Análise bayesiana de decisões aspectos práticos

Análise Bayesiana de Decisões
Aspectos Práticos
Helio S. Migon1
e Hedibert F. Lopes
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
1
Endere¸co para correspondência: Universidade Federal do Rio de Janeiro
(UFRJ), Caixa Postal 68530, CEP 21945-970, Rio de Janeiro RJ - Brazil,
Fax: 55-21-2290 1095, telefone: 55-21-2562-8290, emails: migon@im.ufrj.br
e hedibert@im.ufrj.br

Prefácio
Esta monografia tem origem em notas de aulas ministradas em cursos
do bacharelado de Estat´ıstica e do mestrado de Pesquisa Operacional da
UFRJ. A motiva¸cão para preparar este texto vem de duas fontes alterna-
tivas. A primeira, e mais óbvia, é a inexistência de textos cobrindo esta
sorte de conteúdo num n´ıvel adequado. Além disso, as tentativas de se
escrever sobre esse tópico, cá no Brasil, foram sempre muito limitadas,
não passando, em geral, da descri¸cão dos elementos básicos da teoria
de decisão. A segunda, talvez de maior desafio, decorre da inexistência
dessa disciplina nas nossas gradua¸cões de estat´ıstica. Pretendemos que
esta monografia colabore para reverter esta posi¸cão paradoxal.
Nossa proposta neste texto é combinar aspectos teóricos e práticos.
O termo análise de decisões é um reconhecimento de que a disciplina de
tomada de decisões vai além da descri¸cão dos formalismos matemáticos,
como por exemplo, a axiomatiza¸cão da teoria de utilidade e os tecnicis-
mos da inferência estat´ıstica. Alguns aspectos que merecem destaque são
a abordagem de modelos gráficos: diagramas de influência e árvores de
decisão e a introdu¸cão à programa¸cão dinâmica estocástica. A discussão
de métodos de maximiza¸cão da utilidade esperada através de técnicas de
Monte Carlo é outro aspecto de extrema importância prática. Os méritos
deste trabalho, esperamos, estão na forma como o material coletado de
diversas fontes de extremo valor aplicado e teórico está organizado. Den-
tre os textos clássicos que influiram na organiza¸cão desta monografia,
i

ii
destacamos DeGroot (1970), Lindley (1971), Bunn (1984) e, mais recen-
temente, Clemen (1996) e French and Rios-Insua (2000).
Como já mencionamos, o n´ıvel do livro é adequado para alunos de
gradua¸cão em Estat´ıstica, Atuária e Pesquisa Operacional, que tenham
um m´ınimo de conhecimentos de Inferência Estat´ıstica. Será útil, também,
para alunos de Administra¸cão e Economia, em n´ıvel de pós-gradua¸cão.
Embora pretendamos que este seja um livro texto em análise de decisões,
nessa versão não inclu´ımos exerc´ıcios selecionados ao final dos cap´ıtulos.
O material como um todo pode ser aplicado em cursos de um per´ıodo leti-
vo, cerca de 45 horas. Os cap´ıtulos 1, 2, 3 e 5 são essenciais para principi-
antes, pois introduzem no¸cões elementares de teoria da decisão, bem como
mecanismos de solu¸cão e avalia¸cão de problemas de decisão (árvores de de-
cisões, diagramas de influência, análise de sensibilidade). Os cap´ıtulos 4,
6 e 7 introduzem metodologia mais avan¸cada. No cap´ıtulo 4 introduzem-
se, resumidamente, os fundamentos que tornam cientificamente coerente
a teoria da decisão vista nos outros cap´ı tulos. Os cap´ıtulos 6 e 7 tratam,
respectivamente, de problemas de decisões sequenciais e da aplica¸cão de
métodos Monte Carlo para a solu¸cão do problema da maximiza¸cão da
utilidade esperada. Portanto, acreditamos que essa monografia possa ser
flexivelmente utilizada para cursos introdutórios (gradua¸cão) bem como
para cursos intermediários (mestrado).
Várias pessoas colaboraram, de uma forma ou de outra e em vários
estágios, para tornar viável a elabora¸cão desse trabalho. Alguns exem-
plos mencionados neste texto tiveram origem em temas de inicia¸cões
cient´ıficas e disserta¸cões de mestrado que supervisionamos nos últimos
anos no IM e na COPPE/UFRJ. Destacamos a colabora¸cão de Alcione
Miranda (doutoranda de Pesquisa Operacional) em aplica¸cões do pacote
DPL, além da elabora¸cão de vários gráficos, juntamente com André Luiz
Silva e Lilian Migon. Agradecemos a Giovanni Parmigiani e Lurdes In-
oue que, juntamente com o segundo autor (HFL), gentilmente cederam
alguns cap´ıtulos de seu livro Statistical Decision Theory, com publica¸cão

iii
prevista para 2003.
Finalmente agradecemos a Associa¸cão Brasileira de Estat´ıstica (ABE)
- pela oportunidade de apresentar este conteúdo no XV Simpósio Nacional
de Probabilidade e Estat´ıstica (SINAPE). Certamente muitas omissões e
vários erros serão detectados pelos eventuais leitores, aos quais pedimos,
desde já, desculpas. Todas as cr´ıticas e comentários serão seriamente con-
sideradas e contribuirão para tornar mais completa uma próxima edi¸cão
revisada e ampliada deste material.
Rio de Janeiro, 25 de mar¸co de 2002.
HSM e HFL

Sumário
1 Introdu¸cão 3
1.1 Uma breve nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sobrevoando o livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Nota¸cão básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Organiza¸cão do Livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Conceitos Básicos 23
2.1 Elementos da análise de decisões . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Especificando a fun¸cão de perda . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Fun¸cão de perda não negativa . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Concavidade do risco de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Problema de decisão com Θ e A finitos . . . . . . . . . . . 38
2.6 Revisitando a regra minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 Problema de decisão usando dados . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 Análise de risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Dominância estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Modelos Gráficos 61
3.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Redes Bayesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Diagrama de influência e árvore de decisão . . . . . . . . . 68
v

vi SUM ÁRIO
3.4 Introdu¸cão ao DPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Probabilidade subjetiva e utilidade 89
4.1 ”Dutch book” e regras escore . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Paradoxo de Saint Petersburg . . . . . . . . . . . . 98
4.2.2 Teorema de von Neumann–Morgernstern . . . . . . 98
4.3 Múltiplos atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 Medidas de aversão ao risco . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Análise de Sensibilidade 109
5.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Identifica¸cão e estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Exemplo de análise preliminar de sensibilidade . . . . . . . 113
5.4 Conceitos básicos de análise de sensibilidade . . . . . . . . 118
5.5 Sensibilidade da distribui¸cão a priori . . . . . . . . . . . . 122
5.6 Sensibilidade conjunta: priori e utilidade . . . . . . . . . . 126
6 Programa¸cão Dinâmica 135
6.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2 Uma classe de problemas de otimiza¸cão . . . . . . . . . . . 136
6.3 Programa¸cão dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.4 Árvore de decisão e programa¸cão dinâmica . . . . . . . . . 149
6.5 Op¸cões reais: uma introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7 MUE via métodos Monte Carlo 163
7.1 Aproximando U(d) via Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . 164
7.2 Ajuste da curva de utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.3 Simulando o modelo aumentado . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.3.1 Têmpera simulada em problemas de decisão . . . . 168
7.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

SUM ÁRIO vii
7.4.1 Tamanho amostral da Normal . . . . . . . . . . . . 171
7.4.2 Tamanho amostral da Binomial . . . . . . . . . . . 173
7.4.3 Defibrila¸cão do cora¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Lista de Figuras
1.1 Diagrama de influência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Árvore de decisão inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Solu¸cão via árvore de decisão . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Valor monetário esperado. a1 - linha cheia; a2 - linha pon-
tilhada; a3 - linha tracejada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Decisões sequenciais: diagrama de influência . . . . . . . . 11
1.6 Decisões sequenciais: árvore de decisão . . . . . . . . . . . 20
1.7 Decisões sequenciais: solu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Diagrama de influência para informa¸cão imperfeita . . . . 21
2.1 Fun¸cões de perda alternativas em problemas de estima¸cão:
perda zero-um (linha cheia), perda quadrática (linha pon-
tilhada) e perda absoluta (linha tracejada). . . . . . . . . . 31
2.2 Concavidade do risco de Bayes: n(A) < ∞ (figura da es-
querda); n(A) = ∞ (figura da direita). . . . . . . . . . . . 38
2.3 Efeito da imprecisão sobre π: incremento no risco de Bayes 39
2.4 Representa¸cão gráfica de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Poliedro convexo; caso k = 2 e m = 6 . . . . . . . . . . . 43
2.6 Regra minimax - determina¸cão gráfica . . . . . . . . . . . 45
2.7 Regra minimax - determina¸cão gráfica . . . . . . . . . . . 46
2.8 Admissibilidade da regra de Bayes . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 Risco de Bayes - exemplo com dados . . . . . . . . . . . . 51
ix

x LISTA DE FIGURAS
2.10 F domina G estocasticamente em primeira ordem. . . . . . 57
2.11 G é um espalhamento de F com preserva¸cão da média. . . 58
3.1 Rede Bayesiana: cada nó refere-se a uma variável aleatória
dicotômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Rede Bayesiana para o modelo fatorial. . . . . . . . . . . . 66
3.3 Modelo fatorial estático no WinBugs. . . . . . . . . . . . . 67
3.4 DI para risco básico: decisão primária (a), evento incerto
(θ) e consequências (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 DI para pol´ıtica de risco básico . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6 AD para investimento em ativo de risco: a decisão primária
seria investir ou não, o evento incerto caracterizaria o suces-
so ou fracasso do investimento e a consequência seria o
montante auferido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.7 DI e AD para informa¸cão imperfeita. . . . . . . . . . . . . 74
3.8 DI para cálculos intermediários; uma situa¸cão de objetivos
múltiplos sem decisão de risco. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.9 DI agregado sobre o uso de qu´ımico. uso: n´ıvel de uti-
liza¸cão do produto qu´ımico, risco: risco de câncer, valor:
valor econômico, ψ: potencial cancer´ıgeno e λ: taxa de
exposi¸cão ao produto qu´ımico. . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.10 DI para cálculo do risco de câncer . . . . . . . . . . . . . . 76
3.11 Diagrama de influência para decisões sequenciais . . . . . . 77
3.12 Diagrama de influência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.13 Resultado final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.14 Rainbow diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.15 Valor da informa¸cão perfeita . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.16 Diagrama de influência - informa¸cão imperfeita . . . . . . 85
3.17 Diagrama de influência - informa¸cão imperfeita . . . . . . 88
4.1 Fun¸cão de utilidade de um agente averso ao risco. . . . . . 106

LISTA DE FIGURAS xi
5.1 Diagrama de influência: receita e custo . . . . . . . . . . . 116
5.2 Diagrama de influência completo . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Diagrama tornado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4 Valor esperado da distribui¸cão preditiva, segundo duas pri-
oris alternativas, e frequências observadas no per´ıodo t =
9 · · · 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5 Gráfico de π versus µ com região de sensibilidade de π . . 130
5.6 Efeito de σ2
na região de indiferen¸ca. . . . . . . . . . . . . 132
5.7 Efeito de a - coeficiente de aversão ao risco na curva de
indiferen¸ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1 A linha cheia representa o caminho mais curto ligando a a
c e a linha pontilhada um caminho alternativo de b a c, tal
que o trajeto total seja mais longo. . . . . . . . . . . . . . 137
6.2 O grafo acima tem vértices rotulados de 1 a 10 e arcos com
as distâncias anotadas (di,j ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3 Compara¸cão de três fun¸cões de utilidades alternativas: u(a) =
a1/2
, u(a) = 1 − exp(−a), a > 0 ou u(a) = 1 − 1/(1 + a). . 146
6.4 Árvore de decisão com um número finito de estágios. . . . 151
7.1 (a) Utilidade esperada, (b) Utilidade esperada obtida por
Integra¸cão Monte Carlo (M=10.000), (c) 10.000 pares (ni, ui)
e (d) Curva ajustada (loess no S-plus). Valores fixados:
(σ, µ, τ, c) = (1.0, 0.0, 1.0, 0.01). . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2 (a) Utilidade esperada, (b) Utilidade esperada obtida por
Integra¸cão Monte Carlo (M=10.000), (c) 10.000 pares (ni, ui)
e (d) Curva ajustada (loess no S-plus). Valores fixados:
(σ, µ, τ, c) = (3.0, 0.0, 3.0, 0.01). . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3 UJ
(n) para J = 20 e M = 10.000 simula¸cões. . . . . . . . . 174
7.4 As linhas fina e grossa representam, respectivamente, os
valores aproximado e verdadeiro de U(n) (Müller and Parmi-
giani, 1995). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

xii LISTA DE FIGURAS
7.5 U(D) para c = 0.02. O planejamento ótimo foi d0 = 9.25 e
a = 0.30, que estão marcados com um triângulo no gráfico
(Clyde, Müller and Parmigiani, 1993). . . . . . . . . . . . 179

