Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Основы теории графов 09: раскраски планарных графов, совершенные графы

2.330 visualizaciones

Publicado el

Рассматриваем раскраски планарных графов и другие темы, связанные с раскрасками. Доказываем теорему Томассена о том, что списочное хроматическое число любого планарного графа не превышает пяти. Доказываем теорему Эрдёша о том, что существуют графы с большим хроматическим числом и одновременно большим обхватом.
Рассматриваем совершенные графы и доказываем слабую гипотезу Бержа.

[Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Основы теории графов 09: раскраски планарных графов, совершенные графы

  1. 1. Основы теории графов осень 2013 Александр Дайняк www.dainiak.com
  2. 2. Раскраски вершин • Раскраска вершин графа 퐺 в 푘 цветов — это отображение 휙: 푉 퐺 → 1,2, … , 푘 • Вершинная раскраска 휙 называется правильной, если ∀푣′∀푣′′ 푣′푣′′ ∈ E 퐺 ⇒ 휙 푣′ ≠ 휙 푣′′ Хроматическое число 휒 퐺 — это минимальное число цветов, в которое можно правильно раскрасить вершины графа 퐺.
  3. 3. Списочное хроматическое число Пусть для каждой вершины 푣 графа 퐺 указан конечный список 퐿푣 ⊆ ℕ — цвета, в которые разрешается красить 푣. Правильная списочная раскраска графа 퐺 (для набора списков 퐿푣 푣∈푉 퐺 ) — это отображение 휙: 푉 퐺 → ℕ, которое • является правильной раскраской в обычном понимании, • каждая вершина покрашена в цвет из своего списка: 휙 푣 ∈ 퐿푣
  4. 4. Списочное хроматическое число Списочное хроматическое число графа 퐺 — это такое минимальное 푘, что правильная списочная раскраска 퐺 существует для любого набора списков 퐿푣 푣∈푉 퐺 , удовлетворяющего условию ∀푣 퐿푣 = 푘. Обозначение: 휒푙 퐺 . Очевидно, 휒푙 퐺 ≥ 휒 퐺 (поскольку можно взять все списки равными 1,2, … , 푘 ).
  5. 5. Раскраски планарных графов Задачу о раскраске карт можно переформулировать на языке раскрасок, рассмотрев планарный граф, двойственный карте: • Сколькими цветами можно правильно раскрасить любой планарный граф?
  6. 6. Раскраски планарных графов Теорема (Four Color Theorem). 휒 퐺 ≤ 4 для любого планарного графа 퐺. История: Постановка задачи: Гютри (сер. XVIII века) Первые «доказательства»: Кемпе, Тейт (1880-е) Первое доказательство: Хакен, Аппель (1976) Признанные доказательства: Хакен, Аппель (1989), Робертсон, Сандерс, Сеймур, Томас (1997)
  7. 7. Списочные раскраски планарных графов Теорема. (Thomassen ’1994) 휒푙 퐺 ≤ 5 для любого планарного графа 퐺. Теорема. (Voigt ’1993) Существуют планарные графы с 휒 = 3 и 휒푙 = 5. Теорема. (N. Alon — M. Tarsi ’1992) 휒푙 퐺 ≤ 3 для любого двудольного планарного графа 퐺.
