La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta de terminos algebraicos en un producto algebraico.
La factorización tambien se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables.
MATEMATICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Andres Bermucez.docx
1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA
“ANDRÉS ELOY BLANCO”
MATEMÁTICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
INTEGRANTES:
Bermudez Andres
C.I 31929693
Aula: DEO113
Trayecto Inicial
Barquisimeto, 22 de diciembre de 2022
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas son una combinación de letras y números, ligadas por los signos
de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y/o radicación de manera
finita.
PARTES DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Esta notación incluye cinco componentes principales: variables o incógnitas, coeficientes,
operadores, exponentes y paréntesis.
Una expresión algebraica se divide en terminos. Un termino va separado de otro por los
signos mas (+) o menos (-).
Para resolver una expresion algebraica, resolvemos primero cada termino; luego sumanos o
restamos sus terminos, según sea el caso.
¿QUÉ ES VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA?
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las
variables de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones.
¿QUE SON PRODUCTOS NOTABLES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS?
3. Son determinadas expresiones algebraicas que pueden factorizarse de manera inmediata,
mediante reglas generales, evitando recurrir a un proceso de diversos pasos.
¿QUE ES FACTORIZACION POR PRODUCTOS NOTABLES?
La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta
de terminos algebraicos en un producto algebraico.
La factorización tambien se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de
productos notables.
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para sumar o restar los terminos de una expresión algebraica deben ser semejantes. Se
suman o restan los coeficientes de cada monomio.
Ejemplo 1:
Resuelva la siguiente suma de una expresión algebraica:
2𝑋2
+ 5𝑋2
+ 7𝑋2
= ?
Solución:
2𝑋2
+ 5𝑋2
+ 7𝑋2
= 𝟏𝟒𝑿𝟐
Ejemplo 2:
Resuelva la siguiente resta de una expresión algebraica:
20𝑋2
− 5𝑋2
− 7𝑋2
= ?
Solución:
20𝑋2
− 5𝑋2
− 7𝑋2
= 𝟖𝑿𝟐
Ejemplo 3:
Resuelva la siguiente expresión algebraica:
40𝑋 + 10𝑋2
− 5𝑋 + 5𝑋2
+ 2𝑋 − 3𝑋2
+ 2𝑋2
− 4𝑋2
− 6𝑋 − 7𝑋2
= ?
Solución:
Ordenamos los terminos semejantes para facilitar la suma y resta de estos:
4. 40𝑋 − 5𝑋 + 2𝑋 − 6𝑋 + 10𝑋2
+ 5𝑋2
− 3𝑋2
+ 2𝑋2
− 4𝑋2
− 7𝑋2
= ?
Luego procedemos a sumar y restar los terminos semejantes:
40𝑋 − 5𝑋 + 2𝑋 − 6𝑋 + 10𝑋2
+ 5𝑋2
− 3𝑋2
+ 2𝑋2
− 4𝑋2
− 7𝑋2
= 𝟑𝟏𝑿 + 𝟑𝑿𝟐
Resputa: 𝟑𝟏𝑿 + 𝟑𝑿𝟐
VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para lograr esto, debemos sustituir la variable o las variables de la expresión algebracia por
un valor.
Se debe tener en cuenta que los resultados de una expresión algebraica pueden cambiar de
acuerdo a los valores numéricos que se les asigne a la incógnita o variable.
