Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Основы теории графов 07: сепараторы в планарных графах

359 visualizaciones

Publicado el

Доказываем теорему Липтона—Тарджена о существовании хороших разделяющих множеств (сепараторов) в планарных графах.

[Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Основы теории графов 07: сепараторы в планарных графах

  1. 1. Основы теории графов осень 2013 Александр Дайняк www.dainiak.com
  2. 2. Квазитриангуляции Квазитриангуляция — это планарный граф, границы всех граней которого являются простыми циклами, причём границы всех внутренних граней — треугольники.
  3. 3. Лемма о красно-синей альтернативе Лемма. Пусть вершины квазитриангуляции 퐺 покрашены в красный и синий цвета. Пусть цикл 퐶 — граница внешней грани 퐺. Пусть 푢, 푤 — произвольная пара красных вершин на 퐶. Тогда • найдётся красная цепь, соединяющая 푢 и 푤, • или найдётся синяя цепь, соединяющая две вершины из разных компонент связности 퐶 − 푢, 푤 . или
  4. 4. Доказательство леммы о красно-синей альтернативе Пусть 푈 — красные вершины 퐺, до которых можно добраться по красным цепям. Если 푤 ∈ 푈, то искомая красная цепь между 푢 и 푣 нашлась. Пусть теперь 푤 ∉ 푈 и пусть 푊 — компонента связности 퐺 − 푈 , содержащая 푤. Пусть 푣′ и 푣′′ — синие вершины из 퐶 ∩ 푊, по разные стороны от 푤 и наиболее далёкие от 푤. Тогда есть синяя цепь, проходящая по той части границы 푊, которая «ближе к 푢». (Наличие красных вершин на этой части границы противоречило бы квазитр. и определению 푈.) 푣′ 푤 푢 푣′′
  5. 5. Лемма о цепях в «толстой» квазитриангуляции Лемма. Пусть 푣0푣1 … 푣2푘−1 — внешний цикл квазитриангуляции 퐺. Тогда если 푑 푣0, 푣푘 = 푘, то найдутся 푘 непересекающихся по вершинам цепей из 푣푖 в 푣2푘−푖 для 푖 = 0, … , 푘 − 1. 푣0 < 푘 푣푘 или 푣푖 푣2푘−푖
  6. 6. Доказательство леммы о цепях Пусть 푋 ≔ 푣0, … , 푣푘 и 푌 ≔ 푣푘 , … , 푣2푘−1, 푣0 . Пусть 푆 — наименьший 푋, 푌-разделитель. Отметим, что 푣0, 푣푘 ∈ 푆. Будем считать вершины из 푆 красными, а остальные — синими, и применим лемму о красно-синей альтернативе: • синей цепи между 푋 и 푌 нет (т.к. 푆 — разделитель), • значит, есть красная цепь между 푣0 и 푣푘 . По условию, пути между 푣0 и 푣푘 имеют длину ≥ 푘, отсюда 푆 ≥ 푘. Отсюда, по теореме Пима, найдутся 푘 непересекающихся путей между 푋 и 푌. В силу планарности, эти пути соединяют 푣푖 с 푣푘−푖 .
