Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Основы теории графов 08: раскраски и списочные раскраски

1.247 visualizaciones

Publicado el

Вводим понятие списочной раскраски. Демонстрируем различие между обчным и списочным хроматическим числом. Доказываем теоремы Брукса и Визинга. Доказываем теорему Алона об оценки списочного хроматического числа через минимальную степень вершин. Доказываем верхнюю оценку на списочное хроматическое число через обычное.

[Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Основы теории графов 08: раскраски и списочные раскраски

  1. 1. Основы теории графов осень 2013 Александр Дайняк www.dainiak.com
  2. 2. Независимые множества и клики • Клика в графе — это полный подграф • Независимое множество — это подмножество вершин, порождающее пустой подграф
  3. 3. Независимые множества и клики • Число независимости 훼 퐺 — это размер максимального независимого множества • Кликовое число 휔 퐺 — это максимальный размер клики в графе
  4. 4. Двудольные графы • Двудольный граф — это граф, вершины которого можно разбить на два независимых множества • Полный двудольный граф 퐾푚,푛 — это двудольный граф со всеми возможными рёбрами между долями (푚 и 푛 — мощности долей) 퐾3,3
  5. 5. Раскраски вершин и рёбер • Раскраска вершин графа 퐺 в 푘 цветов — это отображение 휙: 푉 퐺 → 1,2, … , 푘 • Вершинная раскраска 휙 называется правильной, если ∀푣′∀푣′′ 푣′푣′′ ∈ E 퐺 ⇒ 휙 푣′ ≠ 휙 푣′′ Правильная раскраска вершин графа в 푘 цветов задаёт разбиение множества вершин графа на 푘 независимых множеств.
  6. 6. Раскраски вершин и рёбер • Раскраска рёбер графа 퐺 в 푘 цветов — это отображение 휓: 퐸 퐺 → 1,2, … , 푘 • Рёберная раскраска 휓 называется правильной, если ∀푒′∀푒′′ 푒′ ∩ 푒′′ ≠ ∅ ⇒ 휓 푒′ ≠ 휓 푒′′ Правильная раскраска рёбер графа в 푘 цветов задаёт разбиение множества рёбер графа на 푘 паросочетаний.
  7. 7. Примеры задач о раскраске • Сотовый оператор установил в городе свои антенны. Некоторые пары антенн расположены близко друг к другу и вынуждены использовать разные частоты. Сколько радиочастот придётся выкупить сотовому оператору у городских властей? • Лидеры стран G-20 собрались на саммит. Некоторые пары участников хотят побеседовать друг с другом наедине. У каждого участника на одну такую беседу уходит один день. Во сколько дней можно уложить саммит?
  8. 8. Примеры задач о раскраске Исторически первая задача о раскраске: • Сколько цветов достаточно использовать в типографии, чтобы можно было напечатать любую географическую карту (так, чтобы граничащие друг с другом страны не сливались на карте)?
  9. 9. Примеры задач о раскраске Задачу о раскраске карт можно переформулировать на языке раскрасок, рассмотрев планарный граф, двойственный карте: • Сколькими цветами можно правильно раскрасить любой планарный граф?
  10. 10. Хроматическое число • Хроматическое число 휒 퐺 — это минимальное число цветов, в которое можно правильно раскрасить вершины графа 퐺. • Хроматический индекс 휒′ 퐺 — это минимальное число цветов, в которое можно правильно раскрасить рёбра графа 퐺. Рассмотренные ранее «жизненные» задачи сводятся к нахождению хроматического числа или хроматического индекса некоторых графов.
  11. 11. Списочное хроматическое число Пусть для каждой вершины 푣 графа 퐺 указан конечный список 퐿푣 ⊆ ℕ — цвета, в которые разрешается красить 푣. Правильная списочная раскраска графа 퐺 (для набора списков 퐿푣 푣∈푉 퐺 ) — это отображение 휙: 푉 퐺 → ℕ, которое • является правильной раскраской в обычном понимании, • каждая вершина покрашена в цвет из своего списка: 휙 푣 ∈ 퐿푣
  12. 12. Списочное хроматическое число Списочное хроматическое число графа 퐺 — это такое минимальное 푘, что правильная списочная раскраска 퐺 существует для любого набора списков 퐿푣 푣∈푉 퐺 , удовлетворяющего условию ∀푣 퐿푣 = 푘. Обозначение: 휒푙 퐺 . Очевидно, 휒푙 퐺 ≥ 휒 퐺 (поскольку можно взять все списки равными 1,2, … , 푘 ).
