UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA           COMPUTACIÓN APLICADA          NOMBRES:    ...
PrólogoEl método de los elementos finitos es un método numérico pararesolver problemas de ingeniería y de la física matemá...
Para los problemas relacionados con geometríascomplicadas,      cargas     y      propiedades      dematerial, generalment...
Estas soluciones analíticas requieren generalmente lasolución de ecuaciones diferenciales ordinarias oparciales,     que, ...
En pocas palabras, la solución para los problemasestructurales típicamente se refiere a la determinación de losdesplazamie...
ELEMENTOS FINITOSEs un método numérico para resolver en formaaproximada ciertos problemas en ciencias e ingenieríaDe forma...
ENSAMBLAJE DE ELEMENTOS FINITOS Los nodos están colocados en las esquinas de loselementos y a veces también en los puntos ...
Solución del problema de elementos finitos El análisis de este ensamblaje nos provee de los  desplazamientos de cada uno ...
Solución del problema de elementos finitosConocido los desplazamientos se pueden obtener también  Las                 La...
PASOS DE UN ANALISIS CON ELEMENTOS FINITOS Un análisis usando elementos finitos requiere de la  disponibilidad de un prog...
PREPROCESAMIENTO El preprocesamiento consiste en la creación del modelo y la  definición de la manera como será cargado y...
ANALISIS El progama de elementos finitos lee los datos del archivo de  entradas Realiza ciertos chequeos de esa informac...
Interpretación de resultados Es el paso final y a menudo el más menospreciado de un  análisis mediante elementos finitos....
Aplicación del método de los elementos finitosEl método de elementos finitos tiene aplicaciones casiilimitadas, a modo de ...
Ejemplos en análisis estructuralFlexión en vigasDeformación en columnas Análisis de pórticosAnálisis de solidos tridim...
Historia Breve Una breve historia del método de los elementos finitos aplicado a las áreas estructurales y no estructurale...
En 1947 Levy desarrolló la flexibilidad o el método de la fuerza, yen 1953 su obra sugiere que otro método (el método dede...
La introducción a la Anotación de la MatrizLos métodos de la matriz son una herramienta necesaria usadaen el método del el...
Los componentes de fuerza (F1x ; F1y; F1z; F2x; F2y; F2z;. . . ;Fnx; Fny; Fnz) que actúa a los varios nodos o puntos (1; 2...
Una notificación más compacta usada a lo largo de este textopara representar cualquier serie rectangular es el subrayado d...
Matrices [k] y [k], respectivamente, desarrollado en todo el texto para diferentes tipos de elementos se representan por m...
La ecuación anterior se llama la ecuación de rigidez global y representa un conjunto de ecuaciones simultáneas. Usando la ...
F1x = K11   F1y=K21,..., Fnz = Kn1    (1.2.6)Las ecuaciones (1.2.6) contienen todos los elementos de laprimera columna de ...
Rol del ordenadorComo ya hemos dicho, hasta la década de 1950, los métodos de lamatriz y el método de los elementos finito...
UNIVAC fue la tecnología de tarjetas perforadas en el cuallos programas y datos fueron creados en tarjetasperforadas. En l...
Desde 1969 hasta finales de 1970. Fueron integrados circuitos basados enla tecnología que estaba siendo desarrollada, la c...
De hecho, los programas informáticos de elementos finitos ahora sepueden resolver en un solo proceso en una sola máquina, ...
Introducir la información en el ordenador.Esta Información puede incluir la posición del elementocoordenadas nodales, la m...
Pasos generales el método de los elementos finitos Típicamente para el problema de análisis de tensión  estructural, el i...
 Para muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución  de deformaciones usando métodos convencionales, y así...
 Mediante el uso de esfuerzo conocido / propiedades de  deformación para el material que forma la estructura, se puede  d...
Paso 1 Discretizar y seleccionar los tipos de elementos consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de  eleme...
