Unidad III SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO Unidad IV ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DISCRETOS LUGAR DE LAS RAÍCES

1. CIRCULO
UNITARIO DE
ESTABILIDAD. 1
Futuro en el Presente
I.U.P. “Santiago Mariño”- Extensión Maturin
¿De donde sale la FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA DISCRETA? Pag. 1
¿Por Qué Es Importante
Un Sistema ESTABLE?
ESTABILIDAD DE
SISTEMAS LINEALES. 1

2. EDITORIAL
Desde pequeña me atraen los retos que pongan a
prueba mi capacidad analítica, he superado todas las
metas que me propongo sin rendirme y ha sido por
ello que decidí formar parte de un gremio en el cual
cada día aprendo cosas interesantes que además de
tener un grado de dificulta, que a mi parecer como
estudiante, es considerablemente alto, es un gusto
pertenecer a la especialidad de electrónica en la cual
he encontrado con aspectos matemáticos aplicables
a la carrera y es este ámbito en el que más he
puesto mis ansias por aprender.
En esta edición he procurado presentar un
contenido simple de entender sin dejar de lado lo
práctico que requieren los Sistemas de control en
tiempo discreto y la estabilidad de los mismos. Igual
que siempre, espero que sea de agrado para el
lector la información que presento en la revista.
Contenido
MODELADO DE UN SISTEMA DE CONTROL. 1
SISTEMA DE CONTROL DISCRETO. 1
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DISCRETA. 1
EMPLEO DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO Y DE
ELEMENTOS DE MUESTREO. 1
CONTROLADORES DISCRETOS. 1
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES. 1
CIRCULO UNITARIO DE ESTABILIDAD. 1
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY. 1
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. 1
ERROR EN ESTADO ESTABLE DE SISTEMAS
DISCRETOS. 1
Redactor: Anaís Díaz V-25978311
Segunda Edición. Marzo 2019

3. 2
MODELADO DE UN
SISTEMA DE
CONTROL
El modelado de un sistema de control se
aplica mediante tres representaciones o
modelos, los cuales dependen a los tiempos
de análisis de los sistemas:
Modelado Matemático: la Trasformada Z,
aplica para la solución del modelado
matemático de los Sistemas de Control de
Tiempo Discreto. Esta se define para una
señal X[n] de la siguiente manera:
𝑿 𝒛 = 𝒙 𝒏 𝒛−𝒏
∞
𝒏=−∞
Diagrama de bloques: proporciona un
método útil y conveniente para caracterizar
las relaciones funcionales entre los diversos
componentes de un
sistema de control. Las
características para un diagrama de bloques
son la entrada y salida de sistemas con los
elementos internos del proceso en bloques
indicando los nombres correspondientes.
Diagrama de flujo de análisis: Representan
un conjunto de ecuaciones algebraicas
lineales simultáneas que muestran de
manera específica la secuencia de señales
que tiene el sistema.
SISTEMA DE
CONTROL DISCRETO
Un sistema de control discreto es un
sistema en donde sus variables pueden
cambiarse sólo en valores discretos de
tiempo. El tiempo discreto está representado
como kT o tk donde k=0, 1, 2,…, y estos
ayudan a medir algo físico o en la extracción
de datos de la memoria de una computadora
digital. El término “discretización” en lugar de
“muestreo” se utiliza con frecuencia en el
análisis de sistemas con entradas y salidas
múltiples y ambos significan básicamente lo
mismo.
La diferencia entre los sistemas de control
en tiempo discreto y los de en tiempo
continuo consiste en que aquellos sistemas
en tiempo discreto están en la forma de
datos muestreados (forma digital) y que
estos sistemas involucra una computadora
digital (que actúa como controlador), los
datos muestreados se convierten en datos
digitales.
Los sistemas en tiempo discreto (donde
sus señales son datos muestreados) están
representados como ecuaciones en
diferencias. En ingeniería de control, el
objeto controlado es una planta o un
proceso. Éste podría ser una planta, un

4. 3
proceso físico o un proceso no físico con
proceso económico.
Los sistemas discretos se clasifican en:
Estática: La salida en un instante
de muestreo depende de la entrada en ese
instante de muestreo.
Dinámicos: La salida puede
ser función de la entrada y la salida de
índices de diferente orden al actuar
 Causales: El elemento de salida puede
estar influenciada por las salidas
anteriores y por las entradas hasta el
instante de muestreo en que se produce
la salida.
 No causales: Este sistema puede generar
elementos de índice superior al elemento
de entrada, realizar una función a través
de un algoritmo considerando los
elementos generados y entregar
una secuencia de salida
FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
DISCRETA
La función de transferencia H(z) es una
propiedad del sistema que caracteriza la
forma en que el sistema modifica la
secuencia de entrada para producir la
secuencia de salida
La función de transferencia de caminos en
paralelo es la suma de la transferencia de
un solo camino.
La función de transferencia de caminos en
la serie es el producto de la transferencia
camino.
La función de transferencia de un solo
bucle de caminos es la función de
transferencia de la camino a seguir
dividida por uno menos la función de
transferencia de lazo.
Una vez especificada H(z) es posible
encontrar la transformada z de la secuencia
de salida para una entrada dada usando la
relación:
Un caso de particular interés es aquel en
el que x[n] es la secuencia muestra
unitaria d[n]. Así, la entrada tendrá la
transformada z: X(z)=1 y la salida y[n] será
la respuesta a la muestra unitaria h[n] del
sistema, con la transformada z: Y(z) = H(z).
Este es un resultado muy importante ya
que la respuesta a la muestra unitaria h[n] y
la función de transferencia H(z) son una
pareja de transformadas z: h[n] ↔ H(z)

