Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Основы теории графов 06: триангуляции и трёхсвязные планарные графы

1.040 visualizaciones

Publicado el

Вводим понятие триангуляций. Доказываем, что триангуляции трёхсвязны. Доказываем критерий Татта о том, когда множество образует границу грани в трёхсвязном планарном графе. Доказываем теорему Вагнера—Фари о том, что у любого планарного графа существует укладка, в которой рёбра — отрезки прямых линий.

[Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

Основы теории графов 06: триангуляции и трёхсвязные планарные графы

  1. 1. Основы теории графов осень 2013 Александр Дайняк www.dainiak.com
  2. 2. Укладки графов Укладкой графа на поверхности называется сопоставление • вершинам графа — точек поверхности • рёбрам графа — гладких кривых без самопересечений так, чтобы кривые, соответствующие рёбрам, не пересекались (за исключением, быть может, своих концов). По умолчанию в качестве поверхности рассматривается плоскость.
  3. 3. Стягивание рёбер • Граф 퐺 является стягиваемым к графу 퐺′, если 퐺′ можно получить из 퐺, применив некоторое количество раз операцию стягивания ребра • Если граф 퐺 планарен, то и граф 퐺′ планарен:
  4. 4. Стягивание рёбер • Граф 퐺 является стягиваемым к графу 퐺′, если вершины графа 퐺 можно разбить на связные множества, каждое из которых соответствует одной вершине графа 퐺′, и при этом 푢, 푣 ∈ 퐸 퐺′ , если между соответствующими множествами в 퐺 есть ребро.
  5. 5. Миноры • Граф 퐻 является минором графа 퐺, если в 퐺 есть подграф 퐻′, который можно стянуть к 퐻 퐻 퐻′ 퐺 • Критерий Вагнера. Граф планарен тогда и только тогда, когда 퐾5 и 퐾3,3 не являются его минорами.
  6. 6. Триангуляции Триангуляция — это граф, в укладке которого каждая грань ограничена треугольником (в «графовом», а не геометрическом смысле).
  7. 7. Триангуляции Утверждение. Если в планарном графе минимальная длина циклов равна 푡, то #рёбер ≤ 푡 푡 − 2 ⋅ #вершин − 2 Следствие. В любом планарном графе на 푛 (푛 ≥ 3) вершинах число рёбер не превосходит 3푛 − 6
  8. 8. Триангуляции Утверждение. Если в планарном графе на 푛 вершинах менее 3푛 − 6 рёбер, то в граф можно добавить ребро, так, чтобы он остался планарным. Доказательство. Если в графе менее 3푛 − 6 рёбер, то в его укладке есть грань, граница которой не является треугольником. В этой грани можно провести новое ребро.
  9. 9. Триангуляции Утверждение. Если в планарном графе на 푛 вершинах менее 3푛 − 6 рёбер, то в граф можно добавить ребро, так, чтобы он остался планарным. Утверждение. В любой триангуляции на 푛 вершинах ровно 3푛 − 6 рёбер. Утверждение. Любой планарный граф является подграфом некоторой триангуляции.
  10. 10. Триангуляции трёхсвязны Утверждение. Любая триангуляция (на более чем трёх вершинах) трёхсвязна. Доказательство. Пусть 퐺 — триангуляция. Предположим, что граф 퐺 не трёхсвязен, и придём к противоречию.
  11. 11. Триангуляции трёхсвязны Если 퐺 не двухсвязен, то в 퐺 есть концевой блок 퐵, имеющий с остальной частью 퐺′ графа 퐺 единственную общую точку сочленения 푣. Рассмотрим укладку 퐺, в которой 푣 лежит на внешней грани. У 퐵 и 퐺′ есть соответственно вершины 푥 и 푦 (푥, 푦 ≠ 푣) на внешней грани. При этом 푥푦 ∉ 퐸 퐺 , но можно добавить ребро 푥푦 в укладку. Это противоречит тому, что триангуляция является максимальным планарным графом. 퐺′ 푣 푥 퐵 푦
