Доказываем теорему Липтона—Тарджена о существовании хороших разделяющих множеств (сепараторов) в планарных графах. [Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

1. Основы теории графов
осень 2013
Александр Дайняк
www.dainiak.com

2. Квазитриангуляции
Квазитриангуляция — это планарный граф, границы всех граней
которого являются простыми циклами, причём границы всех
внутренних граней — треугольники.

3. Лемма о красно-синей альтернативе
Лемма.
Пусть вершины квазитриангуляции 퐺 покрашены в красный и
синий цвета. Пусть цикл 퐶 — граница внешней грани 퐺.
Пусть 푢, 푤 — произвольная пара красных вершин на 퐶. Тогда
• найдётся красная цепь, соединяющая 푢 и 푤,
• или найдётся синяя цепь, соединяющая две вершины из разных
компонент связности 퐶 − 푢, 푤 .
или

4. Доказательство леммы
о красно-синей альтернативе
Пусть 푈 — красные вершины 퐺, до которых можно добраться
по красным цепям.
Если 푤 ∈ 푈, то искомая красная цепь между 푢 и 푣 нашлась.
Пусть теперь 푤 ∉ 푈 и пусть 푊 — компонента связности 퐺 − 푈 ,
содержащая 푤. Пусть 푣′ и 푣′′ — синие вершины из 퐶 ∩ 푊,
по разные стороны от 푤 и наиболее далёкие от 푤.
Тогда есть синяя цепь, проходящая
по той части границы 푊, которая «ближе к 푢».
(Наличие красных вершин на этой части границы
противоречило бы квазитр. и определению 푈.)
푣′
푤 푢
푣′′

5. Лемма о цепях
в «толстой» квазитриангуляции
Лемма.
Пусть 푣0푣1 … 푣2푘−1 — внешний цикл квазитриангуляции 퐺.
Тогда если 푑 푣0, 푣푘 = 푘, то найдутся 푘 непересекающихся по
вершинам цепей из 푣푖 в 푣2푘−푖 для 푖 = 0, … , 푘 − 1.
푣0 < 푘 푣푘 или
푣푖
푣2푘−푖

6. Доказательство леммы о цепях
Пусть 푋 ≔ 푣0, … , 푣푘 и 푌 ≔ 푣푘 , … , 푣2푘−1, 푣0 .
Пусть 푆 — наименьший 푋, 푌-разделитель. Отметим, что 푣0, 푣푘 ∈ 푆.
Будем считать вершины из 푆 красными, а остальные — синими, и применим
лемму о красно-синей альтернативе:
• синей цепи между 푋 и 푌 нет (т.к. 푆 — разделитель),
• значит, есть красная цепь между 푣0 и 푣푘 .
По условию, пути между 푣0 и 푣푘 имеют длину ≥ 푘, отсюда 푆 ≥ 푘.
Отсюда, по теореме Пима, найдутся 푘 непересекающихся путей между 푋 и 푌.
В силу планарности, эти пути соединяют 푣푖 с 푣푘−푖 .

7. Сепарация графов
Общая концепция: удалить из графа «совсем небольшое» число
вершин/рёбер, так, чтобы оставшиеся вершины распались на два
несмежных множества, в константу раз меньшие исходного.
Применение.
В алгоритмах типа «разделяй и властвуй».
Пример-упражнение.
В любом бинарном 푛-вершинном дереве можно удалить одно
ребро, так, что оно распадётся на два дерева, в каждом из которых
менее 2푛 3 вершин.

8. Сепарация графов
Общая концепция: удалить из графа «совсем небольшое» число
вершин/рёбер, так, чтобы оставшиеся вершины распались на два
несмежных множества, в константу раз меньшие исходного.
Формальное определение.
푚, 훼 -сепаратор графа 퐺 — это такое подмножество 푉′ вершин 퐺,
что 푉′ ≤ 푚 и 퐺 − 푉′ можно разбить на части 퐺1 и 퐺2,
где 퐺푖 ≤ 훼 ⋅ 퐺 , и между 퐺1, 퐺2 рёбер нет.