 Elemento simple de línea con dos nodos (normalmente utilizado  para representar una barra o elemento de la viga) y el el...
 Elementos tridimensionales simples (normalmente utilizados para   representar el estado de tensión tridimensional) y ele...
Paso 2consiste en elegir una función de desplazamiento dentro de cadaelemento. La función se define dentro del elemento ut...
Paso 3     Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la tensión / deformaciónCepa / desplazamiento y de esfuerzo /...
Paso 4 Deducir la Matriz de rigidez del elemento y                        ecuaciones Inicialmente, el desarrollo de matri...
Métodos de residuos ponderadosLos métodos de residuos ponderados son útiles para el desarrollo dela ecuación elemento; par...
Donde (f) es el vector de fuerzas elemento nodal, (k) es la matriz de rigidez delelemento (normalmente cuadrada y simétric...
Paso 5 ensamblar las ecuaciones elemento para obtener   las ecuaciones globales o total e introducir condiciones   de cont...
APLICACIONES DELMÉTODO DE LOSELEMENTOS FINITOS
El método de elementos finitos puede ser utilizadopara analizar tanto los problemas estructurales y noestructurales.1. Aná...
2. Pandeo3. Análisis de vibración
Problemas no estructurales incluyen•Transferencia de calor•Fluido, incluyendo la filtración a través de mediosporosos.•Dis...
A continuación se presentan algunasaplicaciones típicas del método de elementosfinitos. Estas aplicaciones ilustrar lavari...
HIPÓTESIS DEDISCRETIZACIÓNEn una estructura discreta, su deformaciónviene definida por un número finito deparámetros (defo...
Para resolver este problema, el Método de los Elementos Finitosrecurre a la hipótesis de discretización, que se basa en lo...
Los elementos finitos se unen entre sí enun número finito de puntos, llamadosnudos.Los desplazamientos de los nudos son la...
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Para cada elemento, existe un sistema defuerzas concentradas en los nudos, queequilibran a las tensiones existentes en elc...
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El método de los elementos finitos utilizado paraesta estructura permite que diseñador/ analistarápidamente obtenga despla...
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Ventajas del método de elementos finitos.Como se indicó anteriormente, el método de loselementos finitos se ha aplicado a ...
Ellos incluyen la capacidad de1. Modelar de forma irregular cuerpos conbastante facilidad   2. Manejar las condiciones gen...
3. Organismos modelo compuesto de variosmateriales diferentes, ya que el ecuaciones de loselementos que se evalúan individ...
6. Modifique el modelo de elementos finitosrelativamente sencilla ya buen precio7. Incluye efectos dinámicos8. Manejar el ...
A pesar de que el método de los elementos finitosse    utilizó   inicialmente  para   el   análisisestructural, esto desde...
BIBLIOGRAFÍA•http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method•http://www.journals.elsevier.com/finite-elements-in-analys...
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  1. 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA COMPUTACIÓN APLICADA NOMBRES: ALEX LARA MARCELO ICAZA SEMESTRE: DÉCIMO C
  2. 2. PrólogoEl método de los elementos finitos es un método numérico pararesolver problemas de ingeniería y de la física matemática. Lasáreas típicas problema de interés en la ingeniería y físicamatemática que se pueden resolver mediante el uso del método deelementos finitos incluyen análisis estructural, la transferencia decalor, el flujo de fluido, transporte de masa y el potencialelectromagnético.
  3. 3. Para los problemas relacionados con geometríascomplicadas, cargas y propiedades dematerial, generalmente no es posible obtener solucionesmatemáticas analíticas. Soluciones analíticas son losdados por una expresión matemática que da los valoresde las cantidades deseadas desconocidos en cualquierubicación en un cuerpo.
  4. 4. Estas soluciones analíticas requieren generalmente lasolución de ecuaciones diferenciales ordinarias oparciales, que, debido a las geometríascomplicadas, cargas y propiedades de material, por logeneral no son obtenibles. Por lo tanto tenemos que confiaren los métodos numéricos, como el método de loselementos finitos, para encontrar soluciones aceptables.