Lista de Tabelas
1.1 Consequências (custos) em unidades monetárias (u.m.) . . 6
1.2 Variáveis de entrada - dom´ınio de varia¸cão . . . . . . . . . 12
1.3 Verossimilhan¸ca - p(x|θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Distribui¸cões à posteriori, π(θ|x), e preditiva, p(x). . . . . 15
2.1 Perda associada a cada a¸cão e cada estado da natureza. . . 26
2.2 Fun¸cão de ganho da livraria (em dezenas) . . . . . . . . . 28
2.3 Perdas monetárias (em milhares) . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Fun¸cão de perda não negativa (L0(θ, a) = L(θ, a) − λ0(θ)) . 35
2.5 Fun¸cão de perda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Fun¸cão de perda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.10 Fun¸cão de perda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.11 Fun¸cão de probabilidade, p(x|θ). . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.12 Distribui¸cão conjunta de θ e x. . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13 Retornos mensais de dois ativos de risco . . . . . . . . . . 54
2.14 Retornos e riscos dos ativos a1 e a2 . . . . . . . . . . . . . 54
2.15 Matriz de ganhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Probabilidades conjuntas sobre X × Θ . . . . . . . . . . . 86
xiii

LISTA DE TABELAS 1
3.2 Consequências – lucro l´ıquido em A × Θ . . . . . . . . . . 87
5.1 Variáveis de entrada - dom´ınio de varia¸cão . . . . . . . . . 118
5.2 Dados de número de consultas médicas . . . . . . . . . . . 121
5.3 Novos valores associados as variáveis mais relevantes . . . 125
5.4 Problema de decisão sem dados. . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5 Alternativas considerando as varia¸cões extremas de π. . . . 127
5.6 Perdas no mercado de comodities. . . . . . . . . . . . . . . 128
5.7 Valor equivalente certo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1 Pol´ıtica ótima (em negrito) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Compara¸cão dos ganhos sequenciais com os do Profeta . . 150

Cap´ıtulo 1
Introdu¸cão
1.1 Uma breve nota histórica
Teoria de Decisão é uma área que vem se desenvolvendo aceleradamente
desde o meado do século passado. Uma sólida base axiomática foi intro-
duzida por von Neumann and Morgenstern (1944). Os trabalhos de Wald
(1949) e Savage (1954) são absolutamente centrais nos desenvolvimentos
estat´ısticos da teoria da decisão, embora esta área envolva muitos outros
aspectos, sendo claramente de natureza interdisciplinar.
O termo teoria da decisão é utilizado de forma muito genérica e in-
terdisciplinar, decorrendo, poss´ıvelmente, da natureza ampla do processo
de decisão. Dentre as áreas do conhecimento que consideram aspectos
da tomada de decisão destacam-se: inteligência artificial, economia, busi-
ness, matemática, pesquisa operacional e estat´ıstica, é claro. Desta forma
a Teoria da Decisão é uma disciplina de estat´ıstica envolvendo e explo-
rando a estrutura do processo de tomada de decisão.
Existe um grande número de excelentes livros de análise, teoria e
suporte à decisão. Embora a escolha de alternativas com base no valor
esperado da utilidade tenha vários séculos (vale mencionar a contribui¸cão
3

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO
de Bernoulli, 1738, no famoso paradoxo de St. Petersburg), nos limitare-
mos a listar e comentar parte da literatura pós-guerra. Os desenvolvi-
mentos em teoria dos jogos estão descritos pelo menos em três livros
fundamentais: von Neumann and Morgenstern (1944), Wald (1949) e
Savage (1954). von Neumann and Morgenstern (1944) introduzem as
propriedades minimax, o teorema minimax e a extensão dessas idéias a
várias classes de jogos. Por sua vez, Savage (1954) estende a axiom-
atiza¸cão de von Neumann and Morgenstern para cobrir probabilidades
subjetivas e utilidades. Savage pode ser mencionado como um dos princi-
pais mentores da inferência Bayesiana. Luce and Raiffa (1957) resumem
muito da teoria dos jogos e alguns resultados experimentais.
Nos anos 60 destacamos os livros de Raiffa and Schlaifer (1961) onde
se encontra pela primeira vez a tecnologia simples de se tomar decisões
concatenadamente. Os resultados de programa¸cão dinâmica obtidos por
Bellman (1957) são relacionados com os procedimentos de maximiza¸cão
da utilidade esperada num artigo histórico de Lindley (1961). Surgem,
ainda, nesta década vários textos de teoria estat´ıstica da decisão. Cita-
mos como exemplos marcantes os livros de Ferguson (1967) e o DeGroot
(1970). No que concerne a análise de decisões, isto é: aspectos mais apli-
cados da tomada de decisões sob incerteza, podemos mencionar os livros
de Raiffa (1996), Lindley (1971) e Lindgren (1971).
Uma retomada na publica¸cão de textos nesta área é observada nas
últimas duas décadas. Uma das caracter´ısticas dessas novas publica¸cões
é incorporar, mais e mais, aspectos práticos incluindo o uso de softwares
espec´ıficos (DPL 4.0 (1998) e BUGS Spiegelhalter, Thomas, Best, and
Gilks (1996)). Novidades em termos de diagramas de influência são en-
contradas em Smith (1988) e discussões sobre decisões em grupos ampla-
mente discutidos em French (1989). Um clássico desta década, com forte
ênfase em aspectos estat´ısticos da teoria da decisão, é o texto de Berger
(1985). Mais recentemente temos um texto excelente, a n´ıvel introdutório,
de Clemen (1996). Diversos aspectos operacionais são exemplificados uti-

1.2. SOBREVOANDO O LIVRO 5
lizando um software espec´ıfico - o DPL. Além disto, aspectos de teoria
da utilidade multi-atributo são discutidos a um n´ıvel intermediário.
1.2 Sobrevoando o livro
Utilizaremos um exemplo muito simples para promover um sobrevôo da
metodologia apresentada nos próximos seis cap´ıtulos e apêndices. Este
exemplo é baseado no famoso artigo The rev counter decision, P.G. Moore
and H. Thomas, (1973), Opl.Res. Q., 24, 337-351.
Parte 1: Coloca¸cão do problema e análise preliminar
Uma fábrica de componentes de automóvel - Pethold - esta enfrentando
uma nova demanda por um de seus produtos. Um dos diretores e quatro
executivos se reunem para considerar formas alternativas de lidar com
este eventual aumento da demanda.
Após algumas discussões concluem por duas a¸cões alternativas (mais
o status quo) capazes de atender à nova demanda:
a1 - comprar novos equipamentos (NvEqui)
a2 - contratar horas extras (HrExt)
a3 - manter n´ıvel de produ¸cão atual (NvAtua)
O Diretor não admite subcontratar outro fornecedor por questões es-
tratégicas. Além disto, para simplificar, não há expectativas de varia¸cões
nos pre¸cos. Após discutirem o que aconteceria sob cada uma das alterna-
tivas e decidirem trabalhar com um horizonte de planejamento de um ano,
o pessoal de marketing julgou que a demanda, a se manter a tendência
atual, poderia subir uns 15% (Alta), mas não exclui a possibilidade de
uma queda de 5% (Baixa) caso o mercado se torne sofr´ıvel. As chances

relativas com rela¸cão a esses dois estados são de 3:2 a favor do crescimento
das vendas, ou seja, a probabilidade de Alta, π, é igual a 0.6.
Neste momento solicitaram ao pessoal de contabilidade que levantasse
os custos de cada uma das alternativas. Após várias idas e vindas, envol-
vendo os gerentes produ¸cão, de pessoal e financeiro, responsáveis pelos
custos de material e equipamentos, de salários e pelos custos financeiros,
respectivamente, chegaram aos números da tabela 1.1.
Estados
A¸cões Alta Baixa
NvEqui 220 130
HrExtr 210 150
NvAtua 170 150
Tabela 1.1: Consequências (custos) em unidades monetárias (u.m.)
Essa tabela contém vários ingredientes que serão discutidos estensi-
vamente nos cap´ıtulos subsequentes. Por exemplo, NvEqui, HrExtr e
NvAtua pertencem ao espa¸co das a¸cões (decisões), enquanto Alta e Baixa
compõem os estados da natureza. A tabela 1.1 representa a fun¸cão obje-
tivo (custos, perdas, ganhos, utilidades, etc). No cap´ıtulo 2 esses e outros
elementos básicos da teoria da decisão estat´ıstica serão introduzidos for-
malmente. Voltando ao problem e dado o grande volume de informa¸cões
o gerente de produ¸cão sugere a utiliza¸cão de um pacote de análise de de-
cisões para organizar um diagrama de influência (figura 1.1), introduzir
os dados, obter a árvore de decisão (figura 1.2) e resolver o problema.
O diagrama de influência apresenta através de grafos o problema de
decisão a ser resolvido. Nesse grafo as rela¸cões entre as incertezas en-
volvidas (vendas e ganhos) e as a¸cões dispon´ıveis são representadas por
setas direcionadas. Existe uma rela¸cão biun´ıvuca entre a árvore de de-
cisão e o diagrama de influência em um problema de decisão, sendo o

Figura 1.1: Diagrama de influência
segundo de mais fácil elabora¸cão em problemas relativamente complex-
os. O cap´ıtulo 3 é inteiramente dedicado à introdu¸cão e discussão acerca
desses mecanismos de decisão, bem como sua implementa¸cão através do
DPL. Inicialmente, para manter as coisas bem simples, evitam até mesmo
a inclusão de certos custos de investimento em capital e outros.
O gerente de marketing explica para os demais que o desejável é es-
colher, dentre as alternativas, aquela que produzir o melhor ganho esper-
ado global. Assim o critério de sele¸cão será o chamado EMV - Expected
Monetary Value. Utilizando o pacote ele obtém facilmente o resultados
desejados.
Observe que os valores monetários esperados das três alternativas
(a¸cões a1, a2 e a3) são, respectivamente, 184, 186 e 162. Como se de-
seja a a¸cão de menor custo esperado, a manuten¸cão do n´ıvel de produ¸cão
atual é a melhor estratégia.
Considerando a arbitrariedade das chances relativas dos eventos in-

Figura 1.2: Árvore de decisão inicial
Figura 1.3: Solu¸cão via árvore de decisão

certos o gerente financeiro sugere uma análise de sensibilidade, tópico
abordado no cap´ıtulo 5. O que ocorreria se as chances relativas fossem
modificadas? Se o valor de π fosse, por exemplo, 15%, ao invés de 60%,
os valores monetários esperados para cada uma das a¸cões seriam 143.5,
159 e 153. Nesse novo cenário, a melhor estratégia é a compra de novos
equipamentos. Como fun¸cão de π os custos são
a1 : 90π + 130
a2 : 60π + 150
a3 : 20π + 150
Note que a3 é dominada por a2, uma vez que para todos os valores
de π ∈ (0, 1) a reta que descreve o valor esperado de a3 passa por baixo
da reta que descreve o valor esperado de a2. Isso pode ser visto na figura
1.4.
Figura 1.4: Valor monetário esperado. a1 - linha cheia; a2 - linha pontil-
hada; a3 - linha tracejada.

O mesmo já não ocorre com respeito a a1. Diante disto, não contin-
uaremos considerando a a¸cão a3. Por outro lado, a a¸cão a1 será prefer´ıvel
a a2 se e somente se 90π + 130 > 60π + 150 ou seja p > 2/3. A solu¸cão
que obtivemos é insens´ıvel a escolha de π, desde que se acredite que π
seja pelo menos igual a 2/3.
Para finalizar esta primeira parte o diretor intervem alertando que
o problema foi excessivamente simplificado. Os valores monetários são
razoáveis (varia¸cão de 5% no máximo), a solu¸cão final não é sens´ıvel ao
valor de π, mas deveriam tentar um horizonte de planejamento maior e
discutir se o EMV é adequado para este tipo de tomada de decisão.
Parte 2: Análise sequencial com maior horizonte de
planejamento
Ao voltarem do lanche já encontraram preparados, pelos gerentes finan-
ceiro e de marketing, um novo diagrama de influência e uma nova árvore
de decisão (figuras 1.5 e 1.6, respectivamente). Esta nova configura¸cão in-
clui uma análise mais realista feita ao longo de dois anos, utiliza somente
a1 e a2 e particiona as vendas no segundo ano em três n´ıveis: alta, média
e baixa. Como podemos observar temos duas caixas decisórias, dois nós
aleatórios, denominados vend1 e vend2 e um único nó de consequência
(ver figura 1.5.
Esse diagrama resume os valores monetários l´ıquidos totais sem levar
em conta o valor do dinheiro no tempo. Destacamos que as decisões são
conectadas por arcos, traduzindo a natureza sequencial do problema e que
os nós aleatórios também se conectam por arcos, indicando que a segunda
distribui¸cão de probabilidae é condicional aos resultados observados no
primeiro nó.
Finalmente, as consequências dependem destes quatro elementos. Pre-
cisamos portanto acessar 24 consequências monetárias, as quais estão ap-
resentados na tabela 1.2.