  8. 8. Теорема Войгт Теорема. (M. Voigt) Существуют планарные графы с 휒 = 3 и 휒푙 = 5. Доказательство: Для каждого 훼 ∈ 5,6,7,8 и 훽 ∈ 9,10,11,12 определим граф 퐺훼,훽 (со списками допустимых цветов), изображённый справа. У него нет правильной списочной раскраски. 훼 훼, 1,3,4 훼, 2,3,4 1,2,3,4 훼, 훽, 1,2 훼, 훽, 1,2 1,2,3,4 훽, 2,3,4 훽, 1,3,4 훽
  9. 9. Теорема Войгт Возьмём все 16 графов 퐺훼,훽 для различных 훼, 훽 и отождествим у них верхние и нижние вершины. Получим граф 퐺: 훼, 1,3,4 훼, 2,3,4 1,2,3,4 훼, 훽, 1,2 훼, 훽, 1,2 1,2,3,4 훽, 2,3,4 훽, 1,3,4 ⋯
  10. 10. Теорема Войгт Для верхней и нижней вершин 퐺 укажем списки 5,6,7,8 и 9,10,11,12 соответственно. 훼, 1,3,4 훼, 2,3,4 1,2,3,4 훼, 훽, 1,2 훼, 훽, 1,2 1,2,3,4 훽, 2,3,4 훽, 1,3,4 5,6,7,8 ⋯ 9,10,11,12
  11. 11. Теорема Войгт Тогда при любом выборе цветов 훼 и 훽 для верхней и нижней вершин 퐺 один из подграфов совпадёт с 퐺훼,훽 и достроить раскраску графа 퐺 не получится. 훼 ⋯ 훽 훼 훼, 1,3,4 훼, 2,3,4 1,2,3,4 훼, 훽, 1,2 훼, 훽, 1,2 1,2,3,4 훽, 2,3,4 훽, 1,3,4 훽
  12. 12. Теорема Войгт Итак, мы обосновали, что 휒푙 퐺 > 4. В то же время, 휒 퐺 = 3: ⋯
  13. 13. Теорема Томассена Теорема. (C. Thomassen) 휒푙 퐺 ≤ 5 для любого планарного графа 퐺. Доказательство: Квазитриангуляция — это планарный граф, границы всех граней которого являются простыми циклами, причём границы всех внутренних граней — треугольники. Утверждение теоремы достаточно доказать для квазитриангуляций.
  14. 14. Теорема Томассена Индукцией по 퐺 докажем утверждение: «Пусть 퐺 — квазитриангуляция, и 퐶 — цикл, ограничивающий внешнюю грань 퐺. Пусть • две смежные вершины 푥, 푦 ∈ 퐶 уже окрашены в цвета 훼 и 훽 соответственно, • вершинам из 퐶 − 푥, 푦 приписаны списки допустимых цветов размера не менее 3, • вершинам из 퐺 − 퐶 приписаны списки допустимых цветов размера не менее 5. Тогда для вершин из 푉 퐺 ∖ 푥, 푦 можно выбрать цвета из их списков, так, чтобы получилась правильная раскраска графа 퐺.»
  15. 15. Теорема Томассена При 퐺 = 3 утверждение очевидно. Пусть 퐺 > 3 и утверждение выполнено для всех квазитриангуляций меньшего размера. Вначале рассмотрим случай, когда у цикла 퐶, ограничивающего внешнюю грань, есть хорда 푢푣 ∈ 퐸 퐺 ∖ 퐸 퐶 . Она разбивает укладку 퐺 на части 퐺1 и 퐺2. Подграф 퐺1, по предположению, можно 푦 푥 раскрасить. Цвета 푢 и 푣 тем 푣 самым определятся. Теперь, 퐺1 по предположению, можно 푢 докрасить и подграф 퐺2. 퐺2 퐶
  16. 16. Теорема Томассена Теперь рассмотрим случай, когда у 퐶 нет хорд. Пусть 푢 — отличный от 푦 сосед 푥 на 퐶. Пусть 푤 — сосед 푢 на 퐶, отличный от 푥 (возможно, 푤 = 푦), а 푣1, … , 푣푘 — все остальные соседи 푢 в графе 퐺. Граф 퐺′ = 퐺 − 푢 является квазитриангуляцией. В списке 퐿푢 есть два цвета 훾, 훿, отличные от 훼. В 퐺′ для вершин 푣возьмём списки 퐿∖ 훾, 훿 , 푢 푖 푣푖 푤 где 퐿푣— списки для 푣푖 푖 в графе 퐺. По предположению, граф 퐺′ можно раскрасить в цвета из списков. Осталось окрасить 푢 в один из цветов 훾, 훿, отличных от цвета 푤. 퐶 푥 푣1 푣2 푣푘 푦
  17. 17. Нелокальность хроматического числа • Мы знаем простую оценку: 휒 퐺 ≥ 휔 퐺 • В планарных графах нет 퐾5, то есть для них 휔 퐺 ≤ 4. А по теореме о четырёх красках, для планарных графов имеем 휒 퐺 ≤ 4. • Можно ли в общем случае утверждать, что если 휔 퐺 мало́, то и 휒 퐺 мало́? —Нет!