  5. 5. En pocas palabras, la solución para los problemasestructurales típicamente se refiere a la determinación de losdesplazamientos en cada nodo y las tensiones dentro decada elemento que componen la estructura que se somete alas cargas aplicadas. En problemas no estructurales, lasincógnitas nodales pueden, por ejemplo, ser temperaturas opresiones de líquido debido a los flujos térmicos o fluido.
  6. 6. ELEMENTOS FINITOSEs un método numérico para resolver en formaaproximada ciertos problemas en ciencias e ingenieríaDe forma sencilla consiste en convertir el sólido en un N°finito de partes llamadas elementos cuyos comportamientosse especifica con un N°finito de parámetros. Dichoselementos contienen una serie de puntos interconectadosentre si llamados nodos y al conjunto se les conoce comomallaEste metodo requiere de un gran trabajo computacionalcuando se aplica aproblemas reales, por lo que se haceimprencindibles el uso de SUPER COMPUTADORAS
  7. 7. ENSAMBLAJE DE ELEMENTOS FINITOS Los nodos están colocados en las esquinas de loselementos y a veces también en los puntos medios deesas caras o aristas y dentro de ellos Los nudos son puntos donde se conectan los elementosfinitos entre si
  8. 8. Solución del problema de elementos finitos El análisis de este ensamblaje nos provee de los desplazamientos de cada uno de los nodos para ciertas cargas aplicadas al modelo Los desplazamientos de los otros puntos dentro del elemento se interpolan a partir de los valores de los desplazamientos en los nudos que correspondan al elemento Cada nodo tiene un cierto número de posibles desplazamientos llamados grados de libertad En el espacio cada nodo tiene 6 grados de libertad 3 desplazamientos 3 rotaciones
  9. 9. Solución del problema de elementos finitosConocido los desplazamientos se pueden obtener también  Las  Las deformaciones  Los esfuerzos reaccionesEste análisis requiere de gran cantidad de esfuerzoscomputacional si se desea estudiar un modelo realista de unproblema de ingeniería
  10. 10. PASOS DE UN ANALISIS CON ELEMENTOS FINITOS Un análisis usando elementos finitos requiere de la disponibilidad de un programa de computación especializado en estos análisis Existen numerosos programas de elementos finitos PATRAN, NASTRAN, ABAQUS, ARIES, FEA, ADINA, ANSYS , etc El uso de cualquiera de ellos para el análisis de un problema real sigue los siguientes pasos:  Pre- procesamiento  Post- procesamiento  Análisis propiamente dicho  Interpretación Resultados
  11. 11. PREPROCESAMIENTO El preprocesamiento consiste en la creación del modelo y la definición de la manera como será cargado y apoyado El modelo suele hacerse con preprocesador ( un paquete grafico que suele venir con el programa ) o importado de un programa de CAD El éxito del análisis es determinado en gran parte La elección adecuada de elementos a ser usados y el diseño de la malla Imposición apropiada de restricciones o apoyosEl resultado final de este paso es un archivo de datos en el quese le indica al programa que hacer y con que trabajar
  12. 12. ANALISIS El progama de elementos finitos lee los datos del archivo de entradas Realiza ciertos chequeos de esa información a fin de detectar errores Si no hay errores se realiza el análisis y se produce un archivo de resultados POSTPROCESAMIENTO El postprocesador recoge la información de los archivos de resultados y los presenta en forma gráfica o tabulada Se usan colores para localizar sitios de valores de esfuerzos o temperatura semejantes, máximos, mínimos,etc. El modelo puede ser rotado, ampliado, etc. Para ser examinados desde diferentes puntos de vista
  13. 13. Interpretación de resultados Es el paso final y a menudo el más menospreciado de un análisis mediante elementos finitos. Aquí es donde entran en juego los conocimientos en ingeniería de que dispongamos A menudo un usuario nuevo y sin experiencia confiará a ciegas en la solución, sin recordar que Si entra basura, sale basura