Figura 1.5: Decisões sequenciais: diagrama de influência
Na tabela 1.2 são apresentados os custos relativos aos dois anos para
cada uma das alternativas. Por exemplo, a4 corresponde a decidir por
NvEqui no primeiro ano e, também, no segundo ano, e assim sucessiva-
mente. Lembre-se que a decisão a3 foi eliminada da análise.
Avalia¸cão de Probabilidades
Como recém comentamos as probabilidades do crescimento das ven-
das do segundo ano ser alto, médio ou baixo, dependerá do ocorrido no
primeiro. Suponha que
P[A2|B1] = P[M2|B1] = 0.4 e P[B2|B1] = 0.2
P[A2|A1] = 0.5, P[M2|A1] = 0.4 e P[B2|A1] = 0.1
onde A, M e B representam os eventos alta, média e baixa, respecti-
vamente. Estas probabilidades foram obtidas com base nas informa¸cões
dispon´ıveis, subjetivas ou não, dos gerentes de marketing e de finan¸cas.
Na verdade são educated guesses. A solu¸cão é facilmente obtida através

A¸cões Alto Média Baixa
a4 410 395 380
a5 425 408 395
a6 350 300 280
a7 345 325 310
a8 400 350 315
a9 380 320 370
a10 280 220 400
a11 300.25 204 460
Tabela 1.2: Variáveis de entrada - dom´ınio de varia¸cão
do pacote e utiliza um algoritmo que intercala opera¸cões de cálculo de
esperan¸ca para eliminar incertezas e maximiza¸cão de consequências es-
peradas para eliminar as alternativas menos interessantes. O algoritmo
opera de trás para a frente ou seja backwards. Na figura 1.7 observa-
mos os resultados finais obtidos dessas opera¸cões, os quais foram obtidos
quase que instantaneamente (o diretor deixou-os trabalhando, supondo
que demorariam muito!).
Por exemplo os valores 401 e 415.2 no extremo direito superior da
árvore refere-se às esperan¸cas calculadas com a distribui¸cão condicional
descritas acima. É claro que a alternativa HrExtr é prefer´ıvel pois tem
maior ganho esperado. Chegamos, assim, a um novo nó aleatório e ter-
emos de calcular novas esperan¸cas. Desta vez usaremos a distribui¸cão
marginal referente a variável aleatória denominada vendas do primeiro
ano. A melhor decisão é no primeiro ano será contratar HrExtra, o que
difere da solu¸cão obtida anteriormente. Quais as razões para esta subta
modifica¸cão? Uma das razões é que em um ano a NvAtual é melhor pois
os custos de investimento não se cobrem neste curto prazo.
Alternativa ao EMV

O diretor esta intrigado com o uso do EMV e propõe a aplica¸cão de
um princ´ıpio alternativo: maxmin. Este princ´ıpio se basea na escolha do
pior que pode acontecer; isto é, seleciona-se a pior consequência em cada
sequência de alternativas. Estas variam de 200 a 395. A seguir escolha a
melhor das piores alternativas. É claro que a sequência de a¸cões levando
a 395 será escolhida. Esta inicia-se também pela alternativa a1. Uma
vez convencido o diretor assumiu a decisão de comprar de imediato os
equipamentos necessários e usar no segundo ano horas extras qualquer que
seja o caso. Na verdade ele sugere que ao longo do ano sejam coletados
mais dados sobre o problema, que se continue discutindo os critérios de
sele¸cão de alternativas e formas de incorporar essas novas informa¸coes.
Parte 3: Justificando o questionamento ao uso do
EVM
Alguns meses mais tarde, com a orienta¸cão de especialista em análise de
decisões, compreenderam a razão de estarem duvidosos diante do uso do
EMV. O ponto é que, ainda que de forma inconsciente, percebiam que suas
rea¸cões aos resultados monetários variam de acordo com o capital anteri-
ormente acumulado. O especialista em análise de decisões, provavelmente
um acadêmico, didaticamente providenciou um exemplo exclarecedor.
Suponha que você se vê diante de uma escolha compulsória entre dois
jogos, assim descritos:
(i) você perde R$10.000,00 com probabilidade 0.001 ou, ao contrário,
não perde nada com probabilidade 0.999.
(ii) você perde R$15,00 com probabilidade 1, isto é com certeza.
Embora o valor esperado de (i) seja ligeiramente menor do que o de
(ii) (10 < 15), não é um absurdo encontrar tomadores de decisões que
prefiram (ii) a (i). Quando uma pessoa segura seu carro, sua casa, ou

qualquer outro bem, ela geralmente prefere pagar (perder) R$15,00 do que
correr a remota chance de perder o bem. Portanto, se as consequências
monetárias são pequenas proporcionalmente ao capital, então a ado¸cão do
EMV é razoável. Caso contrário, é mais prudente (leia-se coerente) lan¸car
mão de uma fun¸cão de utilidade do dinheiro, a qual considere a forma
conservadora diante do risco, ou qualquer outra maneira de considerar a
aversão ao risco. Esse problema central da teoria da decisão, ou seja a
quantifica¸cão da utilidade do dinheiro (ou da saúde, do empreendimento,
etc), é extensivamente abordado no cap´ıtulo 4.
O diretor levanta um outro ponto relevante: o momento em que são
feitas as despesas e realizadas as receitas. Isto significa que o dinheiro
tem valor diferente no tempo. É preciso usar o valor presente dos retornos
l´ıquidos.
Parte 4: Usando um especialista
Após várias discussões surgiu uma nova possibilidade: contratar um con-
sultor! Embora esse servi¸co gere um custo adicional de, digamos 5000
reais, ele produzirá um relatório detalhado sobre o mercado de auto-pe¸cas
e fará uma avalia¸cão favorável ou não sobre o crescimento do mercado do
próximo ano. Como ele é fal´ıvel, o gerente de marketing assessou as
informa¸cões objetivas sobre o desempenho do consultor baseando, por
exemplo, em informa¸cões obtidas junto a outras firmas do ramo. Essa
informa¸cão é apresentada na tabela 1.3 abaixo.
É claro que um consultor perfeito (imposs´ıvel ou muito caro!) teria
uma tabela com 1’s e 0’s. Note que tinhamos uma distribui¸cão a pri-
ori sobre os estados da natureza, π(θ), e agora temos na tabela 1.3 a
distribui¸cão de x (a informa¸cão adquirida) dado θ (estado da natureza),
p(x|θ), ou seja, a fun¸cão de verossimilhan¸ca. Podemos, então, obter as
distribui¸cões a posteriori e preditiva sem maiores dificuldades, como ap-
resentadas na tabela 1.4. Assim

Avalia¸cão (x)
Estados (θ) Favorável Desfavorável
Alta 0.9 0.1
Baixa 0.2 0.8
Tabela 1.3: Verossimilhan¸ca - p(x|θ)
Mercado (Θ) x1 x2 π(θ)
Alta 0.87 0.16 0.6
Baixa 0.13 0.84 0.4
p(x) 0.62 0.38
Tabela 1.4: Distribui¸cões à posteriori, π(θ|x), e preditiva, p(x).
O diagrama de influência é então refeito incluindo um quadrado ref-
erente a alternativa de contrata¸cão do consultor.
O resultado final usando a distribui¸cão a posteriori, nos ramos mais
a direita da árvore de decisão isomorfa ao diagrama de influência acima
fornece, por exemplo, os valores esperados: a1 : 208.3, a2 : 202.2 e a3 :
167.4. Assim, a1 é prefer´ıvel dado que o consultor é favorável (x1) e seu
valor esperado é 208.3. Por outro lado se o consultor não for favorável
(x2) então a2 é prefer´ıvel e seu valor esperado será 159.6. Agora temos
essas duas consequências e devemos usar novamente o valor esperado.
Como p(x1) = .62, então obtemos: 208.3 × .62 + 159.6 × .38 − 5 = 184.8.
Este valor compara desfavoravelmente com o obtido anteriormente, 162.
Assim o consultor não deve ser contratado.

1.3 Nota¸cão básica
Nos próximos 6 cap´ıtulos vários conceitos novos serão introduzidos, trazen-
do consigo uma enormidade de nota¸cão matemática necessária para facil-
itar a exposi¸cão e o desenvolvimento dos mesmos. Abaixo introduzimos
uma lista abreviada com as principais nota¸cões. Também introduzimos
aqui algumas siglas comumente utilizadas no livro.
A: Espa¸co das a¸cões (decisões). Elementos são denotados por a.
Θ: Espa¸co dos estados da natureza. Elementos são denotados por θ.
L(θ, a): Perda associada ao estado da natureza θ sob a a¸cão a.
U(θ, a): Fun¸cão de utilidade. Geralmente, L(θ, a) = −U(θ, a).
π(θ): Distribui¸cão a priori de θ.
r(π, a): Risco ou perda esperada da a¸cão a. r(π, a) = L(θ, a)π(θ)dθ.
ab: A¸cão (decisão) de Bayes. ab = arg mina r(π, a).
am: A¸cão minimax. am = arg mina maxθ L(θ, a).
X: Espa¸co amostral. Elementos são x.
p(x|θ): Modelo probabil´ıstico
δ(x): Regra de decisão.
p(x): Distribui¸cão preditiva.
π(θ|x): Distribui¸cão a posteriori de θ dado x.
AD: Árvore de Decisão.

1.4. ORGANIZAÇ ÃO DO LIVRO 17
DI: Diagrama de Influência.
DPL: Decision Programming Language - Software para teoria da decisão
através de AD e DI.
DAG: Direct Acyclic Graph.
BUGS: Bayesian Using Gibbs Sampling.
DsR: Downside Risk.
RaM: Retorno Aceitável M´ınimo.
VaR: Value at Risk.
u.m.: unidade monetária.
MCMC: Monte Carlo via Cadeias de Markov.
1.4 Organiza¸cão do Livro
No cap´ıtulo 2 discutiremos vários aspectos introdutórios da teoria de de-
cisão. Especificaremos a tripla que caracteriza um problema de decisão
e apresentaremosdiversas fun¸cões de perda para problemas espec´ıficos.
Também analisamos a concavidade do risco de Bayes e exploraremos
graficamente várias propriedades das regras de Bayes e minimax. Prob-
lemas de decisão com espa¸co de decisões e espa¸co de estados da natureza
finitos, problema de decisão baseado em dados experimentais, diferentes
conceitos e medidas de risco e dominância estocástica também são intro-
duzidos nesse cap´ıtulo.
No cap´ıtulo 3 apresentaremos vários instrumentos gráficos dispon´ıveis
para facilitar a modelagem de problemas complexos de decisão. Inicia-
remos pela descri¸cão das redes Bayesianas e depois apresentaremos os

diagramas de influência e as árvores de decisão. Serão também apre-
sentados neste cap´ıtulo os principais aspectos dos pacotes DPL - data
programming language e um exemplo envolvendo o uso do WinBUGS -
Bayesian analysis using Gibbs sampler.
O cap´ıtulo 4 introduz alguns resultados fundamentais para a teoria
estat´ıstica da decisão e que servem como sólida base para o uso rotineiro
dos princ´ıpios da teoria da decisão. Introduzimos o princ´ıpio da coerência
através do famoso argumento Dutch book para, em seguida, introduzir as
scoring rules (ou regras escores), que induzem o tomador de decisões a
fornecer suas probabilidades subjetivas, ou seja obriga-o a ser honesto ao
informar suas probabilidades. O também famoso (e curioso) paradoxo de
St. Petersburg que ilustra a dificuldade de se dissociar o valor do dinheiro
de sua utilidade também é discutido. Ainda nesse cap´ıtulo introduzimos o
teorema de representa¸cão von Neumann-Morgenstern que essencialmente
introduz todos os alicerces necessários para o tomador de decisões sobre
incerteza escolher entre duas alternativas de a¸cão tendo sem sua frente
somente os poss´ıveis estados da natureza, suas utilidades e probabilidades.
Discutiremos alguns aspectos da análise de sensibilidade no cap´ıtulo 5.
Esse é problema central na estrutura¸cão e solu¸cão de modelos de decisão.
As técnicas de análise de decisão usam como ingrediente fundamental jul-
gamentos do tomador de decisão através de suas preferências e cren¸cas.
A distribui¸cão a priori, o modelo que descreve os dados dispon´ıveis e a
fun¸cão de perda ou utilidade impactam a solu¸cão final do problema. A
questão é avaliar a sensibilidade dos resultados finais a varia¸cões a esses
elementos da análise. Iniciaremos discutindo alguns aspectos de identi-
fica¸cão do problema e de sua estrutura¸cão para a seguir atacar questões
ligadas à robustez das componentes do modelo de decisão.
Trataremos de problemas de decisão em múltiplos estágios ou sequen-
ciais no cap´ıtulo 6. Esses problemas se caracterizam por poderem ser
separados em um certo número de passos sequenciais ou estágios, cada
estágio se conclui com uma decisão. Em geral, o tempo é usado para

ordenar a sequência de problemas decisórios.
No cap´ıtulo 7 apresentaremos estratégias para a solu¸cão do problema
de decisão baseadas em métodos Monte Carlo. Come¸camos com a apli-
ca¸cão de integra¸cão de Monte Carlo para resolver a integral que surge no
cálculo da perda (ou utilidade) esperada. Introduziremos a idéia de se
ajustar uma curva a um conjunto finito de pares decisão-utilidade e, para
espa¸cos decis´ orios de dimensão relativamente grande, introduziremos
um método para resolver o problema de otimiza¸cão e integra¸cão como
um problema de simula¸cão, através de métodos Monte Carlo via cadeias
de Markov (MCMC).

