STATISTIKA MODAL

Modul Teori dan Latihan Statistika

2. Ukuran – Ukuran Dalam Statistika

2.1 Ukuran Pemusatan
I. Data adalah sesuatu yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan.
Berdasarkan pengumpulannya, ada dua cara yaitu cara sensus (data populasi, dikenal juga sebagai
parameter), dan cara sampling, (data sampel dari suatu populasi dikenal juga sebagai statistik).

II. Rata-rata adalah nilai yang mewakili suatu himpunan atau sekelompok data. Nilai rata – rata pada
umumnya mempunyai kecenderungan terletak ditengah-tengah dalam suatu kelompok data, yang
disusun berdasarkan besar kecilnya nilai. Sehingga sering juga disebut ukuran kecenderungan
memusat.

III. Jenis rata-rata yang sering dipergunakan adalah rata–rata hitung (arithmetic mean atau mean),
median, modus, rata–rata ukur (geometric mean), dan rata–rata harmonis (harmonic mean).

IV. Dalam penggunaan yang dimaksud dengan rata–rata adalah rata-rata hitung (kecuali adalah
penjelasan lain). Jika kita mempunyai nilai variabel X, sebagai hasil pengamatan atau observasi
sebanyak N kali yaitu X1, X2, …, Xi, …, XN, maka
– Rata-rata sebenarnya berdasarkan populasi data adalah :
N
1 1
μ= ∑X i = ( X 1 + X 2 + ... + X i + ... + X N ) , (2. 1)
N i =1 N
– Rata-rata perkiraan berdasarkan sampel data adalah :
1 n 1
X = ∑ X i = ( X 1 + X 2 + ... + X i + ... + X n ) . (2. 2)
n i=1 n
Contoh 1:
1. Hitunglah rata – rata data, 2, 3, 4, 6, 10, 7
Penyelesaian :
1 6 1
X = ∑ X i = 6 (2 + 3 + 4 + 6 + 10 + 7) = 5, 33
6 i =1
2. Diketahui Data, [1] berikut ini :
Tabel 1. 1. Harga Eceran Bahan Pokok di Jakarta (dalam Rp/satuan, 1984)
Nama
Satuan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agust. Sept Okt Nop Des
Barang
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)
Beras Kg 264 298 295 276 284 285 285 285 285 282 280 286
Ikan Asin No.2 Kg 1.715 1.742 1.742 1.742 1.74 1.74 1.74 1.742 1.74 1.74 1.74 1.74
Minyak Goreng Botol 853 850 796 792 2 2 2 800 2 2 2 2
Gula Pasir Kg 573 577 577 575 800 800 800 646 800 778 769 769
Garam Bataan Bata 44 44 44 44 598 600 615 44 646 646 646 646
Minyak Tanah Liter 118 134 132 132 44 44 44 188 44 44 44 44
Sabun Cuci B29 Batang 192 200 200 200 132 132 188 200 188 188 188 188
Tetoron Polos Meter 619 619 619 619 200 200 200 619 200 200 200 200
Batik Kasar Lemba 1.427 1.427 1.427 1.427 619 619 619 1.427 619 619 619 619
r 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42
7 7 7 7 7 7 7
Berdasarkan tabel tersebut di atas, hitunglah rata-rata harga perbulan untuk Beras, Minyak goreng,
Gula pasir, dan batik kasar ?
Penyelesaian :
(1). Rata – rata harga Beras per kg per bulan :

1 12 1 1
X = ∑ X i = 12 ( 264 + 298 + ... + 286 ) = 12 ( 3.405 ) = 283, 75 (Rupiah)
12 i =1
(2). Rata – rata harga Minyak Goreng per botol per bulan :
1 12 1 1
X = ∑ X i = 12 ( 853 + 850 + ... + 769 ) = 12 ( 9.607 ) = 800,58 (Rupiah)
12 i =1
(3). Rata – rata harga Gula pasir per kg per bulan :
1 12 1 1
X = ∑ X i = 12 ( 573 + 577 + ... + 646 ) = 12 (7.345 ) = 612,82 (Rupiah)
12 i =1
(4). Rata – rata harga Batik per meter per bulan :
1 12 1 1
X = ∑ X i = 12 ( 1.427 + 1.427 + ... + 1.427 ) = 12 (17.124 ) = 1.427 (Rupiah)
12 i =1
V. Median adalah nilai tengah dari suatu data yang diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar.
– Untuk data n ganjil maka berlaku :
n −1
Median = Xk+1, dengan k = , n = banyaknya data. (2. 3)
2
Contoh 2:
Carilah median dari data, 90, 70, 60, 75, 65, 80, 40, 45, 50.
Penyelesain :
Data disusun dari yang terkecil ke besar menjadi :
X1= 40, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 65, X6 = 70, X7 = 75, X8 = 80, X9 = 90.
n − 1 9 −1
k= = = 4, ∴Median = X4+1 = X5 = 65
2 2
– Untuk data n genap maka berlaku :
1 n
Median = ( X k + X k +1 ) , dengan k = (2. 4)
2 2
Contoh 3:
Carilah median dari data, 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90.
Penyelesain :
Data disusun dari yang terkecil ke besar menjadi :
X1= 20, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 75, X6 = 80, X7 = 85, X8 = 90.
8 1 1
k = = 4, ∴Median = ( X 4 + X 5 ) , = ( 60 + 75 ) = 67,5.
2 2 2
VI. Modus adalah nilai dari suatu kelompok data yang mempunyai frekuensi tertinggi atau data yang
paling sering muncul.
Contoh 4:
Carilah modus dari data berikut :
a. 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18
b. 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16
c. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 9, 9.
Penyelesain :
a.
2 5 9 10 11 12 18
f 2 1 3 2 1 1 1

∴Modusnya adalah 9

b.
3 5 8 10 12 15 16
f 1 1 1 1 1 1 1
2

∴Tidak memiliki modus.

3

c.
2 3 4 5 6 7 9
f 1 1 2 2 3 2 3

∴Modusnya adalah 6 dan 9.