  14. 14. Aplicación del método de los elementos finitosEl método de elementos finitos tiene aplicaciones casiilimitadas, a modo de ejemplo podríamos citar  Ingeniería y mecánica estructural , análisis sísmico  Mecánica de suelos, cimentaciones, mecánica de rocas  Hidrodinámica, ingeniería hidráulica, dinámico de fluidos  Ingeniería aerostática  Termodinámica  Ingeniería nuclear  Diseño, análisis y prueba de prototipo  Medicina  etc
  15. 15. Ejemplos en análisis estructuralFlexión en vigasDeformación en columnas Análisis de pórticosAnálisis de solidos tridimensionalesAnálisis Avanzados  Aplicación de teoría del daño  Análisis estructural de la respuesta de un edificio
  16. 16. Historia Breve Una breve historia del método de los elementos finitos aplicado a las áreas estructurales y no estructurales de la ingeniería y de la física matemática. El desarrollo moderno del método de los elementos finitos se inició en la década de 1940 en el campo de la ingeniería estructural Hrennikoff en 1941 y McHenry en 1943, que utilizaron una red de línea (unidimensional) elementos (barras y vigas) para la solución de las tensiones en sólidos continuosCourant propuso la creación de la solución de las tensiones en una formavariacional. Luego se introdujo la interpolación por partes (o forma) sobrelas funciones triangulares subregiones que componen el conjunto de laregión como un método para obtener soluciones numéricas aproximadas
  17. 17. En 1947 Levy desarrolló la flexibilidad o el método de la fuerza, yen 1953 su obra sugiere que otro método (el método dedesplazamiento o rigidez) podría ser una alternativa prometedorapara su uso en el análisis de estructuras estáticamente avionesredundantes. Sin embargo, sus ecuaciones eran engorrosos parasolucionar con la mano, y por lo tanto el método se hizo popularcon la llegada de la computadora digital de alta velocidadEn 1954 Argyris y Kelsey desarrollado métodos matriciales deanálisis estructural utilizando los principios de la energía. Estehecho ilustra el importante papel que jugaría principios de laenergía en el método de elementos finitosEl primer tratamiento de elementos bidimensionales era porTurner en 1956.
  18. 18. La introducción a la Anotación de la MatrizLos métodos de la matriz son una herramienta necesaria usadaen el método del elemento finito para los propósitos desimplificar la formulación de las ecuaciones de tiesura deelemento para los propósitos de soluciones de la escrituracorriente de varios problemasUna matriz es una serie rectangular de cantidades colocada enlas filas y columnas que se usan a menudo como una ayudaexpresando y resolviendo un sistema de ecuaciones algebraicas
  19. 19. Los componentes de fuerza (F1x ; F1y; F1z; F2x; F2y; F2z;. . . ;Fnx; Fny; Fnz) que actúa a los varios nodos o puntos (1; 2;. . . ;n) enuna estructura y el juego correspondiente de los desplazamientosnodales (d1x, d1y, d1z d2x, d2y, d2z,……......dnx, dny, dnz) que losdos pueden expresarse como matrices:Los subíndices al derecho de F y d identifican el nodo y la dirección de lafuerza de desplazamiento, respectivamente. Los moldes son llamadasmatrices columna y tiene un tamaño de n x 1. La anotación de laabrazadera { } se usará a lo largo del texto para denotar una matriz de lacolumna.
  20. 20. Una notificación más compacta usada a lo largo de este textopara representar cualquier serie rectangular es el subrayado dela variable; es decir, F y d denotan las matrices generales(posiblemente las matrices columna o las matricesrectangulares El caso más general de una matriz rectangular conocida se indicará por el uso de la anotación de los corchetes [ ].