Ejemplo 1:
Calcular el valor del monomio X2, para X=1, X=2, X=3 y X=4
Solucion:
X X2
1 1
2 4
3 9
4 16
Ejemplo 2:
Calcular el valor del binomio 3X2+2, para X=1, X=2, X=3 y X=4
Solucion:
Para X=1: 3(12)+2 = 3×1+2 = 3+2 = 5 Para X=2: 3(22)+2 = 3×4+2 = 12+2 = 14
Para X=3: 3(32)+2 = 3×9+2 = 27+2 = 29 Para X=4: 3(42)+2 = 3×16+2 = 48+2 = 50
Respuestas:
X 3X2+2
1 5
5. 2 14
3 29
4 50
MULTIPLICACIÓN Y DIVICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar terminos, de una expresión algebraica, se multiplican los coeficientes entre sí
y se suman los grados (no es necesario que sean semejantes):
Ejemplo 1:
Resuelve la siguiente expresion algebraica: 2X × 3X2
Solucion: 2X × 3X2 = 6X3
Ejemplo 2:
Resuelve la siguiente expresion algebraica: 2X2 × 5X3 × 3X4
Solucion: 2X2 × 5X3 × 3X4 = 30X9
Para dividir un termino de una expresion algebraica se dividen los coeficientes entre sí y se
restan los grados:
Ejemplo 3:
Resuelve la siguiente expresion algebraica:
10𝑋4
5𝑋2
Solucion:
10𝑋4
5𝑋2 = 𝟐𝑿𝟐
Ejemplo 4:
Resuelve la siguiente expresion algebraica:
10𝑋8× 3𝑋2
5𝑋2 × 2𝑋3
Solucion:
10𝑋8× 3𝑋2
5𝑋2 × 2𝑋3 =
30𝑋10
10𝑋5 = 𝟑𝑿𝟓
6. PRODUCTOS NOTABLES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Los productos notables más comunes son:
1.-Binomio al cuadrado ( x+y)2
2.-Binomios conjugados (x+y)(x-y)
3.-Binomios con termino comun (x+a)(x+b)
4.-Binomio al cubo (x+y)3
BINOMIO AL CUADRADO (x+y)2
El binomio al cuadrado, da como resultado un trinomio al cuadrado perfecto.
(x+y)2 = x2 ± 2xy + y2
Reglas para desarrollar el binomio al cuadrado
a.-Se eleva al cuadrado el primer término del binomio
b.-Se suma o se resta el doble producto del primer ternino por el segundo
c.- Se suma el cuadrado del segundo término del binomio
Ejemplos de binomio al cuadrado.
a.-Desarrollar (y+5)2
solución: (y+5)2 = y2 + 2×y×5 + 52 (y+5)2 = y2 + 10y + 25
b- Desarrollar (a−2)2
Solución: (a−2)2 = a2 − 2×a×2 + 22 (a−2)2 = a2 − 4a + 4
(x+y)2
= x2
+ 2xy + y2
(x−y)2
= x2
− 2xy + y2
7. c.- Desarrollar (2b2 + 3)2
Solución: (2b2 + 3)2 = (2b2)2 + 2×2b2×3 + 32 (2b2 + 3)2 = 4b4 + 12b2 + 9
BINOMIOS CONJUGADOS (x+y)(x−y)
Los binomios conjugado, dan como resultado diferencia de cuadrados
Reglas para desarrollar binomios conjugados
a.-Se eleva al cuadrado el ternino que no cambia de signo
b.-Se resta el cuadrado del termino que no cambia de signo
Ejemplos de binomios conjugados.
a.-Desarrollar (y+5)(y−5)
solucion: (y+5)(y−5) = y2 − 52 (y+5)(y−5) = y2 – 25
b.-Desarrollar (2y+2)(2y−2)
solucion: (2y+2)(2y−2) = (2y)2 − 22 (2y+2)(2y−2) = 4y2 − 4
BINOMIOS CON TERMINO COMUN (x+a) (x+b)
Los binomios con termino común dan como resultado un trinomio de la forma:
x2 + (a+b)x + ab
Reglas para desarrollar binomios con termino común
a.-Se eleva al cuadrado el termino común
b.-Se suman los terminos no comunes y se multiplican por el termino comun
c.- Se suma el producto de los terminos no comunes
Ejemplos de binomios con termino comun
a.-Desarrollar: (a+4)(a+b)
solucion: (a+4)(a+b) = a2 + (4+b)a + 4b : (a+4)(a+b)= a2 + 4a + ba + 4b
8. b.-Desarrollar: (2d+2)(2d+b)
solucion: (2d+2)(2d+b) = (2d)2 + (2+b)2d + 2b (2d+2)(2d+b) = 4d2 + 4d+2bd + 2b
BINOMIO AL CUBO (a+b)3
El binomio al cubo da como resultado un polinomio de la forma: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Reglas para desarrollar un binomio al cubo:
a.-El cubo del primer termino
b.-Mas el triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo
c.- Mas el triple producto del primer termino por el cuadrado del segundo termino
a.-Mas el cubo del segundo termino
Ejemplo de binomio al cubo.
