3. Una ecuación cuadrática esta formada por un
trinomio, existiendo tres formas de su solución:
Factorización
Método de trinomio Cuadrado perfecto
Ecuación de Solución General de la cuadrática
Nota Importante: Una ecuación cuadrática no se puede despejar,
solamente que sea un binomio (termino de segundo grado y termino
independiente)
4. Método por factorización
X² + 5X + 6 = 0
Recordar que el coeficiente del término de
primer grado (5X) es la suma de los valores
numéricos de los binomios y el término
independiente (6) es el producto de los dos
valores numéricos.
6. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 5X + 6 = 0
Dos números multiplicados
debe resultar 6
( 2 )( 3 ) = 6
( 3 )( 2 ) = 6
Dos números sumados
debe resultar 5
( 2 )+( 3 ) = 5
( 3 )+( 2 ) = 5
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X+2)(X+3) =0
X₁ = -2 ; X₂ = -3
7. Método por factorización
X² + 2X - 8 = 0
El signo es menos,
indica que los valores
numéricos tienen
signos diferentes, uno
positivo y el otro
negativo
El signo es más,
indica que el
número mayor es
positivo
8. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 2X - 8 = 0
Dos números multiplicados
debe resultar 8
( 1 )( 8 ) = 8
( 2 )( 4 ) = 8
( 3 )( NE ) = 8
( 4 )( 2 ) = 8
( 5 )( NE ) = 8
( 6 )( NE ) = 8
Dos números sumados
debe resultar 8, el valor
mayor es positivo
( -1 )+( 8 ) = 7
( -2 )+( 4 ) = 2
( -3 )+( NE ) = ?
( 4 )+( -2 ) = 2
( 5 )+( NE ) = ?
( 6 )+( NE ) = 7
9. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 2X - 8 = 0
Dos números multiplicados
debe resultar 6
( -2 )( 4 ) = -8
( 4 )( -2 ) = -8
Dos números sumados
debe resultar 5
( -2 ) + ( 4 ) = 2
( 4 ) + ( -2 ) = 2
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X-2)(X+4) =0
X₁ = 2 ; X₂ = -4
10. Método por factorización
X² - 3X - 4 = 0
El signo es menos,
indica que los valores
numéricos tienen
signos diferentes, uno
positivo y el otro
negativo
El signo es menos,
indica que el
número mayor es
negativo
11. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 3X - 4 = 0
Dos números multiplicados
debe resultar 8
( 1 )( 4 ) = 8
( 2 )( NE ) = 8
( 3 )( NE ) = 8
( 4 )( NE ) = 8
( 5 )( NE ) = 8
( 6 )( NE ) = 8
Dos números sumados debe
resultar 8, el valor mayor es
negativo
( 1 ) + ( -8 ) = -
8
( -2 ) + ( NE ) = ?
( -3 ) + ( NE ) = ?
( 4 ) + ( NE ) = ?
( 5 ) + ( NE ) = ?
( 6 ) +( NE ) = ?
12. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 3X - 4 = 0
Dos números multiplicados
debe resultar 6
( 1 )( -4 ) = -4
Dos números sumados
debe resultar 5
( 1 ) + ( -4 ) = -4
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X + 1)(X - 4) =0
X₁ = 1 ; X₂ = 4
13. Método por factorización
X² - 7X + 12 = 0
El signo es más,
indica que los
valores numéricos
tienen signos
iguales.
El signo es mas,
indica que ambos
valores son
negativo
15. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 7X +12 = 0
Dos números multiplicados
debe resultar 6
( -3 )( -4 ) = -12
Dos números sumados
debe resultar -7
( -3 ) + ( -4 ) = -7
Por lo tanto los binomios son:
(X - 3)(X - 4) =0
X₁ = +3; X₂ = + 4
16.
17. X² - 8X + 16 = 0
Recordemos acerca de los trinomio cuadrado
perfecto, la mitad del término de primer grado
(-8) elevado al cuadrado nos da el término
independiente.