  13. 13. Списочное хроматическое число Пример графа 퐺, для которого 휒푙 퐺 > 휒 퐺 : 1,3 1,2 2,3 2,3 1,2 1,3
  14. 14. Списочное хроматическое число Теорема. При любом 푘 ∈ ℕ существует граф 퐺, для которого 휒 퐺 = 2 и 휒푙 퐺 > 푘. Доказательство: Рассмотрим полный двудольный граф 퐺, у которого вершинам каждой доли приписаны всевозможные подмножества мощности 푘 множества 1,2, … , 2푘 − 1 : … … 1, … , 푘 1, … , 푘 푘, … , 2푘 − 1 푘, … , 2푘 − 1
  15. 15. Списочное хроматическое число Допустим, что у 퐺 есть правильная списочная раскраска в цвета из указанных списков. Пусть 퐴— множество цветов, использованных при раскраске вершин верхней доли. Тогда 퐴 ≥ 푘 (иначе в верхней доле графа 퐺 нашёлся бы список, не содержащий ни одного элемента из 퐴). … … 1, … , 푘 1, … , 푘 푘, … , 2푘 − 1 푘, … , 2푘 − 1
  16. 16. Списочное хроматическое число Имеем 퐴 ≥ 푘. Но тогда в нижней доле графа 퐺 есть вершина, список допустимых цветов которой полностью содержится в 퐴. Следовательно, правильную списочную раскраску 퐺 для заданных нами списков построить нельзя. То есть 휒푙 퐺 > 푘. … … 1, … , 푘 1, … , 푘 푘, … , 2푘 − 1 푘, … , 2푘 − 1
  17. 17. Оценки хроматического числа • 휒 퐶2푘 = 2, 휒 퐶2푘+1 = 3 • 휒 퐾푛 = 푛 • Если 퐻 — подграф 퐺, то 휒 퐺 ≥ 휒 퐻 • 휒 퐺 ≥ 휔 퐺 • 휒 퐺 ≥ 퐺 훼 퐺 , поскольку 퐺 ≤ 휒 퐺 ⋅ 훼 퐺
  18. 18. Оценки хроматического числа Утверждение. Для любого 퐺 выполнено 휒 퐺 ≤ 1 2 1 + 1 + 8 ⋅ 퐺 Доказательство: Пусть 휒 퐺 = 휒. Существует разбиение 푉 퐺 = 푉1 ⊔ ⋯ ⊔ 푉휒 , где 푉푖 — независимые множества. При этом ∀푖 ≠ 푗 между 푉푖 и 푉푗 есть хотя бы одно ребро. Поэтому 퐺 ≥ 휒 휒−1 2 . Решая это неравенство относительно 휒, получаем требуемое.
  19. 19. Оценки хроматического числа Утверждение. Хроматическое число графа 퐺 равно максимальному из хроматических чисел компонент связности 퐺. Поэтому в теоремах об оценках хроматических чисел достаточно рассматривать связные графы.
  20. 20. Оценки хроматического числа Утверждение. Хроматическое число связного графа 퐺 равно максимальному из хроматических чисел блоков 퐺. Доказательство: индукция по числу блоков. Пусть в 퐺 более одного блока и утверждение верно для графов с меньшим числом блоков. Пусть 퐵 — концевой блок в 퐺, а 퐺′ — оставшаяся часть 퐺. 퐵 퐺′
  21. 21. Оценки хроматического числа Блок 퐵 «прикреплён» к 퐺′ единственной вершиной 푣. Пусть 푘 = max 휒 퐺′ , 휒 퐵 . Существуют правильные раскраски 퐵 и 퐺′ в цвета 1, … , 푘 . Тогда существуют правильные раскраски 퐵 и 퐺′, в которых вершина 푣 имеет цвет 1. Совместив эти раскраски, получим раскраску всего графа 퐺. 퐵 퐺′ 퐵 1 퐺′ 1
  22. 22. «Жадный» алгоритм раскраски Упорядочиваем вершины графа: 푣1 , … , 푣 푉 . for 푖 ≔ 1 to 푉 : badColors ≔ color 푣푗 ∣ 푗 < 푖 и 푣푗 푣푖 ∈ 퐸 color 푣푖 ≔ min ℕ ∖ badColors (Т.е. при раскраске очередной вершины используется первый по счёту цвет, отсутствующий среди соседей вершины.)
