SSC - Aspetti matematici del Banking Risk Management

Aspetti matematici
del Banking Risk
Management
Roberto Anglani
Science Storming Cafe @ La Scuola Open Source
Bari, 30 Novembre 2016

Perché parlare di risk
management in un
Science Storming Cafe
2
E soprattutto di cosa parleremo.
R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016

3R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
1
Da un punto di vista olistico,
il risk management è un
sistema complesso e
multidisciplinare di
processi, decisioni e misure
concepito per fronteggiare i
rischi connessi all’attività
dell’azienda
Motivazioni
Control
Measure
Assess
Identify

2
Una parte fondamentale del risk
management è la
misura quantitativa
di tutti i fattori e le componenti di rischio
a cui si espone l’azienda.
Motivazioni

3
La misura quantitativa si avvale di
metodi matematici, statistici e
numerici, in alcuni casi, concepiti
appositamente per l’analisi dei rischi, in
altri, “presi in prestito” da altri campi
della conoscenza
Motivazioni

4
E infine, perché condividere conoscenza è uno dei principi
fondanti di Alumni Mathematica e della Scuola Open Source
Motivazioni
(Fonte: http://www.slideshare.net/ff3300/la-scuola-open-source-introduzione)

5 Obiettivi
Per queste ragioni, parleremo di:
1 Rischio e Rischio nelle banche
2 Alcuni modelli matematici alla base di
di misure di rischio fondamentali
3 Problemi aperti

6 Alcuni caveat e una motivazione in più
I fenomeni collettivi originati da comportamenti sociali non sono “completamente”
modellizzabili come molti fenomeni naturali o eventi di laboratorio.
Avvicinarsi alla modellizzazione matematica dietro le quinte
del contesto bancario ha quindi la duplice funzione di illustrare:
- come alcune delle conquiste scientifiche degli ultimi 200
anni sono state applicate in un campo apparentemente
lontano
- le sfide derivanti dai limiti della modellizzazione di fenomeni
complessi governati da norme e comportamenti sociali.

Cosa si intende quando
parliamo di rischio
9
E perché siamo (o dovremmo essere) tutti un po’ risk
manager.

“Eventualità di subire un danno
connessa a circostanze più o meno
prevedibili.”
Definizione di rischio secondo la Treccani
10
http://www.treccani.it/vocabolario/rischio/

Il rischio è un concetto
quotidiano. Ogni giorno tutti
noi rischiamo di:
Concetto di rischio nella quotidianità
11
Perdere una
scommessa
Farci
male
Non superare
l’esame
Non trovare
lavoro
Non fare
buoni affari
Chiudere
un’attività
Perdere le
elezioni
Perdere
danaro
Perdere
un treno
Arrivare tardi ad
un appuntamento

Ma con la stessa naturalezza
cerchiamo di gestire tutti i
rischi che affrontiamo:
Gestione del rischio nella quotidianità
12
Giocare con
“metodo”
Indossare un
casco
Studiare molto
bene
Impegno e tanti
CV
Evitare
sprechi
Ridurre i costi
inutili
Convincere gli
elettori
Investire il danaro
oculatamente
Svegliarsi
mezz’ora prima
Muoversi per
tempo

13
Ma “scegliendo saggiamente” esistono
attività prive di rischio che generano
profitto?
Spoiler Alert!
Indiana Jones and the Last Crusade

No, non esistono scelte prive di rischio.

Non esiste il Sacro Graal degli investimenti.
15
Un qualunque investimento che generi
profitto comporta l’assunzione di uno o
più rischi.
Aprire un bar | Investire in qualunque strumento finanziario |
Affittare un appartamento | Creare un’impresa | Depositare
danaro su conto corrente | Fondare una start-up | ecc.

Cosa si intende quando
parliamo di rischio nelle
banche
E perché ogni tanto se ne parla.

Uno sguardo al core business delle banche
17
Funding
Lending
Investing
Raccogliere denaro dei clienti
(depositi, c/c, titoli obbligazionari, ecc.)
Finanziare individui e imprese con il denaro
“raccolto” (mutui, prestiti, linee di credito)
Investire il denaro raccolto su strumenti
finanziari (azioni, obbligazioni, derivati, ecc.)