8
2
= 4,
8
2
2
= 4 por lo tanto la ecuación:
(𝑋 + 4)2
= 0
18. Para resolver una ecuación cuadrática que no es un binomio
cuadrado perfecto, vamos a convertirlo parcialmente para
poder resolver la ecuación:
Ejemplo:
X² + 8X +12 = 0
No es trinomio cuadrado perfecto:
La mitad del término de primer grado, la mitad del coeficiente
al cuadrado no es igual al termino independiente:
8
2
2
≠ 12
19. X² +8X +12 = 0
Se separa el termino al cuadrado y el término
de primer grado del término independiente:
X² +8X = -12
Para poder tener un binomio cuadrado
perfecto el término es el cuadrado del
coeficiente del termino de primer grado:
8
2
2
= 16
20. Se agrega el 16, pero no de romperse la igualdad
se tiene que agregar en ambos lados:
X² +8X = -12
X² +8X +16 = -12 +16
Ahora el lado izquierdo es un binomio cuadrado
perfecto, por lo tanto se puede factorizar:
𝑋 + 4 2
= −12 + 16
+16 +16
21. 𝑋 + 4 2
= 4
Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la
ecuación:
𝑥 + 4 2 = ± 4
Se elimina el cuadrado del lado izquierdo por
ser operaciones inversas:
𝑋 + 4 = ±2
Despejando X:
𝑋 = −4 ± 2
22. 𝑋 = −4 ± 2
Se obtienen las dos soluciones:
𝑋₁ = −4 + 2 = −2
𝑋2
= −4 − 2 = −4
Para comprobar, usemos el metodo
factorización:
23. En el siguiente se hará directo, si
tienes dudas vuelve a revisar el
primer ejemplo que esta paso a
paso.
24. X² -4X - 12 = 0
2
2
= 2 = 4
+ 12- 12
-4
-2
No son
iguales
No es trinomio cuadrado perfecto
X² -4X = 0
X² -4X = + 12
25. X² -4X = +12
Completar el trinomio cuadrado perfecto.
X² -4X = +12
−4
2
2
= −2 2
= 4
Se agrega 4 en ambos lados para no afectar la
igualdad
X² -4X +4 = +12+4
Factorizando el binomio cuadrado perfecto:
𝑋 − 2 2
= +16
26. 𝑋 − 2 2
= 16
Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la
ecuación:
𝑥 − 2 2 = ± 16
Se elimina el cuadrado del lado izquierdo por
ser operaciones inversas:
𝑋 − 2 = ±4
Despejando X:
𝑋 = −2 ± 4
27. 𝑋 = −2 ± 4
Se obtienen las dos soluciones:
𝑋₁ = −2 + 4 = +2
𝑋2
= −2 − 4 = −6
28. Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-14X+45 = 0
Coeficiente de Primer grado
X²-14X = -45
Se obtiene la mitad del coeficiente
-14 = -14/2
Se obtiene el cuadrado del coeficiente -7
(-7)² = 49
Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 49
Se agregan a ambos lados para no alterar la
igualdad
X²-14X+49 = -45+49
29. Se simplifica términos
-45+49 = 4
X²-14X+49 = 4
Factorizar
(X-7)² = +4
Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 7)² = +4
31. Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-12X+27 = 0
Coeficiente de Primer grado
X²-12X = -27
Se obtiene la mitad del coeficiente:
-12 = -12/2=-6
Se obtiene el cuadrado del coeficiente
(-6)² = 36
Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 36
Se agregan a ambos lados para no alterar la
igualdad:
X²-12X+36 = -27+36
32. Se simplifica términos
-27+36 = 9 X²-12X+36 = 9
Factorizar
(X-6)² = +9
Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 6)² = +9
34. Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-10X+9 = 0
Coeficiente de Primer grado
X²-10X = -9
Se obtiene la mitad del coeficiente
-10 = -10/2 = -5
Se obtiene el cuadrado del coeficiente
-5 (-5)² = 25
Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 25
Se agregan a ambos lados para no alterar la igualdad
X²-10X+25 = -9+25
35. Se simplifica términos
-9+25 = 16 X²-10X+25 = 16
Factorizar
(X-5)² = +16
Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 5)² = +16