  18. 18. Теорема Зыкова—Мыцельского Теорема. (Зыков ’1949, Mycielski ’1955) При любом 푘 ≥ 2 существует связный граф 퐺푘 , для которого 휔 퐺푘 = 2 и 휒 퐺푘 = 푘. Доказательство: Построим последовательность 퐺푘 푘=2 ∞ по индукции. Для начала, возьмём 퐺2 ≔ 퐾2.
  19. 19. Теорема Зыкова—Мыцельского 푛1 ′ ′ Пусть 퐺푘 = (푉푘 , 퐸푘 ), и пусть 푉푘 = 푣1, … , 푣푛 . Тогда 퐺푘+1 = (푉푘+1, 퐸푘+1), где • 푉푘+1 = 푉푘 ∪ 푣, … , 푣∪ 푣 ′푣 푖=1 • 퐸푘+1 = 퐸푘 ∪ 푣푖 푛 ∪ 푣푖 ′푣푗 ∣ 푣푖 푣푗 ∈ 퐸푘 푣1 푣2 푣1 푣2 푣1 ′ 푣2 ′ 푣 푣2 푣3 푣4 푣1 푣5 푣2 푣3 푣4 푣4 ′ 푣3 ′ 푣2 ′ 푣1 ′ 푣5 ′ 푣 푣 푣5 1
  20. 20. Теорема Зыкова—Мыцельского Пусть 휙푘 — раскраска 퐺푘 в цвета 1, … , 푡 . Тогда раскраску 휙푘+1 графа 퐺푘+1 можно построить так: 휙푘+1 푣푖 = 휙′ 푘+1 푣푖 ≔ 휙푘 푣푖 и 휙푘+1 푣 ≔ 푡 + 1. Следовательно, 휒 퐺푘+1 ≤ 휒 퐺푘 + 1.
  21. 21. Теорема Зыкова—Мыцельского По раскраске 휙푘+1 графа 퐺푘+1 в 푡 цветов можно построить раскраску 휙푘 графа 퐺푘: 휙푣≔ 휙′ 푘 푖 푘+1 푣푖 , если 휙푘+1 푣푖 ≠ 휙푘+1 푣 , и 휙푘 푣푖 ≔ 휙푘+1 푣푖 иначе. 푣푖 ′ 푣푖 푣푗 ′ 푣푗 Раскраска 휙푘 является правильной раскраской графа 퐺푘 в 푡 − 1 цветов. Отсюда 휒 퐺푘 ≤ 휒 퐺푘+1 − 1, следовательно, 휒 퐺푘+1 = 휒 퐺푘 + 1. Так как 휒 퐺2 = 2, получаем ∀푘 휒 퐺푘 = 푘.
  22. 22. Теорема Зыкова—Мыцельского Покажем, что в графах 퐺푘+1 нет треугольников при условии, что их нет в 퐺푘: • Треугольник в 퐺푘+1 не может содержать более одной вершины среди 푣푖 ′ 푖=1 푛 . • Треугольник в 퐺푘+1 не может содержать 푣, так как 푣 смежна только с вершинами 푣푖 ′ 푖=1 푛 . 푛 , • Треугольник в 퐺푘+1 не может содержать только вершины из 푣푖 푖=1 т.к. в 퐺푘 нет треугольников • Значит, если в 퐺푘+1 есть треугольник, то он имеет вид 푣푝, 푣푞 , 푣푟′ . Но тогда вершины {푣푝, 푣푞 , 푣푟 } образуют треугольник в 퐺푘 — противоречие. Т.к. в 퐺2 нет треугольников, то их нет ни в одном 퐺푘 .
  23. 23. Нелокальность хроматического числа Обхват графа 퐺 — это наименьший размер цикла в графе. Обозначение: g 퐺 . Если g 퐺 > 푘, то в 퐺 окрестность любой вершины радиуса 푘 2 является деревом: Теорема. (P. Erdős ’1959) При любом 푘 существует граф 퐺, для которого g 퐺 > 푘 и 휒 퐺 > 푘.