18
Funding
Quando una banca “raccoglie” denaro da
individui e enti (in surplus) si indebita.
Ad esempio, incalando i nostri risparmi sui c/c o aprendo
un deposito o acquistando un’obbligazione, di fatto,
stiamo prestando soldi alla nostra banca di “fiducia”.
A seconda della forma di contratto, la
banca deve quindi far fronte a impegni di
pagamento e alla corresponsione di
interessi passivi (costo della raccolta)

19
Lending
Investing
Al pari di ogni altra azienda, la banca con i soldi “presi in
prestito” deve svolgere delle attività che non solo le
consentano di ripagare i debiti, ma anche generare utili.
Pertanto, a sua volta presta danaro a
individui o enti (in deficit) richiedendo la
corresponsione di interessi (attivi).
E/o investe in altri strumenti finanziari che
possano portare ricavi in forma di
rendimenti, dividendi, cedole, etc.
Tutto questo, ovviamente, comporta l’assunzione di un
certo numero di rischi

Credit
Risk
Market
Risk
Operational
Risk
Perdite potenziali originate dall’eventuale insolvenza dei
debitori (mutui e prestiti non pagati, ecc.)
Perdite potenziali originate da fluttuazioni di mercato
(variazioni dei tassi di interesse, prezzi delle azioni, ecc.)
Perdite potenziali originate da processi, persone e sistemi
interni non adeguati o eventi (danni, rapine, ecc.)
Liquidity
Risk
Business
Risk
Reputational
Risk
Incapacità della banca di far fronte e in modo economico agli
obblighi di pagamento previsti contrattualmente
Perdite potenziali originate dall’indebolimento della
posizione competitiva della banca sul mercato
Perdite potenziali originati dall’indebolimento dello standing
della banca nell’opinione pubblica
Una tassonomia semplificata del banking risk

E mai accaduto che rischi non
controllati generassero perdite?Dick & Jane - Operazione Furto

-4100 GUSD
Totale perdite per banche e
istituzioni a livello mondiale
22
2007 Crisi dei subprime

FALLITA
LEHMAN BROTHERS
-6.7 GUSD -26K dipendenti
23
2007 Crisi dei subprime

- 5 GEUR
SOCIÉTÉ GÉNÉRALE
(case study OpRisk)
24
2008 Derivati

FALLITA
BARINGS BANK
-1.3 GEUR
25
2008 Derivati

Come si fa risk
management nelle banche
E perché la matematica “aiuta”
“Go to the edge of the cliff and
jump off. Build your wings on the
way down” -Ray Bradbury

Come si fa il “risk management”
Individuare Misurare Controllare Mitigare
i rischi che minacciano la stabilità, la
redditività e le strategie dell’azienda
Mediante un sistema di processi
finalizzato ad

Perché questo sistema è così importante
Serve a supporto alle decisioni strategiche: individuazione
dei rischi potenziali e valutazione degli impatti.
Serve a definire metodi di misura e meccanismi di
monitoraggio periodico delle principali aree di rischio.
Serve a determinare il capitale “adeguato” alla copertura
permanente di tutti i rischi ai quali è o potrebbe essere
esposta l’azienda. (Circ. 285/2013 Banca d’Italia)

E perche la matematica “aiuta”
sulla base di enormi quantità di dati eterogenei
Per quantificare le perdite potenziali e “inattese”
mediante metodi e modelli
analizzando fenomeni deterministici e stocastici
governati da agenti economici (non sempre razionali),
vincoli normativi, fattori endogeni ed esogeni

“enormi quantità di dati
eterogenei”
“analizzando fenomeni
deterministici e
stocastici”
“governati da agenti
economici (non sempre
razionali), vincoli
normativi, fattori endogeni
ed esogeni”
E perché la “matematica” entra in gioco
Spiegato con le skills.
Matlab, Python, SAS, SQL
Multivariate statistics, time series analysis
Matlab, Python, SAS, C, Java
Probability, multivariate statistics, statistical
learning, Monte Carlo, etc.
Matlab, Python
Generalized linear models, behavioural models,
econometrics, etc.
Vincoli normativi e gestionali
(Basilea, ECB, EBA, Bankit, CRR, CRD)

Alcuni modelli matematici
per il rischio di mercato
Ma dobbiamo fare prima i conti con l’imprevedibilità

Il rischio di mercato
Il rischio di mercato è rappresentato
da tutte le perdite potenziali derivanti
dalle fluttuazioni di valore del
portafoglio di trading della banca
originati da variazioni dei tassi di
interesse, dei tassi di cambio, del valore
di equity, commodity, ecc.