  7. 7. Сепарация графов Общая концепция: удалить из графа «совсем небольшое» число вершин/рёбер, так, чтобы оставшиеся вершины распались на два несмежных множества, в константу раз меньшие исходного. Применение. В алгоритмах типа «разделяй и властвуй». Пример-упражнение. В любом бинарном 푛-вершинном дереве можно удалить одно ребро, так, что оно распадётся на два дерева, в каждом из которых менее 2푛 3 вершин.
  8. 8. Сепарация графов Общая концепция: удалить из графа «совсем небольшое» число вершин/рёбер, так, чтобы оставшиеся вершины распались на два несмежных множества, в константу раз меньшие исходного. Формальное определение. 푚, 훼 -сепаратор графа 퐺 — это такое подмножество 푉′ вершин 퐺, что 푉′ ≤ 푚 и 퐺 − 푉′ можно разбить на части 퐺1 и 퐺2, где 퐺푖 ≤ 훼 ⋅ 퐺 , и между 퐺1, 퐺2 рёбер нет.
  9. 9. Теорема Липтона—Тарджена Теорема. (R.J. Lipton, R. Tarjan) У любого планарного 푛-вершинного графа есть 2 2푛 , 1 2 -сепаратор. 1− 2 3 Смысл. Любой планарный граф 퐺 можно раскроить на две почти равные части, удалив 표 퐺 вершин.
  10. 10. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛, 2 3 -сепаратора Сначала докажем существование 2 2푛, 2 3 -сепаратора. Уложим 퐺 на плоскости и дополним рёбрами до триангуляции (любой сепаратор полученной триангуляции будет также сепаратором исходного графа). Для цикла 퐶 через 푐int и 푐ext обозначим число вершин графа 퐺 внутри и вне 퐶 соответственно.
  11. 11. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛, 2 3 -сепаратора Пусть 푘 ≔ 2푛 . Пусть 퐶 выбран так, что: • 퐶 ≤ 2푘 • 푐ext ≤ 2푛 3 • 푐int − 푐ext → min Отметим, что 퐶 существует, т.к. первым двум ограничениям удовлетворяет внешний цикл 퐺. Покажем, что 퐶 — искомый сепаратор. Допустим, что это не так, и придём к противоречию.
  12. 12. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛, 2 3 -сепаратора • 푘 ≔ 2푛 , 퐶 ≤ 2푘, 푐ext ≤ 2푛 3 , 푐int − 푐ext → min Пусть 퐶 — не 2 2푛, 2 3 -сепаратор. Тогда 푐int > 2푛 3 . • Заметим, что 퐶 = 2푘. В противном случае, можно было бы добавить к 퐶 одну из 푐int вершин, уменьшив 푐int − 푐ext .
  13. 13. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛, 2 3 -сепаратора • 푘 ≔ 2푛 , 퐶 ≤ 2푘, 푐ext ≤ 2푛 3 , 푐int − 푐ext → min • Предположили, что 퐶 не сепаратор: 푐int > 2푛 3 . Для вершин 푢, 푣 ∈ 푉 퐶 пусть 푑퐶 푢, 푣 — расстояние между 푢 и 푣 «по циклу», а 푑int 푢, 푣 — длина кратчайшего пути между ними, состоящего только из вершин на 퐶 и внутри 퐶. Докажем, что 푑int 푢, 푣 = 푑퐶 푢, 푣 для любых 푢, 푣 ∈ 푉 퐶 .
  14. 14. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛, 2 3 -сепаратора Допустим, что 푑int 푢, 푣 < 푑퐶 푢, 푣 для каких-то 푢, 푣 ∈ 푉 퐶 . Среди всех таких пар 푢, 푣 выберем пару с наименьшим 푑int 푢, 푣 . Пусть 푃 — кратчайший путь между 푢 и 푣 внутри 퐶. В силу выбора пары 푢, 푣 имеем 푉 푃 ∩ 푉 퐶 = 푢, 푣 . Пусть 퐶′ и 퐶′′ — циклы, образованные 푃 и 퐶. Б.о.о. считаем, что 푐′ ≥ 푐′′ int int . 푐 ′′ int 푃 푐int ′ 푢 푣