a.- Desarrollar: (a+2)3
Solucion: (a+2)3 = a3 + 3a22 + 3a22 +23
b.- Desarrollar: (2b+3)3
Solucion: (2b+3)3 = (2b)3 + 3(2b)23 + 3(2b)32 +33 (2b+3)3 = 8b3 + 3(4b2)3 + 3(2b)9 + 27
(2b+3)3 = 8b3 + 36b2 + 54b + 27
FACTORIZACION POR PRODUCTOS NOTABLES
Factorizacion de un trinomio al cuadrado perfecto: x2 ± 2xy + y2
Da como resultado un binomio al cuadrado: (x±y)2
Ejemplo de tactorización de un binomio al cuadrado perfecto
a.- Desarrolle la siguiente factorizacion: a2 + 6a + 9
Desarrollo:
Verifico que 9 lo pueda convertir en un valor entero con exponente al cuadrado y lo sustituyo
en la expresión algebraica. Como 9 = 32 a2 + 6a + 9 = a2 + 6a + 32
Ahora tengo que verificar que 6a= 2a×3. Como se cumple la igualdad entonces, estoy en
presencia de un trinomio al cuadrado perfecto.
9. a2 + 6a + 9 = a2 + 2a×3 + 32 a2 + 6a + 9 = (a+3)2
Verifico que 9 lo pueda convertir en un valor entero con exponente al cuadrado y lo sustituyo
en la expresión algebraica. Como 9 = 32 a2 + 6a + 9 = a2 + 6a + 32
Ahora tengo que verificar que 6a= 2a×3. Como se cumple la igualdad entonces, estoy en
presencia de un trinomio al cuadrado perfecto.
a2 + 6a + 9 = a2 + 2a×3 + 32 a2 + 6a + 9 = (a+3)2
b.- Desarrolle la siguiente factorizacion: 4a2 − 20a + 25
Desarrollo:
Verifico que el primer termiono y el ultimo ternino se puedan convertir en un valor al
cuadrado.
Tengo como resutado que 4a2= (2a)2 y 25 = 52. Solo me falta verificar si 20a = 2(2a)×5. Como
tambien se cumple esta igualdad, estoy en presencia de un trinomio al cuadrado perfecto.
4a2 − 20a + 25 = (2a)2 + 2(2a)×5 + 52 4a2 − 20a + 25 = (2a − 5)2
Factorizacion de diferencia de cuadrado: a2 − b2
Da como resultado binomios conjugados: (a+b) (a−b)
Ejemplo de tactorización de diferencia de cuadrado.
a.- Desarrolle la siguiente factorizacion: 4a2 – 25
Desarrollo:
Si 4a2 y 25 se pueden representar por un valor al cuadrado, entonces al factorizar obtendre
como resultado binomios conjugados. Como 4a2= (2a)2 y 25 = 52, entonces estoy en presencia
de una diferencia de cuadrado, que da como resultado al factorizar binomios conjugados.
Respuesta: 4a2 – 25 = (2a)2 – 52 4a2 – 25 = (2a + 5) (2a – 5)
10. b.- Desarrolle la siguiente factorizacion: 9a2 – 49
Desarrollo:
Si 9a2 y 49 se pueden sustituir por un valor al cuadrado, entonces al factorizar obtendre
como resultado binomios conjugados. Como 9a2= (3a)2 y 49 = 72, entonces estoy en presencia
de una diferencia de cuadrado, que da como resultado al factorizar binomios conjugados.