  12. 12. Триангуляции трёхсвязны Итак, 퐺 двухсвязен. Если 퐺 не трёхсвязен, то можно выделить подграф 퐺′, который имеет с остальной частью 퐺′′ графа 퐺 только две общие вершины 푢, 푣. 푢 푣 퐺′ 퐺′′
  13. 13. Триангуляции трёхсвязны Пусть 푤 — произвольная вершина 퐺′, отличная от 푢, 푣. В двусвязном графе 퐺 есть путь из 푢 в 푣, проходящий через 푤. Очевидно, этот путь целиком лежит в 퐺′. 푢 푣 퐺′ 퐺′′ 푤
  14. 14. Триангуляции трёхсвязны В 퐺′ есть путь из 푢 в 푣. Следовательно, граф 퐺′′ + 푢푣 является минором 퐺. Аналогично, 퐺′ + 푢푣 является минором 퐺. Т.к. 퐺 планарен, то графы 퐺′ + 푢푣 и 퐺′′ + 푢푣 планарны. 푢 푣 퐺′ 퐺′′
  15. 15. Триангуляции трёхсвязны Возьмём укладки графов 퐺′ + 푢푣 и 퐺′′ + 푢푣 , в которых ребро 푢푣 лежит на границе внешней грани. Из них можно построить укладку 퐺, в которой на внешней грани есть пара вершин 푥 и 푦, отличных от 푢, 푣, и не соединённых ребром. Это противоречит тому, что 퐺 — триангуляция. 푢 푣 퐺′ 퐺′′ 푦 푥
  16. 16. Укладки двусвязных графов Утверждение. В любой укладке двусвязного графа граница каждой грани является простым циклом. Доказательство: Если бы граница грани содержала точку сочленения, то она была бы точкой сочленения и во всём графе. Значит, граница грани двусвязна. Осталось заметить, что любой двусвязный граф, не содержащий 휃-подграфа, суть простой цикл.
  17. 17. Укладки трёхсвязных графов Теорема. (Tutte ’1963) В укладке трёхсвязного планарного графа 퐺 подграф 퐵 образует границу грани т. и т.т., когда выполнены два условия: • 퐵 является порождённым простым циклом в 퐺 (то есть у 퐵 нет «хорд» в 퐺), • граф 퐺 − 퐵 связен.
  18. 18. Укладки трёхсвязных графов Доказательство: Зафиксируем произвольную плоскую укладку трёхсвязного графа 퐺. Пусть 퐶 — цикл, не являющийся границей грани. Тогда есть непустые множества рёбер внутри 퐶 и снаружи 퐶. Получаем, что либо у 퐶 есть хорда, либо найдутся какие-то вершины 푢 и 푣 внутри и снаружи 퐶 соответственно. Любой путь из 푢 в 푣 пересекает 퐶, а значит граф 퐺 − 퐶 не будет связным.
  19. 19. Укладки трёхсвязных графов Пусть 퐵 — цикл, являющийся границей грани. Можно считать, что 퐵 — граница внешней грани укладки 퐺. Если у 퐵 есть хорда 푥푦, то граф 퐺 − 푥, 푦 несвязен — противоречие с трёхсвязностью 퐺: 푥 푦
  20. 20. Укладки трёхсвязных графов Итак, у 퐵 нет хорд. Осталось доказать связность графа 퐺 − 퐵 . Допустим противное. Тогда существуют 푢, 푣 ∈ 푉 퐺 − 퐶 , такие, что любой путь из 푢 в 푣 имеет с 퐵 общую вершину. Так как 퐺 трёхсвязен, то найдутся пути 푃1, 푃2, 푃3 между 푢 и 푣 без общих внутренних вершин. Пусть 푥푖 — любая из общих вершин пути 푃푖 и цикла 퐵.
  21. 21. Укладки трёхсвязных графов Получаем, что в 퐺 есть не пересекающиеся по внутренним вершинам пути из 푢, 푣 в каждую из вершин 푥1, 푥2, 푥3. Возьмём точку вне 퐵 и соединим её с 푥1, 푥2, 푥3. 푢 푣 푥1 푥2 푥3 Получили укладку графа, гомеоморфного 퐾3,3 — противоречие. Теорема Татта доказана.
  22. 22. Укладки трёхсвязных графов Две укладки одного графа называются эквивалентными, если в них наборы рёбер, ограничивающих грани, совпадают: эквивалентны неэквивалентны
  23. 23. Укладки трёхсвязных графов Из доказанной теоремы Татта сразу следует Теорема. (Whitney ’1933) Укладка любого трёхсвязного планарного графа единственна с точностью до эквивалентности. Следствие из теоремы Уитни. Во всех укладках одной и той же триангуляции тройки рёбер, ограничивающих грани, совпадают.