  21. 21. Matrices [k] y [k], respectivamente, desarrollado en todo el texto para diferentes tipos de elementos se representan por matrices cuadradas dadas comoDonde, en teoría estructural, los elementos kij y Kij serefieren a menudo como coeficientes de influencia de rigidez. F = Kd
  22. 22. La ecuación anterior se llama la ecuación de rigidez global y representa un conjunto de ecuaciones simultáneas. Usando la notación compacta de subrayar las variables, como en F, q , no debe causar ninguna dificultad en la determinación de que las matrices son matrices columna o rectangular. Para obtener una comprensión más clara de los elementos K ijSupongamos ahora una estructura para ser forzado en una configuracióndesplazada definido por d1X =1 ,d1y = d1z =… dnz 0. Luego de laecuación. (1.2.5), tenemos
  23. 23. F1x = K11 F1y=K21,..., Fnz = Kn1 (1.2.6)Las ecuaciones (1.2.6) contienen todos los elementos de laprimera columna de K. Además, muestran que estoselementos, K11, K21, ..., Kn1, son los valores de la seriecompleta de nodal fuerzas necesarias para mantener laimpuesto estatal desplazamiento. De una manera similar, lasegunda columna en K representa los valores de las fuerzasnecesarias para mantener el estado desplazado d1y = 1 ytodos los otros componentes nodales desplazamiento igual acero
  24. 24. Rol del ordenadorComo ya hemos dicho, hasta la década de 1950, los métodos de lamatriz y el método de los elementos finitos asociado no eran fácilmenteadaptables para resolver problemas complicados.A pesar de que el método de elementos finitos estaba siendoutilizado para describir estructuras complicadas, el consiguientenúmero de ecuaciones algebraicas asociadas con el método deelementos finitos de análisis estructural resulto extremadamentedifícil y poco práctico de utilizar. Sin embargo, con la llegada de lacomputadora, la solución de miles de ecuaciones en cuestión deminutos se hizo posible Univac, IBM 701 que fue desarrollado en la década de 1950. Este equipo ha sido construido en base a tecnología de tubos al vacío
  25. 25. UNIVAC fue la tecnología de tarjetas perforadas en el cuallos programas y datos fueron creados en tarjetasperforadas. En la década de 1960, la tecnología estuvobasada en transistores los cuales remplazaron la tecnologíade tubos al vacío debido a la reducción del consumo delcosto, peso y potencia y su aumento en la fiabilidad.
  26. 26. Desde 1969 hasta finales de 1970. Fueron integrados circuitos basados enla tecnología que estaba siendo desarrollada, la cual permitió aumentar lavelocidad de procesamiento de los ordenadores, por lo que es posibleresolver los problemas más grandes de elementos finitos con gradoscrecientes de libertad.Desde finales de 1970 a la década de 1980, integración a gran escala, asícomo estaciones de trabajo que introdujeron una interfaz gráfica de ventanasque aparecieron junto con el ratón del ordenador. Las computadoraspersonales ahora se habían convertido en el mercado de masascomputadoras de escritorio. Esta evolución se produjo durante la era de lacomputación en red, lo que provocó la Internet y la World Wide Web.
  27. 27. De hecho, los programas informáticos de elementos finitos ahora sepueden resolver en un solo proceso en una sola máquina, tales como unsimple computador de escritorio o un ordenador portátil personal (PC) oen un grupo de ordenadores. Las memorias poderosas del equipo y losavances en los programas de resolución han permitido solucionarproblemas con más de un millón de incógnitas.
  28. 28. Introducir la información en el ordenador.Esta Información puede incluir la posición del elementocoordenadas nodales, la manera en la cual los elementosson unidos, las propiedades materiales de loselementos, las cargas aplicadas, condiciones divisorias, ocoacciones, y la clase de análisis para ser realizado. Elordenador entonces usa esta información para generar ysolucionar las ecuaciones necesarias de realizar el análisis
  29. 29. Pasos generales el método de los elementos finitos Típicamente para el problema de análisis de tensión estructural, el ingeniero procura determinar desplazamientos y acentos en todas partes de la estructura, que está en el equilibrio y es sujetada a cargas aplicadas. Para muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución de deformación que usa métodos convencionales, y así el método de elemento finito necesariamente es usado.