  15. 15. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛, 2 3 -сепаратора • 푘 ≔ 2푛 , 퐶 ≤ 2푘, 푐ext ≤ 2푛 3 , 푐int − 푐ext → min • 푑int 푢, 푣 < 푑퐶 푢, 푣 , 푉 푃 ∩ 푉 퐶 = 푢, 푣 • 푐′ int ≥ 푐′′ int В предположении, что 푐int > 2푛 3 , получаем ′ = 푛 − 퐶′ − 푐int 푐ext 푢 푐 ′′ int ′ +푐int ′ ≤ 푛 − 2 ⋅ 푃 − 2 − 푐int ′′ ′ 2 ≤ ′ +푐int ≤ 푛 − 푃 −2+푐int ′′ 2 = 푛 − 푐int 2 < 2푛 3 Кроме того, 퐶′ = 퐶 − 푑퐶 푢, 푣 + 푑int 푢, 푣 < 퐶 ≤ 2푘 ′ − 푐ext Очевидно, 푐int 푃 푐int 푣 ′ < 푐int − 푐ext — противоречие с выбором 퐶.
  16. 16. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛, 2 3 -сепаратора В предположении, что 푐int > 2푛 3 , мы вывели, что 퐶 = 2푘 и 푑int 푢, 푣 = 푑퐶 푢, 푣 для любых 푢, 푣 ∈ 푉 퐶 . Занумеруем вершины 퐶: 푣0푣1 … 푣2푘−1 и применим Лемму о цепях в «толстой» квазитриангуляции к вершинам 퐶 и его внутренности: так как 푑int 푣0, 푣푘 = 푘, то есть 푘 непересекающихся цепей внутри 퐶 между 푣푖 и 푣2푘−푖 . Число вершин на цепи такого вида не меньше, чем min 2푖 + 1, 2 푘 − 푖 + 1 . Отсюда 퐶 + 푐int ≥ 푘 푖=0 min 2푖 + 1, 2 푘 − 푖 + 1 ≥ 2 ⋅ (푘−1) 2 푖=0 2푖 + 1 = = 2 ⋅ 푘 − 1 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 푘 − 1 2 + 2 ≥ 푘 + 1 2 > 푛
  17. 17. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛 , 1 2 -сепаратора 1− 2 3 Итак, у любого планарного графа есть 2 2푛, 2 3 -сепаратор. Построим 2 2푛 , 1 2 -сепаратор «рекурсивной балансировкой». 1− 2 3 Пусть 퐺 — планарный граф. Построим последовательность 퐴푖 , 퐵푖 , 퐶푖 , 퐷푖 , где • 푉 퐺 = 퐴푖 ⊔ 퐵푖 ⊔ 퐶푖 ⊔ 퐷푖 • нет рёбер вида 퐴푖— 퐵푖 , 퐴푖— 퐷푖 и 퐵푖— 퐷푖 , • 퐴푖 ≤ 퐵푖 ≤ 푛 2 퐷푖 퐶푖 퐴푖 퐵푖
  18. 18. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛 , 1 2 -сепаратора 1− 2 3 Полагаем 퐴0 ≔ ∅, 퐵0 ≔ ∅, 퐶0 ≔ ∅, 퐷0 ≔ 푉 퐺 . Пусть уже построены 퐴푖 … 퐷푖 . Тогда 퐴푖+1 … 퐷푖+1 строим так: Строим 2 2푛, 2 3 -сепаратор 퐶∗ графа 퐺 퐷푖 . Пусть 퐴∗ и 퐵∗ — части, на которые 퐺 퐷푖 разбивается с помощью 퐶∗, обозначенные так, что 퐴∗ ≤ 퐵∗ . Полагаем • 퐶푖+1 ≔ 퐶푖 ∪ 퐶∗ • 퐴푖+1 ≔ меньшее из множеств 퐴푖 ∪ 퐴∗ и 퐵푖 • 퐵푖+1 ≔ большее из множеств 퐴푖 ∪ 퐴∗ и 퐵푖 • 퐷푖+1 ≔ 퐵∗ 퐶푖 퐴푖 퐵푖 퐶∗ 퐴∗ 퐵∗
  19. 19. Доказательство теоремы Липтона—Тарджена: построение 2 2푛 , 1 2 -сепаратора 1− 2 3 퐷0 ≔ 푉 퐺 и 퐷푖 меньше 퐷푖+1 по крайней мере в полтора раза, поэтому число шагов 푘 до момента, когда 퐷푖 = ∅, не превосходит log3 2 푛 На последнем шаге 퐶푘 ≤ 푘 푖=0 2 2 퐷푖 < ∞ 푖=0 2 2푛 2 3 푖 = 2 2푛 1 − 2 3 퐶푖 퐴푖 퐵푖 퐶∗ 퐴∗ 퐵∗

×