Un approccio di gestione del rischio di mercato
1. Stimando il capitale necessario a far fronte le eventuali
perdite.
2. Misurando e controllando periodicamente la rischiosità
degli strumenti su cui si è investito.
3. Supportando il management nei processi decisionali
legati a nuovi investimenti.
Questi processi necessitano di metodologie in grado di
valutare correttamente il valore degli strumenti di un
portafoglio, e di fornire affidabili misure di rischiosità.

Assunzioni e vincoli dei modelli
Ogni modellizzazione, che si basa su un sistema assiomatico di assunti,
semplifica la descrizione di un fenomeno fornendone una rappresentazione
approssimata.
I processi di scambio degli strumenti finanziari avvengono in mercati governati
da agenti economici (non sempre razionali), fenomeni sociali, vincoli
normativi, ecc.
Alcune ipotesi e limiti fondamentali
Mercato efficiente: il valore di mercato, al tempo t, di uno strumento
finanziario riflette istantaneamente tutte le informazioni del passato
Vincoli normativi: le misure di rischio devono essere accettate (validate)
normativamente (i.e il migliore dei modelli matematici non è sempre
utilizzabile)

Preludio sulla probabilità

Rischio e probabilità
36
“Eventualità di subire un danno
connessa a circostanze più o meno
prevedibili.”
Probabilità

Un’idea di determinismo
Lo studio sperimentale di un fenomeno
finalizzato all'individuazione di una legge
matematica che lo governi
richiede che,
a parità di condizioni iniziali,
la ripetizione dell'esperimento che consente
l'osservazione del fenomeno produca i
medesimi risultati.

Un esempio: la caduta di un grave
Condizioni iniziali
Presenza del campo gravitazionale terrestre g = 9.8 m/s2
;
Assenza di attrito (vuoto)
Tempo di caduta da altezza h: t = (2h/g)1/2
La caduta del grave, da un punto di vista “cinematico” e
sotto opportune condizioni, è un fenomeno deterministico
ed è predicibile.
In altre parole, possiamo prevedere il tempo di caduta di un grave dall'altezza
di 10 km senza doverci recare personalmente a quella quota ed eseguire la
misura!

I fenomeni stocastici (o aleatori)
Esistono però molti altri fenomeni la cui osservazione
restituisce esiti casuali indipendentemente dalle condizioni
iniziali o dalla cura dello sperimentatore nel controllo di
esse.
Tali fenomeni sono detti aleatori o stocastici e presentano
la proprietà fondamentale di essere non prevedibili.
Uno degli esempi più semplici è il lancio di un dado non
truccato. Per quanto si cerchi di controllare le modalità del
lancio è realmente difficile che si possa prevedere il
risultato.

Regolarità dei fenomeni stocastici
Molti dei fenomeni stocastici, presentano delle caratteristiche
di regolarità.
Se lanciassimo una moneta non truccata per 1000 volte ci
aspetteremmo “Testa” o “Croce” all’incirca per 500 volte.
Se lanciassimo per 1000 volte una coppia di dadi non truccati ci
aspetteremmo l'uscita del “7” circa 167 volte, del “10” circa 83
volte, del “12” solo circa 28 volte.
Come mai? E soprattutto, quanto è “possibile” che su 1000
lanci il “7” esca per 31 volte? O “Testa” per 930 volte?

Regolarità dei fenomeni stocastici
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Lanciando due dadi abbiamo 36 combinazioni possibili di
uscite, 6 di queste fanno somma 7.
Lancio due dadi: 36 possibili uscite
N. di lanci: 1000
N. coppie a somma 7: 6 su 36
Numero di uscite “atteso”
N. lanci a somma 7: 1000*6/36 = 166.67
N. lanci a somma 10: 1000*3/36 = 83.33
N. lanci a somma 12: 1000*1/36 = 27.78

Un’idea di probabilità
La stabilità nella frequenza di accadimento appena illustrata
suggerisce l'ipotesi che in qualche modo si possa misurare
la casualità di un evento mediante un numero che ne indichi
la maggiore o minore possibilità che esso si verifichi.
La teoria delle probabilità infatti postula l'esistenza di una
funzione, detta appunto probabilità, che ad ogni evento
associa un numero reale positivo tanto più vicino a 1 (o a 0)
quanto è più (o meno) probabile il verificarsi dell'evento
stesso