Figura 1.6: Decisões sequenciais: árvore de decisão

Figura 1.7: Decisões sequenciais: solu¸cão
Figura 1.8: Diagrama de influência para informa¸cão imperfeita

Cap´ıtulo 2
Conceitos Básicos
Como sugerido nos exemplos do Cap´ıtulo 1 a análise de decisões está
envolvida com problemas complexos os quais incluem uma ou mais das
seguintes caracter´ısticas:
• Incerteza: como escolher um curso de a¸cão - estratégia - quando
suas consequências dependem de eventos incertos.
• Objetivos múltiplos: são frequentes as situa¸cões onde a escol-
ha de alternativas envolve consequências de natureza múltipla, em
geral conflitantes. Por exemplo, a localiza¸cão de uma usina nu-
clear requer a avalia¸cão dos custos envolvidos, da confiabilidade do
projeto, de questões ambientais etc.
• Alternativas múltiplas: é imprescind´ıvel escrutinar todas as al-
ternativas ou op¸cões poss´ıveis, eliminando-se aquelas dominadas
mas evitando-se omissões ou simplifica¸cões excessivas.
• Sequenciamento: muitas decisões são de natureza sequencial en-
volvendo, portanto múltiplos estágios de decisão. As decisões em
dado estágio do processo são selecionadas com base nas decisões
23

24 CAPÍTULO 2. CONCEITOS B ÁSICOS
já exercidas, nas informa¸cões dispon´ıveis e no conhecimentos dos
eventos incertos já ocorridos.
Um modelo de decisão consiste de dois aspectos básicos: (i) especifi-
ca¸cão estrutural e (ii) defini¸cão de critérios para compara¸cão de alterna-
tivas. A especifica¸cão estrutural envolve a identifica¸cão dos elementos do
problema de decisão, isto é os eventos incertos, as alternativas poss´ıveis,
os parâmetros desconhecidos e as rela¸cões estruturais relacionando estes
elementos. Os critérios para compara¸cão das consequências associadas as
várias alternativas devem possibilitar ao decisor uma certa racionalidade
ou coerência no processo decisório. Uma condi¸cão necessária para o com-
portamento racional dos decisores será denominada de coerência. Devem
ser eliminadas as regras que conduzem à idéia da perpetual money making
machine como introduzido por Lindley (1971).
Neste cap´ıtulo discutiremos vários aspectos introdutórios da teoria de
decisão (veja se¸cão 2.1). Especificaremos a tripla que caracteriza um prob-
lema de decisão e apresentaremos, nas se¸cões 2.2 e 2.3, diversas fun¸cões
de perda para problemas espec´ıficos. Na se¸cão 2.4, caracterizaremos a
concavidade do risco de Bayes e exploraremos graficamente várias pro-
priedades das regras de Bayes e minimax. Problemas de decisão com
espa¸co de decisões e espa¸co de estados da natureza finitos serão tratados
na se¸cão 2.5. A regra minimax é revisitada na se¸cão 2.6. O problema
de decisão baseado em dados experimentais será discutido na se¸cão 2.7 e
diferentes conceitos e medidas de risco serão apresentados na se¸cão 2.8.
Este cap´ıtulo é conclu´ıdo com a se¸cão 2.9 falando sobre dominância es-
tocástica.
2.1 Elementos da análise de decisões
Como identificado nos exemplos do Cap´ıtulo 1, um problema de decisão
é especificado pela tripla (A, Θ, L), onde A é o espa¸co das a¸cões, Θ é

2.1. ELEMENTOS DA AN ÁLISE DE DECIS ÕES 25
o conjunto dos estados da natureza e L(θ, a) representa a perda sofrida
pela escolha da a¸cão a ∈ A quando ocorre θ ∈ Θ, i.e. L : Θ × A → .
Equivalentemente podemos definir a fun¸cão de utlidade por U(θ, a) =
−L(θ, a).
Precisamos, agora, descrever procedimentos para sele¸cão da a¸cão ótima.
Apresentaremos, a seguir, duas alternativas, uma determin´ıstica que não
leva em considera¸cão a probabilidade de ocorrência dos estados da na-
tureza, e outra estocástica que assinala pesos para os diversos (talvez
não-enumeráveis) elementos de Θ. No final do cap´ıtulo, na se¸cão 2.9,
discutiremos o conceito de dominância estocástica.
Defini¸cão 2.1 A a¸cão am ∈ A é denominada minimax se
am = argmin
a
max
θ
L(θ, a)
Este critério é de natureza conservadora pois escolhe dentre as a¸cões
de maior perda, aquela a¸cão de menor valor. Em outras palavras, escolhe-
se a menos pior dentre as piores. Pode-se dizer, sem muito rigor, que um
tomador de decisões que adota um algoritmo minimax para tomada de
decisões é averso ao risco. Veja o seguinte exemplo extra´ıdo de Berger
(1985, página 6-7)
Exemplo 2.1 Um investidor deve decidir entre investir (a¸cão a1) ou não
investir (a¸cão a2) 1000 unidades monetárias (u.m.) em um fundo de in-
vestimento arriscado. Esse fundo de investimento é arriscado pois pode
levar o investidor à perda total de seu investimento (θ2). Seu atrativo,
entretanto, é a possibilidade de um lucro l´ıquido (θ1), de 500 u.m. Alter-
nativamente, ao não investir nesse fundo, ele investiria suas 1000 u.m.
numa poupan¸ca com rendimento l´ıquido e certo de 30%, ou seja, 300 u.m.
A tabela 2.1 apresenta as perdas (valores negativos são ganhos) poss´ıveis
em ambas as a¸cões.

Estados
A¸cões θ1 θ2
a1 -500 1000
a2 -300 -300
Tabela 2.1: Perda associada a cada a¸cão e cada estado da natureza.
Mais especificamente, θ1 representa um retorno lucrativo para o fundo,
enquanto θ2 representa a perda total do dinheiro investido. É fácil ver que
o investidor deverá aplicar seu dinheiro na poupan¸ca pois essa a¸cão tem
perda menor entre as maiores perdas de cada a¸cão: 1000 e -300, para a1
e a2, respectivamente. Em outras palavras,
max
θ
L(θ, a1) = max{−500, 1000} = 1000
max
θ
L(θ, a2) = max{−300, −300} = −300
portanto, a2 é a regra minimax.
O exemplo acima é interessante pois nos remete naturalmente à seguinte
pergunta: Existe alguma forma de incorporar as incertezas associadas a
θ1 e θ2 no processo decisório, de sorte que o investidor (decisor) não tenha
que ser totalmente averso ao risco? Mais especificamente, Qual o impacto
que a 90% de grau de cren¸ca de que θ1 ocorrerá teria na hora do investi-
dor tomar sua decisão? Claro que nenhum impacto se ele decidir por
um procedimento minimax. Nem sempre, felizmente ou infelizmente, de-
cisões são tomada dessa forma e as chances associadas às ocorrências dos
mais diversos tipos de eventos têm importância no momento da tomada
de decisões. Assim, como no exemplo supracitado, seja π(θ), θ ∈ Θ uma
densidade de probabilidade que mede a informa¸cão fornecida ao tomador
de decisões (através de introspe¸cão ou estudo prévio), antes de θ ter sido
observado. Define-se o risco de uma a¸cão da seguinte forma.

2.1. ELEMENTOS DA AN ÁLISE DE DECIS ÕES 27
Defini¸cão 2.2 O risco ou perda esperada de uma a¸cão a ∈ A é dado
por
r(π, a) =
Θ
L(θ, a)π(θ)dθ
onde π(θ) é uma fun¸cão de densidade sobre Θ.
Para o exemplo 2.1, onde π(θ1) = 1−π(θ2) = 0.9, é simples se observar
que r(π, a1) = −350 e r(π, a2) = −300, ou seja, que a1 tem valor esperado
de perda menor que a2, apesar de a2 ser, como já vimos, a regra minimax.
A a¸cão que minimiza o valor esperado da perda é comumente conhecida
como a¸cão de Bayes com respeito à π.
Defini¸cão 2.3 A a¸cão ab ∈ A é denominada a¸cão de Bayes com respeito
a π(θ) se
ab = argmin
a Θ
L(θ, a)π(θ)dθ
= argmin
a
r(π, a)
com r(π, a) comumente denominada perda esperada a priori e o seu valor
m´ınimo, r(π, ab), o risco de Bayes associado.
Já vimos que para o investidor do exemplo 2.1 a a¸cão de Bayes é
investir o dinheiro no fundo de investimento e o risco de Bayes vale −350
u.m. O seguinte exemplo corrobora para fundamentar as idéias até aqui
apresentadas.
Exemplo 2.2 O gerente de uma livraria do campus da UFRJ deseja de-
cidir quantas unidade de um certo livro texto deverá encomendar para o
in´ıcio do próximo per´ıodo. Seu ganho é de 15 u.m. por exemplar ven-
dido e a editora aceita receber de volta aquelas unidades não vendidas
até a segunda semana após o inic´ıo das classes. Como esta disciplina

não será oferecida novamente durante o presente ano letivo os livros re-
manescentes, não vendidos, imporão uma perda de 5 u.m., por exemplar,
no final do per´ıodo. Uma questão importante será , por exemplo, deter-
minar o tamanho ideal da compra a ser realizada pela livraria. A fun¸cão
de ganho ou utilidade é obviamente dada por:
U(θ, a) =
15θ − 5(a − θ) se θ < a
15a se θ ≥ a
Supondo, para simplificar, que as ordens (a) e as vendas (θ) sejam
múltiplos de 10 unidades e limitadas a um máximo de 70 unidades temos.
A tabela 2.2 mostra os ganhos (perdas são ganhos negativos) associados
a cada a¸cão e cada poss´ıvel estado da natureza (vendas efetuadas).
Vendas Perda
A¸cões 0 10 20 30 40 50 60 70 Máx r(π, a)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0
10 -5 15 15 15 15 15 15 15 -5 14.7
20 -10 10 30 30 30 30 30 30 -10 27.6
30 -15 5 25 45 45 45 45 45 -15 35.9
40 -20 0 20 40 60 60 60 60 -20 37.7
50 -25 -5 15 35 55 75 75 75 -25 34.8
60 -30 -10 10 30 50 70 90 90 -30 30.2
70 -35 -15 5 25 45 65 85 105 -35 25.3
100π(θ) 1.7 8.7 23.2 32.4 23.2 8.7 1.7 0.4
Tabela 2.2: Fun¸cão de ganho da livraria (em dezenas)
Este é um exemplo muito simples onde a fun¸cão de ganho fica deter-
minada pelo valor do ganho l´ıquido e do ressarcimento por devolu¸cão. A
quantidade demandada (e desconhecida) de livros, θ, aparece discretizada
em múltiplos de 10 unidades. Analogamente, para facilitar a exposi¸cão,

2.2. ESPECIFICANDO A FUNÇ ÃO DE PERDA 29
as encomendas (a¸cões) também estão ordenadas em múltiplos de 10. Este
é um exemplo onde o número de poss´ıveis estados da natureza é n(Θ) = 8
e existem n(A) = 8 poss´ıveis a¸cões. Mesmo com estas simplifica¸cões a
tarefa de escolher a melhor decisão não é muito simples, a menos do ca-
so do decisor utilizar a regra minimax. Curiosamente, nesse exemplo,
a regra minimax é de pouca valia uma vez que sugere que o vendedor
não compre nenhum livro (veja a penúltima coluna da tabela 2.2). Além
disso, note que um comerciante poderia ordenar 70 unidades e obter um
ganho de 1050 u.m. caso todos os livros sejam vendidos. Todavia, seguin-
do essa mesma alternativa, existe o risco da perda de 350 u.m. caso as
vendas sejam nulas. Intuitivamente, pode ser argumentado, precisaria-se
assessar a distribui¸cão de probabilidade da quantidade incerta - quanti-
dade demandada de livros. Para ilustra¸cão, suponhamos que π(θ) para
θ = 0, 10, . . . , 70 sejam aqueles apresentados na última linha da tabela
2.2. De acordo com essa distribui¸cão de probabilidade calculamos a última
coluna na mesma tabela. De acordo com esses resultados vemos que a de-
cisão ótima, ou a¸cão de Bayes, é a compra de 40 unidades.
Para mais detalhes sobre a regra minimax veja a se¸cão 2.6. No cap´ıtulo
4 mostra-se porque a maximiza¸cão (minimiza¸cão) da utilidade (perda) es-
perada é a regra de decisão comumente utilizada em problemas de decisão
sob incerteza.
2.2 Especificando a fun¸cão de perda
Nesta se¸cão apresentaremos alguns exemplos de fun¸cão de perda que ocor-
rem comumente nas aplica¸cões. Iniciaremos com uma classe geral de
fun¸cões de perda, discutiremos os problemas da inferência estat´ıstica no
contexto da teoria da decisão e introduziremos dois exemplos de natureza
mais aplicada.