VII. Pada Contoh 4, jika ingin dihitung rata – ratanya dapat juga digunakan cara berikut : (cara ini
dikenal dengan sistem pengelompokan data).

a. X =
∑f X i i
(2. 5)
∑f i

2( 2 ) + 1( 5 ) + 3( 9 ) + 2( 10 ) + 1( 11) + 1( 12 ) + 1( 18 ) 97
= = = 8 ,81
2 +1+ 3 + 2 +1+1+1 11

b. X =
∑f X i i

∑f i

1( 3) + 1( 5 ) + 1( 8 ) + 1( 10 ) + 1( 12 ) + 1( 15 ) + 1( 16 ) 69
= = = 9 ,86
1+1+1+1+1+1+1 7

c. X =
∑f X i i

∑f i

1( 2 ) + 1( 2 ) + 2( 4 ) + 2( 5 ) + 3( 6 ) + 2(7 ) + 3( 9 ) 82
= = = 5.8 6
1+ 1+ 2 + 2 + 3 + 2 + 3 14

VIII. Contoh berikut menunjukkan bahwa pengelompokkan data sangat bermanfaat untuk menghitung
rata – rata, median maupun modus dari kumpulan data.
Contoh 5:
Sebuah perusahaan pengepakan barang, mempunyai karyawan 40 orang. Setiap karyawan
mempunyai target harian dengan kemampuan mengepak barang sebanyak (dalam dos) sebagai
berikut :
146 147 147 148 149 150 150 152 152 154
156 157 158 161 163 164 165 168 173 176
119 125 126 128 132 135 135 135 136 138
138 140 140 142 142 144 144 145 145 146
Hitunglah :
a. Rata-rata kemampuan karyawan mengepak barang dalam sehari ?
b. Median dan Modusnya ?
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan masalah ini data harus dikelompokan sehingga lebih mempermudah
dalam penyelesaiannya.
Titik Tengah
Upah Sistem Tally Frekuensi
(Xmi)
118 – 126 III 3 122
127 – 135 IIII 5 131
136 – 144 IIII IIII 9 140
145 – 153 IIII IIII II 12 149
154 – 162 IIII 5 158
163 – 171 IIII 4 167
172 - 180 II 2 176
Jumlah Σ fi = 40 Σ fiXmi = 5.
879

4

a. Rata – rata (Mean) = X =
∑f X i mi
=
5.879
= 146, 775
∑f i 40

 −(∑fi )0
n 

2
b. Median = L0 + c   (2. 6)
 fm 
 
 
Diketahui bahwa :
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median.
c = besarnya kelas interval (selang interval).
n = banyaknya data
(Σ fi)0= jumlah freukensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung median.
fm = Freukensi dari kelas yang mengandung median
sehingga,
L0 = 144,5 (nilai batas bawah).
c = (153, 5 – 144,5) = 9.
n = 40
(Σ fi)0= f1 + f2 + f3 = 17
fm = 12
 40 
 − (17 ) 
Median = 144, 5 + 9  2  = 147, 01
 12 
 
 
 ( f1 ) 0 
c. Modus = L0 + c 
( f ) +( f )

 (2. 7)
 1 0 2 0 
Diketahui bahwa :
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung Modus.
n = banyaknya data
(f1)0 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.
(f2)0 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.
sehingga,
L0 = 144,5 (nilai batas bawah).
c = (153, 5 – 144,5) = 9.
n = 40
(f1)0 = 12 – 9 = 3
(f2)0 = 12 – 5 = 7
 3 
Median = 144, 5 + 9   = 147, 2
 3 +7 
IX. Untuk menghitung rata – rata ukur maka digunakan rumus berikut ini :

d. X g = n X 1 . X 2 ...X n (2. 8)

Contoh 6:
Carilah rata – rata ukur dari data berikut :
(a). X1= 2, X2 = 4, X3 = 8
(b). X1= 10, X2 = 12, X3 = 16
(c). X1= 10, X2 = 8, X3 = 12, X4 = 15

Penyelesaian :

5

(a). X g = n X 1 . X 2 ...X n = 3 ( 2 ) .( 4 )( 8 ) = 3
64 atau
1 1
log X g = (log 2 + log 4 + log 8) = (0, 3010 + 0, 6021 + 0, 9031) = 0, 6021
3 3
X g = antilog 0, 6021 = 4

(b). X g = n X 1 . X 2 ...X n = 3 (10 ) .(12 )(16 ) = 3
1920 atau
1 1
log X g = (log 10 + log 12 + log 16) = (1, 000 + 1, 0792 + 1, 2041) = 1, 0944
3 3
X g = antilog 1, 0944 = 12, 4

(c). X g = n X 1 . X 2 ...X n = 4 (10 ) .( 8 )(12 )(15 ) = 4
14.400 atau

1 1
log X g = (log 10 + log 8 + log 12 + log 15) = (1, 000 + 0, 9031 + 1, 0792 + 1, 1761)
4 4
= 1, 0396
X g = antilog 1, 0396 = 14, 5

X. Untuk rata – rata harmonik digunakan rumus berikut ini
n
n
Xh = 1 (2. 9)
∑X
i =1 i
Contoh 7:

Seorang pedagang batik memperoleh hasil penjualan sebesar Rp. 1.000. 000 per minggu,
Minggu pertama : dapat menjual 10 helai seharga Rp. 100. 000/helai
Minggu kedua : dapat menjual 25 helai seharga Rp. 40. 000/helai
Minggu ketiga : dapat menjual 20 helai seharga Rp. 50. 000/helai
Minggu keempat : dapat menjual 40 helai seharga Rp. 25. 000/helai
Berapa harga rata – rata kain tersebut perhelai ?

Penyelesaian :

Untuk menghitung rata – rata harga batik per helai dapat digunakan rumus rata – rata harmonik
sebagai berikut :
n
n
Xh = 1
∑X
i =1 i
4
4
= 1
∑X
i =1 i
4
= 1 1 1 1
+ + +
100.000 40.000 50.000 25.000

= 42. 125, 00

6

2. 2 Ukuran Letak
XI. Kuartil
Kuartil adalah suatu cara membagi kelompok data menjadi 4 bagian yang sama.

Q2 = Median
Q1 Q2 Q3
Dapat dirumuskan sebagai berikut :
i(n + 1)
Qi = nilai yang ke , i = 1, 2, 3 (2. 10)
4
Contoh 8:
Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,
65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari Q1, Q2, Q3.

Penyelesaian
Data tersebut di atas di urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi
X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80,
X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.
1(13 + 1) 14
= 4 = 32
1
 Q1 = nilai yang ke 4
= nilai ke 3 2 , berarti rata – rata dari X3 dan X4.
1

1
Jadi Q1 = ( X 3 + X 4 ) = 1 ( 40 + 45 ) = 42, 5
2 2
2(13 + 1) 28
 Q2 = nilai yang ke 4 = 4 =7
Jadi Q2 = X7 = 60
3(13 + 1) 42
= 4 = 10
1
 Q3 = nilai yang ke 4 2

= nilai ke 10 2 , berarti rata – rata dari X10 dan X11.
1

1
Jadi Q3 = ( X 10 + X 11 ) = 1 ( 80 + 85 ) = 82, 5
2 2
(Catatan : Nilai kuartil ini tidak perlu sama dengan nilai aslinya)

XII. Desil
Desil adalah suatu cara, membagi kelompok data menjadi 10 bagian yang sama.
Sehingga, yang terjadi adalah urutan data, D1, D2, …, D9.
Dengan perumusan sebagai berikut :
i(n + 1)
Di = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 9 (2. 11)
10
Contoh 9:
65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari D1, D2,dan D9.
Data terurut :
X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80,
X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.
Penyelesaian
1(13 + 1) 14
= 10 = 1 10
4
 D1 = nilai yang ke 10
4
= nilai yang ke 1 10 , berarti X1 +
4
(X2 – X1).
10
7