Respuesta: 9a2 – 49 = (3a)2 – 72 9a2 – 49 = (3a + 7) (3a – 7)
Factorizacion de un trinomio de la forma: x2 + (a+b)x + ab
Da como resultado binomios con termino comun: (x+a) (x+b)
Ejemplo de factorización de un trinomio de la forma: x2 + (a+b)x + ab
a.- Desarrolle la siguiente factorizacion: x2 + ax+3x + 3a
Desarrollo:
Analizo la expresion algebraica y noto que esta tiene solo 3 valores diferentes y tiene un
termino x2, lo que le da todas las caracteristicas de que se puede convertir al factorizar en
binomios con terminos comun. Si puedo demostrar que x2 + ax+3x + 3a es de la forma x2 +
(a+3)x + 3a, efectivamente estoy en presencia de binomios con termino comun.
Procedemos a demostrar que x2 + ax+3x + 3a = x2 + (a+3)x + 3a. Como ax+3x = (a+3)x,
entonces la igualdad si se cumple.
Respuesta: x2 + ax+3x + 3a = x2 + (a+3)x + 3a x2 + ax+3x + 3a = (x+a) (x+3)
b.- Desarrolle la siguiente factorizacion: a4 + a2x+2a2 + 2x
Desarrollo:
Analizo la expresion algebraica y noto que esta tiene solo 3 valores diferentes ya que el
termino a4 se puede representar como (a2)2, lo que le da todas las caracteristicas de que se
puede convertir al factorizar en binomios con terminos comun. Si puedo demostrar que a4 +
11. a2x+2a2 + 2x es de la forma (a2)4 + (x+2)a2 + 2x, efectivamente estoy en presencia de binomios
con termino comun.
Procedemos a demostrar que a4 + a2x+2a2 + 2x = (a2)2 + (x+2)a2 + 2x. Como a2x+2a2 = (x+2)a2,
entonces la igualdad si se cumple.
Respuesta: a4 + a2x+2a2 + 2x = (a2)2 + (x+2)a2 + 2x a4 + a2x+2a2 + 2x = (a2 + x) (a2 + 2)
Factorizacion de un polinomio de la forma: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
La factorizacion de este tipo de polinomio da como resultado binomio al cubo: (a+b)3
Ejemplo de factorización de un polinomio de la forma: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a.- Desarrolle la siguiente factorizacion: a3 + 15a2 + 125a + 125
Desarrollo:
Primero tenemos que demostrar que otros de sus terminos lo podemos convertir en un valor
elevado al cubo. Como 125 = 53, Entonces lo que tenemos que verificar, posteriormente es si la
expresion algebraica a3 + 15a2 + 125a + 125 = a3 + 3a25 + 3a52 + 53. Efectivamente, 15a2 = 3a25 y
125a = 3a52, por lo tanto puedo factorizar este como un binomio al cubo
Respuesta: a3 + 15a2 + 125a + 125 = a3 + 3a25 + 3a52 + 53 a3 + 15a2 + 125a + 125 = (a+5)3
b.- Desarrolle la siguiente factorizacion: a6 + 12a4 + 48a2 + 64
Desarrollo:
Primero tenemos que demostrar que 2 de sus terminos lo podemos representar en un valor
elevado al cubo. Como (a2)3 = a6 y 43 = 64, entonces falta por verificar, si la expresion algebraica
a6 + 12a4 + 48a2 + 64 = (a2)3 + 3(a2)24 + 3a242 + 43. Efectivamente, 12a4 = 3(a2)24 y 48a2 = 3a242,
por lo tanto puedo factorizar este como un binomio al cubo
Respuesta: a6 + 12a4 + 48a2 + 64 = (a2)3 + 3(a2)24 + 3a242 + 43 a6 + 12a4 + 48a2 + 64 = (a2 + 4)3