  30. 30.  Para muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución de deformaciones usando métodos convencionales, y así el método de elemento finito necesariamente es usado. El método de elementos finitos implica el modelado de la estructura utilizando pequeños elementos interconectados llamados elementos finitos. Una función de desplazamiento está asociado con cada elemento finito. Cada elemento de interconexión está vinculada, directa o indirectamente, a cualquier otro elemento aunque comunes (o compartida), incluyendo interfaces de los nodos y / o líneas de contorno y / o superficies.
  31. 31.  Mediante el uso de esfuerzo conocido / propiedades de deformación para el material que forma la estructura, se puede determinar el comportamiento de un nodo dado en términos de las propiedades de cada otro elemento en la estructura. El conjunto total de ecuaciones que describen el comportamiento de los resultados de cada nodo en una serie de ecuaciones algebraicas mejor expresados ​en notación matricial.
  32. 32. Paso 1 Discretizar y seleccionar los tipos de elementos consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de elementos finitos con nodos asociados y seleccionando el tipo de elemento más adecuado para modelo más de cerca el comportamiento físico real. la variación en el tamaño y el tipo dentro de un cuerpo dado es principalmente los asuntos de juicio de la ingeniería. Los elementos deben ser hechos bastante pequeño para dar resultados utilizables y aún bastante grande para reducir el esfuerzo computacional. Pequeños elementos son generalmente deseables donde los resultados se cambian rápidamente, como donde los cambios de la geometría ocurren; elementos grandes pueden ser usados donde los resultados son relativamente constantes.
  33. 33.  Elemento simple de línea con dos nodos (normalmente utilizado para representar una barra o elemento de la viga) y el elemento de línea de orden superior Elementos simples bidimensionales con nodos de esquina (normalmente se utiliza para representar tensión plana / tensión) y de orden superior de dos dimensiones elementos con nodos intermedios a lo largo de los lados
  34. 34.  Elementos tridimensionales simples (normalmente utilizados para representar el estado de tensión tridimensional) y elementos tridimensionales de orden superior con nodos intermedios a lo largo de los bordes Simples axisimétrica triangulares y cuadriláteros elementos utilizados para problemas axisimétricos.  tipos de elementos finitos de simples orden más bajo con sólo los nodos de esquina y elementos de orden superior con nodos intermedios
  35. 35. Paso 2consiste en elegir una función de desplazamiento dentro de cadaelemento. La función se define dentro del elemento utilizando losvalores nodales del elemento. Polinomios lineales, cuadráticas ycúbicas son funciones de uso frecuente debido a que son fáciles detrabajar en la formulación de elementos finitos. Sin embargo, lasseries trigonométricas también se puede utilizar.Para un elemento de dos dimensiones, la función de desplazamientoes una función de las coordenadas en su plano (por ejemplo, elplano xy). Las funciones se expresan en términos de las incógnitasnodales (en el problema de dos dimensiones, en tema de unacomponente x y ay).La misma función general de desplazamiento puede ser utilizadorepetidamente para cada elemento. Por lo tanto el método deelementos finitos es una en la que una cantidad continua
  36. 36. Paso 3 Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la tensión / deformaciónCepa / desplazamiento y de esfuerzo / deformación relaciones sonnecesarias para derivar las ecuaciones para cada elemento finito. En elcaso de una deformación dimensional, por ejemplo, en la direcciónx, se tiene εx cepa. relacionado con el desplazamiento porpara pequeñas deformaciones. Además, las tensiones deben estarrelacionadas con las cepas a través de la tensión / deformación de laley generalmente se llama la ley constitutiva.El más simple de tensión / deformación de las leyes, la ley de Hooke,que se utiliza a menudo en el análisis de tensión, está dada por donde σx = tensión en la dirección x y el módulo E de elasticidad
