SISTEMA DE COORDENADAS.
Un sistema de coordenadas es un método que usa uno o más números, llamados
coordenadas, para establecer inequívocamente la posición de un punto o de un objeto
geométrico en el espacio.
Las coordenadas se expresan en forma de tuplas ordenadas, dos coordenadas forman una
dupla, tres un trío, cuatro una cuádrupla, y así sucesivamente; el que sean ordenadas
significa que el orden en que se escriben las coordenadas es muy importante, ya que
escribirlas con un ordenamiento diferente hará referencia a otra ubicación, es más, muchas
veces se identifica a las coordenadas por su ubicación en la tupla ordenada.
TIPOS DE SISTEMA DE COORDENADAS
° Sistema de coordenadas cartesianas:
Las coordenadas cartesianas son las más utilizadas, este tipo de coordenadas se ubican en
un plano cartesiano al que están asociados los ejes ‘x’, ‘y’ y ‘z’.
Todos los ejes coordenados deben estar escalados bajo el mismo criterio y ser
perpendiculares entre sí, estos ejes pueden conformar un sistema bidimensional o
tridimensional dependiendo de si está formado por dos o tres ejes.
° Sistema de coordenadas polares:
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensionales, en este sistema
la ubicación de un punto en el espacio está determinada por un ángulo y una distancia
(magnitud)
El sistema de referencia está compuesto por un único punto “O” del plano, al que se
denomina origen o polo, y una recta que pasa por este punto, llamada eje polar (equivalente
al eje “x” en el sistema cartesiano). Así, todo punto “P” del plano tendrá la forma de par
ordenado (r,θ), donde “r” –llamada coordenada radial o radio vector- es la distancia de “P”
al origen y TETA –llamada coordenada angular o ángulo polar- es el ángulo formado entre
el eje polar y la recta OP; como convención se ha establecido que θ crece en sentido anti
horario y decrece en sentido horario y que el origen está ubicado en el (0,0°).

° Sistema de coordenadas esféricas:
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas tridimensional basado en la
misma idea que las coordenadas polares, en este sistema la ubicación de un punto en el
espacio están determinada por una distancia y dos ángulos.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un punto
“O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De esta
forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (r, θ, φ), donde “r” es la
distancia de “P” al origen, “θ” -colatitud- es el ángulo formado entre el eje “z” y la recta
“OP” y “φ” – azimut- es el ángulo formado entre el eje “x” y la proyección de la recta “OP”
en el plano x-y.
° Sistema de coordenadas cilíndricas:
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas tridimensional en el que la
ubicación de un punto en el espacio está determinada por una distancia, una altura y un
ángulo.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un punto
“O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De esta
forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (ρ, φ, z), donde “ρ” –
coordenada radial- es la distancia de “P” al eje “z”, “φ” –coordenada acimutal- es el ángulo
formado entre el eje “x” y “RO” y “z” – coordenada vertical- es la distancia desde “P” al
plano “x”-“y”.
° Sistema de coordenadas esféricas:
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en
espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado
por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es
la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar
para alcanzar la posición del punto.
° Coordenadas geográficas:
Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para
definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas.
El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden

mostrarse en los siguientes formatos:
DD --- Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500
DM --- Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0
DMS -- Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00
También se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra,
utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas
proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.
° ORIGEN DE COORDENADAS.
El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este
punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Sin embargo, en algunos
sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por
ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo
(P = 0), siendo indiferentes los valores de latitud y longitud.
° CAMBIOS DE COORDENADAS.
Frecuentemente, querremos representar un punto o un vector en una base a su equivalente
en otra base. Esto supone cambiar de un sistema de coordenadas a otro. Digamos que
tenemos dos bases: |y|, cada vector en la primera base se puede representar en términos de
la segunda base, y viceversa. Esta representación incluye componentes escalares resultando
en el siguiente sistema de definiciones,
u1 = a11 v1 + a12 v2
u2 = a21 v1 + a22 v2
Describimos el conjunto de los componentes escalares como una matriz; esto es,
( a11 a12 )
M = ( a21 a22 )
Usando matrices, obtenemos la siguiente expresión:

( u1 ) ( a11 a12 ) ( v1 )
(u2 ) = ( a21 a22 ) ( v2 )
Para poder cambiar la representación de |a| debemos calcular la inversa de la matriz, M,
de los componentes escalares. En general, representamos cualquier vector, v, en la base de
esta manera, en forma matricial,
( v1 )
v = ( vx vy ) ( v2 )
Para representar v en la base de, acabaremos invirtiendo la matriz, M. Si u es la nueva
representación del mismo vector, v, entonces la expresión es la siguiente,
( u1 )
u = ( ux uy ) ( u2 )
Para llevar a cabo la conversión, queremos averiguar los valores de ( ux, uy ). Realizamos
los siguientes pasos para ello,
( u1 ) ( v1 )
( ux uy ) ( u2 ) = ( vx vy ) ( v2 )
Sustituimos la base por su definición,
( a11 a12 ) ( v1 ) ( v1 )
( ux uy ) ( a21 a22 ) ( v2 ) = ( vx vy ) ( v2 )
Como la matriz de la base multiplica ambos lados de la igualación, la eliminamos.
Ahora tenemos lo siguiente:
( a11 a12 )
( ux uy ) ( a21 a22 ) = ( vx vy )
Como conocemos la matriz, M, y el vector, v, necesitamos despejar la matriz del lado
izquierdo de la igualdad, para determinar los valores desconocidos que representa el vector,
u. Esto es,
u M = v
u M M-1 = v M-1
u I = v M-1

u = v M-1
La ecuación final es la siguiente, que se basa en calcular la inversa de la matriz, M,
( a11 a12 )-1
u = v ( a21 a22 )
Este cambio de bases no varía el origen y por tanto podemos usarlo para describir
rotaciones y cambios de escala de una base en términos de otra base. Sin embargo, para
realizar una traslación del origen o un cambio de marco, no se puede representar de esta
forma. Antes de ver este cambio de marco, veamos un ejemplo de un cambio de
coordenadas.
Angélica Villarroel
CI: 26.897.344

u = v M-1
La ecuación final es la siguiente, que se basa en calcular la inversa de la matriz, M,
( a11 a12 )-1
u = v ( a21 a22 )
Este cambio de bases no varía el origen y por tanto podemos usarlo para describir
rotaciones y cambios de escala de una base en términos de otra base. Sin embargo, para
realizar una traslación del origen o un cambio de marco, no se puede representar de esta
forma. Antes de ver este cambio de marco, veamos un ejemplo de un cambio de
coordenadas.
Angélica Villarroel
CI: 26.897.344