  23. 23. «Жадный» алгоритм раскраски for 푖 ≔ 1 to 푉 : badColors ≔ color 푣푗 ∣ 푗 < 푖 и 푣푗푣푖 ∈ 퐸 color 푣푖 ≔ min ℕ ∖ badColors 1 1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 2 1 3 1 3 2 1 2
  24. 24. «Жадный» алгоритм раскраски for 푖 ≔ 1 to 푉 : badColors ≔ color 푣푗 ∣ 푗 < 푖 и 푣푗 푣푖 ∈ 퐸 color 푣푖 ≔ min ℕ ∖ badColors Утверждение. При любом упорядочении вершин графа указанный алгоритм строит правильную раскраску в не более чем 1 + Δ 퐺 цветов. (Т.к. всегда выполнено badColors ≤ Δ 퐺 .)
  25. 25. «Жадный» алгоритм раскраски Утверждение-упражнение. Качество раскраски, построенной алгоритмом, сильно зависит от упорядочения вершин: Всегда существует упорядочение, при котором алгоритм использует ровно 휒 퐺 цветов. Для любого 푘 можно предъявить двудольный граф 퐺 и такое упорядочение его вершин, что раскраска, построенная алгоритмом, будет задействовать более 푘 цветов.
  26. 26. «Жадный» алгоритм списочной раскраски Пусть каждой вершине 푣 присвоен список допустимых цветов 퐿푣. Тогда алгоритм выглядит так: for 푖 ≔ 1 to 푉 : badColors ≔ color 푣푗 ∣ 푗 < 푖 и 푣푗 푣푖 ∈ 퐸 if 퐿푣 ⊆ badColors: error else: color 푣푖 ≔ min 퐿푣 ∖ badColors
  27. 27. Оценка списочного хроматического числа Теорема. Для любого графа 퐺 выполнено неравенство 휒푙 퐺 ≤ 1 + max 퐻⊆퐺 훿 퐻 . Доказательство. Достаточно запустить жадный алгоритм на графе 퐺, упорядочив вершины так: • 푣 퐺 — любая из вершин минимальной степени в 퐺 • 푣 퐺 −1 — любая из вершин минимальной степени в 퐺 − 푣 퐺 • 푣 퐺 −2 — любая из вершин минимальной степени в 퐺 −
  28. 28. Оценка списочного хроматического числа Теорема. Для любого графа 퐺 выполнено 휒푙 퐺 ≤ 1 + max 퐻⊆퐺 훿 퐻 Следствие 1. Для любого графа 퐺 имеем 휒푙 퐺 ≤ 1 + Δ 퐺 Следствие 2. Для любого связного нерегулярного графа 퐺 выполнено неравенство 휒푙 퐺 ≤ Δ 퐺 (из нерегулярности 퐺 получаем 훿 퐺 ≤ Δ 퐺 − 1, а связность 퐺 влечёт 훿 퐻 ≤ Δ 퐺 − 1 для любого порождённого подграфа 퐻, отличного от 퐺)
  29. 29. Теорема Брукса Теорема Брукса. (R. L. Brooks ’1941) Для любого связного, не полного графа 퐺, имеющего Δ 퐺 ≥ 3, выполнено неравенство 휒 퐺 ≤ Δ 퐺 Доказательство (L. Lovász ’1975): Если 퐺 не регулярный, то 휒푙 퐺 ≤ Δ 퐺 , так что достаточно доказать теорему для регулярных графов. Также б.о.о. можно считать 퐺 двусвязным.