Uma classe geral de perdas
Defina L(θ, a) = ω(θ)|θ−a|α
, onde ω(θ) é uma fun¸cão de peso que depende
somente de θ. Alguns casos especiais serão apresentados no contexto da
estima¸cão de parâmetros.
Estima¸cão
Um problema de estima¸cão fica caracterizado pelo fato de que A = Θ.
Uma fam´ılia de fun¸cões de perda adequada para o problema de estima¸cão
é dada por L(θ, a) = |θ − a|α
. Suponhamos que na fam´ılia de perdas
definidas anteriormente ω(θ) = 1. Se α = 1 temos a perda absoluta e se
α = 2 a popular perda quadrática. Um aspecto importante do problema
de estima¸cão é que os espa¸co do parâmetro e das decisões são coinci-
dentes. A minimiza¸cão da perda esperada nos casos acima é alcan¸cada,
respectivamente, pela mediana e pela média da distribui¸cão de θ. Outra
fun¸cão de perda comum em problemas de estima¸cão de parâmetros é a
denominada perda zero-um,
L(θ, a) =
k se |θ − a| ≥
0 se |θ − a| <
onde > 0 é arbitrário e k é uma constante, em geral unitária. A regra
de decisão de Bayes, neste caso, coincidirá com a moda da distribui¸cão
de θ. A figura 2.1 apresenta as três fun¸cões de perda citadas acima.
Teste de Hipótese
Este é um outro problema t´ıpico da inferência estat´ıstica. Sua principal
caracter´ıstica é que tanto o espa¸co das a¸cões como o espa¸co do parâmetro
são dicotômicos, isto é, A = {a0, a1} e Θ = Θ0 ∪ Θ1. As a¸cões a0 e a1
correspondem às decisões de aceitar H0 e H1, respectivamente, onde Hi
é a hipótese que afirma que o parâmetro percente ao sub-espa¸co Θi, para

Figura 2.1: Fun¸cões de perda alternativas em problemas de estima¸cão:
perda zero-um (linha cheia), perda quadrática (linha pontilhada) e perda
absoluta (linha tracejada).
i = 0, 1. Nesse contexto, a fun¸cão de perda fica definida por
L(θ, ai) =
0 se θ ∈ Θi
ci caso contrário
onde i = 0, 1. A escolha de c0 = c1 permite reconhecer que os erros de
decisão podem ter impactos diferenciados. Por exemplo, se o problema
consiste em decidir, à luz de algumas informa¸cões, se a economia está
num estado de recessão ou de expansão, os custos associados às decisões
erradas são naturalmente distintos. Os falsos alarmes podem, claramente,
ter custos diferenciados. A solu¸cão deste problema, assumindo-se que π =

Pr(θ ∈ Θ0), será dada pela compara¸cão das perdas esperadas, r(π, a0) =
c0(1 − π) e r(π, a1) = c1π.
Uma pequena generaliza¸cão dessa formula¸cão, denominada na liter-
atura de problema da decisão múltipla, consiste em fazer uma parti¸cão do
espa¸co do parâmetro em m classes. Sua solu¸cão será diretamente obtida
através dos conceitos desenvolvidos ao longo desse cap´ıtulo.
Uma outra fun¸cão de perda
Suponha que Θ = {θ1, θ2} e que A = {a1, a2}. Seja a fun¸cão de perda
L(θ, ai) =
0 se θ = θi
θ2
i se θ = θi,
para i = 1, 2. Então, para qualquer π(θ), a a¸cão de Bayes será a1 se
E(θ2
1) < E(θ2
2) e a2 caso contrário. Se E(θ2
1) = E(θ2
2), então ambas são
a¸cões de Bayes sob π. Para obter este resultado basta lembrar que,
E[L(θ, a1)] =
Θ1
θ2
1
Θ2
π(θ1, θ2)dθ2 dθ1 =
Θ1
θ2
1π(θ1)dθ1 = E(θ2
1)
Fun¸cão de Perda de Esscher
Na literatura de Atuária aparece com frequência a fun¸cão de perda de
Esscher,
L(θ, a) = exp (γθ)(θ − a)2
onde a ∈ A, θ ∈ Θ ⊂ R+
e γ > 0 é denominado coeficiente de aversão
ao risco. É claro que esta especifica¸cão corresponde a um caso particular
de perda geral apresentada no come¸co dessa se¸c ao, isto é ω(θ) = exp(γθ)
e α = 2. Seja π(θ) uma distribui¸cão a priori sobre Θ, então o risco de
Bayes será,
r(π, a) = E[L(θ, a)] = E[exp(αθ)(θ − a)2
]

A minimiza¸cão da fun¸cão de perda satisfará a condi¸cão de primeira
ordem,
d
da
r(π, a) = 2 exp (αθ)(θ − a)π(θ)dθ = 0
de forma que
ab = E[θ exp (αθ)]/E[exp (αθ)]
A condi¸cão de segunda ordem pode ser facilmente verificada e será
deixada como exerc´ıcio. Esta decisão de Bayes é denominada, no contexto
atuarial, de prêmio de Esscher.
Sele¸cão de um Portfólio
Seja Ψ = a θ, onde θ é um vetor representando os retornos de k inves-
timentos e a = (a1, . . ., ak) o vetor de aloca¸cão de uma riqueza unitária,
tal que ai > 0 para todo i = 1, . . . , k e i ai = 1. A seguinte fun¸cão de
perda é adequada para este problema de diversifica¸cão de risco,
L(θ, a) = exp(αΨ) − 1
Suponhamos ainda que θ ∼ N(µ, Σ). Nestas condi¸cões, Ψ ∼ N[µΨ, σ2
Ψ],
onde µΨ = a µ e σ2
Ψ = a Σa. Além disto, exp (Ψ) terá uma distribui¸cão
log-normal. Assim
E[L(θ, a)] = E[exp(αΨ)] − 1
= exp(−αµΨ + α2
σ2
Ψ/2) − 1
e, portanto, é fácil verificar que
min
a
r(Ψ, a) ≡ max
a
µΨ − ασ2
Ψ/2
A interpreta¸cão é clara: deseja-se diversificar obtendo um risco m´ınimo,
isto é variância m´ınima, e simultaneamente máximo retorno esperado.

Este exemplo é particularmente interessante pois aponta para uma di-
ficuldade que ocorre com frequência. Nossas a¸cões podem ser julgadas
através de consequências múltiplas e conflitantes. Neste exemplo dese-
jamos claramente maxizar o retorno esperado, todavia restrito a um certo
n´ıvel de risco, avaliado pela variância do retorno do portfólio selecionado.
2.3 Fun¸cão de perda não negativa
Seja α > 0 uma constante dada e λ(θ) uma fun¸cão real tal que
Θ
λ(θ)π(θ)dθ < ∞
Defina a nova fun¸cão de perda como sendo
L0(θ, a) = αL(θ, a) − λ(θ), ∀θ ∈ Θ, a ∈ A
É claro que uma a¸cão de Bayes, ab sob L(θ, a) também será Bayes sob
L0(θ, a). Defina agora λ0(θ) = mina L(θ, a) e
L0(θ, a) = L(θ, a) − λ0(θ)
É fácil ver que a nova fun¸cão de perda é tal que (i) L0(θ, a) ≥ 0 e
(ii) mina L0(θ, a) = 0. A seguir apresentamos dois exemplos de situa¸cões
com fun¸cão de perda não negativa.
Exemplo 2.3 Seja um problema de decisão onde o número de elementos
de A seja 2, isto é n(A) = 2 e que o número de elementos de Θ também
seja 2, isto é n(Θ) = 2 e considere a fun¸cão de perda com valores reais
apresentados na tabela 2.3. Segue que λ0(θ1) = −10 e λ0(θ2) = −20. A
tabela de perdas pode então ser reescrita como na tabela 2.4.
Supondo, além disto, que π(θ1) = 0.7. Então teremos r(π, a1) = 64 e
r(π, a2) = 17. Portanto, a2 é a a¸cão de Bayes. Note que r0(π, a1) = 77
e r0(π, a2) = 30, de sorte que a2 continua sendo a a¸cão de Bayes, como
esperado.

2.3. FUNÇ ÃO DE PERDA N ÃO NEGATIVA 35
Estados
A¸cões θ1 θ2
a1 100 -20
a2 -10 80
Tabela 2.3: Perdas monetárias (em milhares)
Estados
A¸cões θ1 θ2
a1 110 0
a2 0 100
Tabela 2.4: Fun¸cão de perda não negativa (L0(θ, a) = L(θ, a) − λ0(θ))
Exemplo 2.4 Considere um problema com cinco a¸cões e dois estados
da natureza. Uma tabela envolvendo perdas não negativas é a tabela 2.5.
Vale notar que agora temos uma perda nula para cada um dos estados
e com os demais valores extritamente positivos, como ilustrado na tabela
2.6.
A¸cões
Estados a1 a2 a3 a4 a5 mina L(θ, a)
θ1 2 4 3 5 3 2
θ2 3 0 3 2 5 0
Tabela 2.5: Fun¸cão de perda
O leitor pode facilmente verificar que a1 e a3 são minimax para a
tabela 2.5, enquanto a2 é minimax para a tabela 2.6. Voltaremos a esse

A¸cões
Estados a1 a2 a3 a4 a5
θ1 0 2 1 3 1
θ2 3 0 3 2 5
Tabela 2.6: Fun¸cão de perda não negativa
exemplo no se¸cão 2.6 quando revisitarmos a regra minimax e daremos
uma justificativa geometria para esse problema.
2.4 Concavidade do risco de Bayes
Nesta se¸cão estudaremos a forma da fun¸cão que descreve o risco de Bayes.
Mostraremos que esta é uma fun¸cão côncava, o que permitirá entre outras
coisas examinar o efeito da imprecisão na especifica¸cão da distribui¸cão a
priori. Introduzimos, na se¸cão 2.1, o risco de Bayes segundo π(θ) (veja
defini¸cão 2.3), como sendo r(π) = r(π, ab). Este é o valor do risco m´ınimo
ou da perda espera m´ınima sob a distribui¸cão a priori π.
Defini¸cão 2.4 Sejam π1 e π2 duas densidades sobre Θ e seja α ∈ (0, 1)
um escalar. A combina¸cão linear π = απ1 + (1 − α)π2 é uma nova
densidade sobre Θ, chamada de mistura das densidade π1 e π2.
Teorema 2.1 Seja π uma mistura das densidades π1 e π2, sobre Θ, para
α ∈ (0, 1). Então
r(π) ≥ αr(π1) + (1 − α)r(π2)
Prova:

2.4. CONCAVIDADE DO RISCO DE BAYES 37
(i) Mistura de riscos
r(π, a) =
Θ
L(θ, a)π(θ)dθ =
Θ
L(θ, a)[απ1(θ) + (1 − α)π2(θ)]dθ
= αr(π1, a) + (1 − α)r(π2, a)
(ii) Como r(π) = minar(π, a), então
r(π) = mina[αr(π1, a) + (1 − α)r(π1, a)]
Como o m´ınimo da soma de duas fun¸cões não pode ser nunca menor que
a soma dos m´ınimos individuais, segue que:
r(π) ≥ α minar(π1, a) + (1 − α) minar(π2, a)
= αr(π1) + (1 − α)r(π2)
A partir dos item (i) e (ii) acima pode ser verificado que a fun¸cão
côncava r(π) é o m´ınimo da fam´ılia de fun¸cões lineares r(π, a) gerada
pelas diferentes a¸cões em A. Ilustra¸cões gráficas são poss´ıveis no caso em
que Θ = {θ1, θ2}. É claro que nestas condi¸cões π = Pr(Θ = θ1). Assim
r(π) é fun¸cão côncava de π ∈ (0, 1) (veja a ilustra¸cão na figura 2.2).
Consequência da Imprecisão de π
Suponha, ainda no caso de um espa¸co de a¸cões com dois elementos so-
mente, que a a¸cão a0 seja escolhida a a¸cão de Bayes segundo π0 e suponha
que o verdadeiro valor de π seja, digamos π1. Seja δ = r(π1, a0) − r(π0)
o incremento em risco, como ilustrado na figura 2.3. Se a curva r(π) for
suave no entorno de π0, o qual deve conter π1 então δ será pequeno.