5. 4
EMPLEO DEL
RETENEDOR DE ORDEN
CERO Y DE ELEMENTOS
DE MUESTREO
El retenedor más sencillo se obtiene
cuando n=0, esto es, cuando h(kT+t)=x(kT)
donde 0≤τ<T y k=0, 1, 2... Esta ecuación
implica que el circuito retiene la amplitud de
la muestra de un instante muestreo al
siguiente. Dicho retenedor de datos se
conoce como retenedor de orden cero, o
sujetador, o generador de la señal de
escalera. La salida del retenedor de orden
cero es una función escalonada.
La señal de entrada x(t) se muestrea en
instantes discretos y la señal muestreada se
pasa a través del retenedor de orden cero. El
circuito retenedor de orden cero suaviza la
señal muestreada para producir la señal h(t),
la cual es constante desde el último valor
muestreado hasta que se pueda disponer de
la siguiente muestra. El circuito retenedor de
orden cero suaviza la señal muestreada para
producir la señal h(t), la cual es constante
desde el último valor muestreado hasta que
se pueda disponer de la siguiente muestra.
Para el modelo matemático de un
muestreador real y un retenedor de orden
cero se pueden construir de la siguiente
manera.
Se observa que Gh0(s) representa la
función de transferencia del retenedor de
orden cero y x*(t) es la señal muestreada
mediante impulsos de x(t).
Un discretizador ideal se puede ver como
un interruptor que se conecta cada Te
segundos, durante un instante muy corto de
tiempo y esta desconectado el resto del
tiempo. Si consideramos como variable de
entrada del discretizador a x(t) y como salida
a x*(t) tendremos como función que los
relaciona a
𝑥 ∗ 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝛿 𝑇 𝑜 𝛿 𝑇 = 𝛿(𝑡 −∞
𝑘=−∞
𝑘𝑇)
Que no es más que la función impulso.
A cada paso de discretización.
𝑥 ∗ 𝑡 = 𝑥 𝑘𝑇 𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇)

6. 5
CONTROLADORES
DISCRETOS
Un controlador digital es un sistema
controlador en tiempo discreto, éstos
solamente operan sobre números. A menudo
se utilizan para resolver los problemas
relacionados con la operación global óptima
de plantas industriales. Los controladores
digitales son muy versátiles, pueden manejar
ecuaciones de control no lineales que
involucran cálculos complicados u
operaciones lógicas. Se puede utilizar estos
controladores con una variedad mucho más
amplia de leyes de control que las que se
pueden usar con controladores analógicos.
Los controladores digitales son
capaces de ejecutar cálculos complejos con
exactitud constante a alta velocidad y
pueden tener casi cualquier grado deseado
de exactitud de cálculo con un incremento
relativamente pequeño de costo.
Son implementados con
microprocesadores, microcontroladores,
DSP, FPGA, CPLD, entre otros… Necesitan
conversores ADC y DAC
ESTABILIDAD DE
SISTEMAS LINEALES
El problema más resaltante de un sistema
de control lineal es el relativo a su
estabilidad. Estabilidad es la especificación
más importante que debe cumplirse entre los
requerimientos a la hora de diseñar un
sistema de control. Sin estabilidad, las otras
dos especificaciones, respuesta transitoria y
error en estado estable, son irrelevantes. La
respuesta total de un sistema es la suma de
la respuesta natural y la respuesta forzada,
tal como lo señala la siguiente relación:
𝑐 𝑡 = 𝑐𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑡 + 𝑐 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑡
De modo que un sistema lineal e
invariante en el tiempo es estable si su
respuesta natural tiende a cero cuando el
tiempo tiende a infinito y Un sistema lineal
e invariante en el tiempo es críticamente
estable si su respuesta natural no decae
ni crece y tiende a permanecer constante
cuando el tiempo tiende a infinito.
Un sistema es estable si genera
una salida acotada como
respuesta a una entrada acotada.
Llamamos a ésta definición BIBO
de estabilidad, por sus siglas en
inglés (bounded-input, bounded-
output).