  30. 30. Доказательство теоремы Брукса: специальная тройка вершин Далее считаем 퐺 двусвязным, не полным, 푘-регулярным графом (푘 ≥ 3). Докажем, что в 퐺 можно выбрать такую тройку вершин 푥, 푦, 푧, что 푥푧, 푦푧 ∈ 퐸 퐺 , 푥푦 ∉ 퐸 퐺 , и граф 퐺 − 푥, 푦 связный: 푥 푦 푧
  31. 31. Доказательство теоремы Брукса: специальная тройка вершин Если 퐺 трёхсвязен, то 푧 выберем произвольно, а в качестве 푥 и 푦 возьмём любые две несмежные вершины из 푁 푣 (такие найдутся, т.к. 퐺 регулярный и не полный). Если 퐺 не трёхсвязный, то в качестве 푧 возьмём такую вершину, что граф 퐺 − 푧 не двусвязный. Пусть 퐵′ и 퐵′′ — любая пара концевых блоков в 퐺 − 푧 . 푧 퐵′ 퐵′′
  32. 32. Доказательство теоремы Брукса: специальная тройка вершин Пусть 퐵′ и 퐵′′ «прикрепляются» к оставшейся части графа 퐺 − 푧 точками сочленения 푢′ и 푢′′ соответственно. В блоке 퐵′ найдётся вершина 푥, отличная от 푢′ и смежная с 푧 (иначе 푢′ была бы точкой сочленения в 퐺). Аналогично, в 퐵′′ есть вершина 푦, отличная от 푢′′ и смежная с 푧. Тройка 푥, 푦, 푧 — искомая. 푧 퐵′ 퐵′′
  33. 33. Доказательство теоремы Брукса: аккуратная нумерация вершин Итак, в 퐺 найдётся «специальная» тройка 푥, 푦, 푧. 푥 푦 푧 Обозначим 푛 ≔ 퐺 . Положим 푣1 ≔ 푥, 푣2 ≔ 푦. Граф 퐺 − 푥, 푦 связный, поэтому можно занумеровать его вершины 푣3, … , 푣푛 так, что 푣푛 = 푧 и ∀푖 < 푛 ∃푗 > 푖: 푣푖 푣푗 ∈ 퐸 퐺 . (Например, обходом графа в ширину из вершины 푧.)
  34. 34. Доказательство теоремы Брукса: жадный алгоритм на аккуратной нумерации вершин Множество 푉 퐺 ∖ 푥, 푦 занумеровано 푣3 , 푣4 , … , 푣푛 так, что 푣푛 = 푧 и ∀푖 < 푛 ∃푗 > 푖: 푣푖푣푗 ∈ 퐸 퐺 . Запустим на 퐺 жадный алгоритм раскраски. • Вершины 푣1 , 푣2 окрасятся в цвет 1. • Пусть окрашивается вершина 푣푖 , 3 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1. Так как 푣푖 смежна хотя бы с одной из вершин 푣푖+1 , … , 푣푛 , то 푣푖 смежна не более чем с 푘 − 1 вершинами из множества 푣1 , … , 푣푖−1 . Значит, 푣푖 будет окрашена в цвет ≤ 푘. • Наконец, у 푣푛 степень 푘, но заведомо есть пара соседей, окрашенных одним цветом. Поэтому 푣푛 получит цвет ≤ 푘.
  35. 35. Обобщения и усиления теоремы Брукса • Теорема (B. Reed ’1999). Если Δ 퐺 достаточно велико и 휔 퐺 < Δ 퐺 , то 휒 퐺 ≤ Δ 퐺 − 1. • Существуют линейные по времени алгоритмы раскраски графов в Δ 퐺 цветов. • Теорема (В.Г. Визинг ’1976) Для связного, не полного графа, не являющегося циклом, 휒푙 퐺 ≤ Δ 퐺
  36. 36. Оценка 휒푙 퐺 сверху через 휒 퐺 Теорема. Для любого графа 퐺 выполнено неравенство 휒푙 퐺 ≤ 휒 퐺 ⋅ ln 퐺 Докажем эту теорему с помощью вероятностного метода.
  37. 37. Оценка 휒푙 퐺 сверху через 휒 퐺 Доказательство теоремы: Пусть 퐺 — произвольный граф, и 휒 퐺 = 휒. Пусть 푉1 ⊔ ⋯ ⊔ 푉휒 — разбиение 푉 퐺 на независимые множества. Пусть для каждой 푣 ∈ 푉 퐺 задан список допустимых цветов 퐿푣, где 퐿푣 = 휒 ln 퐺 . Покажем, что можно правильно раскрасить 퐺 в цвета из списков.