Figura 2.2: Concavidade do risco de Bayes: n(A) < ∞ (figura da esquer-
da); n(A) = ∞ (figura da direita).
2.5 Problema de decisão com Θ e A finitos
Supor espa¸cos de estados da natureza e de parâmetros finitos facilitam as
ilustra¸cões de algumas propriedades. Poderemos representar graficamente
o conjunto de todas as a¸cões mistas e estudar suas propriedades. Sejam
Θ = {θ1, · · · , θk} e A = {a1, · · · , am}.
Defini¸cão 2.5 Uma decisão mista é definida pela combina¸cão linear con-
vexa de decisões em A. Esta classe é denotada por M. Obviamente
A ⊂ M e a fun¸cão de perda de uma decisão mista a ∈ M será dada por:
Li(a) = L(θi, a) =
m
j=1
pj L(θi, aj), i = 1, · · · , k

2.5. PROBLEMA DE DECIS ÃO COM Θ E A FINITOS 39
Figura 2.3: Efeito da imprecisão sobre π: incremento no risco de Bayes
Alternativamente podemos escrever
L(a) = (L1(a), · · · , Lk(a)) = Lα
para α = (α1, . . ., αm), a = (a1, . . ., am) e L(θi, aj) o (i, j) − ésimo ele-
mento de L.
Denote por G ⊂ k
o conjunto convexo definido por G = {L(a) ∈
k
, a ∈ A, p = (p1, · · · , pm) , pi ≥ 0, pi = 1}.
Defini¸cão 2.6 Dominância e Admissibilidade
(a) Uma a¸cão a ∈ M domina a a¸cão a ∈ M se Li(a ) ≥ Li(a), ∀θ ∈ Θ.
Se a desigualdade for estrita a dominância será dita estrita.

(b) Uma decisão a ∈ A é admiss´ıvel se nenhuma outra a¸cão a domina
estritamente. Isto é, se não existe outra decisão a ∈ A tal que
Li(a ) ≤ Li(a), i = 1, · · · , k e Li(a) < Li(a ) para pelo menos um i.
Assim a ∈ M é admiss´ıvel se e somente se pertencer a fronteira
de admissibilidade de G. As a¸cões puras, elementos de A, correspon-
dem a distribui¸cões de probabilidade sobre A degeneradas, isto é: p =
(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Assim os pontos de G correspondendo as a¸cões em
A são vértices de um poliedro convexo.
Exemplo 2.5 Este exemplo envolve um problema de decisão com m = 6
alternativas e k = 2 estados da natureza (Figura 2.4) e perdas dadas pela
tabela 2.5.
Figura 2.4: Representa¸cão gráfica de G

2.5. PROBLEMA DE DECIS ÃO COM Θ E A FINITOS 41
Vale interpretar Li(a), i = 1, · · · , k como centro de gravidade de um
sistema de massas com pesos pj em aj, j = 1, · · · , m. Considere agora
uma distribui¸cão de probabilidade sobre Θ, π(θ) = (π1, · · · , πk) , πi ≥
0 e πi = 1. Para qualquer decisão a ∈ A obtemos o risco
r(π, a) = π L(a)
onde π = (π1, · · · , πk) .
Defini¸cão 2.7 Uma a¸cão ab é Bayes segundo π se e somente se minimiza
π L(a), a ∈ A
É interessante mostrar que ab pertence a fronteira de Bayes de G. Como
a fronteira admiss´ıvel de G esta contida na fronteira de Bayes segue que
toda decisão admiss´ıvel em M é Bayes para alguma π.
Teorema 2.2 Seja a∗
uma a¸cão em M. O vetor L(a∗
) pertence a fron-
teira de Bayes de G se e somente se existe alguma distribui¸cão π sobre
Θ tal que a∗
é Bayes segundo π.
Exemplo 2.6 Seja um problema com k = 2 estados da natureza, m = 6
alternativas e perdas dadas pelos elementos da tabela abaixo.
A¸cões
Estados a1 a2 a3 a4 a5 a6
θ1 10 8 4 2 0 0
θ2 0 1 2 5 6 10
Os pontos L(ai), i = 1, · · · , 6 estão plotados na figura 2.5. A fronteira
admiss´ıvel consiste dos segmentos de reta unindo L1a L3 e L3 a L5. Logo

as a¸cões a1, a3 ea5 ∈ A são admiss´ıveis. Neste exemplo a fronbteira
de Bayes incluirá também o segmento de reta L5 a L6, de forma que a
fronteira de Bayes será constituida pelas a¸cões {a1, a3, a5, a6}.
Suponha que deseja-se determinar uma decisão de Bayes segundo a
priori π = (1/3, 2/3) . Considere a equa¸cão da reta L1/3 + 2L2/3 = c,
isto é com inclina¸cão −1/2. Verifique se esta é uma linha de suporte em
algum ponto da fronteira de Bayes. Neste exemplo somente a3 satisfaz
esta condi¸cão.
É útil relembrar que a perda esperada para a¸cões em M são da forma:
π L(a) =
k
i=1
π(θi)Ep[L(θi, a)]
=
k
i=1
π(θi)
m
j=1
pjL(θi, aj)
A decisão de Bayes é obtida como fun¸cão de (p1, · · · , pm) ou depende
de m − 1 variáveis. Assim o problema de minimizar a perda esperada
equivale a determinar o m´ınino de uma fun¸cão m − 1 dimensional.
Para fixar idéias um outro exemplo faz-se necessário. A figura abaixo
corresponde ao problema de decisão com m = 5 alternativas e k = 2
estados da natureza descrito anteriormente (Tabela 2.4). Expressan-
do E[L(θ, ai)] = r(π, ai) como fun¸cão de π ∈ [0, 1], temos as seguinte
equa¸cões:
r(π, a1) = 3 − π
r(π, a2) = 4π
r(π, a3) = 3
r(π, a4) = 3π + 1
r(π, a5) = 5 − 2π
produzindo a figura 2.5

2.6. REVISITANDO A REGRA MINIMAX 43
Figura 2.5: Poliedro convexo; caso k = 2 e m = 6
2.6 Revisitando a regra minimax
Uma forma alternativa de ordenar as a¸cões de um problema de decisão,
como já vimos é exatamente o procedimento minimax. O objetivo agora
é mostrar como obter uma a¸cão minimax graficamente e discutir algumas
de suas propriedades.
Relembrando, am = arg minmaxa{L(θ, a)}. No exemplo 2.4, onde
concorriam m = 5 alternativas para k = 2 estados da natureza, tinhamos
a tabela de perdas com a última coluna apresentando o mina L(θ, a) obti-
do para cada estado da natureza (tabela 2.6). Podemos agora obter para
cada a¸cão o maxθ L(θ, a) (ver a última linha da tabela 2.8).
A partir desta coluna é fácil ver que as a¸cões a1 e a3 são ambas min-

A¸cões
θ1 2 4 3 5 3
θ2 3 0 3 2 5
maxθ 3 4 3 5 5
Tabela 2.8: Fun¸cão de perda
imax. Se, alternativamente, tivessemos usado as perdas não negativas
teriamos obtido
A¸cões
θ1 0 2 1 3 1
θ2 3 0 3 2 5
max 3 2 3 3 5
Neste caso somente a a¸cão a2 é minimax. Porque esta diferen¸ca? Os
gráficos da figura 2.7 apresentam as perdas para as a¸cões a1 a a5, no plano
L(a) = (L1, L2), e servem para esclarecer o que ocorre. Se (L1, L2) são
as perdas em um problema com dois estados da natureza é claro que o
máximo das perdas será L1 se o par (L1, L2) cair abaixo do bissetor e, L2
se o par (L1, L2) cair acima do bissetor (veja figura 2.6).
A a¸cão minimax é obtida graficamente movendo-se para cima um
linha horizontal/vertical até atingir uma das a¸cões, isto para aquelas aci-
ma/abaixo do bissetor do primeiro quadrante. Quando se usa a fun¸cão
de perda não negativa a solu¸cão não se mantém pois a origem se desloca
e então a primeira a¸cão a ser atingida pelas linhas horizontais/verticais

2.6. REVISITANDO A REGRA MINIMAX 45
Figura 2.6: Regra minimax - determina¸cão gráfica
pode mudar.
Para concluir vejamos o que ocorre se tiver diante de a¸cões mistas.
Neste caso o bissetor do primeiro quadrante atingirá primeiramente uma
das a¸cões mista que expressam através da combina¸cão linear das a¸cões
pura a1 e a2. Mais precisamente a solu¸cão corresponde a escolha de
π = 3/4.
Um último ponto que merece considera¸cão é que toda decisão de Bayes
é admiss´ıvel e toda decisão minimax é a¸cão de Bayes. Além disso, as
decisões admiss´ıveis são a¸cões de Bayes para alguma distribui¸cão a priori.
Segundo DeGroot (1970), um ponto x = (x1, . . ., xk) em G, um conjunto
convexo, pertence ao limite de admissibilidade de G se não existir nenhum
ponto y também em G tal que yi ≤ xi para i = 1, . . . , k e yi < xi para

Figura 2.7: Regra minimax - determina¸cão gráfica
pelo menos um i. Adicionalmente, um ponto x em G percente ao limite
de Bayes se não existir nenhum ponto y em G tal que yi < xi para
i = 1, . . . , k. A figura 2.8 ajuda a visualizar essas questões e defini¸cões.
2.7 Problema de decisão usando dados
Seja X uma quantidade aleatória relacionada com o estado da natureza
θ e considere uma regra de decisão δ(x) , isto é, uma fun¸cão de X, espa¸co
amostral , com valores em A, espa¸co do parâmetro. Seja p(x|θ), x ∈ X
a fun¸cão de densidade de X condicional a θ.

2.7. PROBLEMA DE DECIS ÃO USANDO DADOS 47
Figura 2.8: Admissibilidade da regra de Bayes
Defini¸cão 2.8 A fun¸cão de risco ou perda esperada será definida por
r(π, δ) = E[L(θ, δ(x))]
=
X Θ
L(θ, δ(x))p(x|θ)π(θ)dθdx (2.1)
onde estamos assumindo que L(θ, δ(x)) é integrável em X e também em
Θ.
Valer destacar que
(i) ∀a ∈ A, r(π, a) = Θ L(θ, a)π(θ)dθ, como definido anteriormente, e
(ii) ∀θ ∈ Θ, r(π, δ(X)) = X L(θ, δ(x))π(x|θ)dx

Para qualquer regra de decisão δ(x) a fun¸cão r(π, δ(x)) será denomin-
dada de risco de δ. Assim sendo δ∗
será uma decisão de Bayes se
δ∗
= arg min
δ(x) Θ
r(θ, δ(x))π(θ)dθ
A fun¸cão δ∗
(x) será determinada pela expressão acima para cada x ∈ X.
Continuaremos denotando por r(π) = r(π, δ∗
) o risco de Bayes sob π.
Construindo a regra de decisão de Bayes
Segunda a expressão 2.1, minδr(π, δ) pode ser obtido minimizando a in-
tegral interna para cada x ∈ X. Assim, ∀x ∈ X, obteremos δ∗
(x) mini-
mizando em
bfTheta,
Θ
L(θ, δ(x))p(x|θ)π(θ)dθ
ou
p(x)
Θ
L(θ, δ(x))p(x|θ)π(θ)/p(x)dθ
onde p(x) = Θ p(x|θ)π(θ)dθ. Assim,
r(π, δ) =
X
p(x)
Θ
L(θ, δ(x)π(θ|x)dθ dx
Exemplo 2.7 Suponha que Θ = {θ1, θ2} e A = {a1, a2} com perdas
apresentadas na tabela 2.10.
A distribui¸cão a posteriori é obtida facilmente levando em consid-
era¸cão a fun¸cão de verossimilhan¸ca dada pela tabela 2.11.
Como Θ tem somente dois elementos, a distribui¸cão a priori fica com-
pletamente caracterizada por π = Pr(θ1) = 1−Pr(θ2). Usando o teorema
de Bayes
π(θ|x) ∝ π(θ)p(x|θ) = q(θ, x)

2.7. PROBLEMA DE DECIS ÃO USANDO DADOS 49
L(θ, a) a1 a2
θ1 0 5
θ2 10 0
Tabela 2.10: Fun¸cão de perda.
x
Estados 0 1
θ1 3/4 1/4
θ2 1/3 2/3
Tabela 2.11: Fun¸cão de probabilidade, p(x|θ).
obtemos os resultados da tabela 2.12
As probabilidades a posteriori serão obtidas da normaliza¸cão dos q(θ, x).
Denotando por ψ(x) = π(θ1|x) teremos:
ψ(x) =
q(θ1, x)
θ q(θ, x)
Assim, qualquer que seja x, os valores esperados das perdas serão
r(π, a1|x) = 10[1 − ψ(x)]
r(π, a2|x) = 5ψ(x)
Da´ı, a1 será prefer´ıvel a a2 se e somente se r(π, a1) < r(π, a2), o que
equivale a dizer que 10[1−ψ(x)] < 10[1−ψ(x)], ou ainda que ψ(x) > 2/3.
Suponhamos agora que o resultado experimental tenha sido x = 1. A
decisão de Bayes será a2 se ψ(1) < 2/3, ou seja,
3π/4
3π/4 + (1 − π)/3
< 2/3

x
q(θ, x) 0 1
θ1 3π/4 π/4
θ2 (1 − π)/3 2(1 − π)/3
Tabela 2.12: Distribui¸cão conjunta de θ e x.
logo, a decisão de Bayes será a2 se π < 8/17. Analogamente, se x = 0 a
decisão a2 será prefer´ıvel se π < 16/19. De uma forma geral teremos,
r(π) =



