ + 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ Мы знаем, что этот ряд можно «свернуть»: 1 + 𝑥 𝑛
  8. 8. Производящие функции Основное правило применения производящих функций: Любая функция может быть производящей функцией не более чем одной последовательности. А это значит, что если мы взяли две последовательности, на первый взгляд «разные», и доказали, что их производящие функции равны в окрестности нуля, то и сами последовательности совпадают.
  9. 9. Радиус сходимости Для применимости метода нужно проверять, что ряды сходятся в окрестности нуля. Радиус сходимости ряда ∑𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 — это такое 𝑟, что ряд сходится при всех 𝑥, таких, что 𝑥 < 𝑟. (𝑥 в общем случае комплексное) Радиус сходимости помогает найти Теорема Коши: 𝑟 = lim 𝑘→∞ 𝑘 𝑎 𝑘 −1
  10. 10. Рациональные производящие функции Утверждение. Если последовательность 𝑎 𝑘 удовлетворяет л.р.с. с п.к., то производящая функция 𝑓 для 𝑎 𝑘 представима в виде 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 , где 𝑃, 𝑄 ∈ ℝ 𝑥 .
  11. 11. Доказательство утверждения Пусть п-ть 𝑎 𝑘 удовлетворяет соотношению 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘+𝑟 + ⋯ + 𝑐0 𝑎 𝑘 = 0, или, что то же самое, 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘 + 𝑐 𝑟−1 𝑎 𝑘−1 … + 𝑐1 𝑎 𝑘−𝑟+1 + 𝑐0 𝑎 𝑘−𝑟 = 0. Пусть 𝑓 𝑥 ≔ ∑𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 . Имеем 𝑐0 𝑥 𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑘=𝑟 ∞ 𝑐0 𝑎 𝑘−𝑟 𝑥 𝑘 𝑐1 𝑥 𝑟−1 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑘=𝑟−1 ∞ 𝑐1 𝑎 𝑘−𝑟+1 𝑥 𝑘 ⋮ 𝑐 𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑘=0 ∞ 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 Отсюда 𝑐0 𝑥 𝑟 + 𝑐1 𝑥 𝑟−1 + ⋯ + 𝑐 𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 + ∑ 𝑘=𝑟 ∞ 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘 + 𝑐 𝑟−1 𝑎 𝑘−1 … + 𝑐1 𝑎 𝑘−𝑟+1 + 𝑐0 𝑎 𝑘−𝑟 =0 𝑥 𝑘 , где 𝑃 — многочлен степени не выше 𝑟 − 1 .
  12. 12. Применение производящих функций Пусть надо вычислить сумму 𝑘=0 𝑛 𝑘2 𝑛 𝑘 1 2 𝑘 Заметим, что она равняется 𝑔 1 2 , где 𝑔 𝑥 — производящая функция для последовательности 𝑎 𝑘 = 𝑘2 𝑛 𝑘 то есть 𝑔 𝑥 ≔ 𝑘=0 ∞ 𝑘2 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘
  13. 13. Применение производящих функций Имеем 𝑔 𝑥 = ∑ 𝑘=0 ∞ 𝑘2 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 Пусть 𝑓 𝑥 ≔ ∑ 𝑘=0 ∞ 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 𝑛 . Заметим, что 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥𝑓′ 𝑥 ′ , а значит 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 1 + 𝑥 𝑛 ′ ′ = 𝑥 𝑥𝑛 1 + 𝑥 𝑛−1 ′ = = 𝑥𝑛 1 + 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛 − 1 1 + 𝑥 𝑛−2 И теперь легко вычислить 𝑔 1/2 = 𝑛 2 3 2 𝑛−1 + 1 2 𝑛 𝑛 − 1 ⋅ 3 2 𝑛−2
  14. 14. Обобщённая формула бинома «Обычная» формула бинома для 𝑛 ∈ ℕ: 1 + 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑛 1 𝑥 + 𝑛 2 𝑥2 + ⋯ + 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 Обобщённая формула бинома для 𝛼 ∈ ℝ: 1 + 𝑥 𝛼 = 1 + 𝛼 1 𝑥 + 𝛼 2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ Здесь 𝛼 𝑘 — обобщённые биномиальные коэффициенты: 𝛼 𝑘 = 𝛼 𝛼 − 1 𝛼 − 2 ⋅ … ⋅ 𝛼 − 𝑘 − 1 𝑘!