  24. 24. Теорема Вагнера—Фари Укладка графа называется прямолинейной, если каждое ребро графа в этой укладке изображено отрезком прямой. Теорема (Wagner’1936, Fáry’1948). У любого планарного графа существует прямолинейная укладка на плоскости. Для доказательства теоремы нам потребуются три леммы…
  25. 25. Лемма о вершинах степени ≤ 5 Лемма о четырёх вершинах степени ≤ 5. В любой триангуляции (в которой не менее четырёх вершин) найдутся четыре вершины, степень каждой из которых не превосходит 5. Доказательство. Пусть в графе 푛 вершин. Имеем 푣∈푉 6 − 푑 푣 = 6푛 − 2 퐸 = 6푛 − 2 3푛 − 6 = 12. Так как 6 − 푑 푣 ≤ 3, то в сумме выше по крайней мере 4 положительных слагаемых.
  26. 26. Лемма о триангулировании многоугольника Лемма о триангулировании многоугольника. Любой многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники. Доказательство. Достаточно указать, как провести хотя бы одну диагональ. Рассмотрим произвольную тройку 퐴, 퐵, 퐶 последовательных вершин многоугольника. Если можно провести диагональ 퐴퐶, то это и сделаем, а если нельзя, то поступим так…
  27. 27. Лемма о триангулировании многоугольника Будем вращать луч 퐵퐴 в направлении стороны 퐵퐶 до тех пор, пока на него не попадёт какая-либо вершина многоугольника 퐷 (если таких вершин несколько, возьмём ближайшую к 퐵). Отрезок 퐵퐷 и будет искомой диагональю. 퐴 퐵 퐶 퐷
  28. 28. Лемма об обзоре пятиугольника Лемма об обзоре пятиугольника. Внутри любого пятиугольника найдётся точка, такая, что отрезки, соединяющие её с вершинами пятиугольника, полностью лежат внутри него. (То же утверждение справедливо и для четырёхугольника)
  29. 29. Лемма об обзоре пятиугольника Доказательство. Пятиугольник, по предыдущей лемме, можно разбить на треугольники. По принципу Дирихле, найдётся вершина пятиугольника, принадлежащая всем трём треугольникам. Рядом с этой вершиной можно взять искомую точку.
  30. 30. Теорема Вагнера—Фари Доказательство теоремы. Индукцией по 푛 докажем более сильное утверждение: «Пусть 푎, 푏, 푐 — вершины какой-нибудь грани в некоторой укладке триангуляции на 푛 вершинах. Тогда существует прямолинейная укладка той же триангуляции, в которой вершины 푎, 푏, 푐 лежат на границе внешней грани.»
  31. 31. Теорема Вагнера—Фари База 푛 = 3 очевидна. Пусть 푛 ≥ 4 и 퐺 — триангуляция, 퐺 = 푛. Пусть 푎, 푏, 푐 — произвольные вершины какой-нибудь грани в одной из укладок 퐺. В 퐺 найдётся вершина 푣, такая, что 푑 푣 ≤ 5 и 푣 ∉ 푎, 푏, 푐 . 푎 푏 푐 푣
  32. 32. Теорема Вагнера—Фари Пусть 퐺′ — триангуляция, полученная из 퐺 удалением 푣 и добавлением рёбер между бывшими соседями 푣. 푎 푏 푐
  33. 33. Теорема Вагнера—Фари Т.к. 퐺′ = 푛 − 1, то по предположению индукции, найдётся прямолинейная укладка 퐺′, в которой вершины 푎, 푏, 푐 лежат на границе внешней грани (а значит, добавленные при построении 퐺′ рёбра не лежат на границе внешней грани). 푎 푏 푐
  34. 34. Теорема Вагнера—Фари Удалим добавленные при построении 퐺′ рёбра из укладки. В образовавшуюся при этом грань можно добавить вершину 푣 по лемме об обзоре пятиугольника. Получим искомую прямолинейную укладку 퐺. 푎 푏 푐
  35. 35. Теорема Татта Теорема. (Tutte ’1963) У любого трёхсвязного планарного графа существует такая прямолинейная укладка на плоскости, в которой каждая грань ограничена выпуклым многоугольником. Теорема называется ещё «теоремой о пружинках/резинках» из-за того, как укладка в этой теореме может быть получена.