  37. 37. Paso 4 Deducir la Matriz de rigidez del elemento y ecuaciones Inicialmente, el desarrollo de matrices de rigidez del elemento y ecuaciones elemento se basa en el concepto de coeficientes de influencia de rigidez, lo que presupone Para desarrollar la matriz de rigidez y las ecuaciones para elementos de dos, y tres dimensiones, es mucho más fácil de aplicar un método de trabajo o energía El principio de trabajo virtual (mediante desplazamientos virtuales), el principio de mínima energía potencial, y el teorema de Castigliano son métodos utilizados frecuentemente para el propósito de derivación de las ecuaciones de los elementos. El principio del trabajo virtual se indica en el Apéndice E se aplica a cualquier comportamiento del material, mientras que el principio de mínima energía potencial y el teorema de Castigliano son aplicables únicamente a los materiales elásticos
  38. 38. Métodos de residuos ponderadosLos métodos de residuos ponderados son útiles para el desarrollo dela ecuación elemento; particularmente popular es el método deGalerkin. Estos métodos producen los mismos resultados que losmétodos de energía siempre que los métodos de energía aplicables.Son especialmente útiles cuando un tal funcional como energíapotencial no es fácilmente disponible. Los métodos residualesponderados permitir que el método de elementos finitos para seraplicado directamente a cualquier ecuación diferencial.se puede utilizar para resolver un problema de la barraunidimensional para que una solución conocida exacto existe paracomparación.método de Galerkin también se puede utilizar para derivar lasecuaciones elemento de barra
  39. 39. Donde (f) es el vector de fuerzas elemento nodal, (k) es la matriz de rigidez delelemento (normalmente cuadrada y simétrica), y (d) es el vector de loselementos desconocidos grados de libertad nodales o desplazamientosgeneralizados, n
  40. 40. Paso 5 ensamblar las ecuaciones elemento para obtener las ecuaciones globales o total e introducir condiciones de contorno. En este paso los elementos ecuaciones individuales de equilibrio nodales generadas en el paso 4 se ensamblan en las ecuaciones de equilibrio globales nodales. Otro método más directo de superposición (llamado el método de la rigidez directa), cuya base es nodal equilibrio de fuerzas, se puede utilizar para obtener las ecuaciones globales para toda la estructuraLa ecuación final ensamblados global o por escrito en la forma es {F} = [k] {d}donde {F} es el vector de fuerzas nodales globales, [K] es la matriz derigidez de la estructura global o total, {d} es ahora el vector de conocidos y desconocidos estructura de grados de libertad nodales o desplazamientos generalizados
  41. 41. APLICACIONES DELMÉTODO DE LOSELEMENTOS FINITOS
  42. 42. El método de elementos finitos puede ser utilizadopara analizar tanto los problemas estructurales y noestructurales.1. Análisis de esfuerzos, y problemas deconcentración de esfuerzos típicamente asociadoscon agujeros.
  43. 43. 2. Pandeo3. Análisis de vibración
  44. 44. Problemas no estructurales incluyen•Transferencia de calor•Fluido, incluyendo la filtración a través de mediosporosos.•Distribución de potencial eléctrico o magnético
  45. 45. A continuación se presentan algunasaplicaciones típicas del método de elementosfinitos. Estas aplicaciones ilustrar lavariedad, tamaño y complejidad de losproblemas que se pueden resolver utilizandoel método y el proceso de discretizacióntípica y tipo de elementos utilizados.
  46. 46. HIPÓTESIS DEDISCRETIZACIÓNEn una estructura discreta, su deformaciónviene definida por un número finito deparámetros (deformaciones y/o giros), quejuntos conforman el vector dedeformaciones Δ
  47. 47. Para resolver este problema, el Método de los Elementos Finitosrecurre a la hipótesis de discretización, que se basa en losiguiente:El continuo se divide por medio de líneas o superficiesimaginarias en una serie de regiones contiguas y disjuntas entresí, de formas geométricas sencillas y normalizadas, llamadaselementos finitos.