4
= 30 + (35 – 30) = 31.
10
2(13 + 1) 28
= 10 = 2 10
8
8
8
(X3 – X2).
10
8
= 35 + (40 – 35) = 39.
10
9(13 + 1) 126
= 10 = 12 10
6
6
6
(X13 – X12).
10
8
= 95 + (100 – 95) = 98.
10
XIII. Persentil

Persentil adalah suatu cara membagi kelompok data menjadi 100 bagian yang sama. Sehingga,
urutan data, menjadi P1, P2, …, P99.
Dengan perumusan sebagai berikut :
i(n + 1)
Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99 (2. 12)
100
Contoh 10:
65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari P1, P10,dan P99.
X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80,
X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.
Penyelesaian
1(13 + 1) 14
 P1 = nilai yang ke 100 = 100
14 14
= nilai yang ke , berarti X1 + (X2 – X1).
100 100
14
= 30 + (35 – 30) = 30, 7.
100
10(13 + 1) 14 4
 P10 = nilai yang ke 100 = 10 = 1 10
4 4
= nilai yang ke 1 , berarti X1 + (X2 – X1).
10 10
4
= 35 + (40 – 35) = 37.
10
99(13) 1286 87
 P99 = nilai yang ke 100 = 100 = 12 100
87 87
= nilai yang ke 12 , berarti X12 + (X13 – X12).
100 100
87
= 95 + (100 – 95) = 99, 35.
100

Untuk membandingkan rumus ini dengan rumus metode pengelompokan maka,
digunakan rumus data berkelompok sebagai berikut :

8

No. Nilai f
Urut Kela
s
1 30 1
2 35 1 Diketahui,
3 40 1 L0 = Batas bawah terkecil dari kelas yang
4 45 1 mengandung persentil = 99, 5
5 50 1
6 55 1 i = 99
7 60 1 n = 13
8 65 1 c=1
9 70 1 (∑ fi)0 = 12
10 80 1
11 85 1 fp = 13
12 95 1
13 100 1
Jumlah ∑ fi = 13
 ( 99 )(13 ) 
−(∑fi )0
 in 
   −12 
 100 100
P99 = L0 + c = 99,5 + 1   = 99, 56.
 fp   13 
   
   
XIV. Kuartil, Desil dan Persentil untuk Data Berkelompok

a. Kuartil
−(∑fi )0
 in 
 
Qi = L0 + c 4  (2. 13)
 fq 
 
 
Diketahui :
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat kuartil ke - i.
n = banyaknya data
(Σ fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung kuartil ke - i.
fq = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke - i.
i = 1, 2, dan 3.
i n = i dikali n .

b. Desil
−(∑fi )0
 in 
 
Di = L0 + c  10 
 fd 
 
 
(2. 14)
Diketahui :
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat Desil ke - i.
n = banyaknya data
(Σ fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung Desil ke - i.
fd = frekuensi dari kelas yang mengandung Desil ke - i.
i = 1, 2, …, 9.
i n = i dikali n .

c. Persentil

9

−(∑fi )0
 in 
 
Pi = L0 + c  100  (2. 15)
 fp 
 
 
Diketahui :
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat Persentil ke - i.
n = banyaknya data
(Σ fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung Persentil ke - i.
fp = frekuensi dari kelas yang mengandung Persentil ke - i.
i = 1, 2, …, 99.
i n = i dikali n .

Contoh 11:

Berdasarkan data berikut hitunglah, Q1, Q3, D6 dan P50.

Nilai Kelas f
(1) (2)
72, 2 – 72, 4 2
72, 5 – 72, 7 5
72, 8 – 73, 0 10
73, 1 – 73, 3 13
73, 4 – 73, 6 27
73, 7 – 73, 9 23
74, 0 – 74, 2 16
74, 3 – 74, 5 4
Jumlah Σ fi = n = 100

Penyelesaian :

−(∑fi )0
 in 
 
 Q1 = L 0 + c 4 
 fq 
 
 

Diketahui Q1 berada pada jumlah 25% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 25. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 = 17, jadi berada pada
kelas ke – 4, memuat Q1.
(∑ f1)0 = 17, n = 100, fq = 13
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat Q1 adalah L0 = 73, 05
c = (nilai batas atas kelas ke – i) – (nilai batas bawah kelas ke i) = 73, 35 – 73, 05 = 0, 3
 (1)(100 ) 
−(∑fi )0
 in 
   −17 
4 4
Q1 = L0 + c = 73, 05 + 0, 3   = 73, 05 + 0, 18 = 73, 2.
 fq   13 
   
   
 Diketahui Q3 berada pada jumlah 75% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 75. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57, jadi berada
pada kelas ke – 6, memuat Q3.
(∑ f1)0 = 57, n = 100, fq = 23

10

Nilai batas bawah dari kelas yang memuat Q3 adalah L0 = 73, 65
c = (nilai batas atas kelas ke - i) – (nilai batas bawah kelas ke - i) = 73, 95 – 73, 65 = 0, 3
−(∑fi )0 
 in 

4
Q3 = L0 + c  
fq 
 
 
 ( 3 )(100 ) 
 − 57 
 4 =
= 73, 65 + 0, 3 73, 65 + 0, 23 = 73, 88.
 23 
 
 
 Diketahui D6 berada pada jumlah 60% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 60. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57, jadi berada
pada kelas ke – 6, memuat Q3.
(∑ f1)0 = 57, n = 100, fq = 23
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat D6 adalah L0 = 73, 65
−(∑fi )0 
6n 

D6  10
= L0 + c  
fd 
 
 
 (6 )(100 ) 
 − 57 
= 73, 65 + 0,3  10  = 73, 65 + 0, 23 = 73, 69.
 23 
 
 
 Diketahui P50 berada pada jumlah 50% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi
yang ke – 50. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 = 30, jadi berada pada
kelas ke – 5, memuat Q3.
(∑ f1)0 = 30, n = 100, fq = 27
Nilai batas bawah dari kelas yang memuat P50 adalah L0 = 73, 35
−(∑fi )0 
 50 n 

 100
P50 = L0+c  
fp 
 
 
 ( 50 )(100 ) 
 − 57 
100
= 73, 35+ 0,3  = 73, 35 + 0, 22 = 73, 57.
 27 
 
 

11

2. 3 Ukuran Variasi Atau Dispersi

Berikut contoh yang mengambarkan 3 kelompok data dengan variasi cukup
beraneka ragam (lihat hal.120.[1]):
(1) 50 50 50 50 50 ⇒ Rata – rata hitung = 50
(2) 50 40 30 60 70 ⇒ Rata – rata hitung = 50
(3) 100 40 80 20 10 ⇒ Rata – rata hitung = 50
X1
100 100 100

90 90 90
X3
80 80 80
X5
70 70 70

60 60 X4 60
X1 X2 X3 X4 X5 X1
50 50 50

40 40 40
X2 X2
30 30 30
X3
20 20 20
X4
10 10 10
X5

XV. Nilai Jarak (rentang), Rata – Rata Simpangan,
Simpangan Baku dan Koefisisen Variasi

a. Nilai Jarak (Rentang)
Nilai Jarak adalah nilai data kelompok setelah disusun menurut ukuran terkecil sampai terbesar
(data maksimum dikurangi nilai data minimum).