  38. 38. Оценка 휒푙 퐺 сверху через 휒 퐺 Положим 퐿 ≔ 푣∈푉 퐺 퐿푣 . Построим множества 퐿1 , … , 퐿휒 по правилу: • Для каждого элемента 푙 ∈ 퐿 подбрасываем 휒-гранную кость, и «кладём» 푙 в то из множеств 퐿1 , … , 퐿휒, номер которого выпал. Получаем случайное разбиение: 퐿 = 퐿1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐿휒
  39. 39. Оценка 휒푙 퐺 сверху через 휒 퐺 Пусть 푣 ∈ 푉푖 — фиксированная вершина. Вероятность того, что 퐿푣 ∩ 퐿푖 = ∅, равна 휒−1 휒 퐿푣 ≤ 1 − 1 휒 휒⋅ln 퐺 < 푒− ln 퐺 = 1 퐺 Вероятность того, что хотя бы для одной вершины окажется 퐿푣 ∩ 퐿푖 = ∅, не превосходит 푣∈푉 퐺 휒−1 휒 퐿푣 < 푣∈푉 퐺 1 퐺 = 1
  40. 40. Оценка 휒푙 퐺 сверху через 휒 퐺 Итак, с положительной вероятностью при случайном разбиении 퐿 = 퐿1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐿휒 для всех 푖 = 1, … , 휒 и для всех вершин 푣 ∈ 푉푖 имеем 퐿푣 ∩ 퐿푖 ≠ ∅ Значит, существует разбиение с такими свойствами. Зафиксируем его. Теперь для каждого 푖 и каждой вершины 푣 ∈ 푉푖 выберем цвет этой вершины из (непустого!) множества 퐿푣 ∩ 퐿푖 .
  41. 41. Оценка 휒푙 퐺 сверху через 휒 퐺 Для каждого 푖 и каждой вершины 푣 ∈ 푉푖 выберем цвет 푣 из множества 퐿푣 ∩ 퐿푖 . Так как этот цвет из 퐿푣, то он допустимый для данной вершины 푣. При этом если вершины 푣′ и 푣′′ смежны в 퐺, то они принадлежат разным множествам 푉푖 и 푉푗 , а значит их цвета будут выбраны из непересекающихся множеств 퐿푖 и 퐿푗.
  42. 42. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 Теорема (N. Alon ’2000) Для любого 퐺 при всех достаточно больших 훿 퐺 выполнено 휒푙 퐺 ≥ 1 4 ⋅ log2 훿 퐺 Доказательство: Пусть 푠 ≔ 1 4 ⋅ log2 훿 , и пусть ℒ ≔ 1,2, … , 푠2 . Построим множество 퐵 ⊆ 푉 퐺 по правилу: • Каждая вершина 퐺 берётся в 퐵 с вероятностью 1 훿. • Список допустимых цветов для 푢 ∈ 퐵 выбирается равновероятно среди всех 푠-подмножеств в ℒ.
  43. 43. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 : находим много «сложных» вершин 4 ⋅ log2 훿 퐺 , ℒ ≔ 1,2, … , 푠2 . • 푠 ≔ 1 • Каждая вершина 퐺 берётся в 퐵 с вероятностью 1 훿. • Для 푢 ∈ 퐵 список 퐿푢 — случайное 푠-подмножество в ℒ. Вершина 푣 ∈ 푉 퐺 ∖ 퐵 сложная, если для любого 퐿 ⊂ ℒ, такого, что 퐿 ≥ 푠2 2, найдётся 푢 ∈ 푁 푣 ∩ 퐵, такая, что 퐿푢 ⊆ 퐿. Для фиксированной 푣 ∈ 푉 퐺 имеем Pr 푣 не сложная ≤ 1 훿 + 1 − 1 훿 푠2 푠2 2 ⋅ 1 − 1 훿 ⋅ 푠2 2 푠 푠2 푠 훿
  44. 44. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 : находим много «сложных» вершин В силу неравенства 1 − 푥 ≥ 4−푥 при 푥 ≤ 1 2, получаем 푠2 2 푠 푠2 푠 = 푠−1 푘=0 푠2 2 − 푘 푠2 − 푘 = 2−푠 ⋅ 푠−1 푘=0 1 − 푘 푠2 − 푘 ≥ 2−푠 ⋅ 2 푠−1 −2푘 푘=0 푠2−푘 ≥ 2−푠 ⋅ 2 푠−1 −2푘 푘=0 푠2−푠 = 2−푠−1
