Semana ciencia2015

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Semana ciencia2015

  1. 1. Aniversario 40 de la Facultad de Ciencia USACH Embaldosados en la matemática, la física, el arte y la historia Andrés Navas Dpto. de Matemática y Ciencia de la Computación
  2. 2. Embaldosados
  3. 3. Embaldosados por polígonos regulares
  4. 4. Todo triángulo embaldosa el plano
  5. 5. Todo cuadrilátero también embaldosa
  6. 6. Incluso si no es convexo
  7. 7. ¿Y los pentágonos ?
  8. 8. ¡Un nuevo embaldosado pentagonal !
  9. 9. El nuevo pentágono (convexo)
  10. 10. Embaldosados hexagonales  Clasificados por Reinhart.  ¿ Prueba simplificada ? (o al menos entendible).
  11. 11. Embaldosados naturales Teorema (Niven ~76). Es imposible embaldosar el plano con un número finito de polígonos convexos de más de seis lados.
  12. 12. Embaldosados periódicos (cristalográficos) Restricción cristalográfica: ninguno de estos motivos es invariante por una rotación de orden 5.
  13. 13. ¿Cuántos reprodujeron los diaguitas?
  14. 14. En la Alhambra…
  15. 15. Embaldosados aperiódicos  Se desconoce si existe un polígono que embaldose el plano sólo de manera no repetitiva (einstein problem).
  16. 16. Un quasi-cristal (Schechtman 1982)
  17. 17. Redes subyacentes El conjunto de vértices subyacente es un conjunto de Delone, esto es, separado y casi denso (de manera uniforme):  existe σ > 0 tal que para todo par de puntos distintos de D están a distancia al menos σ,  existe ρ > 0 tal que todo punto del plano está a distancia a lo más ρ de un punto de D. Ejemplos: Z2; más generalmente, el conjunto de vértices de un embaldosado (no necesariamente periódico) que usa sólo un número finito de polígonos.
  18. 18. Rectificación Problema (Furstenberg, Gromov). ¿Es todo subconjunto de Delone del plano bilipschitz equivalente a Z2? Teorema (Burago-Kleiner, Mc Mullen). NO… Un conjunto de Delone D es repetitivo si toda configuración finita del conjunto se repite infinitas veces de manera uniforme: dado r existe R = R(r) tal que para todo par Br , BR , el conjunto D restringido a BR contiene una copia trasladada de la restricción de D a Br . Teorema (Aliste-Coronel-Gambaudo). Si un subconjunto de Delone del plano es linealmente repetitivo, entonces es rectificable (e.g. embaldosado de Penrose).
  19. 19. Agregando repetitividad Teorema (Cortez-N). Existen (muchos) subconjuntos de Delone repetitivos del plano que no son rectificables. Teorema (N). Todo conjunto de Delone linealmente repetitivo es fuertemente rectificable (esto es, existe un homeomorfismo bilipschitziano del plano que lo envía en la red estándar).
  20. 20. El lado analítico  Teorema (Rademacher). Toda función lipschitziana del plano es diferenciable en casi todo punto.  Teorema (Newton, Leibnitz). En un intervalo, toda función continua positiva es la derivada de un difeo- morfismo C1 .  Teorema (Burago-Kleiner, Mc Mullen). En el plano pueden ser definidas funciones continuas positivas, acotadas y lejos de cero que no son Jacobianos de ningún homeomorfismo bilipschitziano. Pregunta: ¿ es éste el caso de la mayoría de las funciones ?
  21. 21. Secciones áureas
  22. 22. Autosimilaridad
  23. 23. Embaldosado de Penrose
  24. 24. Embaldosando el piso
  25. 25. ¿ Un predecesor ? (Isfaham)
  26. 26. ¿ Otro más ? (Turquía)
  27. 27. Una configuración geométrica áurea
  28. 28. La estrella solitaria…
  29. 29. ¿Cuál es más armoniosa?
  30. 30. Más simbolismo…
  31. 31. ¿Cuándo se perdió la bandera?
  32. 32. En otros mundos En otras geometrías, los embaldosados son diferentes…
  33. 33. Hiperbolizando el trabajo de Escher (Jos Leys)
  34. 34. Versión disco de Poincaré
  35. 35. Versión en el semiplano superior
  36. 36. Siluetas de Amor a la Luz de la Luna (F. De la Rocque)
  37. 37. Versión hiperbólica…

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