Nilai Jarak = Nilai Maksimum – Nilai Minimum (2. 16)

Contoh 12 :
Carilah jarak dari data berikut : (a). 50 60 30 40 70
(b). 100 40 80 20 10
Penyelesaian :
(a). Disusun terurut dari yang terkecil ke yang terbesar,
X1= 30, X2 = 40, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 70
Nilai Jarak = 70 – 30 = 40

(b). X1= 10, X2 = 20, X3 = 40, X4 = 80, X5 = 100
Nilai Jarak = 100 – 10 = 90

Untuk data berkelompok dapat dihitung dengan 2 cara :

⇒ NJ = Nilai Tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama

12

⇒ NJ = Batas atas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama

Contoh 13:
Hitunglah nilai jarak dari data berikut :

Nilai Kelas F
(1) (2)
72, 2 – 72, 2
4 5
72, 5 – 72, 10
7 13
72, 8 – 73, 27
0 23
73, 1 – 73, 16
3 4
73, 4 – 73,
6
73, 7 – 73,
9
74, 0 – 74,
2
74, 3 – 74,
5
Jumlah Σ fi = n = 100

Penyelesaian:
Cara 1:
74 ,5 +74 ,3
Nilai Tengah kelas terakhir = =74, 4
2
72 ,4 +72 ,2
Nilai Tengah kelas pertama = = 72, 3 ∴ NJ = 74, 4 – 72, 3 = 2,1
2
Cara 2:
⇒ NJ = 74, 55 – 72, 15 = 2, 4

Catatan :
Perbedaan ini dikarenakan cara 2 menghilangkan perbedaan data yang cukup besar (lihat
frekuensinya ditengah kelas).

a. Rata – Rata Simpangan

 Diketahui data : X1 , X2 , … , Xi , … , Xn.
1 n
⇔ Rata – Rata hitungnya adalah : X = ∑ Xi .
n i =1
(2. 17)

⇔ Simpangan terhadap rata – rata hitungnya adalah :

(X 1 - X ) , ( X 2 - X ) , …, ( X i - X ) , … ( X n - X ) .
(2. 18)
1n
⇔ Rata – Rata Simpangannya = RS = ∑ X - X , | . |  disebut harga mutlak. (2. 19)
n i= 1
⇔ Simpangan terhadap mediannya adalah :

13

( X 1 - Med ) , ( X 2 - Med ) , …, ( X i - Med ) , … ( X n - Med ) . (2. 20)
n
1
⇔ Rata – Rata Simpangannya = RS = ∑ X - Med .
n i =1
(2. 21)

 Contoh 13:

Carilah rata – rata simpangan (biasanya dihubungkan dengan rata – rata hitung atau
Median) dari data kelompok berikut ini :
(a). 50 60 30 40 70
(b). 100 40 80 20 10

Penyelesaian
(a). Diketahui :
1
X = ( 50 + 60 + 30 + 40 + 70 ) = 50, dan Med = 50
5
1 60
 RS = ( 50 − 50 + 60 − 50 + 30 − 50 + 40 − 50 + 70 − 50 ) = = 12
5 5
1 5 60
 RS = ∑
5 i =1
X - Med =
5
= 12

(b). Diketahui :
1
X = ( 100 + 40 + 80 + 20 + 10 ) = 50, dan Med = 40
5
1 160
 RS = ( 100 − 50 + 40 − 50 + 80 − 50 + 20 − 50 + 10 − 50 ) = = 32
5 5
1 5 1
RS= ∑ X - Med = ( 100 − 40 + 40 − 40 + 80 − 40 + 20 − 40 + 10 − 40 )
5 i =1 5
1
= ( 60 + 0 + 40 + − 20 + − 30 ) = 30.
5

b. Simpangan Baku
Jika suatu Populasi beranggotakan sebanyak N dan sampel sebanyak n elemen, maka nilai
suatu karakteristik tertentu (Misalnya, umur orang, hasil penjualan perusahaan, harga
barang, produksi barang, nilai ujian),akan diperoleh suatu pengamatan sebagai berikut :
Populasi : X1 , X2 , … , Xi , … , XN.
N
1
µ=
N
∑X
i =1
i = rata – rata sebenarnya dari X. (2. 22)

Sampel : X1 , X2 , … , Xi , … , Xn.
1 n
X = ∑ X i = rata – rata perkiraan (taksiran) dari X.
n i =1
(2. 23)

∴ X adalah Perkiraan dari µ
Sehingga,
1 N
σ 2= ∑ ( X i − μ ) 2 , ( σ 2, dibaca sigma kuadrat).
N i =1
(2. 24)
= variansi sebenarnya dari X
14

X i − μ = Simpangan (deviasi) dari pengamatan terhadap rata – rata sebenarnya.

Atau dapat juga ditulis,
N

∑(X − μ)
2
σ= i =1
i
atau (2. 25)
N
  N 
2

N ∑X i  
1   i =1  
σ= ∑ X i −
2
, (2. 26)
N  i =1 N 
 
 
σ = simpangan baku sebenarnya dari X.

Dalam prakteknya, pengumpulan data hanya didasarkan pada sampel, sehingga
simpangan bakunya dirumuskan sebagai berikut :

∑(X − X)
n
2
i
S= i =1
atau (2. 27)
n

∑(X − X)
n
2
i
S= i =1
(2. 28)
n-1
Rumus ini dapat juga ditulis sebagai,
  n  
2

n ∑X i  
1  i =1  
S= ∑ X i − , (2. 29)
n i =1 n 
 
 

S = simpangan baku perkiraan dari X.
⇒ Untuk data Berkelompok dan sudah disajikan dalam tabel frekuensi, rumus
Variansi (σ2) adalah :

k

∑ f (X − μ)
2
σ= i =1
i mi
(2. 30)
N

Xmi = nilai tengah kelas ke – i, i = 1, 2, …, k

⇒ Untuk kelas interval yang sama :

2
k
 k 
∑ f i d i2  ∑f i d i 
σ=c i =1
− i =1  , (2. 31)
N  N 
 
 
c = besar kelas interval
15

fi = frekuensi kelas ke i
di = deviasi atau simpangan dari kelasi ke – i terhadap titik asumsi awal

⇒ Untuk kelas interval yang tidak sama :
  k  
2

k  ∑ f i X mi  
1   i =1  
σ= ∑ f i X mi −
2
, (2. 32)
N i =1 N 
 
 
Xmi = nilai tengah kelas ke – i, i = 1, 2, …, k
fi = frekuensi kelas ke i

Untuk, sampel σ diganti dengan S dan N diganti n.

