Metodos Numéricos

1. Métodos Numéricos (Matemática Computacional) Dr. M.Sc. Alonso Álvarez O Escuela de Ingeniería en Sistemas POLITECNICA DE CHIMBORAZO

2. Presentación La matemática interviene de diferentes formas, en muchos sectores de la ciencia y de la técnica. Resultados matemáticos, aún si son abstractos, pueden ser utilizados para la resolución de problemas que se encuentran en la naturaleza. Por otro lado, problemas complejos de la naturaleza estimulan la invención de nuevas ideas matemáticas. En esta relación entre matemática y naturaleza se inserta de manera determinante el computador. (Darío Bini, PISA, 1995).

3. Presentación. abstracción aplicación NATURALEZA MATEMATICA

4. Presentación La introducción del computador con el cual es posible efectuar muchas operaciones en poco tiempo, ha impuesto y acentuado el desarrollo del análisis y síntesis de métodos computacionales para el estudio y resolución de problemas matemáticos. Es oportuno subrayar que, sin un profundo conocimiento de metodologías matemáticas, el uso del computador para resolver problemas técnico-científicos puede presentar grandes dificultades. Además es necesario recordar que si hoy contamos con computadores tan poderosos no es sólo por el desarrollo del Hardware si no también por el desarrollo del Software, lo que permite tratar problemas de alta dimensión. (Darío Bini, PISA, 1995).

5. Matemática Computacional L a M atemática Computacional e s una herramienta básica para un ingeniero o un científico, porque le permite solucionar de forma aproximada, problemas prácticos que no podrían resolverse de manera analítica. Puede decirse que l a m atemática computacional ( Métodos Numéricos ) es la matemática más elemental que existe, ya que para solucionar problemas, solo hacen uso de operaciones aritméticas. Sin embargo es ahí donde radica su fuerza, porque es a través de ella que se modelan y resuelven muchos problemas de la realidad, que es cambiante, compleja y variada

6. Esquema Modelo Matemático Problema Real Resolución Matemática Tradicional (Métodos Analíticos) (Solución Exacta) Matemática Computacional (Métodos Numéricos) (Solución Aproximada ) RESULTADOS

7. Ejemplo Resolución Variación de la corriente en un circuito eléctrico Ecuación Diferencial Variables Separadas Transformada de Laplace Etc... Método de Euler. Método de Runge-Kuta Etc.. RESULTADOS

8. Condicionamiento de un Problema Un problema matemático, se dice bien condicionado , si cumple las siguientes condiciones: 1) Existencia de la solución. 2) Unicidad de la solución. 3) Dependencia continua de los datos (Estabilidad) Pequeñas variaciones en los datos de entrada, implican pequeñas variaciones en los datos de salida

9. Estabilidad La palabra estabilidad es muy común escucharla en nuestro diario vivir, por ejemplo, podemos escuchar el franco Suizo es estable, que el peso mexicano es inestable. A un ingeniero decir, esta estructura es estable o no, a un químico, cierta reacción se ha estabilizado.

10. Veamos los siguientes ejemplos físicos que nos ayudan a entender la estabilidad y tipos de estabilidad. Si efectuamos una pequeña perturbación a la canica, podemos tener diferentes resultados:

11. En el primer caso la canica luego de un corto tiempo regresará a su posición de equilibrio, en ese caso hablamos de una fuerte estabilidad. (Azintoticamente estable). En el segundo caso podemos notar que la canica perderá totalmente su posición de equilibrio, en ese caso diremos que es un Equilibrio Inestable . En el tercer caso, podemos notar que si bien la caníca no se aleja fuertemente de su posición de equlibrio, pero tampoco retorna a su posición inicial, en ese caso diremos Estabilidad no azintótica .

12. Ejemplo 2. Azintoticamente Estable Inestable Estabilidad no azintótica

13. Ejemplo 3. ESTABLE INESTABLE

14. Teoría de la Estabilidad. El primero en hablar sobre la Estabilidad fue el matemático Ruso M. Lyapunov (1857-1918), el cual consideró como punto relevante en su tesis doctoral (1892) el hablar sobre la estabilidad de problemas de ecuaciones diferenciales.

15. Comparación Métodos Analíticos Métodos Numéricos Solución Exacta Solución Aproximada Complejidad Elevada Complejidad Baja Muy Lento Bien Rápido (PC)

17. Números Aritméticos Números de Máquina -3 0 2 2.6 m 0 2.6 M (0)’ (2,6)’ No tienen principio ni fin Tienen principio y fin Cada número está representado Cada número representa un Por un punto subintervalo. Son infinitos Son finitos.

18. Operación de Máquina El uso de números de máquina por el computador implica que los resultados en las operaciones sean diferentes, por lo que es necesario diferenciar entre operacion aritmética y operación de máquina . ( x (op) y ) = ( x op y )(1+e) e Precisión de máquina (cero maq.)