  36. 36. Теорема Татта Пусть Γ — множество вершин трёхсвязного графа, составляющих границу одной из граней в какой-нибудь укладке. Тогда укладку Татта можно получить, если закрепить вершины множества Γ в вершинах произвольного выпуклого многоугольника, и представить, что рёбра графа стремятся стянуться, как резинки. Полученная при стабилизации такой физической системы картинка и будет искомой укладкой.
  37. 37. Представления планарных графов Теорема (Chalopin, Gonçalves ’2009). Любой планарный граф может быть представлен следующим образом: вершинам графа соответствуют отрезки на плоскости, рёбрам — пары пересекающихся отрезков: 1 2 4 3 5 1 2 3 4 5
  38. 38. Представления планарных графов Теорема (Koebe ’1936). Любой планарный граф может быть представлен следующим образом: вершинам графа соответствуют круги на плоскости, рёбрам — пары касающихся кругов: 1 2 4 3 5 2 1 3 4 5
  39. 39. Минорно-замкнутые классы Класс графов минорно-замкнутый или минорно-наследственный, если вместе с каждым графом содержит все его миноры. Примеры: • Класс графов, укладываемых на заданной поверхности • Класс графов, не содержащих простые циклы, длина которых больше заданной
  40. 40. Минорно-замкнутые классы Класс планарных графов, благодаря теореме Вагнера, может быть описан в терминах запрещённых миноров: граф планарен т. и т.т., когда среди его миноров нет 퐾5 и 퐾3,3. Класс графов, не содержащих простые циклы длины более 푙, описывается ещё проще: граф принадлежит классу т. и т.т., когда цикл на 푙 + 1 вершинах не является минором графа.
  41. 41. Минорно-замкнутые классы А можно ли описать класс графов, укладываемых на торе, в терминах запрещённых миноров? —Да, можно! Теорема. (Seymour, Robertson ’2004) Любой минорно-замкнутый класс графов может быть описан конечным множеством запрещённых миноров. (Доказательство — больше сотни страниц.)
  42. 42. Минорно-замкнутые классы Теорема. Для любого фиксированного графа 퐻 существует алгоритм, который по входному графу 퐺 за время 푂 퐺 3 проверяет, является ли 퐻 его минором. Следствие. Для любого минорно-замкнутого класса графов задача распознавания принадлежности этому классу является полиномиально разрешимой.
  43. 43. Минорно-замкнутые классы Следствие. Для любой фиксированной поверхности Π существует полиномиальный алгоритм, распознающий по входному графу, можно ли уложить его на Π без пересечений ребёр. Не стоит обольщаться: Константа в 푂 в оценке сложности алгоритма астрономически большая.
  44. 44. Минорно-замкнутые классы Не стоит обольщаться: Множество запрещённых миноров для класса графов, укладываемых на торе, содержит более 16000 элементов. В то же время, для проверки планарности, «тороидальности» и некоторых других «укладываемостей» известны алгоритмы, линейные по времени.
  45. 45. Характеристики непланарных графов • Число скрещиваний графа — минимальное число пересечений рёбер графа при укладке на плоскости • Толщина графа — минимальное число планарных подграфов, на которые можно разбить граф • Род графа — минимальный род поверхности, на которую можно уложить граф без пересечений рёбер • Искажённость — наименьшее число рёбер, удаление которых делает граф планарным

×