Ingredienti di una teoria elementare delle P.
Eventi non elementari “uscita del
numero X dal lancio di due dadi”
P(X = 1) = 0/36
P(X = 2) = 1/36
P(X = 3) = 2/36
P(X = 4) = 3/36
P(X = 5) = 4/36
P(X = 6) = 5/36
P(X = 7) = 6/36
P(X = 8) = 5/36
P(X = 9) = 4/36
P(X = 10) = 3/36
P(X = 11) = 2/36
P(X = 12) = 1/36
6
55
44
3
2
1
3
2
1
2 3 4 5 6 7 8 9
EVENTO ELEMENTARE (p= 1/36)
10 11 12

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
3
6
10
15
21
26
30
33
35
36
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Distribuzioni di probabilità
La distribuzione cumulata per variabili discrete
Distribuzione di probabilità
f(x) = P(X = x)
con che p. la variabile X
assume il valore x
Distr. cumulata probabilità
f(x) = P(X ≤ x)
con che p. la variabile X
assume valori <= x

Distribuzioni di probabilità
Al pari del lancio di due dadi, è possibile modellizzare altri
fenomeni aleatori mediante osservazioni ripetute nel
tempo o sulla base di regolarità (approccio classico) o
studiando le frequenze di accadimento (approccio
frequentistico).
Ad esempio, possiamo osservare l’andamento di un azione,
ogni giorno per 2 anni e costruire la distribuzione delle
variazioni di prezzo. Se siamo fortunati, possiamo associare
la distribuzione empirica ad una parametrica, altrimenti è
necessario adottare metodi non-parametrici.

Distribuzioni di probabilità parametriche
Numerosi fenomeni aleatori sono modellizzabili con
precisione mediante distribuzioni di probabilità parametriche
(cioè definite da parametri):
- Distribuzione di Gauss
- Distribuzione di Bernoulli Lanciando due dadi 100 volte, qual è la
probabilità di ottenere “7” per 31 volte? Bin(n=1000, k=31, p=⅙) = 10^-42
- Distribuzione di Poisson
- Distribuzione t-Student
- Distribuzione Chi-quadrato
- Distribuzione Esponenziale

Distribuzione di Gauss
(fonte Wikipedia)

Il rischio di mercato e il
teorema di Eulero
Il Value-at-Risk

Il rischio di mercato
E’ una misura fondamentale, perché la stima
dell’esposizione della banca al rischio di
mercato rientra nella valutazione dei rischi di
Primo Pilastro (Basel Committee) per la
determinazione dei requisiti patrimoniali minimi.
Il Value-at-Risk è una delle misure utilizzabili
secondo le disposizioni dell’Autorità di
Vigilanza.

Esempio di fluttuazioni
Andamento dell’indice Dow Jones
Dal 1980 Ultimi 6 mesi
(fonte Yahoo! Finance)

Il Value-at-Risk
Il VaR è una misura finalizzata a riassumere in un unico
valore di perdita l’esposizione complessiva al rischio di
mercato di un portafoglio di trading.
Stimare il VaR significa valutare:
la massima perdita che può subire un portafoglio in un
determinato orizzonte temporale, tale che una perdita
maggiore può avvenire con una probabilità preassegnata.
In altre parole, significa affermare qualcosa di simile: “con un livello di
confidenza del 95%, il portafoglio non perderà più di 697000 euro nei prossimi
10 giorni.

Il Value-at-Risk
Per calcolare il VaR di portafoglio è pertanto necessario,
ricostruire la distribuzione di probabilità dei rendimenti,
su un determinato orizzonte temporale.
Approccio parametrico: si ipotizza che la distribuzione di
probabilità dei rendimenti segua una distribuzione analitica
(si stimano i parametri mediante un fit con la distr. empirica)
Approccio non-parametrico: si utilizza la distribuzione
empirica ipotizzando che assumerà il medesimo
comportamento in futuro.