Contoh 14:
Hitunglah simpangan baku dari data berikut ini :
X = upah bulanan karyawan sebuah perusahaan, dalam ribuan rupiah.
(1). 50 50 50 50 50 ⇒ (kelompok karyawan 1)
Penyelesaian :
Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3
X X2 X X2 X X2
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
X1 = 50 2.500 X1 = 50 2.500 X1 = 10.500
X2 = 50 2.500 X2 = 40 1.600 100 1.600
X3 = 50 2.500 X3 = 30 900 X2 = 40 6.400
X4 = 50 2.500 X4 = 60 3.600 X3 = 80 400
X5 = 50 2.500 X5 = 70 4.900 X4 = 20 100
Σ Xi=25 Σ X2i=12.50 Σ Xi=25 Σ X2i=13.50 X5 = 10
0 0 0 0 Σ Xi=25 Σ X2i=18.50

1 ( 250 ) 2  1 ( 250 ) 2  1 ( 250 ) 2 
σ1 = 12.500 −  σ2 = 13.500 −  σ3 = 18.500 − 
5 5  5 5  5 5 

1 62.500  1 1
= 12.500 −  = {13.500 − 12.500} = {18.500 − 12.500}
5 5  5 5
1 = 14, 14 = 34, 64
= {12.500 − 12.500} ∴Simpangan baku karyawan ∴Simpangan baku karyawan
5
kelompok 2 sebesar Rp. 14, 14 kelompok 3 sebesar Rp. 34, 64
= 0.
∴karena simpangan bakunya sama
dengan nol, maka upah bulanan
karyawan kelompok 1, homogen
atau tidak bervariasi.

16

Dari hasil perhitungan, menunjukkan bahwa kelompok data yang heterogen, mempunyai
nilai simpangan baku yang besar.
σ1 < σ2 < σ3
⇒ 0 < 14, 14 < 34, 64.

17

X1
10 100 100
0
90 90 90
X3
80 80 80
X5
70 70 70

60 60 X4 60
X1 X2 X3 X4 X5 X1
50 50 50

40 40 40
X2 X2
30 30 30
X3
20 20 20
X4
10 10 10
X5

Contoh 15:
Gaji 40 Guru Honor SMK setelah potong pajak, diambil secara acak (dalam ribuan rupiah),
sebagai berikut :

138 164 150 132 144 125 149 157
146 158 140 147 136 148 152 144
168 126 138 176 163 119 154 165
146 173 142 147 135 153 140 135
161 145 135 142 150 156 145 128

Hitunglah simpangan baku dari gaji honor guru tersebut diatas ?

Penyelesaian :

⇔ Syarat – syarat membuat Tabel frekuensi adalah :
Diketahui :
Data terbesar (Xn) = 176
Data terkecil (X1) = 119
Banyaknya kelas dapat dicari dengan rumus Kriteria Sturges :
K = 1 + 3, 322 log n Sehingga,
K = 1 + 3, 4 log 40
= 6, 44 ≈ 6 atau 7.
C = lebar kelas (panjang atau interval kelas )
Xn − X1 176 − 119
= = = 9, 5 ≈ 10
k 6
127 + 119 136 + 128
Xm1 = = 123, Xm2 = = 132, …
2 2
18

⇔ Tabel frekuensinya adalah :

NilaiTengah
No Gaji Sistem Tally f
(Xmi)
1 119 – 127 123 III 3
2 128 – 136 132 IIII I 6
3 137 – 145 141 IIII IIII 10
4 146 – 154 150 IIII IIII I 11
5 155 – 163 159 IIII 5
6 164 – 172 168 III 3
7 173 – 181 177 II 2
Jumlah 40

⇔ Simpangan Baku dapat dihitung secara langsung (data tidak berkelompok) :

  N 
2

N ∑X i  
1   i =1  
σ = ∑ X i −
2

N  i =1 N 
 
 
1 
138 2 + 146 2 + ... + 128 2 −
( 138 + 146 + ... + 128 ) 2 
=  
40  40 
1  ( 5.872 ) 2 
= 868.652 − 
40  40 
1 6.642,4
= {868.652 − 862.009,6} = = 13, 00.
40 40
σ 2 = 169 (variansi)

⇔ Simpangan Baku untuk interval yang sama (data berkelompok) :
Gaji f d d2 fd fd2
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
119 – 127 3 c. 9 9 27
128 – 136 6 3 4 12 24
137 – 145 10 d. 1 10 10
146 – 154 11 2 0 0 0
155 – 163 5 e. 1 5 5
164 – 172 3 1 4 6 12
173 – 181 2 0 9 6 18
1
2
3
Jumlah 40 0 32 Σ fidi= – 14 Σ fidi2= 96

2
k
 k 
∑ f i d i2  ∑f i d i 
96  − 14 
2

σ =c i =1
− i =1  =9 −  = 9 2, 4 −0, 1225 = 13, 58.
N  N  40  40 
 
 

19

⇔ Simpangan Baku dapat juga dicari dengan menggunakan rumus 2. 32 (data
berkelompok) :

Xmi f Xmi2 f Xmi f Xmi2
(1) (2) (3) (4)⇔ (1x2) (5)⇔ (2x3)
123 3 15.129 369 45.387
132 6 17.424 792 104.544
141 10 19.881 1.410 198.810
150 11 22.500 1.650 247.500
159 5 25.281 795 126.405
168 3 28.224 504 84.672
177 2 31.329 354 62.658
Jumlah 40 Σ fi Xmi = 5.874 Σ fi Xmi = 869.976
2

  k  
2

k  ∑ f i X mi  
1   i =1  
σ= ∑ f i X mi −
2

N i =1 N 
 
 
1 
869.976 −
( 5.874 ) 2 
=  
40  40 

1
= {869.976 − 862.596,9}
40

= 13. 58

Jadi variansi gaji guru honor adalah :
σ 2 = 184, 42

d. Bilangan Baku
⇔ Variabel X, mempunyai rata – rata µ dan simpangan baku σ .
Xi
, adalah nilai baku dari Xi.
σ
Xi − μ
Z = , adalah nilai simpangan (deviasi) yang dibakukan atau
σ
distandarisasi.

Contoh 16 :

Diketahui data umur anak (dalam tahun) yang mengalami kekerasan dalam rumah
tangga sebagai berikut :
X1= 2, X2 = 8, X3 = 10, X4 = 4, X5 = 1 (N = 5)
Xi
i. Hitunglah µ , σ , dan
σ
Xi − μ
ii. Jika Zi = , Hitunglah Zi, i= 1, 2, …, 5.
σ
iii. Hitunglah µ z, dan σ z

20

Penyelesaian :
1 1
i. µ= ∑X i ( X 1 + X 2 + ... + X 5 ) = 1 ( 2 + 8 + ... + 1) = 25 = 5
=
N N 5 5

σ=
1
N
1
[ ]
∑( X i − μ ) 2 = 5 ( 2 − 5 ) 2 + ( 8 − 5 ) 2 + ... + ( 1 − 5 ) 2 = 3, 46

X1 2 X 8 X X
= 3, 46 = 0, 577, 2 = 3, 46 = 2, 312, 3 = 2, 89, 4 = 1, 156
σ σ σ σ
X
dan 5 = 0, 289
σ
X −μ 2-5 8-5
ii. Zi = i ⇔ Z1 = 3, 46 = – 0,86, Z2 = 3, 46 = 0,86,
σ
Z3 = 1, 445, Z4 = – 0, 289 dan Z5 = –1 ,156