  45. 45. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 : находим много «сложных» вершин 푠2 2 푠 푠2 푠 ≥ 2−푠−1 Поэтому, пользуясь неравенством 1 − 푥 ≤ 푒−푥 , получаем 1 − 1 훿 ⋅ 푠2 2 푠 푠2 푠 훿 ≤ 1 − 2−푠−1 ⋅ 훿−1 2 훿 < 푒−훿 1 22−푠−1 ≤ 푒−훿 1 4 2 Отсюда Pr 푣 не сложная < 1 훿 + 푒푠2 ⋅ 푒−훿 1 4 2 < 1 훿 + 푒 log2 훿 4 2 − 훿1 4 2 < 1 4
  46. 46. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 : находим много «сложных» вершин Для любой фиксированной 푣 ∈ 푉 퐺 выполнено неравенство Pr 푣 не сложная < 1 4 Отсюда 피 #несложных вершин < 퐺 4 По неравенству Маркова, Pr менее половины вершин графа сложные < 1 2
  47. 47. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 Каждая вершина попадает в 퐵 с вероятностью 1 훿. Отсюда 피 퐵 = 퐺 훿 и по неравенству Маркова, Pr 퐵 > 2 ⋅ 퐺 훿 < 1 2 Значит, с вероятностью > 0 выполнены два условия: • более половины вершин графа сложные, • 퐵 < 2 ⋅ 퐺 훿 Зафиксируем такие 퐵, множество списков цветов для вершин 퐵, и множество сложных вершин 퐴, где 퐴 ≥ 퐺 2.
  48. 48. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 Зафиксируем до самого конца доказательства теоремы такие 퐴, 퐵 ⊆ 푉 퐺 и 퐿푢 푢∈퐵, для которых • 퐴 ≥ 퐺 2 • 퐵 ≤ 2 ⋅ 퐺 훿 • Для любой 푣 ∈ 퐴 и для любого 퐿 ⊂ ℒ, такого, что 퐿 ≥ 푠2 2, найдётся 푢 ∈ 푁 푣 ∩ 퐵, такая, что 퐿푢 ⊆ 퐿. Теперь случайно выберем для каждой 푣 ∈ 퐴 список 퐿푣 равновероятно среди всех 푠-подмножеств в ℒ. Покажем, что с положительной вероятностью граф 퐺 퐴∪퐵 не может быть правильно раскрашен в цвета из списков.
  49. 49. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 • 퐴 ≥ 퐺 2, 퐵 ≤ 2 ⋅ 퐺 훿 • ∀푣 ∈ 퐴 и ∀퐿 ⊂ ℒ если 퐿 ≥ 푠2 2, то ∃푢 ∈ 푁 푣 ∩ 퐵: 퐿푢 ⊆ 퐿. Зафиксируем временно произвольные допустимые цвета вершин из 퐵. Пусть 푣 ∈ 퐴 и пусть 퐿푁 푣 — множество всех цветов, встречающихся у соседей 푣 в 퐵. Так как 푣 сложная, то для любого 퐿 ⊂ ℒ, такого, что 퐿 ≥ 푠2 2, имеем 퐿푁 푣 ∩ 퐿 ≠ ∅. Отсюда 퐿푁 푣 ≥ 푠2 2. Поэтому Pr можно выбрать цвет для 푣 из 퐿푣 ≤ 1 − 푠2 2 푠 푠2 푠 ≤ 1 − 2−푠−1
  50. 50. Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 • 퐴 ≥ 퐺 2, 퐵 ≤ 2 ⋅ 퐺 훿 • ∀푣 ∈ 퐴 и ∀퐿 ⊂ ℒ если 퐿 ≥ 푠2 2, то ∃푢 ∈ 푁 푣 ∩ 퐵: 퐿푢 ⊆ 퐿. При фиксированной раскраске вершин из 퐵 для любой 푣 ∈ 퐴 Pr можно выбрать цвет для 푣 из 퐿푣 ≤ 1 − 2−푠−1 Отсюда при фиксированной раскраске вершин из 퐵 имеем Pr ∃докраска для 퐴 ≤ 1 − 2−푠−1 퐺 2 ≤ 푒− 퐺 ⋅2−푠−2 Значит, Pr ∃раскраска 퐵 такая, что ∃докраска для 퐴 ≤ 푠 퐵 ⋅ 푒− 퐺 ⋅2−푠−2 ≤ 푒 2⋅ 퐺 훿 ⋅ln 푠 ⋅ 푒− 퐺 ⋅2−푠−2 < 푒 퐺 ⋅ 2 ln ln 훿 훿 −훿1 4 4 < 1
  51. 51. Оценки хроматического индекса • 휒′ 퐶2푘 = 2, 휒′ 퐶2푘+1 = 3 • Если 퐻 — подграф 퐺, то 휒′ 퐺 ≥ 휒′ 퐻 • 휒′ 퐺 ≥ Δ 퐺 • 휒′ 퐺 ≥ 퐺 훼′ 퐺 , где 훼′ 퐺 — размер наибольшего паросочетания в 퐺
  52. 52. Теоремы Визинга и Кёнига Теорема. (В.Г. Визинг ’1964) 휒′ 퐺 ≤ Δ 퐺 + 1 для любого 퐺. Теорема. (D. Kőnig ’1916) 휒′ 퐺 = Δ 퐺 для любого двудольного 퐺.