Definizione di rendimento
Denotiamo con V(t) il valore al tempo t di un portafoglio.
La Loss Distribution sull’intervallo Δt è definita da
L(t+Δt,t) = V(t)-V(t+Δt)
Il tasso di rendimento sull’intervallo Δt è definito come
I(t+Δt,t) = [V(t+Δt)-V(t)]/V(t)
Il rendimento logaritmico (log-return) sull’intervallo Δt è:
R(t+Δt,t)= ln[V(t+Δt)/V(t)]
Ed è tale che R(t+Δt,t)~ I(t+Δt,t) per piccoli I, e che se t1
<t2
<t3
R(t3
,t1
) = R(t3
,t2
) + R(t2
,t1
)

Definizione matematica di VaR
Data la distribuzione loss L su un determinato orizzonte temporale e un
livello di confidenza α, il VaRα
(L) è il più piccolo numero ℓ tale che la
probabilità di avere una perdita maggiore di ℓ è minore di 1-α

VaR in approccio parametrico semplificato
Singolo strumento finanziario
z
Ipotesi di normalità
Si assume che la distribuzione
delle rendimenti sia una
normale con media 0 e
varianza σ2
.
Pertanto fissato un livello di confidenza α, si determina la
variabile z corrispondente e si calcola il VaR giornaliero come

Portafoglio con più strumenti
(fonte Wikipedia)

Portafoglio con più strumenti
Ipotesi di linearità dei rendimenti
Il rendimento di portafoglio sull’orizzonte Δt è la
somma dei rendimenti dei singoli fattori di rischio
pesati per le singole esposizioni.
La varianza di portafoglio terrà conto delle varianze dei
singoli fattori di rischio e delle correlazioni tra essi.
(fonte Wikipedia)

Effetto della correlazione sul VaR
Applicazione su due strumenti
Per comprendere l’effetto della covarianza sul VaR di
portafoglio, consideriamo il caso di un portafoglio con
due strumenti:
Quando la correlazione vale 1: il VaR di portafoglio eguaglia la somma dei VaR di
singolo strumento.
Quando la correlazione è negativa: allora il VaR di portafoglio risulta minore della
somma dei VaR di singolo strumento, come ci si dovrebbe attendere da un
portafoglio ben diversificato.
(fonte Wikipedia)

Il VaR e il t. di Eulero sulle funzioni omogenee
Il Component VaR
La proprietà di “omogeneità” del VaR è utile per allocare ai
sotto-portafogli una misura di rischio dell’intero portafoglio.
Una funzione definita in Rn
omogenea di grado k si dice omogenea se
Per le funzioni omogenee vale il teorema di Eulero
Il VaR è una funzione omogenea di grado 1, sicché

Sembra semplice, tutto qui?
No.
I portafogli su cui spesso si stima il VaR sono insiemi da
centinaia (o migliaia) di strumenti.
Per essere più corretti, la distribuzione dei rendimenti si costruisce a partire da
fattori di rischio su cui si vanno a “mappare” gli strumenti.
La mappatura degli strumenti sui fattori di rischio e la
valutazione della matrice di covarianza richiede una
selezione “statistica” dei fattori di rischio e manutenzione
“numerica” molto accurata.
Due fattori chiave: potenza di calcolo e affidabilità statistica

Ma la storia non si chiude con il parametric-VaR.
Effetto delle code spesse.
La modellizzazione mediante distribuzione
di Gauss non considera gli eventuali effetti
di code spesse nelle distribuzioni empiriche
producendo una sottostima delle perdite
potenziali.
Approcci alternativi: fit con distribuzioni
alternative (t-Student) o metodi non
parametrici
Il VaR in approccio parametrico semplificato può presentare
insensibilità al fenomeno delle code spesse.

Ma la storia non si chiude con il parametric-VaR.
Effetto delle code spesse. - Esempi di fit alternativi
Distribuzione dei
rendimenti
giornalieri logaritmici
del Dow Jones dal
1950 ad oggi.

VaR in approccio di simulazione storica
Metodi non parametrici
Per calcolare il VaR (o il CVaR), data la distribuzione empirica,
si estrae il percentile desiderato (si ordinano 500 valori
giornalieri di rendimento dal più negativo al più positivo, il 99°
percentile è il 5° valore peggiore.)
Vantaggi
1. non si fanno assunzioni sulla distribuzione
dei rendimenti;
2. la correlazione tra fattori di rischio è
catturata implicitamente, senza necessità di
stimarla
L’approccio in simulazione storica è un approccio non parametrico che si basa
sull’assunzione per cui la distribuzione futura degli investimenti seguirà quella
passata.