1 1
iii. µz = ∑Z i = ( Z 1 + Z 2 + ... + Z 5 ) = 1 ( ( - 0.86 ) + 0,86 + ... + ( − 1,156 ) ) = 0
N 5 5
∴ Rata – rata simpangan yang dibakukan adalah 0

 Z − (∑ Z i )
1  2


σz =
N
∑ i N 
 
1 (0) 2 
( − 0, 856 ) + ( − 0,86 ) + ... + ( − 1,14 ) −
2 2 2
= 
5 5 
1
= [ 4.918 ] = 1
5
∴ Simpangan bakunya adalah 1, sehingga N ∼ (0, 1)

e. Koefisien Variansi
Koefisien variansi adalah nilai perbandingan dua kelompok data yang bebas dari satuan
data asli.
Dirumuskan sebagai :
σ
KV = μ x100% , untuk Populasi

S
Kv = x100% , untuk Sampel.
x
Dua kelompok data dengan KV1 > KV2 maka, kelompok pertama lebih bervariasi atau
lebih heterogen dari pada kelompok dua.

21

2. 4 Latihan Soal :
1. Diketahui 30 orang ibu rumah tangga, ditanya tentang pengeluaran sebulan (dalam ribuan rupiah)
untuk keperluan hidup sehari – hari. Hasilnya sebagai berikut :
30 40 35 25 35 50
40 45 40 20 45 45
20 35 45 25 40 30
25 33 20 20 20 45
35 34 15 30 25 40
a). Buatlah Tabel Frekuensi ?
b). Gambar grafik histogramnya ?
c). Hitunglah rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga itu perkeluarga tersebut ?
d). Berapa besar mediannya ?
e). Berapa besar modusnya ?

2. Hitunglah rata – rata ukur (geometrik mean) dari data berikut :
107, 132, 120, 110, 130, 126, 116, 123.

3. Dengan menggunakan rumus :

X =
∑M f i i
, i = 1, 2, …, k dimana, k = banyaknya kelas
∑f i

Mi = nilai tengah kelas ke – i
Hitunglah rata – rata dari data berikut :
Konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga,
Konsumsi Beras (Kg) Banyaknya Keluarga
(1) (2)
5 – 24 4
25 – 44 6
45 – 64 14
65 – 84 23
85 – 104 14
105 – 124 5
125 – 144 7
145 – 164 2

4. Dari nomor 3, hitunglah median dan Modus konsumsi beras dengan menggunakan rumus :

 −(∑fi )0
n 
 

( f1 ) 0  
Med = L0 + c  2  dan Mod = L0 + c
( f ) +( f ) 
 fm 




 1 0 2 0 

5. Diketahui hasil ujian dari 120 mahasiswa FE. UT :
Nilai Ujian f
(1) (2)
30 – 39 9
40 – 49 32
50 – 59 43
60 – 69 21
70 – 79 11
80 – 89 3
90 – 100 1
a). Hitunglah kuartil pertama, ketiga, (Q1 dan Q3)
b). Hitunglah desil pertama, kelima dan ketujuh (D1, D5 dan D7)

22

c). Hitunglah persentil pertama, keduapuluh lima, kelima puluh, dan ketujuh puluh lima (P1, P25, P50,
dan P75)

6. Dari Data Nomor 1,
a). Hitunglah nilai jarak (range) = NJ
b). Hitunglah rata – rata simpangan = RS. Anggap sebagai sampel n = 30.
c). Hitunglah simpangan baku perkiraan, dengan rumus :

∑( X i − X ) dan ∑( X i − X )
1 2 1 2
S=
n n −1
S
d). Hitung koefisien variasi kv =
X
7. Dari data nomor 5,
2
k
 k 
∑f i d i
2
 ∑f i d i 
Hitung S = c i =1
− i =1 
n  n 
 
 
8. Prosentase penduduk berumur 10 tahun keatas yang bekerja menurut jam kerja selama
seminggu.

Jam Kerja Prosentase
0–9 2
10 – 19 6
20 – 29 22
30 – 39 27
40 – 49 23
50 – 59 15
60 – 69 5

a). Buat grafiknya
b). Cari rata – rata, median, dan modus jam kerjanya
c). Hitung Kuartil kedua, Desil kelima dan Persentil kelima puluh
d). Hitunglah Simpangan Bakunya
e). Hitunglah Koefisien Variasinya

9. Nilai hasil ujian Matematika SMU Raksa Maju kelas 1dikelompokkan sebagai berikut :
Kelas Nilai f
30 – 39 2
40 – 49 5
50 – 59 8
60 – 69 15
70 – 79 20
80 – 89 16
90 – 99 10
a). Cari rata – rata, median, dan modus.
c). Hitung Kuartil ketiga, Desil ketujuh dan Persentil kelima lima
d). Hitunglah Simpangan Bakunya
e). Hitunglah Koefisien Variasinya

23

Penyelesaian :
1. Diketahui :
Setelah data disusun maka :
 Banyaknya data (n) = 30
 Data tertinggi (Xn) = 50
 Data terrendah (X1) = 15
 Banyaknya kelas (k) = 1 + 3, 322 log n = 1 + 3, 322 log 30 = 5, 907 ≈ 6.
Xn − X1 50 − 15
 Lebar kelas atau Selang (c) = = = 5, 833 ≈ 6
k 6

a. Tabel Frekuensi Data 30 orang Orang ibu Rumah Tangga :

Lebar Nilai Tengah
Kelas Sistem Tally f
Kelas (Xt)
1 15 – 20 17,5 IIII I 6
2 21 – 26 23,5 IIII 4
3 27 – 32 29,5 III 3
4 33 – 38 35,5 IIII I 6
5 39 – 44 41,5 IIII 5
6 45 – 50 47,5 IIII I 6
Jumlah 30

b. Grafik Histogramnya

7

6

5

4

3

2

1

0
17.5 23.5 29.5 35.5 41.5 47.5

c. Rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga
1 30 1
- X = ∑
30 i =1
Xi =
30
( 30 + 40 + 35 + ... + 40 ) = 32, 9.
Menggunakan Kalkulator :
 Pilih, Shift Mode (Pilih 3) ⇒ Membersihkan Layar Kalkulator
 Tekan, Mode 2x (Pilih 1) ⇒ SD (Standard Deviasi) untuk Statitika satu variabel.
 Input data : 30 DT (tekan M+), 40 DT, 35 DT, …, 40 DT.