  24. 24. Доказательство теоремы Эрдёша Пусть 푘 ≥ 10. Положим 푛 ≔ 4푘 4푘 и рассмотрим случайный граф 퐺 на 푛 вершинах, проводя каждое ребро с вероятностью 푝 ≔ 푛1 2푘 −1. Введём случайную величину 푋 ≔ #циклов длины ≤ 푘 в нашем графе Используя линейность матожидания, получаем 피 푋 = 푘 푖=3 푛 푖 ⋅ 푖 − 1 ! 2 ⋅ 푝푖 Выбираем длину цикла Какие именно вершины участвуют в цикле Количество способов составить цикл из выбранных вершин Вероятность того, что все рёбра этого цикла попадут в случайный граф
  25. 25. Доказательство теоремы Эрдёша • 푋 ≔ #циклов длины ≤ 푘 в нашем графе 피 푋 = 푘 푖=3 푛 푖 푖 − 1 ! 2 푝푖 < 푘 푖=3 푛푖 푖! 푖 − 1 ! 2 푝푖 < 푘 푖=3 푛푝 푖 = = 푘 푖=3 푛1 2푘 푖 < 푘 푛 По неравенству Маркова, Pr 푋 ≥ 푛 2 ≤ 피 푋 푛 2 < 2푘 푛 < 1 2 Итог: Pr #циклов длины ≤ 푘 в графе ≥ 푛 2 < 1 2
  26. 26. Доказательство теоремы Эрдёша Положим 푡 ≔ 푛1−1 4푘 и введём с. в. 푌 ≔ #н. м. размера 푡 в нашем графе Пользуясь неравенством 1 − 푝 < 푒−푝 и, помня, что 푝 = 푛1 2푘 −1, выводим 피 푌 = 푛 푡 1 − 푝 푡 2 < 푒푛 푡 푡 푒−푝푡 푡−1 2 = 푡−1푛푒1−푝 푡−1 2 푡 < < 푡−1푛푒2−푝푡 2 푡 ≤ 푛1 4푘 푒2−0.5푛1 4푘 푡 = 4푘푒2−2푘 푡 < 1 2
  27. 27. Доказательство теоремы Эрдёша • 푡 ≔ 푛1−1 4푘 • 푌 ≔ #н. м. размера 푡 в нашем графе • 피 푌 < 1 2 Пользуясь неравенством Маркова, получаем Pr в графе есть н. м. размера 푡 = Pr 푌 ≥ 1 ≤ 피 푌 < 1 2 То есть Pr 훼 퐺 ≥ 푛1−1 4푘 < 1 2
  28. 28. Доказательство теоремы Эрдёша • Pr #ц. дл. ≤ 푘 в 퐺 превосходит 푛 2 < 1 2 • Pr 훼 퐺 ≥ 푛1−1 4푘 < 1 2 Вероятность того, что в графе 퐺 окажется более 푛 2 циклов длины ≤ 푘 или хотя бы одно независимое множество размера 푛1−1 4푘 , < 1 2 + 1 2 = 1 Значит, с положительной вероятностью случайный граф 퐺 содержит не более 푛 2 циклов длины ≤ 푘 и имеет 훼 퐺 < 푛1−1 4푘 .
  29. 29. Доказательство теоремы Эрдёша Мы показали, что существует граф 퐺, в котором не более 푛 2 циклов длины ≤ 푘 и при этом 훼 퐺 < 푛1−1 4푘 . Удалим из каждого цикла длины ≤ 푘 произвольную вершину. Останется граф 퐺′, для которого • g 퐺′ > 푘 • 퐺′ ≥ 푛 2 • 훼 퐺′ ≤ 훼 퐺 < 푛1−1 4푘
  30. 30. Доказательство теоремы Эрдёша Мы показали, что существует граф 퐺′, в котором • g 퐺′ > 푘 • 퐺′ ≥ 푛 2 • 훼 퐺′ ≤ 훼 퐺 < 푛1−1 4푘 Имеем 휒 퐺′ ≥ 퐺′ 훼 퐺′ > 푛 2 푛1−1 4푘 = 2푘 Итог: g 퐺′ > 푘 и 휒 퐺′ > 2푘, что и требовалось.