7. 6
CIRCULO UNITARIO
DE ESTABILIDAD
El círculo unitario, suele incluirse en un
diagrama de polos y ceros en el plano z para
indicar la región de estabilidad. La respuesta
a la muestra unitaria δ(t) de cualquier
sistema con polos reales o conjugados
complejos se reducirá finalmente a cero
siempre y cuando todos los polos se
encuentren dentro de un círculo de radio uno
centrado en el origen del plano z es decir
cumplan la condición |z|<1
Es evidente que el círculo unitario, es
interpretado como la frontera entre la
estabilidad e inestabilidad.
CRITERIO DE
ESTABILIDAD DE JURY
Este criterio de estabilidad tiene la
particularidad de poder ser empleado
directamente sobre sistemas de tiempo
discreto expresados en la variable z. Sea la
ecuación característica de un sistema
discreto:
𝐹 𝑧 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑧 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 ∙ 𝑧 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 ∙ 𝑧; 𝑎0
a>0; A partir de la ecuación anterior
puede construirse el siguiente arreglo:
𝑧0
𝑧1
𝑧2
… 𝑧 𝑛−𝑘
… 𝑧 𝑛−1
𝑧 𝑛
𝑎0 𝑎1 𝑎2 … 𝑎 𝑛−𝑘 … 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛
𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛−2 … 𝑎 𝑘 … 𝑎1 𝑎0
𝑏0 𝑏1 𝑏2 … 𝑏 𝑛−𝑘 … 𝑏 𝑛−1
𝑏 𝑛−1 𝑏 𝑛−2 𝑏 𝑛−3 … 𝑏 𝑘−1 … 𝑏0
𝑐0 𝑐1 𝑐2 … 𝑐 𝑛−𝑘 …
𝑐 𝑛−2 𝑐 𝑛−3 𝑐 𝑛−4 … 𝑐 𝑘−2 …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑙0 𝑙1 𝑙2 𝑙3
𝑙3 𝑙2 𝑙1 𝑙0
𝑚0 𝑚1 𝑚2
Con
𝑏 𝑘 =
𝑎0 𝑎 𝑛−𝑘
𝑎 𝑛 𝑎 𝑘
𝑐 𝑘 =
𝑏0 𝑏 𝑛−1−𝑘
𝑏 𝑛−1 𝑏 𝑘
𝑑 𝑘 =
𝑐0 𝑐 𝑛−2−𝑘
𝑐 𝑛−2 𝑐 𝑘
La condición necesaria y suficiente para
que el polinomio F(z) no tenga raíces fuera o
sobre el circulo unitario, con an>0, son:
𝐹 1 > 0;
−1 𝑛
∙ 𝐹 −1 > 0
𝑎0 < 𝑎 𝑛
𝑏0 > 𝑏 𝑛−1
𝑐0 > 𝑐 𝑛−2
𝑑0 > 𝑑 𝑛−3 … 𝑚0 > 𝑚2
Note que un sistema de segundo orden
contiene una sola fila en el arreglo. Por cada
orden adicional, dos filas adicionales son
agregadas. Además, para un sistema de
orden n, hay un total de n+1 restricciones.

8. 7
LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS RAÍCES
Es la gráfica en el plano Z de todos los
polos y ceros de la función de transferencia
en lazo cerrado. La ecuación característica
(EC) se escribe:
1 + 𝐺𝐻 𝑧 = 0 → 𝐺𝐻 𝑧 = −1
En consecuencia se dan dos condiciones:
Condición de Modulo. 𝐺𝐻(𝑍) = 1
Condición de Ángulo o Fase.
𝐴𝑛𝑔 𝐺𝐻 𝑧 = 2𝑛 + 1 𝜋 𝑟𝑎𝑑
ERROR EN ESTADO
ESTABLE DE SISTEMAS
DISCRETOS
En los sistemas de control en
tiempo discreto si en la etapa en estado
estable la salida es diferente al valor
deseado, se dice que existe un error en
estado estacionario, este error depende del
tipo de sistema de control (en forma
específica de la función de transferencia de
lazo abierto) y de la señal de entrada
Cualquier sistema físico de control sufre,
por naturaleza un error en estado estable en
respuesta a ciertos tipos de entrada. La
única forma de eliminar este error para
estado estable, es modificar la estructura del
sistema. En general el error se puede ver
como una señal que rápidamente debe ser
minimizada y si es posible reducida a cero.
Con referencia al sistema en lazo cerrado de
la siguiente figura:
Cuando el sistema tiene realimentación
unitaria H(S) = 1, el error es simplemente:
e(t)= eea(t)= r(t) – y(t) Siendo definido el error
en estado estable como:
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑡→∞
𝑒(𝑡)
Si H(S) ≠ 1, pero la ganancia estática de
realimentación KH = 1; Pero cuando H(S) no
es unitaria y KH≠ 1, el error actuante, eea(t)
ya no puede definirse según la ecuación
e(t)= r(t) – y(t) .
Hay 2 tipos de errores distintos para
realimentación no unitaria: Error verdadero:
e(t) se define como la diferencia entre la
señal de referencia Sr(t) y la señal de salida
c(t). C(s) SR(s) E(s)
Error actuante o señal activa: ea(t), es la
entrada al bloque G(s), se define como la
diferencia entre la señal de entrada r(t) y la
señal de realimentación primaria b(t).