24

Untuk mengecek Banyaknya Data (n), Tekan Shift S-Sum (atau tekan angka 1) ⇒ Pilih Nomor
3 dan tekan tanda ”=”.
 Untuk mengecek Rata – rata ( X ) , Tekan Shift S-Var (atau tekan angka 2) ⇒ Pilih Nomor 1
dan tekan tanda ”=”.
Jadi Rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga itu ( X ) = 32, 9.
- Rata – rata pengeluaran itu, dapat juga dicari dengan menggunakan rumus :

X =
∑f X i ti
=
993
= 33, 1 (lihat perhitungan menggunakan tabel) :
∑f i 30
Nilai Tengah
Pengeluaran fi fiXti
(Xt)
15 – 20 17,5 6 105
21 – 26 23,5 4 94
27 – 32 29,5 3 88, 5
33 – 38 35,5 6 213
39 – 44 41,5 5 207, 5
45 – 50 47,5 6 285
Jumlah 30 993

d. Besar Median dapat dicari dengan menggunakan rumus (lihat Tabel) :
KelasPengeluaranfi1
2
 −(∑fi )0 
n 
3 13
Med = L0 + c  2 
 fm  4
 
  5
Diketahui, 615 – 20
- n = 30 {banyaknya data (f)} 21 – 26
- L0 = 32, 5 (Batas bawah terkecil) 27 – 32
33 – 38
- Σ fi = (jumlah frekuensi sebelum median)
39 – 44
- fm =13 (frekuensi median berada)
16
- c = 6 (lebar selang data = 21 – 15 = 6)
45 – 506
 30  4
 −13  3
- ∴ Med = 32, 5 + 6  2 6 
 = 34. 5
 6
 
  5
e. Besar Modus dapat dicari dengan menggunakan rumus (lihat Tabel) : 6Jumlah30
 ( f1 ) 0  Kelas Pengeluaran fi
Mod = L0 + c  ( f ) +( f ) 

1 15 – 20 6
 1 0 2 0 
2 21 – 26 4
- L0 = 32, 5 3 27 – 32 3
-c=6 4 33 – 38 6
- (f1)0 = 6 – 3 = 3 5 39 – 44 5
- (f2)0 = 6 – 5 = 1 6 45 – 50 6
 3  Jumlah 30
Mod = 32, 5 + 6  
 3 +1
= 37.
2. Diketahui :
Dengan menggunakan rumus :
Xg = n X 1 . X 2 ...X n

maka rata – rata ukur (geometrik mean) data tersebut :
X g = 8 ( 107 ) ( 132 )( 120 )( 110 )( 130 )( 126 )( 116 )( 123 )

25

(4, 357x10 ) ( )
1
= 8 16
= 4, 357x10 16 8
= 120, 198

3. Diketahui :
Konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga,
Konsumsi Beras (Kg) Mi atau Xti fi fiXi
5 – 24 14,5 4 58
25 – 44 34,5 6 207
45 – 64 54,5 14 763
65 – 84 74,5 23 1.715, 3
85 – 104 94,5 14 1.323, 0
105 – 124 114,5 5 572, 5
125 – 144 134,5 7 941, 5
145 – 164 154,5 2 309
Jumlah 75 5.889, 3

X =
∑X f
ti i
= 78, 524
∑f i

Jadi Rata – rata konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga = 78, 524 Kg.

4. Diketahui data dari nomor 3 :

 Dapat dicari Mediannya dengan menggunakan rumus berikut (lihat Tabel) :

 −(∑fi ) 0
n 

Med = L0 + c  2 
 fm 
 
 

5 – 24 14,5 4 58
25 – 44 34,5 6 207
45 – 64 54,5 14 763
65 – 84 74,5 2 1.715, 3
85 – 104 94,5 3 1.323, 0
105 – 124 114,5 14 572, 5
125 – 144 134,5 5 941, 5
145 – 164 154,5 7 309
2
Jumlah 75 5.889, 3

- L0 = 64, 5
- c = 20
- n = 75
- Σ fi = 24
- fm = 23
 75 
 −( 24 ) 
Med = 64, 5 + 20  2  = 64, 5 + 20(0, 587) = 76, 24
 23 
 
 

 Dapat dicari Modusnya dengan menggunakan rumus berikut (lihat Tabel) :

26

 ( f1 ) 0 
Mod = L0 + c  

 ( f1 ) 0 + ( f2 ) 0 

5 – 24 14,5 4 58
25 – 44 34,5 6 207
45 – 64 54,5 14 763
65 – 84 74,5 2 1.715, 3
85 – 104 94,5 3 1.323, 0
105 – 124 114,5 14 572, 5
125 – 144 134,5 5 941, 5
145 – 164 154,5 7 309
2
Jumlah 75 5.889, 3

- L0 = 64, 5
- c = 20
- n = 75
- ( f1)0 = 23 – 14 = 9
- ( f2)0 = 23 – 14 = 9
 9 
Mod = 64, 5 + 20   = 74, 5.
9+9
5. Diketahui hasil ujian dari 120 mahasiswa FE. UT :
Nilai Ujian f
30 – 39 9
40 – 49 3 Q1
50 – 59 2 Q3
60 – 69
70 – 79 4
80 – 89 3
90 – 100 21
11
3
1
Jumlah 120

a. Kuartil pertama dan ketiga, (Q1 & Q3)

 Kuartil ke – 1 :

− (∑fi )0
 in 
 
Qi = L0 + c  4 
 fq 
 
 
- Pertama yang harus dilakukan adalah mengecek keberadaan kuartil yang akan dicari, dengan
membagi empat bagian jumlah data, misalkan yang akan dicari adalah Kaurtil ke – 1, maka
( 1)( 120 ) = 30
, berarti data ada pada frekuensi sama dengan 30.
4
- L0 = 39, 5 (batas bawah kuartil yang ditaksir/diperkiran)
- c = 10 (selang interval = 40 – 30 = 50 – 40 = … = 90 – 80)
-i=1
- n = 120
- Σ fi = 9
- fq = 32
27

 3( 120 ) 
 − ( 41) 
4
Q1 = 39, 5 + 10   = 46, 062.
 32 
 
 
 Kuartil ke – 3 :
( 3 )( 120 ) = 90 , berarti data ada pada
- Pengecekan dimulai keberadaan Kaurtil ke – 3, dengan
4
frekuensi sekitar 90.
- L0 = 49, 5 (batas bawah kuartil yang ditaksir/diperkiran)
- c = 10 (selang interval = 40 – 30 = 50 – 40 = … = 90 – 80)
- i=1
- n = 120
- Σ fi = 41
- fq = 43
 3( 120 ) 
 − ( 41) 
Q3 = 49, 5 + 10  4  = 60, 895
 43 
 
 

b. Diketahui Rumus Desil :
−(∑fi )0
 in 
 
Di = L0 + c  10 
 fd 
 
 

- Pertama yang harus dilakukan adalah mengecek keberadaan Desil yang akan dicari,
dengan membagi sepuluh bagian jumlah data, misalkan yang akan dicari adalah Desil ke – 1,
( 1)( 120 ) = 12
maka , berarti data ada pada frekuensi sama dengan 12 atau dekat dengan 12 .
10
- L0 = 39, 5
- c = 10
- n = 120
- (Σ fi)0 = 9
- fd = 32
 ( 1)( 120 ) 
 −(9 ) 
 10  =
D1 = 39, 5 + 10
 32 
39, 5 + 10.(0, 094) = 40, 44 Jadi
 
 