5π se 0 < π < 8/17
5π/4 + 10(1 − π) se 8/17 < π < 16/19
10(1 − π) se 16/19 < π < 1
permitindo se fazer o gráfico do risco de Bayes (Figura 2.9) como fun¸cão
de π, a probabilidade a priori.
2.8 Análise de risco
Neste cap´ıtulo discutindo alguns aspectos da análise de risco. Esta é uma
área da análise de decisões que vem ganhando importância nos dias atuais.
O termo risco é utilizado de uma forma não sistemática com seu sentido
variando expressivamente nos diferentes ramos de aplica¸cão. Falamos de
risco financeiro, risco médico, risco atuarial etc. Apresentaremos alguns
critérios de risco comumente utilizados nessas diferentes áreas. Iniciare-
mos por um exemplo.
Exemplo 2.8 Suponha que estejamos diante da escolha de uma de duas
op¸cões:

2.8. AN ÁLISE DE RISCO 51
Figura 2.9: Risco de Bayes - exemplo com dados
a1) Apostar num jogo onde ganha-se 1 u.m. se certo evento ocorrer,
com probabilidade π ou perde-se 1 u.m., caso contrário, com prob-
abilidade 1 − π.
a2) Apostar num jogo onde ganha-se 1000 u.m. se certo evento ocorrer,
com probabilidade π ou perde-se 1000 u.m., caso contrário, com
probabilidade 1 − π.
Suponha que π = 1/2. É senso comum que a segunda alternativa
é mais arriscada do que a primeira, embora do ponto de vista do valor
esperado da perda monetária sejam equivalentes. A segunda alternativa
impõe uma eventual perda de valor expressivo.

Os critérios apresentados anteriormente aferem risco através da perda
esperada ou do critério minimax não levando em considera¸cão a ampli-
tude envolvida nos resultados monetários associados às várias op¸cões.
Nas aplica¸cões os riscos podem ser avaliados pela probabilidade de certos
eventos indesejáveis ou por alguma medida de dispersão. Por exemplo,
em risco pol´ıtico o evento poderia ser a expropria¸cão do capital de um
firma em certo pa´ıs estrangeiro, enquanto que na área de seguro o risco
poderia ser mensurado como a quantidade máxima de u.m. que uma
seguradora pode perder em uma certa apólice.
Nas aplica¸cões financeiras o conceito de risco confunde-se com o de
variabilidade associada a distribui¸cão dos ganhos ou perdas monetárias.
Um exemplo clássico esta presente na análise de portfólios onde pretende-
se maximizar o retorno esperado sujeito a uma limita¸cão de variância
(risco). Uma clásse de medidas de risco em finan¸cas é dada por:
r(aj) =
∞
−∞
(y − c)α
pj (y)dy
onde aj representa a j-ésima a¸cão, y os retornos com densidade pj (y), de-
pendendo da a¸cão j e c é um valor cr´ıtico particular, também denominado
de RaM - retorno aceitável m´ınimo. Alguns casos especiais são,
Variância
Esta é a medida tradicionalmente usada em decisões financeiras. Em
nosso exemplo anterior sobre a constru¸cão de um portfólio, nosso critério
consistia em simultaneamente minimizar a variância e maximizar o re-
torno. Esta medida de risco é obtida a partir de nossa defini¸cão geral
fazendo-se c = µj = Ej(y) e α = 2.

2.8. AN ÁLISE DE RISCO 53
Semivariância ou Downside-risk
Sua principal vantagem é levar em conta somente o dom´ınio de risco
de real interesse, por exemplo os retornos mais baixos. Fica definida
para α = 2 e c um valor cr´ıtico qualquer. Uma defini¸cão alternativa
desta medida de risco, frequentemente encontrada na lituratura recente
de finan¸cas, denominada downside risk - DsR, é definida por:
DsR(aj ) =
∞
−∞
min(0, y − c)2
pj (y)dy
Probabilidade cr´ıtica
Semelhante a semivariância, mas tendo como medida de risco a probabil-
idade, isto é:
V aR(aj) = Pj [y ≤ c] =
c
−∞
pj (y)dy
Na literatura recente de finan¸cas esta quantidade recebe o nome de VaR
- value at risk.
Sobra ainda a questão de como comparar as op¸cões após o cálculo de
uma dessas medidade de risco. Por exemplo, como comparar o par (valor
esperado, risco)? Uma possibilidade é definir uma regra de dominância.
Se duas op¸cões têm o mesmo valor esperado seleciona-se aquela de menor
risco. Se, por outro lado, duas op¸cões tem o mesmo risco, selecione aquela
de maior valor esperado. Observa-se assim que a medida de risco pode
servir como uma mera restri¸cão num problema de otimiza¸cão.
Exemplo 2.9 As alternativas de investimentos em ativos de risco. Na
tabela abaixo apresentamos os retornos mensais, em percentagem, obser-
vados ao longo de um ano.
Podemos calcular, com base nesses dados, os correspondentes amostrais
das medidas de risco definidas acima, supondo, por exemplo c = 10%.

Meses
A¸cões 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a1 12 17 11 18 17 23 20 19 13 10.3
a2 2.71 4.86 5.28 2.28 2.71 .14 1.42 1.86 4.43 5.58
Tabela 2.13: Retornos mensais de dois ativos de risco
Obtendo-se, após alguns cálculos, os resultados da tabela 2.14. Vale no-
tar que como todos os retornos do ativo a1 superam c, gerando assim
medidas de risco alternativas nulas. Fica também fácil ver que o V aR do
ativo a2 é igual a 1, pois c supera todos seus retornos observados. Por-
tanto, as conclusões são: o ativo a1 tem risco menor, exceto quando esta
medida for a variância, e retorno médio significativamente maior. Logo
a1 será prefer´ıvel sempre que usarmos umas das medidas alternativas de
risco e um valor de c ≤ 10.3%.
Se c = 4% fosse utilizado, teriamos DsR = 2.29 e V aR = .58 para
a2. Decrescendo c, obviamente, as medidas de risco, exceto a variância,
diminuirão. Analogamente, para c = 15% teriamos V aR = 0.33 e DsR =
3.59 para a a¸cão a1, com os equivalentes de a2 inalterados. Assim se
c = 15% e se a medida de risco utilizada fosse o DsR, a a¸cão a2 seria
prefer´ıvel.
Ativos Média Variância VaR DsR
a1 16.03 18.05 0 0
a2 3.13 3.32 1.0 3.32
Tabela 2.14: Retornos e riscos dos ativos a1 e a2

2.9. DOMIN ÂNCIA ESTOC ÁSTICA 55
2.9 Dominância estocástica
Em várias situa¸cões pode ser pouco natural comparar alternativas (de-
cisões) simplesmente através de seus retornos (monetários) esperados.
Entretanto, existem situa¸cões onde se deseja encontrar alternativas que
sejam dominantes de maneiras mais gerais e mais abrangentes. Nessa
se¸cão introduziremos o conceito de dominância estocástica de primeira
(relativa aos retornos) e segunda ordem (relativa aos riscos). A intui¸cão
básica é poder encontrar meios para dizer, por exemplo, que ”a dis-
tribui¸cão F produz retornos maiores que a distribui¸cão G” ou que ”a
distribui¸cão F tem menor risco do que a distribui¸cão G”. Vejamos um
pequeno exemplo para introduzir essas idéias.
Exemplo 2.10 Suponha que, em um problema de decisão, existam três
poss´ıveis a¸cões, a1, a2, a3, três poss´ıveis estados da natureza, θ1, θ2, θ3,
com ganhos descritos pela tabela 2.15. Pode ser facilmente constatado
que a a¸cão a1 domina a a¸cão a2 pois os retornos sob a1 são maiores que
os retornos sob a1 para todos os poss´ıveis estados da natureza. O mesmo
já não pode ser dito quando se compara a1 e a3 ou a2 e a3.
A¸cões
Estados a1 a2 a3
θ1 6 3 8
θ2 5 4 2
θ3 7 6 3
Tabela 2.15: Matriz de ganhos
Essa se¸cão é essencialmente inspirada em Mas-Colell, Whinston, and
Green (1995), que dedica um cap´ıtulo inteiro ao problema de decisão sob
incerteza. Outras referências sobre dominância estocástica são: o cap´ıtulo

4 de Bunn (1984), Whitmore and Findlay (1978) e, mais recentemente,
Levy (1998).
Defini¸cão 2.9 Dominância Estocástica de Primeira Ordem: A
distribui¸cão F domina G estocasticamente em primeira ordem se, para
toda fun¸cão não-decrescente u : → ,
u(x)dF(x) ≥ u(x)dG(x)
Pode ser mostrado o seguinte resultado imediato dessa defini¸cão.
Teorema 2.3 F domina G estocasticamente em primeira ordem se e
somente se F(x) ≤ G(x) para todo x.
A figura 2.10 ilustra a idéia de dominância estocástica de primeira
ordem. Aqui F domina G pois o gráfico da F está uniformemente abaixo
do gráfico da G indicando que valores maiores têm maiores probabilidades
sob F.
Como pode ser visto, dominância estocástica não necessariamente im-
plica que todo poss´ıvel retorno em F será maior que todo poss´ıvel retorno
em G. Dominância estocástica de primeira ordem implica que a média de
X sob F, EF (X), é maior que a média de X sob G, EG(X). O contrário
não é necessariamente verdadeiro, isto é, EF (X) ≥ EG(X) não implica em
F ser estocásticamente dominante com rela¸cão a G. Isso se deve ao fato
de toda a distribui¸cão ser relevante quando se fala em dominância. Uma
segunda forma de dominância pode ser definida se quisermos comparar
os riscos (dispersão) associados às distribui¸cões dos retornos. Intuitiva-
mente, dizemos que G(.) é mais arriscada que F(.) quanto todo tomador
de decisões averso ao risco preferir
Defini¸cão 2.10 Dominância Estocástica de Segunda Ordem: Se-
jam F e G, tais que EF (X) = EG(X). A distribui¸cão F domina G

Figura 2.10: F domina G estocasticamente em primeira ordem.
estocasticamente em segunda ordem se, para toda fun¸cão côncava não-
decrescente u : + → ,
u(x)dF(x) ≥ u(x)dG(x)
Uma forma alternativa de caracterizar dominância de segunda ordem
é através do conceito de mean-presearving spread (espalhamento com
preserva¸cão da média). Considere a seguinte loteria composta em dois
passos:
1. Um prêmio intermediário x é sorteado a partir da distribui¸cão F(.)
2. Ao prêmio x é acrescido o valor z (que pode ser negativo). Esse

último é sorteado a partir de uma distribui¸cão Hx(.) com média
nula, de sorte que x + z também tenha média x
Denote por G(.) essa loteria composta. Quando uma loteria G puder
ser obtida a partir de uma outra loteria F, para alguma Hx, diz-se que G
é um espalhamento de F com preserva¸cão da média. O exemplo abaixo
ilustra essa nova idéia Mas-Colell, Whinston, and Green (1995).
Exemplo 2.11 Seja F a fun¸cão de distribui¸cão com massas iguais em
2 e 3. Então a fun¸cão de distribui¸cão, G, com massas iguais em 1,2,3,4
é um espalhamento de F com preserva¸cã da média (veja a figura 2.11).
Figura 2.11: G é um espalhamento de F com preserva¸cão da média.

Se u(.) é côncava,
u(x)dG(x) = u(x + z)dHx(z) dF(x)
≤ u (x + z)dHx(z) dF(x)
= u(x)dF(x)
e pode ser mostrado que o seguinte resultado é válido.
Teorema 2.4 G(.) é um espalhamento de F com preserva¸cão da média é
equivalente a dizer que F domina G estocasticamente em segunda ordem
Nos próximos cap´ıtulos formalizaremos o conceito de fun¸cão de utili-
dade, probabilidade subjetiva, entre outros. Veremos, por exemplo, que
nem sempre a utilidade do dinheiro, ou de qualquer outro bem, pode ser
medida através do valor do dinheiro.