  31. 31. Следствия теоремы Эрдёша Теорема. (P. Erdős ’1959) При любом 푘 существует граф 퐺, для которого g 퐺 > 푘 и 휒 퐺 > 푘. Следствие. При любом 푘 существует граф, для которого g 퐺 > 푘 и 휅 퐺 > 푘. Доказательство: Пусть 퐺 — граф, у которого g 퐺 > 푘 и 휒 퐺 > 4푘. В 퐺 есть подграф 퐺′, для которого 훿 퐺′ ≥ 휒 퐺 − 1 ≥ 4푘. По теореме Мадера, в 퐺′ есть 푘 + 1 -связный подграф 퐺′′.
  32. 32. Совершенные графы Граф называется совершенным, если любой его порождённый подграф 퐻 удовлетворяет условию 휒 퐻 = 휔 퐻 . Теорема. (Lovász ’1972) Граф 퐺 является совершенным, если и только если любой его порождённый подграф 퐻 удовлетворяет условию 퐻 ≤ 훼 퐻 ⋅ 휔 퐻 . Доказательство. Необходимость следует из того, что в совершенном графе для любого порождённого подграфа 퐻 имеем 퐻 ≤ 훼 퐻 휒 퐻 = 훼 퐻 휔 퐻 .
  33. 33. Доказательство теоремы Ловаса Доказательство достаточности: Пусть 퐺 — не совершенный граф. Нужно показать, что найдётся порождённый 퐻 ⊆ 퐺, для которого неравенство 퐻 ≤ 훼 퐻 휔 퐻 нарушится. Будем считать, что каждый порождённый подграф отличный от самого 퐺, совершенный. Так что требуется доказать, что 퐺 > 훼 퐺 휔 퐺 . Для любого непустого независимого множества 퐴 ⊂ 푉 퐺 выполнены равенства 휒 퐺 − 퐴 = 휔 퐺 − 퐴 = 휔 퐺 , так как иначе оказалось бы, что 휒 퐺 = 휔 퐺 .
  34. 34. Доказательство теоремы Ловаса Обозначим 훼 ≔ 훼 퐺 , 휔 ≔ 휔 퐺 . Пусть 퐴0 = 푣1, … , 푣훼 — н.м. максимального размера в 퐺. Для каждого 푗 раскраска графа 퐺 − 푣푗 порождает разбиение множества 푉 퐺 − 푣푗 на независимые множества 퐴푗,1, … , 퐴푗,휔. Заметим, что любая клика размера 휔 в 퐺 пересекается со всеми, кроме одного из множеств 퐴0, 퐴1,1, … , 퐴1,휔, … , 퐴훼,1, … , 퐴훼,휔.
  35. 35. Доказательство теоремы Ловаса 퐴0 = 푣1, … , 푣훼 — н.м. размера 훼 в 퐺. 푉 퐺 − 푣푗 = 퐴푗,1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐴푗,휔 при 푗 = 1, … , 훼. Пусть 퐾 — клика размера 휔 в 퐺. Если 퐾 ∩ 퐴0 = ∅, то ∀푗 퐾 ⊆ 푉 퐺 − 푣푗 и следовательно 퐾 ∩ 퐴푗,푙 = 1 для любых 푗, 푙. Если 퐾 ∩ 퐴0 = 푣푠 , то при 푗 ≠ 푠 퐾 ∩ 퐴푗,푙 = 1 при всех 푙; 퐾 ∩ 퐴푠,푙 = 1 при всех 푙, кроме одного.