Desil Ke – 1 adalah 40, 44.
Dengan cara yang sama, maka dapat langsung dihitung Desil ke – 5 dan Desil ke – 7 :
Nilai Ujian f
30 – 39 9
40 – 49 32
50 – 59 4 D5, D7
60 – 69 3
70 – 79 21
80 – 89 11
90 – 100 3
1
Jumlah 120

28

 ( 5 )( 120 ) 
 − ( 41) 
10
D5 = 49, 5 + 10   = 49, 5 + 10.(0, 442) = 53, 92
 43 
 
 
 (7 )( 120 ) 
 − ( 41 ) 
D7 = 49, 5 + 10  10  = 49, 5 + 10(1) = 59, 5
 43 
 
 

c. Diketahui Rumus Persentil :
−(∑fi )0
 in 
 
Pi = L0 + c  100 
 fp 
 
 

Nilai Ujian f
30 – 39 9 P1
40 – 49 32 P25
50 – 59 43 P50
60 – 69 21 P75
70 – 79 11
80 – 89 3
90 – 100 1
Jumlah 120

Sehingga :
 ( 1)( 120 ) 
 −( 0 ) 
100
- P1 = 29, 5 + 10 
 9
 = 29, 5 + 10 (0, 133)

= 30, 83
 
 

 ( 25 )( 120 ) 
 −( 9 ) 
100
- P25 = 39, 5 + 10 
 32
 = 39, 5 + 10 (0, 656)

= 46, 063
 
 

 ( 50 )( 120 ) 
 −( 41 ) 
100
- P50 = 49, 5 + 10 
 43
 = 49, 5 + 10 (0, 442)

= 53, 919
 
 

 (75 )( 120 ) 
 −( 84 ) 
 100  = 59, 5 + 10 (0, 286)
- P75 = 59, 5 + 10  21 
= 62, 357
 
 

29

6. Diketahui data dari Nomor 1 :

Kelas Pengeluaran fi
1 15 – 20 6
2 21 – 26 4
3 27 – 32 3
4 33 – 38 6
5 39 – 44 5
6 45 – 50 6
Jumlah 30

a. Nilai Jarak (NJ) =
50 + 45
Nilai Tengah kelas terakhir = = 47, 5
2
20 + 15
Nilai Tengah kelas pertama = = 17, 5 ∴ NJ = 47, 5 – 17, 5 = 30
2

1n
b. Rata – rata simpangan (RS) = ∑ X - X , Misalkan sampel n = 30.
n i= 1
1 30
= ∑ X - 32,9 , dari nomor 1, diketahui
30 i =1
X = 32,9

1
[ ( 30 − 32,9 ) + ( 40 − 32,9 ) + ... + ( 40 − 32,9 ) ]
=
30
= 8, 193
c. Simpangan baku perkiraan, dengan rumus :

∑( X i − X )
1 2
S=
n

=
1
30
[ ]
( 30 − 32,9 ) 2 + ( 40 − 32,9 ) 2 + ... + ( 40 − 32,9 ) 2 = 9, 527

dan, jika digunakan rumus berikut maka,

∑( X i − X )
1 2
S=
n −1

=
1
30 - 1
[ ]
( 30 − 32,9 ) 2 + ( 40 − 32,9 ) 2 + ... + ( 40 − 32,9 ) 2 = 9, 689

S 9,527
d. Koefisien variasi (kv) = = = 0,896
X 32,9

7. Diketahui,
2
k
 k 
∑ f i d i2  ∑f i d i 
S=c i =1
− i =1 
n  n 
 
 
Dimana,
Nilai Ujian f d d2 fd fd2
30 – 39 9 -2 4 - 36
30

40 – 49 32 -1 1 18 32
50 – 59 43 0 0 - 0
60 – 69 21 1 1 32 21
70 – 79 11 2 4 0 44
80 – 89 3 3 9 21 27
90 – 100 1 4 16 22 16
9
4
Jumlah 120 - - 6 17
6

- c = 10
- n = 12
2
176  6 
- S = 10 −  = 12, 08
120  120 
8. Diketahui Prosentase penduduk berumur 10 tahun keatas yang bekerja menurut jam kerja
selama seminggu adalah :
Jam Prosentase
Kerja
0–9 2
10 – 19 6
20 – 29 22
30 – 39 27
40 – 49 23
50 – 59 15
60 – 69 5

a. Grafiknya

Prosentasi Usia Kerja

30

27

25
23
22

20
Jam Kerja

15
15

10

6
5
5

2

0

b. rata – rata, median, dan modus jam kerjanya
Diketahui :

- X =
∑ X ti f i
∑ fi
31

Jam Kerja Xti fi Xti fi
0–9 4, 5 2 9
10 – 19 14, 5 6 87
20 – 29 24, 5 22 539
30 – 39 34, 5 27 931, 5
40 – 49 44, 5 23 1.023, 5
50 – 59 55, 5 15 832, 5
60 – 69 64, 5 5 322, 5
Jumlah 100 3.745

3,745
X= = 37, 45
100
 −(∑fi ) 0
n   100 
  −( 30 ) 
2  2
- Med = L0 + c   = 29, 5 + 10  = 36, 907.
 fm   27 
   
   

 ( f1 ) 0   ( 27 - 22 ) 
- Mod = L0 + c   = 29, 5 + 10 
 ( 27 - 22 ) + ( 27 - 23 )  = 35, 056


 ( f1 ) 0 + ( f2 ) 0 
  

c. Kuartil kedua, Desil kelima dan Persentil kelima puluh
Jam Kerja Xti fi Xti fi di fidi di2 fidi2
0–9 4, 2 9 -3 -6 9 18
10 – 19 5 6 87 -2 - 12 4 24
20 – 29 14, 5 22 539 -1 - 22 1 22
30 – 39 24, 5 27 931, 5 0 0 0 0
40 – 49 34, 5 23 1.023, 5 1 23 1 23
50 – 59 44, 5 15 832, 5 2 15 4 60
60 – 69 55, 5 5 322, 5 3 5 9 45
64, 5
Jumlah 100 3.745 - 3 - 192

 2 ( 100 ) 
− (∑fi )0
 in 
   − ( 30 ) 
 4  = 29, 5 + 10  4  = 36, 907
- Q2 = L 0 + c  fq   27 
   
   

 5 ( 100 ) 
−(∑fi )0
 in 
   − ( 30 ) 
 10 10
- D5 = L 0 + c  fd


= 29, 5 + 10 
 27
 = 36, 907

   
   

 50 ( 100 ) 
−(∑fi )0
 in 
   −( 30 ) 
 100 100
- P50 = L0 + c  fp


= 29, 5 + 10 
 27
 = 36, 907

   
   
d. Simpangan Bakunya
2
k
 k 
∑ f i d i2  ∑f i d i 
192  3 
2

S=c i =1
− i =1  = 10 −  = 13, 853
n  n  100  100 
 
 
 S  13,853 = 0,3699
e. Koefisien Variasinya  =
37,45
X 

9. Diketahui :
32

STATISTIKA MODAL

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to STATISTIKA MODAL

Similar to STATISTIKA MODAL (20)

More from Amri Sandy

More from Amri Sandy (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

STATISTIKA MODAL