9. Теорема Липтона—Тарджена
Теорема. (R.J. Lipton, R. Tarjan)
У любого планарного 푛-вершинного графа есть 2 2푛
, 1
2 -сепаратор.
1− 2 3
Смысл.
Любой планарный граф 퐺 можно раскроить на две почти равные
части, удалив 표 퐺 вершин.

10. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛, 2
3 -сепаратора
Сначала докажем существование 2 2푛, 2
3 -сепаратора.
Уложим 퐺 на плоскости и дополним рёбрами до триангуляции
(любой сепаратор полученной триангуляции будет также
сепаратором исходного графа).
Для цикла 퐶 через 푐int и 푐ext обозначим число вершин графа 퐺
внутри и вне 퐶 соответственно.

11. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛, 2
3 -сепаратора
Пусть 푘 ≔ 2푛 . Пусть 퐶 выбран так, что:
• 퐶 ≤ 2푘
• 푐ext ≤ 2푛
3
• 푐int − 푐ext → min
Отметим, что 퐶 существует, т.к. первым двум ограничениям
удовлетворяет внешний цикл 퐺.
Покажем, что 퐶 — искомый сепаратор. Допустим, что это не так, и
придём к противоречию.

12. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛, 2
3 -сепаратора
• 푘 ≔ 2푛 , 퐶 ≤ 2푘, 푐ext ≤ 2푛
3 , 푐int − 푐ext → min
Пусть 퐶 — не 2 2푛, 2
3 -сепаратор. Тогда 푐int > 2푛
3 .
• Заметим, что 퐶 = 2푘. В противном случае, можно было бы
добавить к 퐶 одну из 푐int вершин, уменьшив 푐int − 푐ext .

13. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛, 2
3 -сепаратора
• 푘 ≔ 2푛 , 퐶 ≤ 2푘, 푐ext ≤ 2푛
3 , 푐int − 푐ext → min
• Предположили, что 퐶 не сепаратор: 푐int > 2푛
3 .
Для вершин 푢, 푣 ∈ 푉 퐶 пусть 푑퐶 푢, 푣 — расстояние между 푢 и 푣
«по циклу», а 푑int 푢, 푣 — длина кратчайшего пути между ними,
состоящего только из вершин на 퐶 и внутри 퐶.
Докажем, что 푑int 푢, 푣 = 푑퐶 푢, 푣 для любых 푢, 푣 ∈ 푉 퐶 .

14. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛, 2
3 -сепаратора
Допустим, что 푑int 푢, 푣 < 푑퐶 푢, 푣 для каких-то 푢, 푣 ∈ 푉 퐶 .
Среди всех таких пар 푢, 푣 выберем пару с наименьшим 푑int 푢, 푣 .
Пусть 푃 — кратчайший путь между 푢 и 푣 внутри 퐶.
В силу выбора пары 푢, 푣 имеем 푉 푃 ∩ 푉 퐶 = 푢, 푣 .
Пусть 퐶′ и 퐶′′ — циклы, образованные 푃 и 퐶.
Б.о.о. считаем, что 푐′ ≥ 푐′′ int
int
.
푐 ′′ int
푃 푐int
′
푢
푣

15. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛, 2
3 -сепаратора
• 푘 ≔ 2푛 , 퐶 ≤ 2푘, 푐ext ≤ 2푛
3 , 푐int − 푐ext → min
• 푑int 푢, 푣 < 푑퐶 푢, 푣 , 푉 푃 ∩ 푉 퐶 = 푢, 푣
• 푐′ int
≥ 푐′′
int
В предположении, что 푐int > 2푛
3 , получаем
′ = 푛 − 퐶′ − 푐int
푐ext
푢
푐 ′′ int
′ +푐int
′ ≤ 푛 − 2 ⋅ 푃 − 2 − 푐int
′′
′
2 ≤
′ +푐int
≤ 푛 − 푃 −2+푐int
′′
2 = 푛 − 푐int
2 < 2푛
3
Кроме того,
퐶′ = 퐶 − 푑퐶 푢, 푣 + 푑int 푢, 푣 < 퐶 ≤ 2푘
′ − 푐ext
Очевидно, 푐int
푃 푐int
푣
′ < 푐int − 푐ext — противоречие с выбором 퐶.

16. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛, 2
3 -сепаратора
В предположении, что 푐int > 2푛
3 , мы вывели, что 퐶 = 2푘
и 푑int 푢, 푣 = 푑퐶 푢, 푣 для любых 푢, 푣 ∈ 푉 퐶 .
Занумеруем вершины 퐶: 푣0푣1 … 푣2푘−1 и применим Лемму о цепях в «толстой»
квазитриангуляции к вершинам 퐶 и его внутренности: так как 푑int 푣0, 푣푘 = 푘, то
есть 푘 непересекающихся цепей внутри 퐶 между 푣푖 и 푣2푘−푖 .
Число вершин на цепи такого вида не меньше, чем min 2푖 + 1, 2 푘 − 푖 + 1 .
Отсюда
퐶 + 푐int ≥
푘
푖=0
min 2푖 + 1, 2 푘 − 푖 + 1 ≥ 2 ⋅
(푘−1) 2
푖=0
2푖 + 1 =
= 2 ⋅
푘 − 1
2
+ 1 ⋅ 2 ⋅
푘 − 1
2
+ 2 ≥ 푘 + 1 2 > 푛

17. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛
, 1
2 -сепаратора
1− 2 3
Итак, у любого планарного графа есть 2 2푛, 2
3 -сепаратор.
Построим 2 2푛
, 1
2 -сепаратор «рекурсивной балансировкой».
1− 2 3
Пусть 퐺 — планарный граф.
Построим последовательность 퐴푖 , 퐵푖 , 퐶푖 , 퐷푖 , где
• 푉 퐺 = 퐴푖 ⊔ 퐵푖 ⊔ 퐶푖 ⊔ 퐷푖
• нет рёбер вида 퐴푖— 퐵푖 , 퐴푖— 퐷푖 и 퐵푖— 퐷푖 ,
• 퐴푖 ≤ 퐵푖 ≤ 푛 2
퐷푖 퐶푖
퐴푖
퐵푖

18. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛
, 1
2 -сепаратора
1− 2 3
Полагаем 퐴0 ≔ ∅, 퐵0 ≔ ∅, 퐶0 ≔ ∅, 퐷0 ≔ 푉 퐺 .
Пусть уже построены 퐴푖 … 퐷푖 . Тогда 퐴푖+1 … 퐷푖+1 строим так:
Строим 2 2푛, 2
3 -сепаратор 퐶∗ графа 퐺 퐷푖 .
Пусть 퐴∗ и 퐵∗ — части, на которые 퐺 퐷푖 разбивается с помощью 퐶∗,
обозначенные так, что 퐴∗ ≤ 퐵∗ . Полагаем
• 퐶푖+1 ≔ 퐶푖 ∪ 퐶∗
• 퐴푖+1 ≔ меньшее из множеств 퐴푖 ∪ 퐴∗ и 퐵푖
• 퐵푖+1 ≔ большее из множеств 퐴푖 ∪ 퐴∗ и 퐵푖
• 퐷푖+1 ≔ 퐵∗ 퐶푖
퐴푖
퐵푖
퐶∗
퐴∗
퐵∗

19. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена:
построение 2 2푛
, 1
2 -сепаратора
1− 2 3
퐷0 ≔ 푉 퐺 и 퐷푖 меньше 퐷푖+1 по крайней мере в полтора раза,
поэтому число шагов 푘 до момента, когда 퐷푖 = ∅, не превосходит
log3 2 푛
На последнем шаге
퐶푘 ≤
푘
푖=0
2 2 퐷푖 <
∞
푖=0
2 2푛 2
3
푖
=
2 2푛
1 − 2 3
퐶푖
퐴푖
퐵푖
퐶∗
퐴∗
퐵∗