Effetti di bump nella distribuzione delle perdite
L’Expected Shortfall
Per costruzione, il VaR indica il valore limite di
perdita oltre il quale si verificherebbe un perdita
superiore con probabilità (1-α), cioè il valore minimo
con cui possono andare male le cose.
Infatti, due distribuzioni con differenti “code”
possono produrre il medesimo valore di VaR.
Quindi sarebbe più importante chiedersi: “se le cose
vanno male, quanto ci aspettiamo di perdere?”
Conditional VaR: valore medio di tutte le perdite
superiori al VaR.
-200M -10M
VaR
VaR
-10M-20M

Ma quindi qual è lo stato dell’arte?
Il VaR (meglio CVaR) rimane la più diffusa e accettata (anche
normativamente) per la misura di rischio mercato.
Approcci migliorativi (simulazione storica e Monte Carlo) hanno aumentato
l’affidabilità della stima in coerenza con i principi di economicità aziendali.
Problemi Aperti
- Sviluppo di modelli matematici avanzati (volatilità
dipendenti dal tempo, distribuzioni di Levy stabili, ecc.)
- Sviluppo di modelli numerici sostenibili

Derivati, Monte Carlo e
sospensioni fluide
Le idee di un botanico, un matematico e due economisti

Le sospensioni fluide e il moto browniano
Le sospensioni fluide sono miscele in
cui una sostanza solida viene
finemente dispersa in una sostanza
liquida (ad es. farina e acqua) in modo
tale che si sedimenti in tempi lunghi.
Le particelle microscopiche (~μm) in
sospensioni fluide sono caratterizzate
da un moto continuo e disordinato
(Robert Brown, botanico, 1827).
Randow walk (fonte Wikipedia)

L’intuizione di Bachelier
La prima trattazione matematica del moto browniano fu ad opera di Einstein
durante l’annus mirabilis (1905).
Tuttavia, nel 1900, il matematico francese Louis Bachelier,
sviluppò un approccio statistico per descrivere
l’andamento dei prezzi dei titoli della Borsa di Parigi (molto
simile alle successive trattazioni matematiche del moto browniano).
Fu il primo ad applicare la teoria della probabilità ai
fenomeni dinamici legati ai mercati finanziari.
Successivamente, con i lavori di Einstein, Langevin, Wiener (e
altri) si aprì la strada allo studio dei processi stocastici.

I processi stocastici
Un processo stocastico è una
famiglia di variabili aleatorie
che dipendono da un
parametro.
La realizzazione di una
variabile aleatoria dipendente
dal tempo può essere
immaginata come un insieme
infinito di traiettorie
descrittive del processo.

Moto Geometrico Browniano
Un caso particolare di PS è il
processo di Wiener o moto
browniano in cui gli incrementi
della variabile sono indipendenti tra
loro e identicamente distribuiti
secondo una normale gaussiana a
media zero e varianza data dagli
step temporali.
Un MB geometrico è un PS in cui il logaritmo
della variabile aleatoria segue un moto
browniano con un termine di deriva.
(fonte Wikipedia)

Intermezzo sui metodi Monte Carlo
I metodi Monte Carlo costituiscono
una classe di metodologie
computazionali che restituiscono
stime numeriche sulla base di un
campionamento casuale.
Le applicazioni dei MCM sono
vastissime e spaziano dalla fisica
all’ingegneria meccanica e
aeronautica, finanza, etc. (fonte Wikipedia)

Un esempio classico di MCM
La stima del “pi greco”
Cerchio di raggio r = 1 iscritto in un quadrato di
lato L = 2.; Area cerchio AC = π; Area quadrato AQ
= 4; Rapporto AC/AQ = π/4
Generiamo casualmente tante coppie
ordinate (x,y) e contiamo quelle per
cui x2
+y2
≤ 1 (rossi).
La stima di π sarà data da
π = 4*(num. punti rossi)/totale punti

Un esempio classico di MCM
La stima del “pi greco” | Codice Python
import numpy as np
npoint = 100000
x = np.random.rand(1,npoint)[0]
y = np.random.rand(1,npoint)[0]
r = (x**2+y**2)**0.5
quadrante = sum(r <= 1.0)
pigreco = 4*quadrante/float(npoint)
errperc = abs(round(100*(np.pi-pigreco)/np.pi,2))

Ora, diamo uno sguardo ai “derivati”
I derivati (derivatives) sono strumenti
finanziari il cui prezzo dipende dal valore
di un altro strumento finanziario, detto
sottostante (underlying).
Tipologie: forward, future (fwd non scambiabili OTC) e opzioni.