  15. 15. Обобщённая формула бинома 1 + 𝑥 𝛼 = 1 + 𝛼 1 𝑥 + 𝛼 2 𝑥2 + ⋯, где 𝛼 𝑘 = 𝛼 𝛼−1 𝛼−2 ⋅…⋅ 𝛼− 𝑘−1 𝑘! Пример применения: 1 + 𝑥 1/2 = 1 + 1 2 𝑥 + 1 2 1 2 − 1 2! 𝑥2 + 1 2 1 2 − 1 1 2 − 2 3! 𝑥3 + ⋯ = = 1 + 1 2 𝑥 + 1 − 2 2! ⋅ 22 𝑥2 + 1 − 2 1 − 4 3! ⋅ 23 𝑥3 + ⋯ = 1 + 1 2 𝑥 − 1 2! ⋅ 22 𝑥2 + 1 ⋅ 3 3! ⋅ 23 𝑥3 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 4! ⋅ 24 + ⋯ = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 1 𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1 𝑥 𝑘
  16. 16. Обобщённая формула бинома Ещё немного преобразуем: 1 + 𝑥 1/2 = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 1 𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 2 2𝑘 − 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 2 ⋅ 𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 2𝑘 − 1 ! 2 𝑘−1 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ 2𝑘 − 1 ! 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! −1 4 𝑥 𝑘
  17. 17. Числа Каталана Одно из многочисленных определений: Число Каталана 𝑎 𝑛 — это количество правильных скобочных последовательностей из 𝑛 пар скобок Пример, при 𝑛 = 3 имеем 𝑎3 = 5: , , , ,
  18. 18. Числа Каталана: рекуррентное соотношение Рекуррентное соотношение для чисел Каталана: 𝑎 𝑛+1 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 Обоснование: прав. ск. посл. внутри 𝑘 пар скобок прав. ск. посл. 𝑛−𝑘 пар скобок Начальные условия: 𝑎0 = 𝑎1 = 1
  19. 19. Числа Каталана: производящая функция Рассмотрим производящую функцию для последовательности чисел Каталана: 𝐴 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ Заметим, что соотношение 𝑎 𝑛+1 = ∑ 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 похоже по форме на то, что возникает при произведении рядов. Рассмотрим 𝐴 𝑥 ⋅ 𝐴 𝑥 = = 𝑎0 2 + 𝑎0 𝑎1 + 𝑎1 𝑎0 𝑥 + 𝑎0 𝑎2 + 𝑎1 𝑎1 + 𝑎2 𝑎0 𝑥2 + 𝑎0 𝑎3 + 𝑎1 𝑎2 + 𝑎2 𝑎1 + 𝑎3 𝑎0 𝑥3 + ⋯ = = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥2 + 𝑎4 𝑥3 + ⋯
  20. 20. Числа Каталана: производящая функция Итак, 𝐴 𝑥 2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥2 + 𝑎4 𝑥3 + ⋯ Отсюда 𝑎0 + 𝑥 𝐴 𝑥 2 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ = 𝐴 𝑥 Получаем уравнение для производящей функции 𝐴: 𝑎0 + 𝑥 𝐴 𝑥 2 = 𝐴 𝑥
  21. 21. Числа Каталана: производящая функция Уравнение для производящей функции: 𝑥 𝐴 𝑥 2 − 𝐴 𝑥 + 1 = 0 Отсюда 𝐴 𝑥 = 1 ± 1 − 4𝑥 2𝑥 Теперь воспользуемся обобщённой формулой бинома, чтобы записать 𝐴 𝑥 в виде ряда: 𝐴 𝑥 = 1 ± 1 + (−4𝑥) 1 2 2𝑥
  22. 22. Числа Каталана: вывод формулы 𝐴 𝑥 = 1 ± 1 + (−4𝑥) 1 2 2𝑥 где по формуле обобщённого бинома 1 + (−4𝑥) 1 2 = = 1 + 1 2 −4𝑥 + 1 2 1 2 − 1 2! −4𝑥 2 + 1 2 1 2 − 1 1 2 − 2 3! −4𝑥 3 + ⋯ Отсюда уже видно, что на самом деле 𝐴 𝑥 = 1 − 1 + (−4𝑥) 1 2 2𝑥
  23. 23. Числа Каталана: вывод формулы Подставим в выражение для 𝐴 𝑥 ряд для 1 + (−4𝑥) 1 2 : 𝐴 𝑥 = 1 − 1 + (−4𝑥) ∑ 𝑘=0 ∞ 2𝑘−1 ! 𝑘−1 !⋅ 𝑘+1 ! 𝑥 𝑘 2𝑥 Отсюда 𝐴 𝑥 = 2 𝑘=0 ∞ 2𝑘 − 1 ! 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! 𝑥 𝑘 В итоге 𝑎 𝑘 = 2 2𝑘 − 1 ! 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! = 2𝑘 − 1 ! ⋅ 2𝑘 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 ⋅ 𝑘 + 1 ! = 2𝑘 ! 𝑘! ⋅ 𝑘 + 1 ! = 2𝑘 𝑘 𝑘 + 1
  24. 24. Числа Каталана Итак, 𝑎 𝑘 = 2𝑘 𝑘 𝑘 + 1 Асимптотика: 𝑎 𝑘 ∼ 4 𝑘 𝜋 ⋅ 𝑘3 2
  25. 25. Теорема Эйлера Обозначим 𝑝чёт(𝑁) и 𝑝неч 𝑁 количества разбиений 𝑁 соответственно на чётное и нечётное число различных слагаемых. Теорема. 𝑝чёт 𝑁 − 𝑝неч 𝑁 = −1 𝑘, если 𝑁 = 3𝑘2±𝑘 2 0, иначе
  26. 26. Производящая функция для числа неупорядоченных разбиений Утверждение. Если 𝑝 𝑁 — количество неупорядоченных разбиений числа 𝑁, то для производящей функции последовательности 𝑝 0 , 𝑝 1 , … справедлива формула 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 = 𝑘=1 ∞ 1 1 − 𝑥 𝑘