  53. 53. Полезные определения Вместо «правильная рёберная раскраска графа» будем говорить просто «раскраска». Будем говорить, что цвет 훼 присутствует в вершине 푣 ∈ 푉 퐺 , если некоторое инцидентное 푣 ребро имеет цвет 훼. Будем говорить, что цвет 훼 отсутствует в 푣, если 훼 в 푣 не присутствует.
  54. 54. Чередующиеся 훼 훽-цепи Если в раскраске графа цвет 훼 присутствует в 푣, а 훽 отсутствует в 푣, то однозначно определена максимальная цепь, начинающаяся в 푣, рёбра которой имеют цвета 훼 и 훽 попеременно: 푣 훼 훽 훼 훽 Такую цепь будем называть 훼 훽-цепью из 푣. Если в раскраске цвета рёбер любой 훼 훽-цепи поменять друг с другом, раскраска останется правильной.
  55. 55. Доказательство теоремы Кёнига Теорема. (D. Kőnig’1916) 휒′ 퐺 = Δ 퐺 для любого двудольного 퐺. Доказательство: индукция по 퐺 . Пусть 퐺 — двудольный граф, 퐺 > 1. Пусть 푥푦 — произвольное ребро в 퐺. По предположению, найдётся раскраска 휓 рёбер графа 퐺′ = 퐺 − 푥푦 в Δ 퐺 цветов. Т.к. 푑퐺′ 푥 < Δ 퐺 , то в раскраске 휓 в вершине 푥 отсутствует некоторый цвет 훼. Если 훼 отсутствует и в 푦, то покрасим 푥푦 в цвет 훼, тем самым получим раскраску 퐺.
  56. 56. Доказательство теоремы Кёнига В раскраске 휓 в вершине 푥 отсутствует некоторый цвета 훼. Если 훼 присутствует в 푦, рассмотрим цвет 훽, отсутствующий в 푦 и рассмотрим 훼 훽-цепь из 푦 в графе 퐺′. Эта цепь не содержит 푥 в силу двудольности 퐺: 푥 푦 훼 훽 훼 Поменяв на этой цепи цвета 훼 и 훽 местами, получим раскраску 퐺′, в которой цвет 훼 отсутствует в 푥 и 푦. И теперь можно покрасить ребро 푥푦 в цвет 훼.
  57. 57. Доказательство теоремы Визинга Теорема Визинга. (В.Г. Визинг ’1964) 휒′ 퐺 ≤ Δ 퐺 + 1 для любого 퐺. Доказательство: индукция по 퐺 . Если 퐺 = 0, то утверждение очевидно. Пусть 퐺 > 0 и теорема выполнена для всех графов, число рёбер в которых меньше 퐺 . По предположению, для любого 푒 ∈ 퐸 퐺 рёбра графа 퐺 − 푒 можно правильно раскрасить в цвета 1, … , Δ + 1 , где Δ = Δ 퐺 . При этом в каждой вершине будет отсутствовать хотя бы один из цветов 1, … , Δ + 1.