Opzioni
Le opzioni sono contratti in cui una delle
parti può (ma non ha l’obbligo) di
esercitare l’opzione di acquisto o vendita
di sottostanti nei confronti dell’altro
contraente a prefissate condizioni.

Esempio: Call Europea
Alice compra, oggi, da Bob un’opzione call europea che le consente di
acquistare tra 6 mesi (da Bob), 100 azioni Google ad un prezzo prefissato
di 780 USD (strike). Supponiamo che oggi il prezzo di GOOG sia 774.
Alice scommette che il
prezzo aumeterà
Bob scommette che il
prezzo diminuirà
(fonteWikipedia)

Cosa può accadere
Il prezzo delle azioni Google sale.
Il prezzo di Google arriva a 800
USD e supera lo strike di 780
USD.
Alice esercita l’opzione.
Bob è obbligato a vendere le
azioni a 780 USD.
Alice compra le azioni a 780 USD
e le rivende subito a 800,
ricavando 20 dollari per azione.
Payoff = max(S-K, 0)
Profit = Payoff - Premium

Cosa può accadere
Il prezzo delle azioni Google scende.
Il prezzo di Google arriva a 760
USD ed è sotto lo strike di 780
USD.
Alice non esercita l’opzione e
perde l’importo del premio.
Bob incassa il premio e il contratto
scade.
(Bob è stato fortunato, essere short su una
call può dare risultati disastrosi. Perché?)
Payoff = min(K-S, 0)
Profit = Payoff - Premium

Un problema fondamentale: il pricing
Come si prezza qualcosa che dipende da qualcos’altro?
Come determinare in maniera “fair” il
prezzo di uno strumento il cui valore
dipende da quello di una variabile
aleatoria (come il prezzo di un’azione)?

Proviamo con il metodo Monte Carlo
Un approccio semplificato
1. Simuliamo i “possibili” cammini dell’azione
in un determinato periodo di tempo (abbiamo
bisogno di un’ipotesi economica);
2. Valutiamo a scadenza T tutti i possibili
payoff dell’opzione: E[max(ST
-K,0)]
3. Scontiamo a valore attuale il valore di
aspettazione di tutti i payoff:
e-rT
E[max(ST
-K,0)]

Le possibili traiettorie del prezzo di un’azione
Simulazione di un moto Browniano Geometrico
10 cammini casuali 100 cammini casuali 1000 cammini casuali

Moto Geometrico Browniano
Simulazione pricing call europea - Codice Python
from scipy.stats import norm
import numpy as np
from random import random
import pandas as pd
S0 = 42; mu = 0.0; r = 0.1; sigma = 0.2; K = 40; T = 1; nstep = 250; dt = 1.0/nstep; nsimulation = 100
MC = pd.DataFrame({})
for i in range(nsimulation):
St = [S0]
for j in range(nstep):
print "Simulazion No.: "+str(i)+"t "+"Step: "+str(j)
G = np.exp((mu-0.5*sigma**2)*dt+sigma*np.sqrt(dt)*norm.ppf(random()))
St.append(St[-1]*G)
MC.loc[:, 'SIM'+str(i)] = St
fin = np.array(pd.DataFrame(MC, index = [nstep]))[0]-K
payoff = np.maximum(list(fin), [0.0]*nsimulation)
price = np.exp(-r*T)*np.mean(payoff)
print price

Soluzione di Black-Scholes-Merton
Una forma analitica chiusa
L’evoluzione del prezzo del sottostante è
un processo stocastico markoviano
descritto da un moto browniano
geometrico. B-S proposero una forma
analitica chiusa per la determinazione
del prezzo delle opzioni.

Soluzione di Black-Scholes-Merton
Una forma analitica chiusa
Ipotesi fondamentali
1. Il mercato è efficiente (liquido, senza attriti, no asimmetrie informative)
2. Andamento prezzi del sottostante segue un MBG
3. Tasso di interesse risk-free e volatilità sono costanti
4. Mercato arbitrage-free (non si può guadagnare quantità arbitrarie di danaro
senza rischi)
5. Gli scambi si svolgono continuamente nel tempo (Δt~0).