  27. 27. Производящая функция для числа неупорядоченных разбиений Т.к. 1 − 𝑡 −1 = 1 + 𝑡 + 𝑡2 + ⋯, то 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 −1 = 𝑖1 𝑥 𝑖1 𝑖2 𝑥2𝑖2 𝑖3 𝑥3𝑖3 ⋅ … = 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 где 𝑎 𝑛 — количество наборов 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … таких, что 𝑛 = 𝑖1 + 2𝑖2 + 3𝑖3 + ⋯
  28. 28. Производящая функция для числа неупорядоченных разбиений 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 −1 = 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 где 𝑎 𝑛 — количество наборов 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … таких, что 𝑛 = 𝑖1 + 2𝑖2 + 3𝑖3 + ⋯ Любой такой набор 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … однозначно соответствует разбиению числа 𝑛, в котором 𝑖1 слагаемых равны 1, 𝑖2 слагаемых равны 2, и т.д. Отсюда следует, что 𝑎 𝑛 = 𝑝 𝑛 .
  29. 29. Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений Итак, 𝑘=1 ∞ 1 1 − 𝑥 𝑘 = 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 Отсюда 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅ 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 = 1
  30. 30. Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅ 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 = 1 Разложим в ряд произведение 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 : 1 − 𝑥 1 − 𝑥2 1 − 𝑥3 ⋅ … = 𝑚=0 ∞ 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 где 𝑏 𝑚 = 𝑝чёт 𝑚 − 𝑝неч 𝑚 .
  31. 31. Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅ 𝑚=0 ∞ 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 = 1 где 𝑏 𝑚 = −1 𝑘, если ∃𝑘: 𝑚 = 3𝑘2±𝑘 2 0, иначе Итак, 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅ 1 + 𝑘=1 ∞ −1 𝑘 𝑥 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑥 3𝑘2+𝑘 2 = 1
  32. 32. Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений 𝑗=0 ∞ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 ⋅ 1 + 𝑘=1 ∞ −1 𝑘 𝑥 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑥 3𝑘2+𝑘 2 = 1 При раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых коэффициенты при всех положительных степенях 𝑥 должны быть нулевыми, отсюда для любого 𝑚 > 0 выполнено 𝑝 𝑚 + 𝑘>0 −1 𝑘 𝑝 𝑚 − 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑝 𝑚 − 3𝑘2+𝑘 2 = 0 (считаем формально, что 𝑝 𝑁 = 0 при любом 𝑁 < 0)
  33. 33. Рекуррентное соотношение для числа неупорядоченных разбиений Теорема. Для любого 𝑚 > 0 выполнено равенство 𝑝 𝑚 = 𝑘>0 −1 𝑘+1 𝑝 𝑚 − 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑝 𝑚 − 3𝑘2+𝑘 2 Несколько первых слагаемых ряда: 𝑝 𝑚 = = 𝑝 𝑚 − 1 + 𝑝 𝑚 − 2 − 𝑝 𝑚 − 5 − 𝑝 𝑚 − 7 + 𝑝 𝑚 − 12 + 𝑝 𝑚 − 15 − ⋯
  34. 34. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Пусть 𝑓1, 𝑓2, … — последовательность всех простых нормногочленов над ℤ 𝑝, в порядке неубывания их степеней. Обозначим 𝑑𝑖 ≔ deg 𝑓𝑖. Любой нормногочлен 𝑓 представляется единственным образом в виде 𝑓 = 𝑓𝑖1 𝛼 𝑖1 ⋅ … ⋅ 𝑓𝑖 𝑠 𝛼 𝑖 𝑠 где 𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖 𝑠 и 𝛼𝑖1 , … , 𝛼𝑖 𝑠 > 0. При этом deg 𝑓 = 𝑑𝑖1 𝛼𝑖1 + ⋯ + 𝑑𝑖 𝑠 𝛼𝑖 𝑠
  35. 35. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Любой нормногочлен 𝑓 представляется единственным образом в виде 𝑓 = 𝑓𝑖1 𝛼 𝑖1 ⋅ … ⋅ 𝑓𝑖 𝑠 𝛼 𝑖 𝑠 где 𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖 𝑠 и 𝛼𝑖1 , … , 𝛼𝑖 𝑠 > 0. Поэтому для любого 𝑛 число наборов 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , удовлетворяющих уравнению 𝑛 = 𝑑1 𝛼1 + 𝑑2 𝛼2 + 𝑑3 𝛼3 + ⋯ равно 𝑝 𝑛 (т.к. каждому такому набору 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … можно взаимно однозначно сопоставить многочлен степени 𝑛).