19. Cualquier operación matemática puede ser vista como una función de varias variables. Ejemplos:

20. Observacion: Las siguientes operaciones son iguales o son distintas? Con Operación Aritmética son iguales, con operación de Máquina son distintas

21. Análisis Diferencial del Error Factores de Amplificación del error

22. Representación Numérica en el Computador Bit : (Binary Digit) Es un dígito Binario 0 , 1 Como reconoce el computador a un “0” o a un “1” : Señales de Voltaje: “0” 0-2 voltios “ 1” 4-6 voltios

23. Representación en la memoria Números enteros: Utilizan un espacio de memoria de 16 bits (32 bits). SIGNO 1: N- ; 0: P+ Ejemplo: -429 -(110101101) 2 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

24. Representación en la memoria Números Reales: Utilizan un espacio de memoria de 48 bits (61 bits). Utiliza el esquema flp (Floating Point) Punto Flotante. Mantiza Exponente

25. Números Reales Ejemplos de Punto Flotante: flp

26. Esquema de Representación SIGNO 1: N- ; 0: P+ 40 48 MANTIZA EXPONENTE

27. Ejemplo: 40 48 10000101 101101110000000000000000000000000000000 0

28. Raices de Ecuaciones Entendemos por ecuación una expresión de la forma f(x)=0, donde f es una función definida en un intervalo [a,b]. Resolver la ecuación o hallar una raiz, quiere decir encontrar un z en [a,b] tq. f(z)=0 .

30. Método de Bisección El método de Bisección se basa en comparar el signo de la imagen del punto medio del intervalo con la imagen de uno de los extremos. c1=(a+b)/2. Si f(c1) y f(a) tienen signos opuestos, c2=(a+c1)/2. Caso contrario, c2=(c1+b)/2. Se repite este proceso hasta que la diferencia entre los extremos que resulten sea menor o igual a e.

31. Bisección a b o c1 c4 o o c3 o c2

32. Bisección Para realizar todo este proceso, tenemos dos alternativas. Hacerlo a mano o en un computador. MANO.- Entendemos con papel y lápiz (calculadora) COMPUTADORA.- Tenemos dos alternativas: software existente en el mercado como Derive, ToolKit, MatLab, etc. o construir un propio software en cualquier lenguaje de programación. Lenguajes Tradicionales : Pascal, C, C++, etc. Entornos de Desarrollo: Visual C, Delphi, Java, etc

33. Ejemplo Un famoso problema de la antigüedad, conocido como problema de Arquimides, plantea lo siguiente: tenemos un recipiente semiesferico de radio r . Se desea saber cual es la altura h del segmento esférico, cuyo volumen sea la mitad del recipiente. h r

34. Por geometría sabemos que el volumen del recipiente es Mientras que el volumen del segmento esférico es :

35. El valor h buscado, que necesariamente estará comprendido entre 0 y r , satisface la ecuación: Sustituyendo x = h/r, se obtiene la ecuación:

36. La ecuación encontrada es de 3er grado y Arquimides no conocía la fórmula resolutiva, descubierta 1700 años después (Fórmula de Cardano). De todas formas esta fórmula es tan complicada, que es preferible utilizar otro método como el de Bisección. a b c 0.0000 1.0000 0.5000 0.5000 1.0000 0.7500 0.5000 0.7500 0.6250 0.6250 0.7500 0.6875 0.6250 0.6875 0.6562 0.6250 0.6562 0.6406 Solución Aproximada 0.6406

37. Interpolación y Aproximación La Interpolación y la Aproximación son técnicas que se utilizan para proyectar Información (desconocida) o para hacer diseños.

38. Interpolación y Aproximación

42. Ejemplos La proyección de datos de una empresa: Inversión – Ganancia. La proyección de resultados en elecciones. La proyeción de la humedad en un terreno.

43. Polinomio de Lagrange

44. Integración Numérica

45. Integración Numérica

46. Método de Simpson

47. Integración Múltiple de Simpson

48. Ecuaciones Diferenciales Método de Euler:

49. Fórmula Recurrente EJEMPLO: La población de una pequeña ciudad crece, en un insatnte cualquiera de tiempo, con una rapidez propor- cional al número de habitantes en dicho instante. Si su población inicial es de 500 habitantes y la constante de proporcionalidad k=0,014, obtener de forma aproximada la población de dicha ciudad dentro de 1, 2, 3,..., 9 años

50. SOLUCION : Sea N la población al tiempo t , la ecuación diferencial que se puede deducir es: Como k=0,014, e inicialmente hay 500 habitantes, utilizando la fórmula recurrente de Euler obtenemos los siguientes resultados:

51. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AÑO POBLAC. 500 507 514 521 528 535 542 550 558 566

52. Debido al tipo de ecuación (sencilla), los resultados que arroja el método de Euler, son bastante aceptables. Se puede demostrar que los errores producidos son despreciables. En problemas más complejos, los resultados se ven afectados con errores considerables. Para los cuales existen métodos más fuertes como el de Runge-Kutta.

53. Método de Runge-Kutta Este método tiene un principio similar al de Euler, la diferencia principal radica en la forma de generar los resultados a través de otra fo´rmula recurrente.