Esiste quindi il Sacro Graal degli investimenti?
No.
1994 Black, Scholes e altri tra i più famosi economisti del
mondo fondano un hedge fund (la Long Term Capital
Management) che ebbe (per breve periodo) una fortuna
immensa (40% rendimenti)
1997 Black e Scholes vincono il premio Nobel per
l’Economia

Esiste quindi il Sacro Graal degli investimenti?
No.
1994 Black, Scholes e altri tra i più famosi economisti del
mondo fondano un hedge fund (la Long Term Capital
Management) che ebbe (per breve periodo) una fortuna
immensa (40% rendimenti)
1997 Black e Scholes vincono il premio Nobel per
l’Economia
1998 LTCM fallisce

4 affermazioni per
riassumere questo talk

1. I percorsi epistemologici che fanno intersecare discipline
apparentemente lontane, sono innumerevoli e per questo
straordinari.

2. La modellizzazione matematica è un tassello fondamentale
della gestione dei rischi bancari. Ma c’è ancora tanta strada.

3. Il risk management nelle banche è un sistema complesso e
dinamico governato da fenomeni collettivi di origine sociale

4. “Ehi, regola numero uno a Wall Street: nessuno, ok se sei
Warren Buffett forse sì, nessuno sa se la borsa va sù o giù, o di
lato o in circolo, meno che mai i broker”.

Riferimenti e suggerimenti
bibliografici
“Non c'è libro tanto cattivo che in qualche sua parte non
possa giovare”. -Plinio il Vecchio
Nullum esse librum tam malum, ut non aliqua parte prodesset.

Suggerimenti e riferimenti bibliografici

Acknowledgements
Alumni Mathematica e la Scuola Open Source per l’ospitalità
e la piacevole occasione di confronto.
A. Zullo per le utili discussioni e gli ottimi suggerimenti che
hanno contribuito alla costruzione di questo percorso.

APPENDICE

Come scegliere una buona misura di rischio?
Una definizione di misura “coerente”
In un famoso paper Artzener et al. (1998) proposero un sistema di proprietà per
definire “coerente” una misura di rischio.
1. Monotonicità. Se in ogni stato di natura i rendimenti di un portafoglio A sono minori di quelli di un
portafoglio B allora il rischio di A deve essere maggiore di quello di B
2. Invarianza per traslazione. Aggiungendo capitale K al portafoglio, il rischio deve ridursi di un
importo K.
3. Omogeneità. Aumentando il portafoglio di un multiplo M, con la stessa composizione, la misura di
rischio si deve moltiplicare per M.
4. Subadditività. L’aggiunta di un portafoglio B ad un portafoglio A non può aumentare il rischio in
misura maggiore della somma dei rischi dei singoli ptf.
Il VaR non è coerente (non è sempre subadditivo).
Il CVaR invece sì.

Intermezzo: Lo sapevate che...
Girolamo Cardano (1501-1567) è
stato il primo scienziato ad essersi
occupato di fenomeni casuali in
maniera più sistematica,
concentrandosi proprio sui dadi di
cui si dice sia stato un forte
giocatore. Fu egli l'autore della prima
opera sul tema, intitolata Liber de
Ludo Aleae scritta nel 1560 e
pubblicata postuma in Italia nel 1663.

Ingredienti di una teoria elementare delle P.
Spazio Ω degli eventi
elementari ωi
Funzione di probabilità
Algebra degli eventi
(non elementari) A
Insieme di tutti i possibili eventi
ricostruibili da Ω (ad es. evento somma
dei dadi = multiplo di 3)
Modello finito di
probabilità
ovvero pari al rapporto tra il
numero di eventi elementi
favorevoli (contenuti in A) e il
numero di quelli possibili N

Penny: Yeah, you guys never use that space up there. Why not get a table?
Sheldon: Do you want the long answer or the short answer?
Howard: Hey, how come we never get that option?
Sheldon: Chaos theory suggests that even in a deterministic system, if the
equations describing its behaviour are non-linear, a tiny change in the initial
conditions can lead to a cataclysmic and unpredictable result.
Penny: Translation?
Leonard: Waah. I don’t want a table. Big Bang Theory 7-16

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