  36. 36. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Утверждение. Выполнено равенство 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑖=1 ∞ 1 1 − 𝑡 𝑑 𝑖
  37. 37. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Доказательство: Т.к. 1 − 𝑡 𝑑 𝑖 −1 = 1 + 𝑡 𝑑 𝑖 + 𝑡2𝑑 𝑖 + 𝑡3𝑑 𝑖 + ⋯, то 𝑖=1 ∞ 1 − 𝑡 𝑑 𝑖 −1 = 𝑗1=0 ∞ 𝑡 𝑑1 𝑗1 𝑗2=0 ∞ 𝑡 𝑑2 𝑗2 𝑗3=0 ∞ 𝑡 𝑑3 𝑗3 … = 𝑘=0 ∞ 𝑎 𝑘 𝑡 𝑘 где 𝑎 𝑘 — количество наборов (𝑗1, 𝑗2, 𝑗3, … ), удовлетворяющих соотношению 𝑘 = 𝑑1 𝑗1 + 𝑑2 𝑗2 + ⋯. Значит, 𝑎 𝑘 = 𝑝 𝑘 , и отсюда 𝑖=1 ∞ 1 − 𝑡 𝑑 𝑖 −1 = 𝑘=0 ∞ 𝑝 𝑘 𝑡 𝑘 = 𝑘=0 ∞ 𝑝𝑡 𝑘 = 1 1 − 𝑝𝑡
  38. 38. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑖=1 ∞ 1 1 − 𝑡 𝑑 𝑖 Пусть 𝑀 𝑘 — количество простых нормногочленов степени 𝑘. Тогда 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑘=1 ∞ 1 1 − 𝑡 𝑘 𝑀 𝑘
  39. 39. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑘=1 ∞ 1 1 − 𝑡 𝑘 𝑀 𝑘 Прологарифмируем обе части: ln 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑘=1 ∞ 𝑀 𝑘 ln 1 1 − 𝑡 𝑘
  40. 40. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 ln 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑘=1 ∞ 𝑀 𝑘 ln 1 1 − 𝑡 𝑘 Если разложить ln 1 − 𝑥 −1 в ряд, получится ln 1 − 𝑥 −1 = 𝑗=1 ∞ 𝑥 𝑗 𝑗 Отсюда следует 𝑗=1 ∞ 𝑝𝑡 𝑗 𝑗 = 𝑘=1 ∞ 𝑀 𝑘 𝑗=1 ∞ 𝑡 𝑘𝑗 𝑗
  41. 41. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 𝑗=1 ∞ 𝑝𝑡 𝑗 𝑗 = 𝑘=1 ∞ 𝑀 𝑘 𝑗=1 ∞ 𝑡 𝑘𝑗 𝑗 Коэффициенты при 𝑡 𝑛 для каждого 𝑛 должны совпадать в левой и правой частях равенства. Поэтому 𝑝 𝑛 𝑛 = 𝑘|𝑛 𝑀 𝑘 𝑛 𝑘 Окончательно, 𝑝 𝑛 = 𝑘|𝑛 𝑘𝑀 𝑘
  42. 42. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 𝑝 𝑛 = 𝑘|𝑛 𝑘𝑀 𝑘 Применяя обращение Мёбиуса, получаем следующую теорему. Теорема. Число нормногочленов степени 𝑛, неприводимых над ℤ 𝑝, равно 1 𝑛 𝑘|𝑛 𝑝 𝑘 𝜇 𝑛 𝑘 где 𝜇 — функция Мёбиуса.
  43. 43. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Следствие 1. При каждом 𝑝 и при каждом 𝑛 ≥ 2 существует хотя бы один неприводимый над ℤ 𝑝 нормногочлен степени 𝑛. Следствие 2. Число нормногочленов степени 𝑛, неприводимых над ℤ 𝑝, при 𝑛 → ∞ асимптотически равно 𝑝 𝑛 𝑛 (См. доказательство асимптотики для числа циклических слов)

×