  36. 36. Доказательство теоремы Ловаса 퐴0 = 푣1, … , 푣훼 — н.м. размера 훼 в 퐺. 푉 퐺 − 푣푗 = 퐴푗,1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐴푗,휔 при 푗 = 1, … , 훼. Пусть 퐵0 — клика размера 휔 в графе 퐺 − 퐴0 . Аналогично определим клики 퐵푖,푗 в 퐺 − 퐴푖,푗 . Занумеруем набор множеств 퐵0, 퐵1,1, … , 퐵훼,휔 индексами 퐵0, 퐵1, … , 퐵훼휔. И 퐴0, 퐴1,1, … , 퐴훼,휔 занумеруем индексами 퐴0, 퐴1, … , 퐴훼휔. Получаем, что 퐴푖 ∩ 퐵푗 = 1, если 푖 ≠ 푗 0, если 푖 = 푗
  37. 37. Лемма Гаспаряна Лемма. (A. Gasparian ’1996) Пусть 푋1, … , 푋푚, 푌1, … , 푌푚 — подмножества множества 푣1, … , 푣푛 , такие, что 푋푖 ∩ 푌푗 = 1, если 푖 ≠ 푗 0, если 푖 = 푗 Тогда 푚 ≤ 푛. Непосредственно из леммы Гаспаряна следует неравенство 훼 퐺 휔 퐺 + 1 ≤ 퐺 , что доказывает теорему Ловаса.
  38. 38. Доказательство леммы Гаспаряна Рассмотрим матрицу 푿푚×푛 = 푥푖,푗 , в которой 푥푖,푗 = 1, если 푋푖 ∋ 푣푗 и 푥푖,푗 = 0 иначе. Аналогично введём 풀푛×푚 = 푦푖,푗 , в которой 푦푖,푗 = 1, если 푣푖 ∈ 푌푗 и 푦푖,푗 = 0 иначе. Тогда 푛 푘=1 푥푖,푘푦푘,푗 = # 푘 ∣ 푣푘 ∈ 푋푖 ∩ 푌푗 = 1, если 푖 ≠ 푗 0, если 푖 = 푗
  39. 39. Доказательство леммы Гаспаряна 푛 푘=1 푥푖,푘푦푘,푗 = # 푘 ∣ 푣푘 ∈ 푋푖 ∩ 푌푗 = 1, если 푖 ≠ 푗 0, если 푖 = 푗 Следовательно, 푿풀 = 0 1 1 0 ⋯ ⋯ 1 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 Таким образом, ранг матрицы 푿풀 равен 푚. Следовательно, ранги 푿 и 풀 не меньше 푚. А значит, 푛 ≥ 푚. Лемма доказана.
  40. 40. Совершенные графы Теорема. (L. Lovász ’1972) Граф 퐺 является совершенным, если и только если любой его порождённый подграф 퐻 удовлетворяет условию 퐻 ≤ 훼 퐻 ⋅ 휔 퐻 . Следствие. Граф, дополнительный к совершенному, также является совершенным.
  41. 41. Примеры совершенных графов • Двудольные графы • Интервальные графы (푉 = отрезки на прямой, 퐸 = пары пересекающихся отрезков) • Графы сравнимости (푉 = элементы ч.у.м., 퐸 = пары сравнимых элементов) • Дистанционно-наследственные графы (расстояния между вершинами не меняются при переходе к связным порождённым подграфам) • Графы, каждый блок которых совершенный • Дополнения совершенных графов
  42. 42. Примеры совершенных графов Введём операцию подстановки графа 퐻 вместо вершины 푥 графа 퐺. (Считаем, что 푉 퐺 ∩ 푉 퐻 = ∅) Результатом операции является граф 퐺′: • 푉 퐺′ = 푉 퐺 − 푥 ∪ 푉 퐻 • 퐸 퐺′ = 퐸 퐺 − 푥 ∪ 퐸 퐻 ∪ 푢푣 ∣ 푢 ∈ 푉 퐻 , 푣 ∈ 푉 퐺 , 푣푥 ∈ 퐸 퐺 푥 퐻 퐺 퐺′ Теорема (б/д): если 퐺 и 퐻 совершенны, то таков и 퐺′.
  43. 43. Сильная гипотеза Бержа Циклы на нечётном числе вершин, не меньшем 5, несовершенны, так как для них 휒 = 3, 휔 = 2. Оказывается, это «минимальные несовершенные графы»: Теорема. (Strong Perfect Graph Theorem) Граф является совершенным тогда и только тогда, когда ни в нём, ни в его дополнении нет порождённых подграфов, являющихся циклами нечётной длины не менее 5.

×