Cap´ıtulo 3
Modelos Gráficos
3.1 Introdu¸cão
Neste cap´ıtulo iremos apresentar vários instrumentos gráficos dispon´ıveis
para facilitar a modelagem de problemas complexos de decisão.
Iniciaremos pela descri¸cão das redes Bayesianas e depois apresentare-
mos os diagramas de influência e as árvores de decisão. Os diagramas
de influência são grafos ac´ıclicos direcionados (DAG). Incluem como caso
especial as redes Bayesianas de probabilidade, as quais serão exemplifi-
cadas ao longo deste texto. As árvores de decisão representam igualmente
problemas de decisão considerando eventuais assimetrias, o que facilita
a sua implementa¸cão computacional. Um caso particular de árvore de
decisão servirá para a simples descri¸cão gráfica de distribui¸cões conjuntas
de probabilidade.
Serão também apresentados neste cap´ıtulo os principais aspectos dos
pacotes DPL - data programming language e um exemplo envolvendo o
uso do WinBUGS - Bayesian analysis using Gibbs sampler. O primeiro
implementa um problema de decisão estat´ıstica através de diagrama de
influência (DI) e árvores de decisão (AD). Várias facilidades de análise
61

62 CAPÍTULO 3. MODELOS GR ÁFICOS
são encontradas neste pacote como, por exemplo, análise de sensibilidade,
interface com planilhas eletrônicas, simula¸cões de Monte Carlo, etc. O
BUGS por seu turno descreve modelos probabil´ısticos complexos a partir
de um DAG, permitindo que as inferências e previsões sejam realizadas
por métodos de simula¸cão estocástica. Sua estrutura é tão ampla que
mereceria ser descrito num cap´ıtulo próprio, o que foge aos propósitos
deste texto. Finalmente, na área de redes Bayesianas mencionamos o
Hugin e o JavaBayes, os quais permitem a avali¸cão de probabilidades
condicionais de forma simples. Através deles é poss´ıvel calcular proba-
bilidades marginais das variáveis de interesse, bem como executar análise
de robustez ou de sensibilidade.
Modelos gráficos constituem uma ferramenta natural para lidar com
problemas que envolvem incerteza e complexidade. Podem, resumida-
mente, ser caracterizados como uma fusão perfeita entre a teoria de prob-
abilidades e a teoria de grafos. Portanto, modelos gráficos são meros
grafos onde os nós são variáveis aleatórias e a ausência de arcos represen-
ta alguma hipótese de independência condicional. Existem duas classes
de modelos gráficos: os baseados em grafos não direcionados e aque-
les baseados em grafos direcionados. Os primeiros, incluem os modelos
de campos aleatórios Markovianos e os últimos, as denominadas redes
Bayesianas e os diagramas de influência. Um exemplo de grafo não dire-
cionados em estat´ıstica ocorre em modelos log-lineares. Nesta monografia
só utilizaremos modelos baseados em grafos direcionados.
Iniciaremos o cap´ıtulo com a discussão de redes Bayesianas. Após
apresentar os principais conceitos envolvidos discutiremos um exemplo
bastante simples. A seguir, os principais modelos de decisão sob incerteza
serão apresentados, incluindo os diagramas de risco simples, informa¸cão
imperfeita, decisões sequenciais, modelos com multi-atributos e diagra-
mas de cálculos intermediários. Concluiremos com uma ampla discussão
do uso do DPL, incluindo um exemplo razoavelmente complexo. As re-
ferências mais influentes neste cap´ıtulo são Clemen (1996) e Golub (1997)

3.2. REDES BAYESIANAS 63
no que se refere aos conceitos de diagramas de influências e Murphy (2001)
e Jensen (1998), nos conceitos de modelos gráficos e, em particular, em
redes Bayesianas.
3.2 Redes Bayesianas
Os modelos de redes Bayesianas são grafos direcionados nos quais os
nós representam variáveis aleatórias e a ausência de arcos, suposi¸cões de
independência condicional (Murphy, 2001). Um arco de A para B pode
informalmente ser interpretado como A causando B. Frequentemente,
não se permite a ocorrência de ciclos. Denomina-se de pais de certo nó a
todos aqueles nós que o influenciam diretamente ou o antecedem. Assim
dado seus pais um nó, ν, é independente de todos os demais nós do grafo,
exceto os que são seus descendentes. Uma afirma¸cão de independência
condicional envolvida na estrutura de uma rede Bayesiana é de que um nó
é independente dos ascendentes de seus pais. Estes são conceitos ligados
a uma particular topologia ordenando os nós.
Exemplo 3.1 Consideremos o exemplo da figura 3.1, onde os nós são
variáveis aleatórias binárias. Denote por M a variável aleatória “a grama
esta molhada”, por N, o “tempo está nublado”, por C, o evento “estar
chovendo” e por G, o evento “girador d’água está ligado”.
O evento M tem duas causas poss´ıveis: G ou C. Isto é, a grama estará
molhada por conta do girador d’água estar ligado ou por estar choven-
do. As probabilidades condicionais P[M|G, C] refletem a for¸ca dessas
rela¸cões. Como o nó N não possui pais, suas probabilidades condicionais
serão denominadas de probabilidades a priori. Por exemplo, P[N = 1] =
.5, P[G = 1|N = 1] = 0.1, P[M = 1|G = 1, C = 1] = 0.99. Observe que
M ⊥ N|G, C. Pelas regras básicas de probabilidade teremos:
P[N, G, C, M] = P[N] × P[G|N] × P[C|N, G] × P[M|N, G, C]

Figura 3.1: Rede Bayesiana: cada nó refere-se a uma variável aleatória
dicotômica
entretanto a topologia do grafo associado a este exemplo permite usar as
independência condicional para obter-se:
P[N, G, C, M] = P[N] × P[G|N] × P[C|N] × P[M|G, C]
ou seja: C ⊥ G|N e M ⊥ N|G, C.
A partir do modelo descrito pelo DAG desejamos fazer inferências,
isto é, calcular probabilidade de alguns não observáveis com base nos da-
dos observados. Podemos distinguir duas opera¸cões complementares: di-
agnóstico e predi¸cão. No primeiro, observamos as folhas do grafo e faze-
mos inferências sobre as causas. No exemplo anterior teriamos P[G =
1|M = 1] representando a probabilidade do girador estar ligado consid-
erando-se que a grama está molhada e, também, P[C = 1|M = 1]. Pode-
riamos decidir qual a causa mais provável da grama estar molhada. A
outra situa¸cão corresponde a predizer, com base nas causas, o estado fi-
nal de algumas variáveis de interesse. Por exemplo: qual a probabilidade

da grama estar molhada dado que o girador está ligado mas não esta
chovendo – P[M = 1|G = 1, C = 0].
A complexidade computacional decorre sobretudo da avalia¸cão da
constante de normaliza¸cão envolvida na aplica¸cão do teorema de Bayes.
Vários algor´ıtmos são apresentados na literatura para lidar com o prob-
lema da elimina¸cão de variáveis.
Para concluir esta se¸cão apresentaremos o DAG de um problema es-
tat´ıstico razoavelmente complexo onde os nós envolvem variáveis aleatórias
cont´ınuas.
Exemplo 3.2 Modelo Fatorial Consideremos a seguinte estrutura.
yt|ft ∼ N(βft, Σ)
ft ∼ N(0, I)
onde yt é um vetor m-dimensional, ft é um vetor k-dimensional de fa-
tores comuns e Σ é uma matriz de variância-covariâncias de dimensão
m × m, geralmente diagonal. Em geral k é bem menor que m de for-
ma que o modelo trata de explicar um vetor de alta dimensão a partir
de combina¸cões lineares de aspectos de menor dimensão não observáveis
(da´ı o nome fatores comuns). Note que o modelo acima descreve a es-
trutura de variabilidade marginal de yt, a quantidade observável, através
de ββ + Σ. Várias simplifica¸cões deste modelo são poss´ıveis. Por ex-
emplo, se Σ = σ2
Im então, condicionalmente a ft as componentes de
yt serão também independentes e possuirão a mesma variância. A rede
Bayesiana ilustrada na figura 3.2 descreve este modelo. Se σ2
→ 0 então
a estima¸cão de máxima verossimilhan¸ca de β será dada pelos m autove-
tores principais, isto é, correspondente aos maiores autovalores da matriz
de covariância amostral.
Na figura 3.3 apresentamos o algoritmo escrito (automaticamente)
pelo WinBugs para o DAG da figura 3.2. Nesse contexto, Σ é diagonal

Figura 3.2: Rede Bayesiana para o modelo fatorial.
com elementos σ2
j = τ−2
j , para j = 1, . . . , m, na diagonal principal. A
informa¸cão a priori, assim como na figura 3.2, é tal que,
τ2
j ∼ Gama(v0j, v0s2
0j)
βj ∼ N(m0j, C0j)
para j = 1, . . . , m e hiperparâmetros v0j, s2
0j, m0j e C0j fixos para j =
1, . . . , m.

model;
{
for( j in 1 : M ) {
for( i in 1 : T ) {
y[i , j] ~ dnorm(m[i , j],tau2[j])
}
}
for( j in 1 : M ) {
for( i in 1 : T ) {
m[i , j] <- beta[j] * f[i]
}
}
for( j in 1 : M ) {
for( i in 1 : T ) {
f[i] ~ dnorm( 0.0, 1.0)
}
}
for( j in 1 : M ) {
tau2[j] ~ dgamma(v0[j],v0s02[j])
}
for( j in 1 : M ) {
beta[j] ~ dnorm(m0[j],C0[j])
}
}
Figura 3.3: Modelo fatorial est´atico no WinBugs.

Mais referências e detalhes a repeito dos modelos fatoriais (estáticos
ou dinâmicos) podem ser encontrados na tese de doutorado do segundo
autor (Lopes 2000), além de Lopes, Aguilar, and West (2000) e Lopes
and Migon (2002). Num contexto mais espec´ıfico, o seguinte exemplo
ilustra uma aplica¸cão recente de modelos fatoriais dinâmicos para dados
de mercados acionários latino americanos.
Exemplo 3.3 Um tema bastante atual em finan¸cas é a forma com que
os mercados acionários se contagiam em per´ıodos de crises. Os anos 90
forem repletos de tais eventos: Efeito Tequila em 1994, Gripe Asiática em
1997, Resfriado Siberiano em 1998, e a Febre Brasileira de 1999. Num
estudo recente (Lopes and Migon 2002), analisamos dados de quatro mer-
cados latino-americanos, além dos Estados Unidos. Foram observadas as
taxas de retorno diárias dos ´ındices IBOVESPA, MEXBOL, MERVAL
e IPSA, além do Dow Jones, no per´ıodo de agosto de 1994 a fevereiro
de 2001, num total de 1484 observa¸cões. Um modelo de análise fato-
rial com volatilidade estocástica com parâmetros variando no tempo foi
desenvolvido e aplicado.
3.3 Diagrama de influência e árvore de de-
cisão
Nesta se¸cão descreveremos os modelos básicos de decisão e suas represen-
ta¸cões através de diagramas de influência e árvores de decisão. Estes dois
diagramas são de alguma forma complementares. Os primeiros são mais
úteis na etapa de modelagem enquanto que as AD são mais adequadas
para se implementar a solu¸cão ótima através do algor´ıtmo de indu¸cão de
trás para diante (backward induction). Este, como já comentamos, inter-
cala opera¸cões de esperan¸ca, para eliminar incertezas, com opera¸cões de
maximiza¸cão para escolher as a¸cões que maximizem a utilidade esperada.

3.3. DIAGRAMA DE INFLUÊNCIA E ÁRVORE DE DECIS ÃO 69
Além disto, como os diagramas de influência são muito mais compactos
na descri¸cão da estrutura do problema, serão prefer´ıveis para a comu-
nica¸cão, sobretudo, com pessoas não técnicas envolvidas na análise de
decisão de um problema. As solu¸cões ótimas independem da escolha feita
para representa¸cão de nossos problemas posto que os DI e as árvores de
decisão são isomorfos. Vários métodos foram prospostos para a solu¸cão
do diagrama de influência como, por exemplo, o algoritmo proposto por
Shachter (1986) o qual permite a avalia¸cão do diagrama de influência sem
ser necessário transformá-lo em uma árvore de decisão.
Um s´ımbolo especial será utilizado para representar cada uma das
componentes da tripla que caracterisa um problema de decisão - Θ-espa¸co
dos estados da natureza, A - espa¸co das a¸cões e L(a, θ) - a fun¸cão de per-
da. Os eventos incertos serão representados por c´ırculos, as decisões por
retângulos e os valores assumidos pela fun¸cão de perda ou conseqüências
por retângulos com as arestas arredondadas.
Dois tipos de arcos – os de sequência e os de relevância – caracteri-
zam um diagrama de influência. Esta nomeclatura é particularmente útil
na descri¸cão dos algor´ıtimos eficientes para a solu¸cão de diagramas de
influência.
Defini¸cão 3.1 Um arco é dito de sequência se aponta para um nó de-
cisório e será denominado de relevância se aponta para um nó de chance
ou de consequência.
Assim um nó de relevância indica que o predecessor é fundamen-
tal para descrever as incertezas referentes aos eventos incertos. Por
seu turno os arcos de sequência prestam-se para descrever informa¸cões
dispon´ıveis no momento de se tomar decisões. Esses conceitos são partic-
ularmente importantes para o desenvolvimento de algor´ıtmos eficientes
para a solu¸cão dos diagramas de influência.
Com estes conceitos m´ınimos à mão, passaremos a descrever alguns
diagramas de influência úteis para representar componentes de um prob-

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