  58. 58. Доказательство теоремы Визинга Докажем от противного, что у 퐺 есть раскраска. Допустим, что это не так. Тогда для любого ребра 푥푦 ∈ 퐸 퐺 в раскраске графа 퐺 − 푥푦 никакой цвет не может отсутствовать в 푥 и 푦 одновременно (иначе ребро 푥푦 можно окрасить в этот цвет и получить раскраску 퐺).
  59. 59. Доказательство теоремы Визинга Также, если цвет 훽 отсутствует в 푥, а цвет 훼 отсутствует в 푦, то 훼 훽-цепь из 푥 заканчивается в вершине 푦. Иначе мы могли бы поменять цвета на 훼 훽-цепи местами и покрасить 푥푦 в цвет 훼: 푥 훼 훽 훼 훽 푦 푥 훽 훼 훽 훼 푦 훼
  60. 60. Доказательство теоремы Визинга Пусть 푥 — произвольная вершина графа 퐺, и пусть 푦0 — любой сосед 푥. По предположению индукции, существует раскраска 휓0 графа 퐺0 = 퐺 − 푥푦0. Пусть 푦0 , 푦1 , … , 푦푘 — максимальная последовательность соседей 푥, обладающая свойством: «при всех 푖 = 1, … , 푘 цвет 휓0 푥푦푖 отсутствует в вершине 푦푖−1».
  61. 61. Доказательство теоремы Визинга: последовательность специальных раскрасок Пусть 푦0 , 푦1 , … , 푦푘 — максимальная последовательность соседей 푥, обладающая свойством: «при всех 푖 = 1, … , 푘 цвет 휓0 푥푦푖 отсутствует в вершине 푦푖−1». По раскраске 휓0 графа 퐺0 можно построить раскраски 휓푖 графов 퐺푖 = 퐺 − 푥푦푖 по правилу: 휓푖 푒 = 휓0 푥푦푗+1 , если 푒 = 푥푦푗 и 푗 < 푖 휓0 푒 для остальных рёбер
  62. 62. Доказательство теоремы Визинга: последовательность специальных раскрасок 휓푖 푒 = 휓0 푥푦푗+1 , если 푒 = 푥푦푗 и 푗 < 푖 휓0 푒 для остальных рёбер 휓0 — раскраска 퐺0: 푥 푦0 푦2 푦1 푦3 휓1 — раскраска 퐺1: 푥 푦0 푦2 푦1 푦3 휓2 — раскраска 퐺2: 푥 푦0 푦2 푦1 푦3 휓3 — раскраска 퐺3: 푥 푦0 푦2 푦1 푦3 Цвета, отсутствующие в 푥 в раскраске 휓0, будут отсутствовать и в раскраске 휓푖 . То же верно и для вершин 푦푖, … , 푦푘.
  63. 63. Доказательство теоремы Визинга: вывод противоречия Пусть 훼 и 훽 — какие-нибудь цвета, отсутствующие соответственно в 푥 и 푦푘 в раскраске 휓0 (а значит, и в любой 휓푖). Тогда в раскраске 휓푘 графа 퐺푘 훼 훽-цепь из 푦푘 заканчивается в вершине 푥 на ребре цвета 훽. Из максимальности последовательности 푦0 , 푦1 , … , 푦푘 следует, что найдётся индекс 푠 ∈ {0, … , 푘 − 1}, для которого 휓푘 푥푦푠 = 훽. 푥 푦푠+1 푦푠 푦푘 ⋮ ⋮ отсутствует 훼 훽 푦0 훼 отсутствует 훽
  64. 64. Доказательство теоремы Визинга: вывод противоречия В раскраске 휓푘 графа 퐺푘 훼 훽-цепь из 푦푘 заканчивается в вершине 푥 на ребре 푥푦푠 цвета 훽: 푥 푦푠+1 푦푠 푦푘 ⋮ ⋮ отсутствует 훼 훽 푦0 훼 отсутствует 훽 Но тогда в раскраске 휓푠 графа 퐺푠 훼 훽-цепь из 푦푠 заканчивается в вершине 푦푘 , не доходя до 푥. Противоречие. 푥 푦푠+1 푦푠 푦푘 ⋮ ⋮ отсутствует 훼 훽 푦0 훼 отсутствует 훽

×