  48. 48. Los elementos finitos se unen entre sí enun número finito de puntos, llamadosnudos.Los desplazamientos de los nudos son lasincógnitas básicas del problema. Sóloestos desplazamientos nodales seconsideran independientes.
  49. 49. Para ello se definen para cadaelemento, unas funciones de interpolaciónque permiten calcular el valor de cualquierdesplazamiento interior por interpolaciónde los desplazamientos nodales.
  50. 50. Para cada elemento, existe un sistema defuerzas concentradas en los nudos, queequilibran a las tensiones existentes en elcontorno del elemento, y a las fuerzasexteriores sobre él actuantes.
  51. 51. Esta hipótesis de discretización es el pilarbásico del MEF, por lo que se suele decirde éste, que es un método discretizante, deparámetros distribuidos. La aproximaciónaquí indicada se conoce como laformulación en desplazamiento.
  52. 52. La Figura ilustra una torre de control deun ferrocarril. La torre es una estructuratridimensional que comprende una seriede elementos de tipo de viga.
  53. 53. Los 48 elementos son etiquetados por losnúmeros dentro de círculos, mientras que los28 nodos se indican mediante los númerosfuera del círculo. Cada nodo tiene tres rotacióny tres componentes de desplazamientoasociados son llamados los grados de libertad.
  54. 54. El método de los elementos finitos utilizado paraesta estructura permite que diseñador/ analistarápidamente obtenga desplazamientos y tensionesen la torre para los casos típicos de carga, comoes requerido por los códigos de diseño.
  55. 55. La figura 1-8 ilustra una de dos dimensiones detransferencia de calor modelo, usado para determinar ladistribución de la temperatura en la tierra sometida a unafuente de temperatura de calor a una tubería enterrada detransporte de un gas caliente.
  56. 56. La figura 1-9 muestra un modelo tridimensional deelementos finitos de un hueso de la pelvis con unimplante, que se utiliza para estudiar las tensionesen el hueso y la capa de cemento entre el hueso yel implante.
  57. 57. Ventajas del método de elementos finitos.Como se indicó anteriormente, el método de loselementos finitos se ha aplicado a numerososproblemas, tanto estructurales como noestructurales. Este método tiene una serie deventajas que han hecho muy populares.
  58. 58. Ellos incluyen la capacidad de1. Modelar de forma irregular cuerpos conbastante facilidad 2. Manejar las condiciones generales decarga sin dificultad
  59. 59. 3. Organismos modelo compuesto de variosmateriales diferentes, ya que el ecuaciones de loselementos que se evalúan individualmente4. Maneje un número ilimitado y tipos decondiciones de contorno5. Variar el tamaño de los elementos para hacerposible el uso de elementos pequeños cuando seanecesario
  60. 60. 6. Modifique el modelo de elementos finitosrelativamente sencilla ya buen precio7. Incluye efectos dinámicos8. Manejar el comportamiento no linealexistente con grandes deformaciones ymateriales no lineales
  61. 61. A pesar de que el método de los elementos finitosse utilizó inicialmente para el análisisestructural, esto desde entonces se ha adaptado amuchas otras disciplinas de la ingeniería y de lafísica matemática, tales como flujo defluidos, transferencia de calor, los potencialeselectromagnéticos, mecánica de suelos y laacústica
  62. 62. BIBLIOGRAFÍA•http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method•http://www.journals.elsevier.com/finite-elements-in-analysis-and-design/•http://www.luxinzheng.net/enpratical.htm•http://www.springer.com/engineering/mechanical+engineering/book/978-0-387-28289-3•http://www.sv.vt.edu/classes/MSE2094_NoteBook/97ClassProj/num/widas/history.html

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